清单02 解三角形（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）高一数学下学期湘教版

清单02 解三角形 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【清单02】利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【清单03】正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【清单04】解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 【清单05】正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【清单06】利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【清单07】三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【清单08】解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【考点题型一】解三角形 技巧：已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式1-1】已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】在中，，，，则 ． 【变式1-3】已知在中，三个内角满足，且为锐角． (1)求； (2)在内作射线交于，使得，若，，求． 【变式1-4】在中，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1-5】如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且． (1)求； (2)求的面积． 【变式1-6】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【考点题型二】三角形形状的判断 技巧：（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【例2】设的内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在△ABC中，若，则一定为锐角三角形.( ) 【变式2-2】在中，若，则此三角形是锐角三角形.( ) 【变式2-3】在三角形中，若，则是（ ）． A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式2-4】的内角的对边分别为，若，判断的形状． 【变式2-5】下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【变式2-6】在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【变式2-7】已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若是锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 【考点题型三】三角形中距离、高度、角度问题 技巧：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【例3】如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B、C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 【变式3-2】如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【变式3-3】高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 【变式3-4】如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 . 【变式3-5】如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 【变式3-6】某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）       A． B． C． D． 【变式3-7】如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，） A．42.42 B．45.42 C．50.42 D．60.42 【考点题型四】三角形多解问题 技巧：已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【例4】在中，根据下列条件解三角形，下列判断正确的是（    ） A．，，，有一解 B．，，，有两解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【变式4-1】在中，内角的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，且这样的有两解，求的取值范围． 【变式4-2】下列命题正确的是（    ） A．在中，是的充要条件 B．在中，角所对的边分别为，若，则 C．在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为 D．在中，，则为锐角三角形 【变式4-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【变式4-4】的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-5】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【变式4-6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【变式4-7】在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 【考点题型五】面积与周长求值问题 技巧：①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【例5】在中，角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求角B的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，，求的周长. 【变式5-2】记的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若，的面积为，求. 【变式5-3】在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式5-4】在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的值； (2)若，，的中点为，求的长． 【变式5-6】在三角形中，分别是边的中点，已知． (1)求三角形的面积； (2)求三角形的周长． 【变式5-7】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【考点题型六】三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧：① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【例6】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．的最大值为2 D．的取值范围为 【变式6-1】如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是半径，及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是 .    【变式6-2】在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 【变式6-3】锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是2，则的取值范围是 . 【变式6-4】锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【变式6-5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若．求的取值范围． 【变式6-6】锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 【变式6-7】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 解三角形 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【清单02】利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【清单03】正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【清单04】解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 【清单05】正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【清单06】利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【清单07】三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【清单08】解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【考点题型一】解三角形 技巧：已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，再由二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】（1）由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. （2）由正弦定理，所以； （3）由余弦定理， 所以， ， 所以. 【变式1-1】已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，可得. 故选：B 【变式1-2】在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理，建立方程，结合三角形内角和验根，可得答案. 【详解】由题意可得，，则， 所以，由，解得或， 由，则不合题意，舍去. 故答案为：. 【变式1-3】已知在中，三个内角满足，且为锐角． (1)求； (2)在内作射线交于，使得，若，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换公式转化已知条件求得即可求得，进而求得； （2）取中点为，连接，根据三角形为等腰三角形，求得关于的函数关系；再在三角形中，由余弦定理列出方程，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又，所以． （2）根据题意设的中点为，连接，如图，则．    因为，所以， 所以，， 在中，，由正弦定理得，即， 化简得， 由题知，即，所以， 则，解得，此时不存在，舍去， 或，解得，满足题意． 综上． 【变式1-4】在中，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，， 即，解得， 又，则，所以. 故选：B. 【变式1-5】如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理得， 整理得， 所以为钝角，且. （2）由于，，， 所以，则， 所以，由余弦定理得， 即， 所以. 【变式1-6】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，则，利用正弦定理可求出的大小，即可求出的值. 【详解】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是， 作，，则，如下图所示： 向量与向量的夹角等于， 由正弦定理可得，即，可得， 所以，，即，即，故. 故选：D. 【变式1-7】在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式计算可得； （2）利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或, 当时，又，所以，又，， 所以，则，与矛盾，所以舍去； 所以． 【考点题型二】三角形形状的判断 技巧：（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【例2】设的内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的数量积运算，余弦定理，三角函数的诱导公式，正弦定理进行边角转化逐个判断即可. 【详解】在研究下列问题： 因为，所以，即， 所以，化简得， 所以是直角三角形，故A正确； 因为，由正弦定理可得，即， 所以或， 所以为等腰三角形或者直角三角形，故B错误； 因为，所以， 即，所以，故C正确； 因为，由正弦定理可得， 所以，或，不能确定的形状，故D错误； 故选：AC. 【变式2-1】在△ABC中，若，则一定为锐角三角形.( ) 【答案】错误 【分析】根据余弦定理得到为锐角，不能说明其他角为锐角，得到答案. 【详解】由可知，为锐角，不能说明其他角为锐角， 故答案为：错误. 【变式2-2】在中，若，则此三角形是锐角三角形.( ) 【答案】错误 【分析】根据余弦定理即可判断. 【详解】在中，若，只能说明，即是锐角，其他两角是不是锐角不确定. 故答案为：错误. 【变式2-3】在三角形中，若，则是（ ）． A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状. 【详解】由正弦定理，即， , 因为，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：B 【变式2-4】的内角的对边分别为，若，判断的形状． 【答案】等腰三角形 【分析】法一：利用余弦定理进行角化边，化简即可求解； 法二：先用正弦定理进行边化角，再利用两角和、查差的正弦公式进行化简，结合三角函数知识即可求解. 【详解】法一：在中，因为， 所以由余弦定理得，整理得，即. ∴一定是等腰三角形. 法二：在中，， ，即， . ，，，即， ∴是等腰三角形. 【变式2-5】下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 【变式2-6】在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【答案】B 【分析】由三角形内角的性质有即可判断A，应用正弦边角关系判断B；若为钝角、为锐角判断C；根据已知只能确定为锐角，但不能确定为锐角三角形判断D. 【详解】由，则，A错； 由，则，结合正弦边角关系得，B对； 由，若为钝角、为锐角，则，C错； 由，则，故， 所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错. 故选：B 【变式2-7】已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若是锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】BCD 【分析】解三角等式可得选项，利用反证法可得选项，由是锐角三角形可得，再结合单调性可得正确，再结合三内角和可得可判断正确. 【详解】对于A，由可知或，所以或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，假设时，，易知不满足，若，由正弦函数的性质可知，若时，，不满足题意，则，所以也不满足题意，所以假设不成立，B正确； 对于C，因为是锐角三角形，所以均为锐角，所以，则，又因为在上单调减，则，C正确； 对于D，由且都在，易知均为锐角，且，又因为，所以，则为钝角，D正确. 故选：BCD. 【考点题型三】三角形中距离、高度、角度问题 技巧：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【例3】如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】如图： 由题意：中，，，. 由正弦定理可得：. 故选：B 【变式3-1】已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B、C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 【答案】(1)干米 (2)千米 【分析】（1）由余弦定理求得； （2）由正弦定理求得，知村庄在村庄的正西方向，这样可得出，再用余弦定理可求得，从而得距离之和． 【详解】（1）由题意可得，，， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理可得， 则，从而， 故村庄在村庄的正西方向， 因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 解得，则， 故， 即农贸市场到村庄､的距离之和为千米. 【变式3-2】如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2)15km 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 【变式3-3】高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 【答案】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 【变式3-4】如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 . 【答案】 【分析】根据已知及正弦定理有、，即可求. 【详解】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 故答案为： 【变式3-5】如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 【答案】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 【变式3-6】某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）       A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 【变式3-7】如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，） A．42.42 B．45.42 C．50.42 D．60.42 【答案】A 【分析】由题意，利用正弦定理以及锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：A. 【考点题型四】三角形多解问题 技巧：已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【例4】在中，根据下列条件解三角形，下列判断正确的是（    ） A．，，，有一解 B．，，，有两解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理、余弦定理判断三角形的解的情况即可． 【详解】选项A，由余弦定理可得，是一个定值，所以只有一个解，故A正确； 选项B，根据正弦定理，得到，且，所以角B有两个，即有两解，故B正确； 选项C，钝角三角形，且有一解，故C错误； 选项D，两角确定，所以角也确定，且，根据正弦定理，有一解，故D正确. 故选：ABD． 【变式4-1】在中，内角的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，且这样的有两解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦定理化角为边，再根据余弦定理求角； （2）先根据正弦定理得，再根据角范围以及正弦函数图象性质得的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 因为这样的有两解，即关于的三角方程在时有两解， 所以，所以． 【变式4-2】下列命题正确的是（    ） A．在中，是的充要条件 B．在中，角所对的边分别为，若，则 C．在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为 D．在中，，则为锐角三角形 【答案】AC 【分析】利用正弦定理，可得判定A正确；结合正弦定理求得，的有两种情况可判定B错误；由正弦定理可得求得的取值范围为，可判断C正确；由正弦定理得，结合余弦定理得，可判断D错误. 【详解】对于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，则，所以A正确； 对于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正确； 对于C，在中，，若三角形有两解，则即故C正确； 对于D，在中，，由正弦定理得，则，根据余弦定理知,所以是钝角，故D不正确. 故选：AC. 【变式4-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理，正弦函数的性质及倍角公式，结合各选项条件逐项求解判断． 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，有两解，如图示， 则，而，因此，D正确． 故选：ABD 【变式4-4】的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】由正弦定理得，再由有唯一解，则或，解不等式即可得出答案. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的可以为1，2，4. 故选：ABD. 【变式4-5】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】B 【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误； 对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：B. 【变式4-6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 【变式4-7】在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 【答案】当的时，；当的时，. 【分析】由于给的条件是边边角，又因为，则该三角形具有两解，先根据正弦定理求出的大小，再利用内角和可求解，最后利用正弦定理分别求出两个边 【详解】因为，则该三角形具有两解， 由正弦定理可得：， 解得，则或， 当时，， 又因为， 由正弦定理可得， 当时，，， 同上可得， 则可得， 综上，当的时，； 当的时，. 【考点题型五】面积与周长求值问题 技巧：①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【例5】在中，角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知和余弦定理可求得，进而求得，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得，判断C；由已知和可得，再由可求得，判断D. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故A错误，B正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为， ，， 则， 所以， 因为，所以，故D正确. 故答案为：BCD. 【变式5-1】已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求角B的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式与所给面积建立等量关系，可求解，代入，可求，结合三角形内角和以及两角和的余弦公式可求出，从而求出结果. （2）根据等面积法得到，再由余弦定理得到，即可求出，从而求出周长. 【详解】（1）解：的面积为，则，即， 又，即，所以， 则， ，. （2）因为的角平分线与边相交于点， 所以，即， 所以，所以， 又由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 【变式5-2】记的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若，的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及二倍角公式即可求解， （2）根据面积公式可得，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得. 因为， 所以， 即. 又，所以， 则. 因为，所以，则，所以. （2）由（1）知， 故. 因为，所以. 由余弦定理得， 故. 【变式5-3】在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 所以． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 【变式5-4】在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据面积公式即可求解. 【详解】由三角形的面积公式可得， 故，故， 由于为三角形的内角，所以或， 故选：BD 【变式5-5】在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的值； (2)若，，的中点为，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先利用正弦定理化简，再结合角的范围得出，再利用计算； （2）先利用面积公式求出，进一步得出，再在中利用余弦定理即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理，得， 所以． 所以． 又因为为的内角，所以， 所以，从而． 又因为，则， 所以． （2）由题意，，所以． 又，所以． 所以． 因为，所以，从而． 在中，由余弦定理得， 所以． 【变式5-6】在三角形中，分别是边的中点，已知． (1)求三角形的面积； (2)求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】如图设，利用结合余弦定理可得三角形三边. （1）由余弦定理可得，进而可得，即可得面积； （2）三边相加可得周长. 【详解】（1）如图，因分别是边的中点， 则设. 注意到， 则. 则由余弦定理： . 解得.则在三角形中，. 由余弦定理可得， 从而. 则三角形的面积为：； （2）由（1）易得三角形的周长为 【变式5-7】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【考点题型六】三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧：① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【例6】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．的最大值为2 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：转化已知条件求得，结合，从而求得；对B：利用正弦定理和角度关系，求得关于的函数关系，结合的范围，求其值域即可；对C：利用余弦定理，求得的齐次式，结合基本不等式，即可求解；对D：将转化为关于的函数，结合的范围，求其值域即可. 【详解】对A：，即，， 所以，故，又为锐角三角形，，故，A正确； 对B：由A可知，，故，由正弦定理，可得， 故可得，又，故，则； 由为锐角三角形可得：，解得，故， 则，则，故B错误； 对C：由余弦定理可得， 等式两边同除可得：，所以，解得， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对D：，故， 故； 由B可知，又，故，，， 也即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【变式6-1】如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是半径，及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是 .    【答案】/ 【分析】先根据对称性将边，边转移，再根据三角形三边在一直线上时周长最小的思路即可解答. 【详解】作点关于线段，的对称点，，连接，， 如图：    则， 又， 而 ， ， 故答案为：. 【变式6-2】在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合辅助角公式化简求解即可； （2）设，则，由正弦定理得到， 进而可求解； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 则． 因为，所以， 即， 故，又，解得； （2） 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为． 【变式6-3】锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是2，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合题设可得，进而求出的范围，的范围，结合的面积是2可得，进而求解即可. 【详解】由， 由正弦定理可得：， 化为：， 是锐角三角形，，即． ，，解得． ，， 又，则， ， 又的面积是2，，化为：． 则 . 故答案为：. 【变式6-4】锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）依题意可得，再由两角和的正切公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理得到，，从而转化为关于的三角函数，再结合的范围计算可得. 【详解】（1）由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. （2）由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. （3）由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 【变式6-5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知中的切化弦，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求出； （2）由余弦定理可得到，再利用基本不等式即可求出的范围. 【详解】（1），， ，， ，，， ； （2），， 由余弦定理得，，即， ，， ，当且仅当时等号成立， 又，， 的取值范围是. 【变式6-6】锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-7】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$