清单04 复数（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）高一数学下学期湘教版

清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单04】复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 【清单05】复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【考点题型一】复数与复平面内的点的关系 技巧：利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【例1】已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【变式1-1】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】复数对应的点在角的终边上，则 . 【变式1-4】已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数的共轭复数的模为1 B．复数在复平面内对应的点在第一象限 C．复数是方程的解 D． 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式2-1】已知，复数． (1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； (2)若z满足，，求的值． 【变式2-2】若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【考点题型三】复数代数形式的加、减运算 技巧：解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【例3】已知复数，． (1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． (2)若，求的共轭复数及的模． 【变式3-1】已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．一定是实数 C．若，则 D． 【变式3-2】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【变式3-3】若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】已加复数，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】复数加减法的几何意义 技巧：复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【例4】复数加减法的几何意义 （1）几何意义：复数加减法可按向量的 或 法则表示.    设复数，（）对应的向量分别为、，四边形为平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 . （2）实质：利用几何图形的变换解释复数的加减运算（数形结合）； （3）应用：广泛应用于复数的加减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目. 【例4】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【变式4-1】在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【变式4-2】已知z为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知复数满足，则的取值范围是 ． 【变式4-4】已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【考点题型五】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例5】已知复数z，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【变式5-1】已知复数z满足，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【变式5-4】若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【考点题型六】复数代数形式的乘法运算 技巧：（1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①．②．③． 【例6】设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【变式6-2】若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【变式6-3】设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式6-4】已知为非负实数，复数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型七】复数代数形式的除法运算 技巧：（1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【例7】若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【变式7-1】求值： . 【变式7-2】已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】若是纯虚数，则实数为（    ） A． B． C． D．2 【考点题型八】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例8】已知复数是方程的一个根，则等于（    ） A． B．0 C． D． 【变式8-1】在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．若复数（i为虚数单位），则 B．若复数z满足，则 C．已知其中是虚数单位，则实数 D．若关于的方程有实数解，则或 【变式8-2】已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 【变式8-3】已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【变式8-4】已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单04】复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 【清单05】复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【考点题型一】复数与复平面内的点的关系 技巧：利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【例1】已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 【变式1-1】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【详解】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A 【变式1-2】复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 【变式1-3】复数对应的点在角的终边上，则 . 【答案】 【分析】根据复数对应的点及三角函数的定义、二倍角正弦公式得解. 【详解】因为复数对应的点为， 所以， 所以， 故答案为： 【变式1-4】已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数的共轭复数的模为1 B．复数在复平面内对应的点在第一象限 C．复数是方程的解 D． 【答案】AD 【分析】由复数的除法，可得标准式，根据共轭复数、几何意义、模长、乘方运算，可得答案. 【详解】，，故A正确； 复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误； 由，则，解得，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设，代入已知条件利用复数相等求解，再求出，最后由复数的乘法求解即可. 【详解】设，所以即为， 整理得：，所以，解得， 所以，，. 故选：A 【变式2-1】已知，复数． (1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； (2)若z满足，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 【变式2-2】若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义求值即可. 【详解】根据复数相等的定义，可得. 故选：A. 【变式2-3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式进行化简，然后根据复数相等的条件求出、的值，最后逐一分析选项. 【详解】 所以.可得. 由可得，解得或. 当时，； 当时，. 逐一分析选项， 对于A选项：当，时，； 当，时，，所以该选项不一定正确. 对于B选项：当，时，； 当，时，，所以该选项不一定正确. 对于C选项：当，时，； 当，时，，所以该选项不一定正确. 对于D选项：当，时，； 当，时，，所以该选项正确. 故选：D. 【变式2-4】（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 【考点题型三】复数代数形式的加、减运算 技巧：解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【例3】已知复数，． (1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． (2)若，求的共轭复数及的模． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意求出，结合复数的几何意义和各象限的点的坐标特征即可． （2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模． 【详解】（1）因为，， 所以． 因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以 解得，即实数的取值范围为． （2）因为， 所以． ． 【变式3-1】已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．一定是实数 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，由模的定义判断正误；对于选项B，根据复数的加法计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，由复数模的性质可判断正误. 【详解】对于A：设，则，可得，，故A正确； 对于B：令，由，故B正确； 对于C：设，则，， 满足，但，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-2】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【变式3-3】若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等求出，再利用复数乘法求解. 【详解】设，则，因此， 则，，即，所以. 故选：A 【变式3-4】已加复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义及复数减法的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 【考点题型四】复数加减法的几何意义 技巧：复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【例4】复数加减法的几何意义 （1）几何意义：复数加减法可按向量的 或 法则表示.    设复数，（）对应的向量分别为、，四边形为平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 . （2）实质：利用几何图形的变换解释复数的加减运算（数形结合）； （3）应用：广泛应用于复数的加减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目. 【例4】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 【变式4-1】在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 【变式4-2】已知z为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合共轭复数的概念及复数的乘法运算，根据模的运算求解判断AB，根据复数模长的性质分析判断CD. 【详解】对于A，，则，， 所以，所以A正确， 对于B，结合A，，，显然，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D错误. 故选：AC 【变式4-3】已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-4】已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 【考点题型五】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例5】已知复数z，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【答案】BD 【分析】设复数，根据复数的模，乘方运算，实部虚部，几何意义等知识逐个对各个选项分析即可. 【详解】设复数，其中，为虚数单位， 对于A：，只能得到，有无数组解满足方程， 而不是只有选项A所述的，故A错误； 对于B：为一个新的复数，若， 表示这个新的复数可以和比较大小，故，解得， 此时，故B正确； 对于C：，若，则， 解得，此时，虚部为，故C错误； 对于D：， 由复数的几何意义可知在复平面内复数对应的点的集合为圆心在坐标原点的单位圆， 而表示该单位圆的点到点的距离， 可知单位圆上的点到点的距离最小为，最大为，所以，故D正确. 故选：BD. 【变式5-1】已知复数z满足，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出复数，再求出其共轭复数，最后计算模长的值. 【详解】已知，则.得到：，则. 所以. 可得：. 根据复数的模的计算公式：则. 故选：D. 【变式5-2】已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数模长的运算公式判断A正确；然后设，则，则，，然后根据根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断CBD的正误. 【详解】对于A，，所以A正确； 设，则，则， 对于B，因为 ，所以B正确； 对于C，因为， ，所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以D正确； 故选：ABD． 【变式5-3】在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据复数在复平面内对应点的坐标写出复数的表达式，再利用复数模的计算公式求出该复数的模. 【详解】已知复数对应的点的坐标为，所以复数. ，则. 故选：B. 【变式5-4】若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【考点题型六】复数代数形式的乘法运算 技巧：（1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①．②．③． 【例6】设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 【变式6-1】若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算和几何意义，计算即可. 【详解】因为在复平面内对应的点位于轴上， 所以，此时满足题设. 故选：C. 【变式6-2】若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】因为在复平面内对应的点位于y轴上，所以，． 故选：C 【变式6-3】设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求得复数，进而利用复数的乘法运算可求. 【详解】因为复数，所以复数的共轭复数为， 所以. 故选：C. 【变式6-4】已知为非负实数，复数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将复数变成标准形式，然后根据复数的模的计算公式求解即可. 【详解】 ，解得． 为非负实数，， 故选：C． 【考点题型七】复数代数形式的除法运算 技巧：（1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【例7】若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解； 【详解】由，解得， 所以． 所以的虚部为1． 故选：C． 【变式7-1】求值： . 【答案】 【分析】利用复数的除法可化简所求复数. 【详解】. 故答案为：. 【变式7-2】已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 【变式7-3】设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数除法求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 【变式7-4】若是纯虚数，则实数为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用复数的除法公式化简复数，在根据复数的特征，即可求解. 【详解】因为是纯虚数，所以， 解得． 故选：D． 【考点题型八】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例8】已知复数是方程的一个根，则等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得，，代入可得结果. 【详解】∵复数是方程的一个根， ∴，故，， ∴. 故选：A． 【变式8-1】在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．若复数（i为虚数单位），则 B．若复数z满足，则 C．已知其中是虚数单位，则实数 D．若关于的方程有实数解，则或 【答案】ACD 【分析】应用复数除法化简复数，再应用复数的乘方运算判断A；特殊值判断B；根据复数的性质有判断C；若实数解为，结合已知有求参数判断D. 【详解】A：，则，对； B：当时，，而，错； C：，则，对； D：若实数解为，则， 故，则，可得或，对. 故选：ACD 【变式8-2】已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据复数的几何意义可判断A；将代入方程可求的值，即可判断B；利用根与系数的关系可求出方程的另一个根，即可判断C；根据两个虚数不能比较大小，可判断D. 【详解】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确； 已知，关于的方程的一个根是， 则，整理得， 所以，；解得：，所以，，故B正确； 由得方程，又知道一个根是， 所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确； 两个虚数不能比较大小，故D错误； 故选：ABC． 【变式8-3】已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【详解】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 【变式8-4】已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】可根据实系数一元二次方程的根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以另外一个根是， 由韦达定理可知，，故. 故选：A． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$