清单03 三角恒等变换（考点清单，知识导图+10个考点清单+题型解读）高一数学下学期湘教版

清单03 三角恒等变换 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【清单02】两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 【清单03】两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【清单04】理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【清单05】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 【清单06】二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 【清单07】两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 【清单08】升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【清单09】辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【清单10】半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【考点题型一】两角和与差的正（余）弦公式 技巧：已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【例1】已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【变式1-1】已知锐角满足，，求的值． 【变式1-2】在中则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】已知、为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】若，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】两角和与差的正切公式 技巧：公式的变形应予以灵活运用． 【例2】设都是第二象限的角，已知 . (1)求的值； (2)求的值. 【变式2-1】在中，若，则的最大值为 ． 【变式2-2】如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】已知，，则= ． 【变式2-4】若，，则 . 【考点题型三】二倍角公式的简单应用 技巧：应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【例3】若，则 . 【变式3-1】通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如： (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求证：是方程的一个根． 【变式3-2】的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)若. （i）求； （ii）若，且的面积为，求的周长. 【变式3-4】已知，则的值为 ． 【考点题型四】给角求值、给值求值、给值求角 技巧：在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【例4】已知，若，则 ． 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D．5 【变式4-2】（1）已知，都是锐角，，，求的值. （2）已知，若在第三象限，求的值. 【变式4-3】已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】利用半角公式化简求值问题 技巧：1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【例5】在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则 . 【变式5-1】若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【变式5-2】已知，其图象一个对称轴为， (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数上有个不同的零点，求的取值范围； (3)若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 【变式5-3】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式5-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 【考点题型六】三角恒等式的证明 技巧：利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【例6】在锐角三角形ABC中，. (1)求证：为定值； (2)求下列各式的取值范围； ①；②. 【变式6-1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【变式6-2】求证： （1）； （2）. 【变式6-3】已知. (1)用a表示的值； (2)用a表示的值； (3)用反证法证明：是无理数. 【变式6-4】（1）已知，，求的值； （2）证明：. 【考点题型七】辅助角公式的应用 技巧:三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【例7】下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知． (1)求的周期； (2)求在的值域； (3)若，求的值． 【变式7-2】已知中，，，． (1)求； (2)当取得最小值时，求BD． 【变式7-3】已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【变式7-4】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 技巧：辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【例8】已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【变式8-1】已知，，. (1)若，求； (2)设，若，求，的夹角. 【变式8-2】设函数． (1)若，，求的值； (2)设，在处取得最大值，求； (3)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围． 【变式8-3】． (1)求的最小正周期； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)设方程在区间内的两解分别为，，求的值． 【变式8-4】已知. (1)将化成的形式； (2)求在区间上的值域. 【考点题型九】利用两角和与差的余弦进行证明 技巧：利用定义证明． 【例9】锐角三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，证明：. 【变式9-1】已知． (1)若，，求的值； (2)证明：． 【变式9-2】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【变式9-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【变式9-4】证明：． 【考点题型十】三角恒等变换在实际问题中的应用 技巧：解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【例10】如图，、是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点． (1)求（结果用表示）； (2)若，求的取值范围． 【变式10-1】扇形的中心角为，所在圆半径为，它按如图I、图II两种方式有内接矩形.已知图I：矩形的顶点在扇形的半径上，顶点在圆弧上，顶点在半径上，设.图II：点是圆弧的中点，矩形的顶点在圆弧上，且关于直线对称，顶点分别在半径上，设（    ） A．图I矩形面积最大值是 B．图I矩形面积最大值是 C．图II矩形面积最大值是 D．图II矩形面积最大值是 【变式10-2】如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    【变式10-3】如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【变式10-4】如图，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上，则矩形CDEF面积的最大值为 . 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 三角恒等变换 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【清单02】两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 【清单03】两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【清单04】理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【清单05】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 【清单06】二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 【清单07】两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 【清单08】升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【清单09】辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【清单10】半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【考点题型一】两角和与差的正（余）弦公式 技巧：已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【例1】已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据同角三角函数基本关系得到，，然后利用和差公式计算即可. 【详解】因为均为锐角，所以，，， 所以， 因为， 所以（舍去），， . 故选：C. 【变式1-1】已知锐角满足，，求的值． 【答案】 【分析】先由题设求得的值，再结合利用两角差的余角公式，代入即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为，, 所以， , 所以 . 【变式1-2】在中则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据正弦值的大小分析可得，进而求，再根据结合两角和差公式运算求解，注意的符号. 【详解】因为，即，可知， 且，则， 若，可得； 若，可得； 综上所述：的值为或. 故选：D. 【变式1-3】已知、为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为、为锐角，即，，所以，， 因为，， 所以，， ， 所以， . 故选：D. 【变式1-4】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 【考点题型二】两角和与差的正切公式 技巧：公式的变形应予以灵活运用． 【例2】设都是第二象限的角，已知 . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角三角函数的关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为都是第二象限的角，由可得， 由可得， 则. （2）因为，， 则. 【变式2-1】在中，若，则的最大值为 ． 【答案】/0.8 【分析】由题干条件可得，利用正弦定理进行边化角，结合三角形内角和为，将得 转化为关于角的等量关系，再分类讨论发现当时取最大值. 【详解】记的内角所对的边分别为，则题干条件为， 由正弦定理可得，因为在中有， ，即， 若，则，此时为等腰直角三角形，； 同理若，此时也为等腰直角三角形，； 若，且由可知，否则与前提条件不符， 上述等式两边除以，得，又，得， 因为， 当且仅当时取等号，此时取得最大值，且有， 因为正弦函数和正切函数在都是单调递增函数，所以此时最大， 所以也取得最大，由同角的三角函数关系可算得此时最大值为， 大于前面两种情况的，所以最大值为. 故答案为：. 【变式2-2】如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出和的值，再由正切函数的两角和的正切公式即可得结果. 【详解】设正方体边长为1，由图可得，， 则， 故选：B. 【变式2-3】已知，，则= ． 【答案】 【分析】利用差角的正切公式计算得解. 【详解】由，， 得. 故答案为： 【变式2-4】若，，则 . 【答案】 【分析】 利用两角差的正切公式即可得到. 【详解】 由两角差的正切公式. 故答案为：. 【考点题型三】二倍角公式的简单应用 技巧：应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【例3】若，则 . 【答案】1 【分析】根据二倍角公式，以及两角和差的正余弦公式，化简为的式子，再求值. 【详解】由题意可得：. . 故答案为：1 【变式3-1】通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如： (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求证：是方程的一个根． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用和差公式和二倍角公式整理； （2）利用余弦的三倍角公式得到，然后利用正弦的三倍角公式和和差公式计算； （3）通过计算证明. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 即，可得， 因为， 所以， 整理得， 因为，所以， 由（1）得， . （3） ， 所以是的一个根. 【变式3-2】的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及正弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 【变式3-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)若. （i）求； （ii）若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）16 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式，即可证明. （2）（i）结合（1）中的结论，结合正弦定理可得，再用余弦定理可求角. （ii）利用三角形的面积公式，可得，再结合余弦定理，可求，进而可求的周长. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以原式左边右边，得证. （2）（i）由（1）可得. 又由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，得. （ii）由题知，由，得. 又由余弦定理，可得， 即，所以. 所以，故的周长为16. 【变式3-4】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据对数运算法则求出，将化为，再利用齐次式弦化切即可求得答案. 【详解】， . 故答案为：. 【考点题型四】给角求值、给值求值、给值求角 技巧：在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【例4】已知，若，则 ． 【答案】 【分析】由，即可求解； 【详解】若，则， 且，则， ， 可得 ， 所以. 故答案为： 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式4-2】（1）已知，都是锐角，，，求的值. （2）已知，若在第三象限，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值． （2）利用两角和的正切公式，可求得，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，得到三角齐次式后弦化切，将代入，即可得到答案. 【详解】（1）因为，都是锐角，，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由， 得， 解得，或. 又 ， 若在第三象限，则， 则上式， 所以， 【变式4-3】已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的余弦公式计算即可得解. 【详解】由，，则，， 故， ， 故 . 故选：C. 【变式4-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式，二倍角公式得到，代入求解. 【详解】 故选：D 【考点题型五】利用半角公式化简求值问题 技巧：1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【例5】在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则 . 【答案】 【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出，再根据余弦定理可求解. 【详解】由面积相等，可得， 即，化简得， 又. 由余弦定理可得. 故答案为：. 【变式5-1】若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 【变式5-2】已知，其图象一个对称轴为， (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数上有个不同的零点，求的取值范围； (3)若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化函数解析式为：，再根据函数对称轴确定的值，将看做整体，即可求解函数的单调递减区间； （2）将看做整体，结合已知条件即可确定的取值范围； （3）将看做整体，结合函数的最小值，确定，即可求解不等式的解集. 【详解】（1）根据已知有：， 因为图象一个对称轴为，所以， 解得，又因为，所以， 所以； 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为：. （2）因为，所以， 又因为函数上有个不同的零点， 令，即， 根据题意有：，即，解得， 所以. （3）因为，所以， 所以，解得， 所以， ，即，所以， 所以，解得， 所以使成立的的取值集合为：. 【变式5-3】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 【变式5-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 【答案】// 【分析】首先利用半角公式将原式化为关于的等式，再和余弦定理比对，得到等量关系解出角. 【详解】对于等式左边，；对于等式右边，由于， 代入等式整理得，由余弦定理可得， 故，因为，所以，因为，所以． 【考点题型六】三角恒等式的证明 技巧：利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【例6】在锐角三角形ABC中，. (1)求证：为定值； (2)求下列各式的取值范围； ①；②. 【答案】(1)证明见解析； (2)；. 【分析】（1）由两角差的正弦公式结合题意可得答案； （2）①由（1）结合余弦二倍角公式可得，然后由三角形为锐角三角形，结合余弦函数单调性可得答案；②由（1）及两角和的正弦公式可得，然后由正弦函数单调性及单调性可得答案. 【详解】（1）因， 则 得， 则或（排除），则； （2）①由（1），. 又，结合三角形ABC为锐角三角形， 则，因在上单调递减， 则.令，则， 则. 因函数在上单调递增，则. 即. ②由， 则. 注意到，， 则, 由①，，又在上单调递增，则. 又在上单调递增，则在上单调递减. 故. 【变式6-1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用和差角的正弦公式及弦化切推理得证. （2）利用二倍角公式及辅助角公式推理得证. 【详解】（1） ， 所以原等式成立. （2）， 所以原等式成立. 【变式6-2】求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式证明即可； （2）结合同角三角函数的基本关系及二倍角公式求证即可. 【详解】（1） . （2）. 【变式6-3】已知. (1)用a表示的值； (2)用a表示的值； (3)用反证法证明：是无理数. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及平方关系、商数关系有，即可得； （2）由二倍角正切公式得，再由和角正切公式求解； （3）假设为有理数，应用三角恒等变换依次得到为有理数，最后应用和角正切公式得到为有理数，得到矛盾，即可证. 【详解】（1）由； （2）由，则； （3）假设为有理数，则也是有理数， ， 所以也为有理数，同理可得为有理数， 由也是有理数，而为无理数， 所以，与假设有矛盾，则是无理数. 【变式6-4】（1）已知，，求的值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知及平方关系有且，结合二倍角余弦公式列方程求； （2）应用二倍角正余弦公式化简，即可证. 【详解】（1）由，，则且， 由（负值舍）. （2），得证. 【考点题型七】辅助角公式的应用 技巧:三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【例7】下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A，利用余弦二倍角公式求解；对B，通分后利用两角差的正弦公式，二倍角正弦公式化简；对C，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简；对D，利用两角和的正切公式化简计算. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以， 即，故D正确. 故选：BCD. 【变式7-1】已知． (1)求的周期； (2)求在的值域； (3)若，求的值． 【答案】(1)，且 (2) (3) 【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式化简即可； （2）将看作整体，求出其范围，然后求出的范围即可得出答案； （3）根据条件得出，然后结合得出，利用两角和差的正弦公式和二倍角公式即可求解. 【详解】（1）, 所以的最小正周期为，的周期为，且； （2）当，， ， ； （3）， ，， ，，， 【变式7-2】已知中，，，． (1)求； (2)当取得最小值时，求BD． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式即求解； （2）设，由余弦定理可得，，进而利用基本不等式可求最小时，的长. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 解得； （2）设，由，得， 由，可得 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得，即， ， 当且仅当，即等号成立， 所以当取得最小值时，. 【变式7-3】已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【详解】（1） ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； （2）对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 【变式7-4】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二倍角公式可判断选项AB；根据辅助角公式及诱导公式可判断选项C；根据两角差的正切公式可判断选项D. 【详解】，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D正确. 故选：CD. 【考点题型八】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 技巧：辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【例8】已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】化简函数解析式为，利用余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为. 对于A选项，当时，. 因为在上单调递增，而, 故函数在上单调递增，故A错； 对于B选项，当时，. 因为在上单调递减，而, 故函数在上单调递减，故B对； 对于C选项，当时，. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上先增后减，故C错； 对于D选项，当时，. 因为在上单调递减，在上单调递增， 故函数在上先减后增，故D错. 故选：B. 【变式8-1】已知，，. (1)若，求； (2)设，若，求，的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及数量积的运算律求出； （2）依题意可得，，将两式两边平方结合两角和差余弦公式及夹角定义得解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又因为 所以. （2）因为，且， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 即，即， 所以，，所以， 所以，的夹角. 【变式8-2】设函数． (1)若，，求的值； (2)设，在处取得最大值，求； (3)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系即可求解； （2）由可得函数关于直线对称，又当时，，其中，，进而存在满足题意，利用诱导公式及二倍角余弦公式可得，由对称性可知还存在，同理可得，从而即可得答案； （3）由，可得函数为周期函数，进而根据周期性和对称性可将原问题转化为关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，然后根据三角函数的图象与性质可得，解不等式即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 结合， 可得： ， 解得：或（舍去）， 所以 所以， 所以 （2）解：因为， 所以函数关于直线对称， 因为当时，，其中，， 所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值， 所以， 所以，， ， 由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值， 所以，， 综上，； （3）解：因为， 所以函数为周期函数，周期为， 所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解， 又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解， 当时，，，， 所以， 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 【变式8-3】． (1)求的最小正周期； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)设方程在区间内的两解分别为，，求的值． 【答案】(1) (2)对称轴为：，对称中心为： (3) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，再利用周期公式可求得最小正周期； （2）由整体代入法即可求解； （3）由可得，从而由题意可得且，再结合范围可得，进而可求出的值 【详解】（1）由题意，， 则的最小正周期为； （2）由， 可得：， 所以对称轴为：， 由，可得：， 所以对称中心为：； （3）由（1）知，所以方程可化为：， 由为方程的两个根可得，且， 因为，所以， 则在区间内，解得，即， 所以 【变式8-4】已知. (1)将化成的形式； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式和降幂公式，辅助角公式化简即可； （2）将看作整体，结合，即可得出答案. 【详解】（1） ； （2），所以， 所以在区间上的值域为. 【考点题型九】利用两角和与差的余弦进行证明 技巧：利用定义证明． 【例9】锐角三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）等式左侧通分后利用两角和的余弦公式及三角形内角和定理可得，结合，可得，再根据，即可求解角. （2）由（1）知，由余弦定理及三角形面积公式即可证明. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为，所以，所以. 因为，所以. （2）由（1）知，所以由余弦定理得， 即①. 又的面积为，所以②. 由①②得，则，所以. 【变式9-1】已知． (1)若，，求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二倍角公式求得，利用平方的方法求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得的值. （2）利用分析法，结合三角恒等变换的知识证得不等式成立. 【详解】（1）． ， ， ． . （2）要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证，证毕． 【变式9-2】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角和的正弦公式展开，分子分母同时除以即可得证． （2）利用两角和公式对等式左边进行展开，化简整理进而利用同角三角函数基本关系，进一步化简整理证明原式． 【详解】（1）左边（分子分母同时除以． ， 右边， 从而得证． （2）左边 右边． 从而得证． 【变式9-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简； （2）运用两角和的正切公式证明即可． 【详解】（1） ； （2） 【变式9-4】证明：． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解． 【详解】证明： ． 【考点题型十】三角恒等变换在实际问题中的应用 技巧：解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【例10】如图，、是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点． (1)求（结果用表示）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，结合三角函数值域从而得解； 【详解】（1）； （2）当时，， ． 设，由条件知：， ∴ ， ∵，则， ∴，∴. 【变式10-1】扇形的中心角为，所在圆半径为，它按如图I、图II两种方式有内接矩形.已知图I：矩形的顶点在扇形的半径上，顶点在圆弧上，顶点在半径上，设.图II：点是圆弧的中点，矩形的顶点在圆弧上，且关于直线对称，顶点分别在半径上，设（    ） A．图I矩形面积最大值是 B．图I矩形面积最大值是 C．图II矩形面积最大值是 D．图II矩形面积最大值是 【答案】AC 【分析】分别用角、表示出矩形的面积，，再结合三角函数的性质，求得最大值即可判断选项. 【详解】如图I所示，在直角中， 由，扇形的中心角为，所在圆半径为， 可得，. 又， 所以 ， 当，即时， 矩形的面积最大，最大值为. 如图II所示，设直线分别交于点， 由，扇形的中心角为，所在圆半径为， 则，于是， 又， 所以 ， 当时，即时，矩形的面积最大，最大值为. 故选：AC. 【变式10-2】如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值. 【详解】设点，由则， 所以矩形的面积 ， 由，，， ，当且仅当时取到最大值. 故矩形的面积的最大值为 故答案为： 【变式10-3】如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助三角代换求出最大值. 【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 【变式10-4】如图，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上，则矩形CDEF面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简可得，由和三角函数的最值可得． 【详解】解：设，， 则，，，， 所以， 矩形面积 ，， 当即，即为弧的中点时， 取最大值，此时． 故答案为：. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$