专题03 三角恒等变换（易错必刷50题10种题型专项训练）高一数学下学期湘教版

专题03 三角恒等变换 （易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 题型二　两角和与差的正切公式 题型三　二倍角公式的简单应用 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 题型五　利用半角公式化简求值问题 题型六　三角恒等式的证明 题型七　辅助角公式的应用 题型八　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型九　利用两角和与差的余弦进行证明 题型十　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 1．（2025·新疆·二模）已知，则 ． 2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知，． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 4．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在中，已知，. (1)求证：是钝角； (2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. ①；②；③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 5．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知为锐角，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型二　两角和与差的正切公式 6．（2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知角是第二象限角，．为第二象限角， (1)求的值： (2)求的值 (3)求的值． 8．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 9．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）（1）求值： （2）化简：. 题型三　二倍角公式的简单应用 11．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）（1）已知平面上三点，若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）求函数的值域 14．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 15．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 16．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 17．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）（1）已知α，β均为锐角，且，，求的值； （2）已知，点为角α终边上的一点，，求角β． 18．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 20．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五　利用半角公式化简求值问题 21．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 22．（2025高三下·全国·专题练习）当是第一象限角时，．( ) 23．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 24．（24-25高二下·云南·开学考试）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 题型六　三角恒等式的证明 26．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，设. (1)证明：； (2)证明：是无理数. 27．（24-25高三上·河南·期末）设的三个内角分别为A，B，C，函数 (1)若，证明： (2)证明：当且仅当，，中至少有两个大于 (3)求出所有大于3的n的值，满足：对任意锐角三角形 ABC，都恒大于0或恒小于 28．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知内角的对边分别为，． (1)证明：； (2)求的最小值． 29．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）如图所示，在的边外侧作，使得四点在同一平面内. (1)若，证明：为一个定值； (2)若锐角中内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 30．（24-25高三上·重庆·期中）在中，已知，. (1)证明：； (2)若，求面积的最大值. 题型七　辅助角公式的应用 31．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则（    ） A．的最大值为1 B．关于点对称 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 32．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 . 33．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 34．（2025高三下·北京·专题练习）在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 35．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，设，则等于 . 题型八　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 36．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 37．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值． (3)用“五点法”画出在一个周期内的图象． 38．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 39．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，若有且仅有3个解，则的取值范围为 ． 40．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，其图象一个对称轴为， (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数在区间上有零点，求m的取值范围； (3)若在上最小值为1，求使不等式成立的x的取值集合． 题型九　利用两角和与差的余弦进行证明 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：. 42．（23-24高一下·山东青岛·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)证明：； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）． （参考数据：） 43．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ．    44．（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 45．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：． 题型十　三角恒等变换在实际问题中的应用 46．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 47．（24-25高三下·四川成都·开学考试）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高三上·浙江宁波·期末）（1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 49．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为 ． 50．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点和，已知点的坐标为. (1)若，求点的坐标； (2)若将角的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且为锐角，，求的大小. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角恒等变换 （易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 题型二　两角和与差的正切公式 题型三　二倍角公式的简单应用 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 题型五　利用半角公式化简求值问题 题型六　三角恒等式的证明 题型七　辅助角公式的应用 题型八　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型九　利用两角和与差的余弦进行证明 题型十　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 1．（2025·新疆·二模）已知，则 ． 【答案】-1 【分析】利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】将平方可得①， 将平方可得②， 将①②两式相加可得， 所以. 故答案为：-1 2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先说明“”是“”成立的充分不必要条件(易于验证充分性，举反例说明非必要性），然后利用逆命题的关系得到结论. 【详解】当，，成立， 取，，成立， 所以“”是“”成立的充分不必要条件， 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 3．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知，． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的余弦公式可求得的值； （2）求出，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）因为，，则， 由二倍角公式可得， ， 因此，. （2）因为，，则， 所以，， 所以， . 4．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在中，已知，. (1)求证：是钝角； (2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. ①；②；③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，即可证得结论； （2）利用正弦定理分析可知，选择①②不符合题意；选择①③，求出的值，利用正弦定理求出的值，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用三角形的面积公式可求出的面积；选择②③，利用正弦定理求出的值，求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得. 又在中，， 所以， 所以， 即， 又、，所以，，所以B为钝角. （2）选择①②，则，，， 由正弦定理得，则，故为直角，与题意矛盾； 选择①③，即，，. 由B为钝角，得. 由正弦定理，得，解得. 又为锐角，得， 所以. 所以的面积. 选择②③，即，，， 由正弦定理得，解得. 由，，及为钝角，为锐角，得，， 所以， 所以. 所以的面积. 5．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知为锐角，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可先利用三角函数的两角和公式对已知条件进行化简，然后得到关于的表达式，最后利用基本不等式求出的最大值. 【详解】因为， 已知，则有： ， 移项可得：， 即，由于， 两边同时除以，得到， 则 令（，因为为锐角），则. 根据均值不等式对于有： 当且仅当，即时等号成立. 所以，即的最大值为. 故选：A. 题型二　两角和与差的正切公式 6．（2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知利用两角和的正切公式求得，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵，解得， ∴. 故选：A． 7．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知角是第二象限角，．为第二象限角， (1)求的值： (2)求的值 (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)-3 【分析】（1）利用平方关系计算可得答案； （2）求出，再由正切的二倍角公式计算可得答案； （3）由平方关系求出可得值，代入正切的两角和公式计算可得答案． 【详解】（1）因为角是第二象限角，， 所以； （2）由（1）知，， 所以，； （3）为第二象限角，， 所以，， 所以． 8．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正弦公式即可求解； （2）由同角三角商的关系及两角和的正切公式即可求解； 【详解】（1）因为角是第二象限角，， 所以， 所以； （2）为第二象限角，， 所以， ， 所以 9．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正弦的和差角公式即可判断A，由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B，， 故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）（1）求值： （2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）可利用两角和的正切公式进行变形求解； （2）需要先将正切化为正弦和余弦，再结合三角函数的特殊值和两角差公式进行化简. 【详解】（1）因为， 所以. 则 （2）将，代入式子可得： 根据辅助角公式可得. 所以原式 根据二倍角公式，则. 所以. 题型三　二倍角公式的简单应用 11．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角差的正弦公式化简题设得，再结合诱导公式和倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 故选：A． 12．（河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最值求，再结合范围求出，再利用二倍角公式求即可. 【详解】由题意可知，得， 解得，因，则， 因，解得或（舍） 故 故选：D 13．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）（1）已知平面上三点，若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）求函数的值域 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求出值. （2）利用二倍角的余弦公式，结合二次函数求出值域. 【详解】（1）由，得， 由A，B，C三点共线，得，则，即， 所以或. （2）函数， 而，则当时，；当，， 所以函数的值域为. 14．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 【答案】/ 【分析】在等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值. 【详解】在等式两边平方得， 解得. 故答案为：. 15．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理有，即，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理有：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C. 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 16．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算得解. （2）由（1）的结论，利用齐次式法计算得解. （3）由（1）及已知求出，再确定角的范围即可. 【详解】（1）由，得. （2）由（1）得. （3）依题意，， 由，，得，，而，则， 所以. 17．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）（1）已知α，β均为锐角，且，，求的值； （2）已知，点为角α终边上的一点，，求角β． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；（2）由三角函数的定义可得的值，再由，结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为α，β均为锐角，，， 所以，， 所以． 由，α，β均为锐角，则，所以． （2）∵，∴，∴，． 又，∴． ∵，∴， ∴， ∴ ． ∵，∴． 18．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 19．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 20．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 题型五　利用半角公式化简求值问题 21．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D； 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 22．（2025高三下·全国·专题练习）当是第一象限角时，．( ) 【答案】错误 【分析】举反例即可判断命题错误. 【详解】当时，是第一象限角，而为第三象限的角， 则，，故命题错误. 故答案为：错误 23．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 24．（24-25高二下·云南·开学考试）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简得到，整体法得到，结合图象求出函数值域. 【详解】 ， 当时，，故， 故的值域为. 故选：A 25．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 题型六　三角恒等式的证明 26．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，设. (1)证明：； (2)证明：是无理数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设公式及二倍角公式证明即可； （2）由（1）结合可得，进而结合高次整式方程的有理根定理求证即可. 【详解】（1）由，， 则， . （2）由（1）知，， 又，则， 即， 由于上述方程可能的有理根为，， 又，且当时，， 则方程无有理根， 则为无理数，即为无理数. 27．（24-25高三上·河南·期末）设的三个内角分别为A，B，C，函数 (1)若，证明： (2)证明：当且仅当，，中至少有两个大于 (3)求出所有大于3的n的值，满足：对任意锐角三角形 ABC，都恒大于0或恒小于 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）根据题意，由三角函数恒等变换和正弦函数的性质代入计算，即可得结果； （2）先证当时，成立，然后分情况讨论即可得证； （3）根据题意，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当为等边三角形时取等号. （2）先证明：当时，有 因为 ， 第一个等号当且仅当与同号时成立， 第二个等号当且仅当时成立， 所以成立. ①若，，都小于或等于0，则 ②若，，中有两个小于或等于0， 不妨设，，， 则 ③若，，中有两个大于0，不妨设，，，则，，所以； ④若，，都大于0，则 综上，原命题得证. （3）当时，不妨设，由于为锐角三角形，故， 所以有，即， 由（2）得 当时，令，则x在区间内变化的过程中， 由于区间满足， 而函数在每一个周期内，函数取正值时自变量对应的区间长度为， 所以，，使得， 故对于，有， 对于，有 所以当时，不存在n，使得对所有的锐角三角形ABC都取值同号. 综上所述 【点睛】关键点睛：关键在于先证当时，成立，然后分类讨论即可. 28．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知内角的对边分别为，． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证. （2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，由正弦定理得， 则 于是或（不成立），所以. （2）由（1）知，，， 则 ， 由，得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 29．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）如图所示，在的边外侧作，使得四点在同一平面内. (1)若，证明：为一个定值； (2)若锐角中内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在、中，利用余弦定理计算化简可得，整理即可证明； （2）由题意，根据余弦定理可得，利用正弦定理和两角差的正弦公式可得，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 所以由余弦定理得 ， 在中，， 所以由余弦定理得 ， 所以， 化简得， 所以为一个定值1. （2）由，可知， 则，又， 则， 所以， 所以， 所以 ， 又， 则，得， 所以， 故，即的取值范围为. 30．（24-25高三上·重庆·期中）在中，已知，. (1)证明：； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助三角恒等变换公式与三角形内角即可得证； （2）由（1）中所得结合同角三角函数基本关系与可得，再借助面积公式结合余弦定理与基本不等式即可得解. 【详解】（1）由, 则有， 即 即，即， 故； （2）由，则， 化简得，即或， 由，则，则，故，即， 则由余弦定理可得， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 题型七　辅助角公式的应用 31．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则（    ） A．的最大值为1 B．关于点对称 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】由两角和的余弦公式及辅助角公式得到，进而逐项判断即可. 【详解】因为， 所以函数的最大值为1．所以选项A正确； 由，得，即的对称中心是，． 所以选项B错误； 由，得， 即函数的单调递增区间为，． 所以选项C错误； ．所以选项D正确． 故选：AD． 32．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式得到，最后借助辅助角公式求出最大值. 【详解】 由余弦定理知，所以， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以. 设的面积为S，所以， 令，可得， 当且仅当时，上式等号成立， 即有，解得或（舍去）， 则，所以， 故面积的最大值为. 故答案为：. 33．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角恒等变换得到，数形结合得到，求出答案. 【详解】， 当时，， 由于在上单调递增， 故令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：C 34．（2025高三下·北京·专题练习）在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）若选条件①，利用正弦定理面积公式求出，再利用余弦定理求出即可求解；若选条件②，先利用等腰三角形性质求出，再利用三角形内角和公式求出，最后余弦定理确定即可求解；若选条件③，先利用已知条件结合余弦定理求出，发现三角形不唯一不合要求. 【详解】（1）因为， 由辅助角公式有：， 即，因为，所以， 所以，解得. （2）选条件①：的面积为， 由正弦定理有：， 即，， 由余弦定理有：，即， 解得：，所以的周长为. 选条件②：， 因为，由，所以为等腰的三角形，所以， 因为，所以， 由余弦定理有：，即， 解得，所以的周长为. 选条件③：， 由由余弦定理有：，即， 整理得：，解得或， 此时不唯一，所以条件③不合要求. 35．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，设，则等于 . 【答案】/ 【分析】应用诱导公式及辅助角公式得，结合题设有，即可求函数值. 【详解】， ， ， ， ， . 故答案为： 题型八　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 36．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出周期及单调递增区间. （2）求出函数在上的值域即可. 【详解】（1）依题意，， 所以函数最小正周期； 由，解得 所以的单调递增区间为. （2）当时，，则， 函数的值域为，方程，， 由方程在上有解，得， 所以实数的取值范围是. 37．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值． (3)用“五点法”画出在一个周期内的图象． 【答案】(1) (2) (3)图象见解析 【分析】（1）先利用两角和与差的正弦公式化简函数，再根据正弦函数的单调性求单调递增区间； （2）先由已知求出的值，再结合角的范围求出的值，最后利用两角差的余弦公式求出的值； （3） 用“五点法”找出一个周期内使函数取得特殊值的五个关键点，然后描点连线画出函数图象. 【详解】（1）运用和角差角和辅助角公式对进行化简：   然后，令 解不等式：，即 所以，函数的单调递增区间为. （2）已知，即，则. 因为，所以，在这个区间内. 可得： 则 （3）用“五点法”画出在一个周期内的图象，函数的周期. 令，，，，，分别求出和的值： 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 列表如下： 描点，， ，，，然后用光滑曲线连接这些点，就得到在一个周期内的图象. 38．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】D 【分析】先把化成的形式，根据图象求出函数的解析式，分析函数的性质，逐项判断即可. 【详解】. 根据图象可得：. 由，所以. 所以. 对A：因为，所以是函数的对称中心，故A正确； 对B：由，，.所以函数的单调增区间为，.故B正确； 对C：因为，当时，. 因为函数在上有两个零点，所以，故C正确； 对D：因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，故D错误. 故选：D. 39．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，若有且仅有3个解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先化简函数解析式，结合三角函数性质将方程有且仅有3个解转化为有且仅有3个解，利再用正弦函数的图象性质即可求解. 【详解】, 因为，，所以， 因为，所以，则， 要使有且仅有3个解，则有且仅有3个解， 所以由正弦函数图像性质可得，解得. 故答案为：. 40．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，其图象一个对称轴为， (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数在区间上有零点，求m的取值范围； (3)若在上最小值为1，求使不等式成立的x的取值集合． 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简，再利用整体代入法求解单调递减区间即可. （2）将零点问题转化为函数交点问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. （3）利用给定条件得到，再结合正弦函数性质求解不等式，得到取值集合即可. 【详解】（1）由已知得， ， 因为图象一个对称轴为，所以， 解得，又因为，所以． 所以，令， 解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）因为，所以， 又因为函数在区间上有零点， 所以令，即， 则和有交点即可， 因为，所以， 则，即， 解得，则. （3）因为，所以， 则，解得， 故，而， 即，得到， 则，解得， 所以使成立的x的取值集合为 题型九　利用两角和与差的余弦进行证明 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用两角和与差的正弦、余弦展开式化简可得答案. 【详解】 . 42．（23-24高一下·山东青岛·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)证明：； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据最低点坐标、初相和角速度可确定函数解析式； （2）由，，利用两角和差余弦公式可整理得到结论； （3）由点相对于点始终落后，结合（2）中结论可整理得到，根据正弦函数最值的求解可求得结果. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系， 设时，游客甲位于点； 以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得：. （2），， . （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为， 则甲、乙距离地面的高度差， 由（2）得：， ，， 当或，即或时，， 甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为． 43．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ．    【答案】 【分析】由面积之比得到，不妨设，，再由锐角三角函数推导出，，将两式相乘结合诱导公式及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为小正方形与大正方形的面积之比为，所以， 设，则，又， 不妨设，，所以，， 所以， 又，，所以， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 44．（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）由两角和与差的余弦公式，结合条件求证即可． 【详解】（1） ， 即； （2） ， 即． 45．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式化简即得. 【详解】 . 所以. 题型十　三角恒等变换在实际问题中的应用 46．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 47．（24-25高三下·四川成都·开学考试）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解. 【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为， 由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于， 又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误； 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下： ， 令，即，解得， 又，可得， ，故D正确； ， ，故C错误； 又，解得，故B错误； 故选：D. 48．（24-25高三上·浙江宁波·期末）（1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据，利用两角和的、差的正弦公式可证明结论. （2）过作垂直于轴，交轴于，结合图形表示可证明结论. （3）根据三角形的性质转化角，利用正弦定理结合（1）中等式可证明结论. 【详解】（1）由题意得，， ， 两式相加得，． （2）由题意得，线段的中点的坐标为． 如图，过作垂直于轴，交轴于，则，． 在中，，     在中，， ∴，即． （3）设，，，则，， ∴， 在中，由正弦定理得，，∴， 在中，由正弦定理得，，∴， ∴， 由（1）式，得． 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是根据三角形性质表示各角，利用正弦定理表示和，借助（1）中等式证明结论. 49．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，，得出，，，根据基本不等式求解即可． 【详解】设，，，， 则，，， 整理得， 因为 当且仅当等号成立，解得或， 因为， 所以，则当时，的最大值为， 故答案为：． 50．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点和，已知点的坐标为. (1)若，求点的坐标； (2)若将角的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且为锐角，，求的大小. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意求出，再结合任意角的三角函数的定义与诱导公式求解即可； （2）利用二倍角的正切公式求得，利用同角的三角函数求得，利用两角和的正切公式求得，进而求得的大小. 【详解】（1）因为点在单位圆上，利用三角函数的定义，解 由三角函数的定义知， 因为，且，所以 所以 故 （2）因为，所以， 因为，且，所以 因为，，所以， 所以， 因为，且，所以； 因为， 且， 所以. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$