专题02 平行线的判定与性质（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 平行线的判定与性质 题型概览 题型01平行线的判定 题型02利用平行线的性质求角度 题型03利用平行线的性质解决三角尺问题 题型04利用平行线的性质进行计算与证明 题型05利用平行线的性质探究角度之间的关系 ( 题型01 ) 平行线的判定 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，请你添加一个条件，使得，条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理可直接进行求解． 【详解】若添加，可由“内错角相等，两直线平行”判定； 若添加，可由“同旁内角互补，两直线平行”判定； 若添加，可由“同位角相等，两直线平行”判定． ∴可以添加的条件为或或． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24七年级下·北京·期中）如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④ 能判定的有①④ 故答案为：①④． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定求解作答即可． 【详解】解：由题意知，∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24七年级下·北京·期中）如图，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； C、由，可以由同位角相等，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图，，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据角平分线的定义，证明，即可解答，熟知“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键． 【详解】证明：平分， ． ， ， ． ( 题型02 ) 利用平行线的性质求角度 6．（23-24七年级下·北京·期中）的两边分别平行于的两边，且的度数比的度数的2倍少，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，分两种情况，画出图形，根据平行线的性质结合的度数比的度数的2倍少，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴； 如图②，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴∠A的度数是或． 故答案为：或． 7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，，平分，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·北京·期中）如下图，直线a，b被直线c所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等，两条交叉直线的对顶角相等，先根据图形得到对顶角相等，再根据两直线平行内错角相等，可得到结果，掌握对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：由图可得的对顶角和的对顶角互为内错角， ∵， ∴的对顶角和的对顶角互为内错角，并且相等， ∵对顶角相等， 则， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·北京·期中）已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角度，与角平分线有关的运算．熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 首先求出，然后根据角平分线的概念得到，进而利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 10．（23-24七年级下·北京·期中）光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生改变．如图，两束平行的光线从烧杯底部斜射入水面，然后折射到空气中，由于折射率相同，射入空气后的两束光线也平行．若，，则 °， °． 【答案】 45 58 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、同位角以及同旁内角，解题的关键是：①能够找出一个角的同位角以及同旁内角；②熟悉各平行线的性质． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45；58． ( 题型03 ) 利用平行线的性质解决三角尺问题 11．（23-24七年级下·北京首师大附属中学朝阳学校教育集团·期中）一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质得出，然后再求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 12．（23-24七年级下·北京第三十五中学·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键． 根据平行线的性质，平角等于180°对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，．故（1）（2）正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故（3）正确； ∵． ∴，故（4）正确， 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 13．（23-24七年级下·北京·期中）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，平行线的性质，根据、即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得： ∵ ∴ 故答案为： 14．（23-24七年级下·北京·期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．    (1)如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°； (2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）； (3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】本题考查平行线性质与判定，解题关键是熟练掌握并灵活运用平行线的性质． （1）根据两直线平行，同位角相等证出，即，又因为，得到，再等量代换，得出，即可解答； （2）过点F作，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型问题； （3）由（2）方法二证明，设，再根据共顶点的，角，用含α的式子表示出，，再根据即可解答． 【详解】（1）如图①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：80； （2）过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，， 理由如下： ∵分别平分， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由②方法可得， 即． ( 题型04 ) 利用平行线的性质进行计算与证明 15．（23-24七年级下·北京·期中）已知：如图，中，D，G为上的两点（不与B，C重合），连接，过点D作交于点E，过点G作交于点F． (1)依题意补全图形； (2)请你判断和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）由根据平行线的性质得到，由可得，则，最后根据等量代换即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：， 证明如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 16．（23-24七年级下·北京·期中）完成下面的证明． 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：∵，， ∴，（　　）． ∴． ∴　　（　　）． ∴．（两直线平行，同位角相等）． ．（　　）． 又∵， ∴　　． ∴平分． 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； 【分析】本题考查了垂直、平行线的判定与性质、角平分线，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，然后根据等量代换可得，最后根据角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，（垂直的定义）． ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴．（两直线平行，同位角相等）． ．（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴平分． 故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；． 17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，平分，且． (1)求证：； (2)H是直线上一动点（不与点D重合），平分．写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的定义以及，则，故同旁内角互补，两直线平行，即可作答． （2）先得出再进行分类讨论，即点H在点D的左边时或点H在点D的右边时，以及运用数形结合思想，且结合角的和差运算，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵平分． ∴ 如图1，点H在点D的左边时， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，点H在点D的右边时，， ， ∴ ∵， ∴， ∴ 综上所述，或 18．（23-24七年级下·北京东城·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点作，则，由平行线的性质得到，， 设，，由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到；证明得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解；如图，过点作， ∵， ， ，， 设，， 、分别平分、， ，， 又， ， 又，， ∴ ， ， ， ． 19．（23-24七年级下·北京·期中）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点．    (1)如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系； (2)当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上． ①如图2，若平分，求证：平分； ②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形． 【答案】(1)作图见解析， (2)①证明见解析；②，作图见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及性质， （1）补全图形如图1所示，此时，由平分，且，可得，由，可得，即可得证； （2）①由，得，，，由平分，得，再由，可得结论； ②由，可得，过点作，得，，然后由，可得出结论； 解题的关键是熟知角平分线的定义和性质． 【详解】（1）解：补全图形如图1所示，此时， 理由如下： ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）①证明：∵， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②解：如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过点作， ∴，， ∵， ∴， 解得：．    ( 题型04 )利用平行线的性质探究角度之间的关系 20．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可； （2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2，则，由平分，可得，由，可得；当时，如图3，作，则，同理可得，，，，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）①解：过点P作，如图1，则，    ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ②解：由题意知，分当时，当时，两种情况求解； 当时，如图2，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，如图3，作，则，    同理可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 21．（23-24七年级下·北京·期中）已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）①根据题意作图即可；②过点C作．则，由平行线的性质得到，，由垂直的定义得到，则，即； （2）分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 过点C作． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，当点E在点B右边时， 同（1）②可得 如图所示，当点E在点B左侧时，过点C作，则 ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在点B右侧时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或或． 22．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知，平分，，，有下列结论：①；②；③；④，结论正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、垂线、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．延长至，由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可得，，，易得，故结论①正确；根据可得，根据平行线的性质可得，进而证明，故结论②正确；证明，易得，结合，可知，故结论③不正确；由，，可得，再结合，可证明，故结论④正确． 【详解】解：如下图，延长至， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③不正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②④． 故选：B． 23．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系： （1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解； （2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，作， ，， ， ，， ， 故答案为：60； （2）如图，作交于点K， ， ， ， ， ， 同（1）可得， ， 即， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，点B、C是直线b上的两个定点，点M、N是直线a上的两个动点，射线交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点A在直线a上，满足．与交于点D，与交于点E，若，且，则 °； (3)射线同时从如图2所示的位置开始转动，射线绕点B以5度/秒的速度逆时针转动，射线绕点C以3度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为t秒（）． ①当 秒时，； ②我们称“两条相交直线所成的四个角中，小于等于度的角为两条直线的夹角”．设直线与直线的夹角为度，直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间t的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②或 【分析】（1）作，可得根据即可求证； （2）设，可得，根据题意得，即可求解； （3）①根据题意画出对应图形，根据即可求解；②根据题意画出对应图形，可得，，据此即可求解； 【详解】（1）证明：作，如图所示： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：设， ∵ ∴ 由（1）可知： ∴ ∴ ∴ 由②③可得： 将代入①得：， 解得：， ∴ 故答案为： （3）解：①如图所示： 由题意得： 由（2）得： ∵ ∴ 即： ∴ 解得： ②如图所示： 则， ∴ 由（2）得：，即； ，即; ∴ 解得：或 【点睛】本题考查了根据平行线的性质探究角度之间的关系，掌握整体思想，寻找角度之间的和差关系是解题关键． 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线直线，与相等的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由，得到，又因为，所以，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·北京西城区第四十四中学·期中）如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平角的定义求出度数，再根据平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．（23-24七年级下·北京汇文中学·期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为（    ）    A．170° B．160° C．150° D．140° 【答案】C 【分析】过点B作，又由已知，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案． 【详解】如图，过点B作，    ∵， 则， ∴，， ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补与辅助线的作法是解题的关键． 4．（23-24七年级下·北京市中关村中学·期中）如图，ABCD，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵∠DCE+∠BCD=180°，∠DCE=130°， ∴∠BCD=50°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD=50°， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件 ，即可证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．据此解答即可． 【详解】解：可添加，则根据同位角相等，两直线平行可得． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，则与满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．过C作，根据平行线的性质得到，，于是得到结论． 【详解】过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线，E为直线上一点，，分别交直线于点F，M，平分，，垂足为点N，． （1） （填“＞”或“＝”或“＜”），理由是 ； （2） （用含α的式子表示）． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线段最短的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键. （1）根据垂线段最短解答； （2）根据两直线平行，同位角相等表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后表示出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可. 【详解】（1）∵, ∴, 理由是垂线段最短; （2）∵, ∴, ∵平分, ∴, ∴， 在中, 故答案为:（1）,垂线段最短; （2）. 8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，于点，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义理解，根据“两直线平行，同旁内角互补”，求出的度数，根据“于点”、平角度数为，计算出的度数，根据“两直线平行，内错角相等”，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，，以下是小明同学证明的推理过程及理由，请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 证明：∵，（已知） ∴（____________） ∴ ∴（______）（____________） ∵（已知） ∴（____________） ∴（____________） 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．由垂直于，垂直于，得到一对直角相等，进而确定出一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到与平行，再由已知同位角相等得到与平行，利用平行于同一条直线的两直线平行即可得证． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直定义）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）． 10．（23-24七年级下·北京·期中）请将下列证明过程补充完整： 如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴ （ ）（填推理的依据） ∴（ ）（填推理的依据） ∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的性质，根据题干的提示逐一完善推理过程与推理依据即可，掌握平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 【详解】证明：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） 又∵（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）． 11．（23-24七年级下·北京·期中）已知，如图，射线分别与直线，相交于E，F两点，的平分线与直线相交于点M，射线交于点N，，．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)在射线上取点G，线段上取点H，使得，依题意补全图形并求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键； （1）先证明，结合，可得，从而可得答案； （2）根据题意先补全图形，证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：； 理由：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）补图如图所示．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，则，进而证明，再由，即可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）已知，点、分别是、 上的两点，点在、之间，连接、． (1)如图①，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (2)如图②，若点是上方一点，连接EM、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （2）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作，过点P作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 14．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， （1）根据平行线的判定与性质即可完成证明； （2）结合（1）的结论即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的度数为． 15．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，． (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设． ①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 【答案】(1)50； (2)① 52.5 ；②m的值为15或35或45． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，几何图形中角度的运算， （1）首先求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）①过点C作射线平分，过点B作，得到，过点E作，得到， 然后根据平行线的性质求解即可； ②根据题意分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，然后根据n，m都为正整数且，确定n的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：①过点C作射线平分，过点B作 ∵， ∴． ∵， ∴． 过点E作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； ②当点F在内部时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵n，m都为正整数且， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ ∴； 当点F在外部时， ∵， ∴ ∴ ∵n，m都为正整数且， ∴当时，如图所示， 解得 ∴ ∴∴ ∴ ∴； 当时，如图所示， 解得 ∴ ∴∴ ∴ ∴； 综上所述，m的值为15或35或45． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的判定与性质 题型概览 题型01平行线的判定 题型02利用平行线的性质求角度 题型03利用平行线的性质解决三角尺问题 题型04利用平行线的性质进行计算与证明 题型05利用平行线的性质探究角度之间的关系 ( 题型01 ) 平行线的判定 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，请你添加一个条件，使得，条件是 ． 2．（23-24七年级下·北京·期中）如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 4．（23-24七年级下·北京·期中）如图，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图，，平分．求证：． ( 题型02 ) 利用平行线的性质求角度 6．（23-24七年级下·北京·期中）的两边分别平行于的两边，且的度数比的度数的2倍少，则的度数为 ． 7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，，平分，则为 ． 8．（23-24七年级下·北京·期中）如下图，直线a，b被直线c所截，若，，则 ． 9．（23-24七年级下·北京·期中）已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 10．（23-24七年级下·北京·期中）光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生改变．如图，两束平行的光线从烧杯底部斜射入水面，然后折射到空气中，由于折射率相同，射入空气后的两束光线也平行．若，，则 °， °． ( 题型03 ) 利用平行线的性质解决三角尺问题 11．（23-24七年级下·北京首师大附属中学朝阳学校教育集团·期中）一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·北京第三十五中学·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24七年级下·北京·期中）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则 ． 14．（23-24七年级下·北京·期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．    (1)如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°； (2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）； (3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． ( 题型04 ) 利用平行线的性质进行计算与证明 15．（23-24七年级下·北京·期中）已知：如图，中，D，G为上的两点（不与B，C重合），连接，过点D作交于点E，过点G作交于点F． (1)依题意补全图形； (2)请你判断和的数量关系，并加以证明． 16．（23-24七年级下·北京·期中）完成下面的证明． 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：∵，， ∴，（　　）． ∴． ∴　　（　　）． ∴．（两直线平行，同位角相等）． ．（　　）． 又∵， ∴　　． ∴平分． 17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，平分，且． (1)求证：； (2)H是直线上一动点（不与点D重合），平分．写出与的数量关系，并说明理由． 18．（23-24七年级下·北京东城·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 19．（23-24七年级下·北京·期中）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点．    (1)如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系； (2)当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上． ①如图2，若平分，求证：平分； ②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形． ( 题型04 )利用平行线的性质探究角度之间的关系 20．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 21．（23-24七年级下·北京·期中）已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 22．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知，平分，，，有下列结论：①；②；③；④，结论正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 23．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 24．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，点B、C是直线b上的两个定点，点M、N是直线a上的两个动点，射线交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点A在直线a上，满足．与交于点D，与交于点E，若，且，则 °； (3)射线同时从如图2所示的位置开始转动，射线绕点B以5度/秒的速度逆时针转动，射线绕点C以3度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为t秒（）． ①当 秒时，； ②我们称“两条相交直线所成的四个角中，小于等于度的角为两条直线的夹角”．设直线与直线的夹角为度，直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间t的值． 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线直线，与相等的角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京西城区第四十四中学·期中）如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京汇文中学·期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为（    ）    A．170° B．160° C．150° D．140° 4．（23-24七年级下·北京市中关村中学·期中）如图，ABCD，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件 ，即可证明． 6．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，则与满足 ． 7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线，E为直线上一点，，分别交直线于点F，M，平分，，垂足为点N，． （1） （填“＞”或“＝”或“＜”），理由是 ； （2） （用含α的式子表示）． 8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，于点，，则 ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，，以下是小明同学证明的推理过程及理由，请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 证明：∵，（已知） ∴（____________） ∴ ∴（______）（____________） ∵（已知） ∴（____________） ∴（____________） 10．（23-24七年级下·北京·期中）请将下列证明过程补充完整： 如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴ （ ）（填推理的依据） ∴（ ）（填推理的依据） ∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（ ）． 11．（23-24七年级下·北京·期中）已知，如图，射线分别与直线，相交于E，F两点，的平分线与直线相交于点M，射线交于点N，，．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)在射线上取点G，线段上取点H，使得，依题意补全图形并求的度数（用含的式子表示）． 12．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，，，求证：． 13．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）已知，点、分别是、 上的两点，点在、之间，连接、． (1)如图①，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (2)如图②，若点是上方一点，连接EM、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 14．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，． (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设． ①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$