专题 7.7 相交线与平行线（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.7 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】对顶角与邻补角 2 ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 2 ★【题型 2】利用对顶角与邻补角性质求值 3 ★【题型 3】对顶角、邻补角、角平分线综合 4 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 5 ★【题型 4】垂直定义的理角及画垂线 5 ★【题型 5】垂线的性质 6 ★【题型 6】点到直线的距离 7 【知识点三】平行线的性质与判定 7 ★【题型7】平行线的判定 8 ★【题型8】平行线的性质 9 ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 10 【知识点四】定义、命题、定理 12 ★【题型 10】命题及命题的结构 12 ★【题型 11】证明 13 【知识点五】平移 13 ★【题型 12】平移的作图 13 ★【题型 13】平移的性质求值与证明 14 二.综合培优题型精析 15 ★★【题型 14】对顶角、邻补角、角平分线综合 15 ★★【题型 15】平行线的性质与判定综合求值证明 17 ★★【题型 16】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 18 ★★【题型 17】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 19 三.中考真题专练 21 （一）选择题（8题） 21 （二）填空题（7题） 23 （三）解答题（1题） 24 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】对顶角与邻补角 （1） 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 【例题1】（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，直线相交于点O，则的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列图形中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是邻补角的为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 ★【题型 2】利用对顶角与邻补角性质求值 【例题2】（25-26七年级上·全国·期末）点O在直线上，，，则的度数为 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点O，，若，则等于 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交，，求的度数． ★【题型 3】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题3】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，点是直线上一点，射线、分别是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 【变式2】（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，已知直线与相交于点，，是的平分线，和互为余角． (1)求的度数． (2)求的度数． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）直线相交于点分别是的平分线． (1)求证：； (2)射线，在同一条直线上吗？请说明理由． 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 （1）垂直定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. ★【题型 4】垂直定义的理角及画垂线 【例题4】（2025·四川达州·二模）下列命题： ①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直． ②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等． ③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直． ④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直． 其中错误的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：． （2）垂线的性质 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. ★【题型 5】垂线的性质 【例题5】（23-24七年级上·广西柳州·开学考试）从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. ★【题型 6】点到直线的距离 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·期中）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)在图中线段的长度是点P到直线①_______的距离，在直线上任取一点C，连接，这两条线段大小关系是②_______．（用“<”号连接） 【知识点三】平行线的性质与判定 （一）平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． ★【题型7】平行线的判定 【例题7】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【变式3】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． （二）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. ★【题型8】平行线的性质 【例题8】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：如图，，求证：． 下面是小明同学的解答过程：请将小明的解答过程补充完整． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴____________（______________________） ∴（______________________）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，，直线与线段及的延长线分别交于点，求证：． ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 【例题9】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，，，垂足分别为、，且． (1)求证：； (2)若是的角平分线，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，，．将求的过程填写完整． 因为，所以___________． 又因为，所以，所以___________． 所以___________． 因为，所以___________． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形，点，分别是、延长线上两点，连接，分别与、交于点、，，．求证：． 【知识点四】定义、命题、定理 （1）定义：是对数学对象进行清晰、明确的描述，它揭示了该对象的本质特征，能够帮助我们准确理解这个对象，并作出准确的判断。具体来说，定义通常会明确数学对象的构成要素或本质属性。 （2）命题：可以判断为正确（真）或错误（假）的陈述语句叫做命题。被判断为正确的命题叫真命题，被判断为错误的命题叫假命题。 （3）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断的过程。它通常以基本事实、定义、已有的定理为依据，通过逻辑推导来验证命题的真假。这样的推理过程叫做证明. ★【题型 10】命题及命题的结构 【例题10】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列不属于命题的是（   ） A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等 C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么 【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 ★【题型 11】证明 【例题11】（23-24七年级下·福建龙岩·月考）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明． 【变式1】（24-25九年级下·北京西城·月考）桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母） ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【知识点五】平移 （1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． （2）平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. ★【题型 12】平移的作图 【例题12】（23-24七年级下·江苏泰州·月考）将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在网格图中，把四边形按箭头指示的方向平移，并使点A移到箭头标示的格点处．请画出平移后的图形． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【变式3】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 ★【题型 13】平移的性质求值与证明 【例题13】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 【变式2】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【变式3】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 14】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题14】（22-23七年级下·河南安阳·期中）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是 ． 【变式3】（25-26七年级上·云南大理·期末）已知是直线上的一点，平分． (1)如图1，射线在直线的同侧． ①若，_________；若，_________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的结论是否相同，并说明理由． ★★【题型 15】平行线的性质与判定综合求值证明 【例题15】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． ★★【题型 16】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 【例题16】（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　   　） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点．使 ①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）． ★★【题型 17】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 【例题17】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，． ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，若，则的度数为 （用含k的代数式表示）． 【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 三.中考真题专练 （一）选择题（8题） 1．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（7题） 9．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    10．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．    11．（2023·辽宁阜新·中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．    【答案】/50度 12．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 ． 13．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 14．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 15．（2021·青海·中考真题）如图，，，垂足为点，，则的度数是 ． （三）解答题（1题） 16．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.7 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】对顶角与邻补角 2 ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 2 ★【题型 2】利用对顶角与邻补角性质求值 4 ★【题型 3】对顶角、邻补角、角平分线综合 6 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 9 ★【题型 4】垂直定义的理角及画垂线 10 ★【题型 5】垂线的性质 11 ★【题型 6】点到直线的距离 13 【知识点三】平行线的性质与判定 15 ★【题型7】平行线的判定 15 ★【题型8】平行线的性质 18 ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 21 【知识点四】定义、命题、定理 25 ★【题型 10】命题及命题的结构 25 ★【题型 11】证明 27 【知识点五】平移 28 ★【题型 12】平移的作图 29 ★【题型 13】平移的性质求值与证明 31 二.综合培优题型精析 35 ★★【题型 14】对顶角、邻补角、角平分线综合 35 ★★【题型 15】平行线的性质与判定综合求值证明 39 ★★【题型 16】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 45 ★★【题型 17】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 52 三.中考真题专练 58 （一）选择题（8题） 58 （二）填空题（7题） 63 （三）解答题（1题） 66 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】对顶角与邻补角 （1） 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 【例题1】（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，直线相交于点O，则的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 和 【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可． 解：的对顶角是； 的邻补角是，； 故答案为：；，． 【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解． 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列图形中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键． 根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可． 解： A．和符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意； B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意； C．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不符合题意； D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是邻补角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了了邻补角的定义，根据邻补角的定义进行判断即可，掌握邻补角的定义是解题的关键． 解：A、和是邻补角，故选项符合题意； B、和不是邻补角，故选项不符合题意； C、和不是邻补角，故选项不符合题意； D、和不是邻补角，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A ★【题型 2】利用对顶角与邻补角性质求值 【例题2】（25-26七年级上·全国·期末）点O在直线上，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差关系，分两种情况讨论：、在直线同侧；、在直线两侧，然后利用平角的定义和角度的和差关系求解即可． 解：∵点O在直线上， ∴， 当、在直线同侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当、在直线两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点O，，若，则等于 ． 【答案】/66度 【分析】本题主要考查的是对顶角、邻补角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． 由对顶角的性质可得的度数，再结合已知条件可得的度数，最后由根据邻补角的定义即可解答． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义，熟悉掌握邻补角与对顶角定义是解题的关键． 利用邻补角互补的定义求出的度数，再利用对顶角得到，即可解答． 解：∵，， ∴， ∴， ∴． ★【题型 3】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题3】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，点是直线上一点，射线、分别是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角的平分线的定义等知识点，掌握各角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据补角的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义表示出、，再根据补角的定义整理即可解答． （1）解：∵， 又∵， ∴． （2）∵射线、分别是、的平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)． 【分析】本题主要考查了平角的定义，角的和差关系，角平分线的判定以及角度的计算． （1）根据平角、直角的和差关系推导出角平分线判定的条件； （2）利用直角拆分求中间角，再结合倍数关系和平角定义，逐步计算即可． （1）解：是的平分线，理由如下： ， ，， ， ， 是的平分线； （2）解：，， ， ， ， 的度数为． 【变式2】（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，已知直线与相交于点，，是的平分线，和互为余角． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，对顶角，掌握相关概念是解题关键． （1）由余角可得，再结合平角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义和对顶角相等可得，由余角的定义可得，即可求解． （1）解：和互为余角， ， 点，，在同一条直线上， ， ； （2）解：是的平分线，， 直线与相交于点， ， 由（1）得，， ． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）直线相交于点分别是的平分线． (1)求证：； (2)射线，在同一条直线上吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的性质，邻补角的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对顶角相等得出，根据角平分线的性质得出角之间的关系，即可得出结论； （2）根据邻补角的定义以及等量代换进行证明即可． （1）证明：直线相交于点， ， 平分平分， ， ； （2）解：射线在同一条直线上， 理由如下： ， ， ， ， 射线在同一条直线上． 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 （1）垂直定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. ★【题型 4】垂直定义的理角及画垂线 【例题4】（2025·四川达州·二模）下列命题： ①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直． ②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等． ③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直． ④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直． 其中错误的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】此题考查的是垂直的定义．根据垂直的定义逐一判断即可． 解：①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直，故正确； ②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都是直角，则四角都相等，故正确； ③两条直线相交，根据对顶角相等可得一角的两邻补角一定相等，但不一定为直角，则这两直线不一定垂直，故错误； ④两条直线相交，一角与其邻补角相等可得这个角为，则这两直线垂直，故正确． 综上：错误的有1个 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查垂直的判定，角平分线的定义，平角的概念及性质，由角平分线的定义得到，，然后由邻补角得到，进而求解即可． 证明：是的平分线（已知）， （角平分线的定义）． 是的平分线（已知）， （角平分线的定义）． ， ， 即， （垂直的定义） （2）垂线的性质 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. ★【题型 5】垂线的性质 【例题5】（23-24七年级上·广西柳州·开学考试）从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线的性质，解题的关键是熟练掌握垂线的性质． 利用垂线的性质进行求解即可． 解：过直线外一点，有且只有一条线段与已知直线垂直， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的性质，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据垂线的唯一性性质，逐一判断选项． 解：根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：B． （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. ★【题型 6】点到直线的距离 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·期中）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)在图中线段的长度是点P到直线①_______的距离，在直线上任取一点C，连接，这两条线段大小关系是②_______．（用“<”号连接） 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． （1）如图所示：①即为所求； （2）如图所示：即为所求； 线段的长度是点到直线的距离， 、这两条线段大小关系是， 故答案为：，． 【知识点三】平行线的性质与判定 （一）平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． ★【题型7】平行线的判定 【例题7】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 【变式3】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （二）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. ★【题型8】平行线的性质 【例题8】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：如图，，求证：． 下面是小明同学的解答过程：请将小明的解答过程补充完整． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴____________（______________________） ∴（______________________）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 【答案】；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法求解即可． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，，直线与线段及的延长线分别交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据内错角相等两直线平行可得，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可求证． 证明：， ， ， ， ， ． ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 【例题9】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，，，垂足分别为、，且． (1)求证：； (2)若是的角平分线，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，证明出，得到，等量代换得到，即可判定； （2）首先由垂直得到，然后根据角平分线的定义求解即可． （1）证明：∵，， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，，．将求的过程填写完整． 因为，所以___________． 又因为，所以，所以___________． 所以___________． 因为，所以___________． 【答案】；；； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，可得，然后根据内错角相等，两直线平行，可得，最后根据两直线平行，同旁内角互补，可得，结合，即可求得． 解：因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以． 故答案为：；；；． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 【答案】；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形，点，分别是、延长线上两点，连接，分别与、交于点、，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．利用同位角相等，两直线平行证明，再证明，根据两直线平行，内错角相等证明，根据同位角相等，两直线平行即可证明结论． 证明：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【知识点四】定义、命题、定理 （1）定义：是对数学对象进行清晰、明确的描述，它揭示了该对象的本质特征，能够帮助我们准确理解这个对象，并作出准确的判断。具体来说，定义通常会明确数学对象的构成要素或本质属性。 （2）命题：可以判断为正确（真）或错误（假）的陈述语句叫做命题。被判断为正确的命题叫真命题，被判断为错误的命题叫假命题。 （3）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断的过程。它通常以基本事实、定义、已有的定理为依据，通过逻辑推导来验证命题的真假。这样的推理过程叫做证明. ★【题型 10】命题及命题的结构 【例题10】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； （1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列不属于命题的是（   ） A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等 C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的判断，熟练掌握命题的定义，是解题的关键．命题是能判断真假的陈述句，C项为作图指令，不是陈述句，因此不是命题． 解：A．取任何数时的值都是正数，是命题，故A不符合题意； B．对顶角相等，是命题，故B不符合题意； C．作线段的垂直平分线，是作图指令，非陈述句，不是命题，故C符合题意； D．如果，那么，是命题，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②、④是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确；结论是两个角相等，故④正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误； 综上所述判断正确的为：①②④，共3个， 故选：B． ★【题型 11】证明 【例题11】（23-24七年级下·福建龙岩·月考）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明． 【答案】见解析 【分析】根据题意，写出已知、求证并根据同位角相等，两条直线平行即可得出结论． 已知：， 求证：． 证明：如图： ∵ ∴ ∴  (同位角相等，两直线平行) ． 【点睛】本题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 【变式1】（24-25九年级下·北京西城·月考）桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母） ． 【答案】或 【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答． 解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变， 则勺子在最左边或最右边， 当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边； 当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边； ∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【知识点五】平移 （1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． （2）平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. ★【题型 12】平移的作图 【例题12】（23-24七年级下·江苏泰州·月考）将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握平移不变性是解题的关键． （1）分别作出点向右平移8格，再向上平移2格的点，再顺次连接即可； （2）利用的平移的性质求解； （3）利用的平移的性质求解． （1）解：如图，即为所求： （2）解：由平移的性质可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 由平移的性质可得，， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在网格图中，把四边形按箭头指示的方向平移，并使点A移到箭头标示的格点处．请画出平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移作图，根据A点平移前后的位置，确定平移方式为向右移动2个单位长度，再向下移动2个单位长度，由此找出另外三个顶点平移后的位置，顺次连接即可． 解：平移后的图形记为，如图所示： 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D ★【题型 13】平移的性质求值与证明 【例题13】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 根据平移的性质可以得到平行，从而推出角相等，则可得到． 解：如图， 直线平移后得到直线， ， ． ， ， ． 故答案为；． 【变式2】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得，，，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 解：∵将沿方向平移（）得到， ∴，，， ∴阴影部分的周长为 ， 故选：． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 14】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题14】（22-23七年级下·河南安阳·期中）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算.掌握角的和差关系是解题的关键. （1）结合，，，即可求得答案； （2）结合，，即可求得答案． （1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 由，根据邻补角互补可求出，根据对顶角相等求出，由此即可求出的度数． 解：， ，， ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的性质与角平分线的定义，掌握邻补角和为180°、角平分线平分角是解题的关键． 先利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角的和为得到的度数，最后结合与的数量关系，列方程求解． 解：∵平分，， ∴， ∵与是邻补角， ∴， 设，由，得， ∵， ∴， 解得， 故的度数是． 故答案为80°． 【变式3】（25-26七年级上·云南大理·期末）已知是直线上的一点，平分． (1)如图1，射线在直线的同侧． ①若，_________；若，_________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的结论是否相同，并说明理由． 【答案】(1)①，；②，证明见解析； (2)相同，理由见解析 【分析】本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角． （1）①先求出，根据平分得到，即可得到，同理可得当时，； ②猜想，根据，平分即可得到，由，得到，猜想得证； （2）根据，平分即可得到，由，得到，结论得证． （1）解：①∵ ∴， ∵平分． ∴ ∵， ∴； ∵ ∴， ∵平分． ∴ ∵， ∴， 故答案为：；； ②猜想， 证明：∵，平分． ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：与之间的数量关系与②中的相同，即， 理由如下： ∵，平分． ∴， ∴， 即． ★★【题型 15】平行线的性质与判定综合求值证明 【例题15】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． （1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等及同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先利用的平行线性质，得到与这组同位角相等；再结合，用这两个等角分别减去和，得到与相等；最后根据同位角相等的判定规则，确定与的位置关系． 解： 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、邻补角的性质等知识点，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的补角相等可得，再根据 “内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线的性质可得，进而得到，再结合可得；由角平分线的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ★★【题型 16】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 【例题16】（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． （1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　   　） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分为当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作， 同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 解：由平移的性质可知，． ，， ∴， ∴三角形的面积为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点．使 ①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②面积的最大值为，此时的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可； ②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． （1）证明：补全图形如图所示， 作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （2）解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示：    由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示：    ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示： ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线的最大距离就是，如图所示：    ∴面积的最大值为 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴． ★★【题型 17】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 【例题17】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． （1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，． ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，若，则的度数为 （用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的应用−折叠问题； ①首先由平行线的性质求出∠AMP的度数，再结合折叠的性质可求出∠AMN度数； ②需要灵活运用平行线的性质以及两次折叠的关系找出相关角的等量关系，建立方程求解，同时，多个字母参与运算考查学生的代数运算能力． 解：①∵ ∴ 由折叠的性质可知 ②∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， 由折叠的性质可知 ∴ 解得 ∴ 故答案为：①25；②． 【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 三.中考真题专练 （一）选择题（8题） 1．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 解：∵， ∴，； 故选B． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 3．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后的度数，然后用旋转前的度数减去旋转后的度数即可得到木条旋转的度数．根据平行线的性质求出旋转后的度数是解题的关键． 解：如图2所示， ， 旋转后的， 要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数可以是． 故选：A． 4．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 根据题意可得，然后根据平行线的性质结合角的和差即可求解． 解：如图，根据题意可得， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，易得，根据平行线的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 6．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质； 根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C （二）填空题（7题） 9．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 10．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．    【答案】 【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到． 解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变， ∴转弯前后两条道路平行，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键． 11．（2023·辽宁阜新·中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．    【答案】/50度 【分析】根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等． 12．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意，得到两条折射光线平行，根据平行线的性质得到，即可． 解：∵， ∴在空气中的两条直线也平行， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 14．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为故答案为：30． 15．（2021·青海·中考真题）如图，，，垂足为点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和，解题的关键是利用平行线的性质和判定是解题的关键；根据三角形内角和和平行线的性质和判定解题即可； 解：在中， ， ， ， 故答案为： （三）解答题（1题） 16．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． （1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $