每日一练(第15-16天)-【一战成名新中考】2025河北中考数学·二轮复习·抢分练小卷

抢分练小卷·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 第 15 天:计算题每日一练 　 　 月　 　 日　 　 　 用时　 　 　 分钟 1. 已知 a= 7 + 3 ,b= 7 - 3 ,分别求下列代数式的值. (1)a2 -b2; (2) a b + b a . 解:(1)a2-b2 =(a+b)(a-b), 由题知 a= 7 + 3 ,b= 7 - 3 , 原式=( 7 + 3 + 7 - 3 )[ 7 + 3 -( 7 - 3 )] =2 7 ×2 3 =4 21 ; (2) a b + b a = a 2 ab +b 2 ab =a 2+b2 ab =(a+b) 2-2ab ab =(a+b) 2 ab -2, 由题知 a= 7 + 3 ,b= 7 - 3 ,原式= ( 7 + 3 + 7 - 3 ) 2 ( 7 + 3 )( 7 - 3 ) -2 =(2 7 ) 2 7-3 -2 =5. 2. 有一电脑 AI 程序如图,能处理整式的相关计算,已知输入整式 A= k-1,整式 C= 2k2 +k-3 后,屏幕上自 动将整式 B 补齐,但由于屏幕大小有限,只显示了整式 B 的一部分:B= 2k+ 􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋　 　 . (1)嘉淇想:把 B 设为 2k+m,再利用 A·B = C 来解决问题,请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整 式 B; (2)在(1)的条件下,嘉淇发现:若 k 为任意整数,整式 B2 -2C 的值总能被某个大于 1 的正整数整除, 求这个正整数的值. 第 2 题图 解:(1)∵B=2k+m,∴A·B=(k-1)(2k+m)= 2k2+mk-2k-m=2k2+(m- 2)k-m, ∵A·B=C=2k2+k-3, ∴2k2+(m-2)k-m=2k2+k-3, ∴m-2=1, 解得 m=3, 即程序自动补全的整式 B=2k+3; (2)B2-2C=(2k+3) 2-2(2k2+k-3) =4k2+12k+9-(4k2+2k-6)= 10k+15=5(2k+3), ∵ k 为任意整数,∴2k+3 为整数, ∴整式 B2-2C 的值总能被 5 整除, 即这个正整数的值为 5. 51 抢分练小卷·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 第 16 天:创新题每日一练 　 　 月　 　 日　 　 　 用时　 　 　 分钟 1. 创新考法—二次函数与刻度尺结合 [2024 深圳]为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把 含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为 x,y 轴建立如图①所示的平 面直角坐标系,该数学小组选择不同位置测量的数据如下表所示,设 BD 的读数为 x,CD 读数为 y,抛物 线的顶点为 C. (1)(Ⅰ)列表: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2. 25 4 6. 25 9 (Ⅱ)描点:请将表格中的(x,y)描在图②中; (Ⅲ)连线:请用平滑的曲线在图②中将上述点连接,并求出 y 与 x 的关系式; (2)如图③所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y=a(x-h) 2 +k 的顶点为 C,该数学兴趣小组用水平和竖 直直尺测量其水平跨度为 AB,竖直跨度为 CD,且 AB=m,CD=n,为了求出该抛物线的开口大小,该 数学兴趣小组有如下两种方案,请选择其中一种方案,并完善过程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍: 方案一:将二次函数 y=a(x-h) 2 +k 平移,使得顶点 C 与原点 O 重合,此时抛物线解析式为 y=ax2 . ①此时点 B′的坐标为　 　 　 　 　 　 ; ②将点 B′坐标代入 y=ax2 中,解得 a= 　 　 　 　 ;(用含 m,n 的式子表示 a) 方案二:设 C 点坐标为(h,k) . ①此时点 B 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 ; ②将点 B 坐标代入 y=a(x-h) 2 +k 中解得 a= 　 　 　 　 ;(用含 m,n 的式子表示 a) (3)【应用】如图④,已知平面直角坐标系 xOy 中有 A,B 两点,AB = 4,且 AB∥x 轴,二次函数 C1:y1 = 2(x+h) 2 +k 和 C2:y2 =a(x+h) 2 +b 都经过 A,B 两点,且 C1 和 C2 的顶点 P,Q 距线段 AB 的距离之和 为 10,求 a 的值. 图① 　 图② 　 图③ 　 图④ 第 1 题图 61 一战成名·河北数学 抢 分 练 小 卷 　 由(2)知∠GAE= 45°, ∴ ME=AE= 20. 又由(2)知∠AGE= 90°,∠AEG= 45°, ∴ EG=AG= 10 2 , ∵ 20>10 2 ,∴ ME>EG. 第 15 天 1. 解:(1)a2 -b2 = (a+b)(a-b), 由题知 a= 7 + 3 ,b= 7 - 3 , 原式= ( 7 + 3 + 7 - 3 )[ 7 + 3 -( 7 - 3 )] = 2 7 ×2 3 = 4 21 ; (2) a b + b a = a 2 ab + b 2 ab = a 2 +b2 ab = (a +b) 2 -2ab ab = (a +b) 2 ab -2, 由题知 a= 7 + 3 ,b= 7 - 3 , 原式= ( 7 + 3 + 7 - 3 ) 2 ( 7 + 3 )( 7 - 3 ) -2 = (2 7 ) 2 7-3 -2 = 5. 2. 解:(1)∵ B = 2k+m,∴ A·B = ( k-1) (2k+m) = 2k2 +mk- 2k-m= 2k2 +(m-2)k-m, ∵ A·B=C= 2k2 +k-3, ∴ 2k2 +(m-2)k-m= 2k2 +k-3, ∴ m-2 = 1, 解得 m= 3, 即程序自动补全的整式 B= 2k+3; (2)B2 -2C= (2k+3) 2 - 2(2k2 +k- 3) = 4k2 + 12k+ 9-(4k2 + 2k-6)= 10k+15 = 5(2k+3), ∵ k 为任意整数,∴ 2k+3 为整数, ∴ 整式 B2 -2C 的值总能被 5 整除, 即这个正整数的值为 5. 第 16 天 1.解:(1)描点连线绘制函数图象如解图, 第 1 题解图 抛物线过点 O,故设抛物线的表达式为 y=ax2 +bx, 将(2,1)、(3,2. 25)代入得 4a+2b= 1, 9a+3b= 2. 25,{ 解得 a= 1 4 , b= 0, { 则抛物线的表达式为 y= 1 4 x2(x≥0); (2)方案一:①( 1 2 m,n),② 4n m2 ;【解法提示】点 B′( 1 2 m, n);将点 B′的坐标代入抛物线表达式得:n = a× 1 4 m2 ,则 a = 4n m2 ; 方案二:①(h+ 1 2 m,k+ n),② 4n m2 ;【解法提示】点 B( h+ 1 2 m,k+n),将点 B 的坐标代入抛物线表达式得 k+n = a(h + 1 2 m-h) 2 +k,解得 a= 4n m2 ; (3)对于二次函数 C1 :m= 4, 由 a= 4n m2 得 2 = 4n 16 , 解得 n= 8, 则 C2 距线段 AB 的距离 n= 2, 当 a>0 时,则 a= 4n m2 = 4 ×2 42 = 1 2 ; 当 a<0 时,同理可得 a= - 1 2 , 综上,a= ± 1 2 . 第 17 天 1. 解:(1)设长方形信封的长为 3x cm,宽为 2x cm, 由题意得 3x·2x= 420, ∴ x= 70 , ∴ 3x= 3 70 ,2x= 2 70 , 答:长方形信封的长为 3 70 cm,宽为 2 70 cm; (2)面积为 256 cm2 的正方形贺卡的边长是 16 cm, ∵ 70>64, ∴ 70 >8, ∴ 2 70 >16,即信封的宽大于正方形贺卡的边长, ∴ 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 2. 解:(1)5(2x2 +5x-1) -(6x+5x2 +2) = 10x2 +25x-5-6x-5x2 -2 = 5x2 +19x-7; (2)嘉琪的说法正确; 证明:A = 2(2x2 +5x-1) -(6x+5x2 +2) = 4x2 +10x-2-6x-5x2 -2 = -x2 +4x-4 = -(x-2) 2 , ∵ 无论 x 取何值时,(x-2) 2 ≥0, ∴ -(x-2) 2 ≤0 即 A≤0, ∴ 无论 x 取何值时,A 总是非正数. 第 18 天 1. h+an 2. 解:(1)不赞同小明的结论. 理由:如解图,连接 OB,OC, 第 2 题解图 ∵ BC= 1. 6 m,OD= 0. 6 m,小明求得 OC= 1 m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54