专题04 随机变量及其分布（河南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05超几何分布 题型06正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南郑州·期中）若事件，满足，且，，则 . ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·河南安阳·期中）为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元消费券的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知，则 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片．原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响．已知三道工序产生不合格产品的概率分别为、、，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品． (1)求该企业原有生产线的次品率； (2)为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起．已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍．从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 8．（23-24高二下·河南·期中）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 9．（23-24高二下·河南郑州·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望与方差 10．（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 11．（23-24高二下·河南·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表: 0 1 2 5 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·河南·期中）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望. ( 题型0 5 )超几何分布 13．（23-24高二下·商丘市二十校联考·期中）下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 14．（23-24高二下·开封市五校联考·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． ( 题型0 6 )正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 15．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 16．（23-24高二下·河南·期中）已知随机变量，随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 17．（23-24高二下·河南·期中）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（    ） （参考数据：若，则，） A．683 B．841 C．977 D．955 18．（23-24高二下·商丘市二十校联考·期中）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 3．（23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 4．（23-24高二下·河南·期中）泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 二、多选题 6．（23-24高二下·河南郑州·期中）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南·期中）甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·河南安阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量的分布列为，则 三、填空题 9．（23-24高二下·河南·期中）已知随机变量，则 . 10．（23-24高二下·河南·期中）已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则 . 11．（23-24高二下·河南郑州·期中）随机变量X满足，则随机变量X的期望 ． 四、解答题 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）随机变量的分布列如下表，随机变量． 0 1 (1)求； (2)求． 13．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 14．（23-24高二下·河南安阳·期中）某校组织全校学生参加“防范校园欺凌”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生，将他们的得分（满分：100分）分成如下6组：，绘制成频率分布直方图如下： (1)求的值，并估计这100名学生的平均得分.（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)若该校决定奖励竞赛得分排名前的学生，小明本次竞赛获得78分，估计他能否获得奖励. (3)从样本中竞赛得分不低于80的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人进行学习交流，再从参加学习交流的学生中任选3人，记这3人中得分在内的人数为，求的分布列和数学期望. 15．（23-24高二下·河南·期中）2024年某校一次高二数学适应性考试中选择题由单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分. (1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量. （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得得分数学期望最大的答题方式，并写出得分的最大数学期望. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05超几何分布 题型06正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 2．（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用条件概率计算即可. 【详解】，则. 故选:C. 3．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先根据得，再利用条件概率公式和对立事件概率公式一一分析即可. 【详解】对A，因为，所以，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C正确； 对D，，D错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·河南郑州·期中）若事件，满足，且，，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·河南安阳·期中）为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元消费券的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求出概率，再利用全概率公式计算即得. 【详解】记顾客获得100元消费券的事件为，从甲袋中取出黑球的事件为， 则，，， 所以. 故选：B 6．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知，则 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式得到，结合全概率公式求出答案. 【详解】， 故， . 故答案为： 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片．原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响．已知三道工序产生不合格产品的概率分别为、、，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品． (1)求该企业原有生产线的次品率； (2)为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起．已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍．从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用独立事件的概率乘法，求得企业原有生产线的正品率，进而求得该企业原有生产线的次品率； （2）记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件，记“任取一个芯片是次品”为事件，分别求得，，，，结合，即可求解. 【详解】（1）解：该企业原有生产线的正品率为， 所以该企业原有生产线的次品率为 . （2）解：记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件， 记“任取一个芯片是次品”为事件， 则，，且，， 所以， 即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 8．（23-24高二下·河南·期中）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 9．（23-24高二下·河南郑州·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）相当于比赛两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球，即可得答案； （2）由题意分析可知的可能值为1，2，3，4，然后求得相应概率，即可得分布列. 【详解】（1）因两局比赛后盒中恰有3个新球，两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球. 两次取球总情况数为，第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球的情况数为， 则相应概率为： . （2）三局比赛后盒中新球的个数可能为1，2，3，4. 三局比赛取球包含种情况， 当三局比赛后剩1个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩2个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取新球，第二次取旧球，第三次取新球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩3个新球时，那么第一次取新球，第二次取旧球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩4个新球时，那么第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取旧球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； ； ； ； ； 则分布列如下： 1 2 3 4 ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望与方差 10．（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 【答案】/ 【分析】利用两点分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可得服从两点分布，故， 故. 故答案为： 11．（23-24高二下·河南·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表: 0 1 2 5 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用分布列的性质、期望公式、方差公式及其性质计算即可. 【详解】由分布列的基本性质知，解得，故A正确; 故， ，故B错误，C正确; 由离散型随机变量期望的性质可得，，故D错误. 故选：AC. 12．（23-24高二下·河南·期中）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)证明见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意得到，再根据递推关系式证明等比数列，进而得到通项公式即可. （2）由题意可知的取值，分别求出概率，即可得到分布列和期望. 【详解】（1）记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为， 所以 得， 所以，即是公比为的等比数列 又，所以 （2）结合题意易得可取0，1，2， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望 【点睛】关键点点睛：本题考查随机变量与数列结合问题.关键点是根据题意得出，再根据该递推关系式证明是等比数列，进而得到通项公式. ( 题型0 5 )超几何分布 13．（23-24高二下·商丘市二十校联考·期中）下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】ACD 【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确. 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 14．（23-24高二下·开封市五校联考·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： ( 题型0 6 )正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 15．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故答案为： 16．（23-24高二下·河南·期中）已知随机变量，随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】首先根据二项分布求和，再结合正态分布的对称性，即可判断选项. 【详解】因为， 所以，故错误，正确； 因为， 所以， 因为，所以错误； 因为，所以，所以，故D正确. 故选：BD 17．（23-24高二下·河南·期中）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（    ） （参考数据：若，则，） A．683 B．841 C．977 D．955 【答案】C 【分析】由题意可知：，则，结合正态分布的原则分析求解. 【详解】由题意可知：，则， 可得， 所以半年后即可出栏的猪的数量约为. 故选：C. 18．（23-24高二下·商丘市二十校联考·期中）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：小明遇到2个或3个红绿灯，结合独立重复事件概率公式运算求解. 【详解】记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A， 由题意可知：事件A：小明遇到2个或3个红绿灯， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 【答案】C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解． 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：C． 3．（23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性求出即可计算得解. 【详解】依题意，，， 因此， 所以此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为. 故选：B 4．（23-24高二下·河南·期中）泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可. 【详解】由题意知，则，所以. 因为， 所以次品率不超过的概率约为. 故选：B 5．（23-24高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以，. 故选：C 二、多选题 6．（23-24高二下·河南郑州·期中）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出，，从而利用条件概率公式得到答案. 【详解】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确； B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确； C选项，，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，D错误 故选：ABC 7．（23-24高二下·河南·期中）甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”，则，，且，，利用全概率公式可判断ABC，利用独立事件的概率乘法公式可判断D． 【详解】对于，设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”， 则，， 又因为，， 所以， 即，故A错误； 对于B，表示第1次回答问题结束后甲的得分为0， 则，故B正确； 对于C，第次答题者是甲，有两种情况：①第次答题者是甲，且甲在第次回答问题时回答正确， ②第次答题者是乙，且乙在第次回答问题时回答错误， 由全概率公式可得，，故C正确； 对于D，表示第次回答问题结束后甲的得分为，则第1次答题者是甲， 且甲在次回答问题时都回答正确， 所以，故D正确． 故选：BCD． 8．（23-24高二下·河南安阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量的分布列为，则 【答案】ABC 【分析】利用条件概率公式可判断A，利用概率的性质可判断B，利用二项分布的期望和方差公式可判断C，利用离散型随机变量的期望公式可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，解得， 所以，所以，故C正确； 对于D，因为随机变量的分布列为， 所以，，， 所以，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 9．（23-24高二下·河南·期中）已知随机变量，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的方差公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 10．（23-24高二下·河南·期中）已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则 . 【答案】 【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【详解】设命中的次数为，则，所以， 又，所以. 故答案为： 11．（23-24高二下·河南郑州·期中）随机变量X满足，则随机变量X的期望 ． 【答案】 【分析】分别求出，解出的值，列出的分布列，求出数学期望即可. 【详解】因为， 所以，，； 所以， 所以的分布列为： 所以 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）随机变量的分布列如下表，随机变量． 0 1 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列求出的均值，利用均值的性质即可求解； （2）根据公式求出，利用方差的性质求解． 【详解】（1）， ． （2）， ． 13．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1) (2)（i）22.75万；；（ii）分布列见解析， 【分析】（1）先求出旅游支出不低于10000元的有33人，再结合组合数利用古典概型概率公式求解即可； （2）（i）根据题目数据求得，根据正态分布的特殊区间求得概率，即可求解； （ii）根据题意求出的所有可能取值，结合二项分布概率公式求得分布列和数学期望. 【详解】（1）样本中总共100人，其中旅游支出不低于10000元的有33人， 所以两人旅游支出均不低于10000元的概率为； （2）（i）， 所以服从正态分布， ， 万， 估计郑州市有22.75万市民2023年旅游费用支出在15000元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为. ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 14．（23-24高二下·河南安阳·期中）某校组织全校学生参加“防范校园欺凌”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生，将他们的得分（满分：100分）分成如下6组：，绘制成频率分布直方图如下： (1)求的值，并估计这100名学生的平均得分.（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)若该校决定奖励竞赛得分排名前的学生，小明本次竞赛获得78分，估计他能否获得奖励. (3)从样本中竞赛得分不低于80的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人进行学习交流，再从参加学习交流的学生中任选3人，记这3人中得分在内的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，70.5； (2)能； (3)分布列见解析，. 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算平均成绩. （2）求出竞赛得分排名前的最低成绩即可得解. （3）求出参加学习交流的学生中成绩在两个区间内的人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）依题意，，解得， 成绩在区间的频率依次为：， 所以这100名学生的平均得分为. （2）由（1）知，成绩在区间的频率为，成绩在区间的频率为， 则竞赛得分排名前的最低成绩，于是，解得， 而，所以估计小明能获得奖励. （3）参加学习交流的10人中，得分在的人数为，在内的人数为4， 的可能值为0，1，2，3， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 15．（23-24高二下·河南·期中）2024年某校一次高二数学适应性考试中选择题由单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分. (1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量. （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得得分数学期望最大的答题方式，并写出得分的最大数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)该同学选择单选或单选的得分期望最大，最大值为分 【分析】（1）（i）由题意可得，求出，，由条件概率公式即可求得；（ii）依题意，解不等式即可； （2）分别求出该同学决策单选或双选或三选的得分期望，比较即可得解． 【详解】（1）（i）因为，所以，， 所以； （ii）因为. 依题意，即 解得，又为整数，所以，即时取最大值. （2）由题知，B、D选项不能同时选择，故该同学可以选择单选､双选和三选. 正确答案是两选项的可能情况为，每种情况的概率均为. 正确答案是三个选项的可能情况为，每种情况出现的概率为. 若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下： （分）， （分）， 若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下： （分）， （分）. 若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下： （分）. 经比较，该同学选择单选或单选的得分期望最大，最大值为分. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$