专题03 平方根、立方根（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题03 平方根、立方根 题型概览 【经典基础题】 题型01 求一个数的平方根、立方根 题型02利用平方根、立方根解方程 题型03 算术平方根的非负性 题型04平方根、立方根综合应用 【优选提升题】 题型01 求一个数的整数部分与小数部分 题型02 与根号有关的规律探究 题型03 平方根、立方根的应用题 ( 题型01 ) 求一个数的平方根、立方根 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：16的算术平方根为4， 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）计算：（1）4的平方根是 ；（2）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求平方根即可； （2）根据立方根的定义求立方根即可． 【详解】解：（1）4的平方根， 故答案为：； （2）的立方根， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中） ； ；的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：；；，的算术平方根是，即的算术平方根是；的立方根是； 故答案为：；；；． ( 题型02 )利用平方根、立方根解方程 1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）求下列各式中的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先方程两边都除以4，再利用平方根的意义求解； （2）先方程两边都加27，再利用立方根的意义求解． 【详解】（1）解:方程两边都除以4，得， 方程两边开平方，得； （2）解:方程两边都加27，得 方程两边开立方，得， 方程两边都减1，得． 3．（22-23七年级下·福建福州·期中）求下列各式的值； (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先移项，然后再根据平方根定义，解方程即可； （2）根据立方根定义，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 方程两边同除以8得：， 开立方得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． ( 题型03 ) 算术平方根的非负性 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，先根据算术平方根被开方数和偶次方的非负性求出x，y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·福建南平·期中）已知，那么的值为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质求出，，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题意得到，，求出，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知． (1)求a的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根． （1）依据算术平方根的被开方数是非负数，即可得到a的值； （2）先求得b的值，进而得出的平方根． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由可得， ∴， ∴， ∴的平方根是． ( 题型04 ) 平方根、立方根综合应用 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)3和 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的理解、求算术平方根的整数部分、解方程、求平方根，掌握概念、正确计算是解题的关键． （1）先估算的大小，得出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，得出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为2， ∵的算术平方根是3，c是的整数部分， ∴，， 解得：， 又∵的立方根是2， ∴， 解得：； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴的平方根为3和． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若27的立方根是m，m的平方根是n． (1)求m的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是要熟练掌握平方根、立方根的性质． （1）根据题意，可得，据此求出的值即可； （2）根据题意，可得，再根据算术平方根的含义和求法，求出的值即可． 【详解】（1）的立方根是， ． （2）的平方根是， ， ． ( 题型0 1 ) 求一个数的整数部分与小数部分 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建南平·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分，先得出，则，结合的立方根是，是的整数部分，分别得出，，然后求出，最后求出其的平方根，即可作答． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 则， ∴， ∵的立方根是，是的整数部分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴9的平方根是． ( 题型0 2 ) 与根号有关的规律探究 1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律问题，根据被开方数乘以100，对应算术平方根乘以10即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚给出了如下的解题步骤： (1)由，因为，所以是________位数； (2)已知59319的个位上的数字是9，所以的个位上的数字是________； (3)如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由，因为，所以的十位上的数字是________； (4)综上所述，________；已知，是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：． 【答案】(1)两 (2)9 (3)3 (4)39；49 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根： （1）根据题意可得，则是两位数； （2）根据只有个位数字是的数的立方的个位数字是即可得到答案； （3）根据，即可得到的十位数字是， （4）根据前面所求可得；然后仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴是两位数， 故答案为：两； （2）解：∵的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， ∴的个位数字是； （3）解：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是， 故答案为：3． （4）解；由（1）（2）（3）可知； 第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，∴的个位数字是9． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， ∵， ∴的十位数字是4， ∴． 故答案为：39；． 4．（23-24七年级下·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． ( 题型03 ) 平方根、立方根的应用题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)小华的说法错误，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确的列出方程或代数式是解本题的关键． （1）根据题意设长方形的长为，宽为，则，再利用平方根的含义解方程即可； （2）根据题意可得正方形的边长为，再比较与的大小即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， ∴， 解得：，（舍）， ∴， 答：长方形的长为，宽为． （2）解：正方形的边长为， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵， ∴，即， ∴围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差小于，小华的说法错误． 2．（23-24七年级下·福建莆田·期中）一块长方形空地面积为2800平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为2166平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)220m (2)不能 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长为，宽为，根据长方形空地面积为2800平方米，列出方程，求出长和宽，再利用周长公式进行计算即可； （2）设花坛2的宽为，则花坛1的边长和花坛2的长均为，根据花坛的总面积为2166平方米，列出方程，求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵长方形的长和宽之比为， ∴设长为，宽为， 由题意，得：， ∴， ∴或（舍去）； ∴长为m，宽为m ∴长方形的周长为； （2）设花坛2的宽为，则花坛1的边长和花坛2的长均为， 由题意，得：， ∴， ∴或（舍去）； ∴花坛1边长为38m，花坛2长为38m，宽为19m ∵ ∴不能正常通行． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方根、立方根 题型概览 【经典基础题】 题型01 求一个数的平方根、立方根 题型02利用平方根、立方根解方程 题型03 算术平方根的非负性 题型04平方根、立方根综合应用 【优选提升题】 题型01 求一个数的整数部分与小数部分 题型02 与根号有关的规律探究 题型03 平方根、立方根的应用题 ( 题型01 ) 求一个数的平方根、立方根 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）计算：（1）4的平方根是 ；（2）的立方根是 ． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中） ； ；的算术平方根是 ；的立方根是 ． ( 题型02 )利用平方根、立方根解方程 1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）求下列各式中的值； (1)； (2)． 3．（22-23七年级下·福建福州·期中）求下列各式的值； (1)； (2) ( 题型03 ) 算术平方根的非负性 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若，则 ． 2．（23-24七年级下·福建南平·期中）已知，那么的值为： ． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知． (1)求a的值． (2)求的平方根． ( 题型04 ) 平方根、立方根综合应用 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若27的立方根是m，m的平方根是n． (1)求m的值； (2)求的值 ( 题型0 1 ) 求一个数的整数部分与小数部分 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（23-24七年级下·福建南平·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． ( 题型0 2 ) 与根号有关的规律探究 1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚给出了如下的解题步骤： (1)由，因为，所以是________位数； (2)已知59319的个位上的数字是9，所以的个位上的数字是________； (3)如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由，因为，所以的十位上的数字是________； (4)综上所述，________；已知，是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：． 4．（23-24七年级下·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： ( 题型03 ) 平方根、立方根的应用题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由． 2．（23-24七年级下·福建莆田·期中）一块长方形空地面积为2800平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为2166平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$