信息必刷卷02（上海专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷02（上海专用） 数学·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 C C C A D B 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8．2.5×10−9米. 9． 10．且 11． 12． 13． 14． 15． 16．5 17．5 18．或 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（10分） 【答案】 【解析】解：原式= ． 20．（10分） 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【解析】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 21．（10分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵点在双曲线上，且纵坐标为10， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图：设平移直线向下平移个单位后的解析式为：， ∵平移后的直线第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点， ∴，， ∴， 如图：过B作轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵该直线与第一象限中双曲线交于点， ∴，解得：． 22．（10分） 【答案】(1)7米 (2)6.5米 【解析】（1）解：由题意得，，， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 答：该支架的边的长7米． （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为G． 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米． 23．（12分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， （）， ， ， ； （2）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 24．（12分） 【答案】(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 【分析】（1）把、代入即可得到答案； （2）①先求出的解析式，的解析式，再表示，，结合，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【解析】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）①由（1）知， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 把直线向上平移个单位，得到：， 当时，，当时，， ∴， 设直线交于点，过点作轴，交于点，设， 同法可得：的解析式为， 则：， 的解析式为， 当时，， ∴点E， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 25．（14分） 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【解析】（1）解：如图所示，连接，，      ∵半圆的直径， ∴， ∵是圆的内接正六边形的一边时， ∴, ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，    ∵是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图所示，过点作于点，则，    设，由（2）可得，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 又∵ ∴， 解得：， ∴； ②如图所示，当时，      同理可得，则，, ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，函数关系式，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：难度分布可能由8:1:1变为7:2:1至6:3:1之间（可能！） 中考·新考法：在往年考法上可能大概率有创新，且创新变化量大于往年. 中考·新情境：2024年中考真题的22题这种数字综合活动题可能往23-25题延伸，甚至衍变为情景探究题. 命题·大预测：①平行有关的知识点、辅助线等将贯穿整个中考几何的考查；②梯形、圆依然是热门的几何“载体”，且圆的主要知识点为：Ⅰ、位置关系；Ⅱ、圆中的“知一得三”；Ⅲ、两个垂直模型：“垂径定理”、“相交圆的性质”. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列分数中，能化成有限小数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 4．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（      ） A． B． C． D． 5．下列说法中，错误的是（     ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等的菱形是正方形 6．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是（     ） 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算：= ． 8．1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为 ． 9．已知，那么 ． 10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 11．某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 12．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 13．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率为 ． 14．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ． 15．如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点， BD=3DC ，BA=a ， BC=b ，那么 AD = （用向量、来表示）． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm． 17．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，对于任意两点、称的值为、两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、两点，为线段上与点A、不重合的一点，那么、两点的“直角距离”是 ． 18．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 21．如图，点在双曲线上，且纵坐标为10，直线经过点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移个单位，与第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，求的值． 22．图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． (1)求该支架的边的长； (2)求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 23．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)延长与的延长线交于点H，求证：． 24．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 25．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：难度分布可能由8:1:1变为7:2:1至6:3:1之间（可能！） 中考·新考法：在往年考法上可能大概率有创新，且创新变化量大于往年. 中考·新情境：2024年中考真题的22题这种数字综合活动题可能往23-25题延伸，甚至衍变为情景探究题. 命题·大预测：①平行有关的知识点、辅助线等将贯穿整个中考几何的考查；②梯形、圆依然是热门的几何“载体”，且圆的主要知识点为：Ⅰ、位置关系；Ⅱ、圆中的“知一得三”；Ⅲ、两个垂直模型：“垂径定理”、“相交圆的性质”. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列分数中，能化成有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分数中能化成有限小数的特征：（1）首先分数必须是最简分数；（2）如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数．分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 【解析】解：A、，不能化成有限小数，不符合题意； B、，不能化成有限小数，不符合题意； C、，可化为有限小数，符合题意； D、，不能化为有限小数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分数化为有限小数的特征．注意分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算法则的运用，关键是掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及零指数幂与负整理指数幂运算法则． 利用幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、零指数幂与负整理指数幂的计算法则逐一计算分析即可． 【解析】解：、，原计算错误，故选项不符合题意； 、和不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； 、，原计算正确，故选项符合题意； D、，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 3．一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】C 【分析】根据题意分别求出添加数据3之后平均数、众数、方差及中位数的变化情况即可． 【解析】解：由一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则有： 变化前的平均数：，变化后的平均数：，故不变； 变化前的众数和变化后的众数都为3，故不变； 变化前的中位数：，变化后的中位数也为3，故不变； 变化前的方差：，变化后的方差，故发生变化； 故选C． 【点睛】本题主要考查方差、中位数、众数及平均数，熟练掌握方差、中位数、众数及平均数是解题的关键． 4．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解． 【解析】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小， ∴点和中，， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键． 5．下列说法中，错误的是（    ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定可判断A、B，根据矩形的判定判断C，根据正方形的判定判断D. 【解析】A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确； B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,正确； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确； D. 菱形本身具有邻边相等的性质，所以有一组邻边相等的菱形是正方形错误. 故选D. 【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记特殊平行四边形的性质是掌握其判定定理的关键. 6．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是（     ） 【答案】B 【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【解析】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或． 故答案为：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算：= ． 【答案】 【分析】根据积的乘方公式和幂的乘方公式计算即可． 【解析】解：=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了积的乘方公式和幂的乘方，解题的关键是理解积的乘方和幂的乘方的运算法则． 8．1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为 【答案】2.5×10−9米. 【分析】首先根据1纳米=0.000000001米，得出2.5纳米=2.5×0.000000001米=0.0000000025米，再根据科学记数法的表示方法得出答案. 【解析】∵1纳米=0.000000001米， ∴2.5纳米=2.5×0.000000001米=0.0000000025米=2.5×10−9米； 故答案为:2.5×10−9米. 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 9．已知，那么 ． 【答案】 【分析】直接把代入中进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． 10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及根和系数的关系．由定义可知，；由方程有实数根可知，，进而求出的取值范围即可．解题关键是掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 【解析】解： 是一元二次方程， ， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得： ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 11．某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图及频率，由已知条件可得的频率为，由频数分布直方图得的频数是，即可求解；能从频数分布直方图获取正确信息，会利用频率进行求解是解题的关键． 【解析】解：由题意得 的频率为， 抽取的学生人数为（名）， 故答案为：． 12．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【解析】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解析】解：总的球数为：3+2=5个， ∴从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 14．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组.根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解析】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两， 由题意可得，， 故答案为：． 15．如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点， BD=3DC ，BA=a ， BC=b ，那么 AD = （用向量、来表示）． 【答案】 【分析】由已知求得BD与BC的数量关系，进而由向量的线性运算可得到答案． 【解析】∵，   ∴ ∵ ∴ ∴AD= 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm． 【答案】5 【解析】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴CD=AB， ∴AB=2CD=2×5=10cm， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴EF=×10=5cm． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 17．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，对于任意两点、称的值为、两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、两点，为线段上与点A、不重合的一点，那么、两点的“直角距离”是 ． 【答案】5 【分析】根据“直角距离”的概念，设，判断出Q点横坐标和纵坐标的正负性，计算即得结果； 【解析】解：由题意知，设， ∴、两点的“直角距离”是：， 将代入得，，故； 将代入得，，解得：，故； ∵为线段上与点A、不重合的一点， ∴ ∴ 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握题目中的“直角距离”的概念，结合一次函数知识进行解题是关键． 18．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【解析】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、分数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解析】解：原式= ． 【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解题的关键是熟练掌握分数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 【解析】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 21．如图，点在双曲线上，且纵坐标为10，直线经过点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移个单位，与第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定与性质、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据反比例函数求得点P的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得、，即；再证明，利用相似三角形的性质可得，进而得到，即，最后代入反比例函数解析式即可解答． 【解析】（1）解：∵点在双曲线上，且纵坐标为10， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图：设平移直线向下平移个单位后的解析式为：， ∵平移后的直线第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点， ∴，， ∴， 如图：过B作轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵该直线与第一象限中双曲线交于点， ∴，解得：． 22．图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． (1)求该支架的边的长； (2)求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】(1)7米 (2)6.5米 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用．熟练掌握锐角三角函数定义，矩形判定和性质，解直角三角形相关计算，是解题的关键． （1）根据，，得．根据，得．根据，，得． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为G．则，证明四边形是矩形，，得．得．得，根据，得． 【解析】（1）解：由题意得，，， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 答：该支架的边的长7米． （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为G． 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米． 23．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)延长与的延长线交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等； （1）由菱形的性质得，由等边三角形的判定得为等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由两角对应相等的三角形相似得，由相似三角形的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证； 掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， （）， ， ， ； （2）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 24．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 【分析】（1）把、代入即可得到答案； （2）①先求出的解析式，的解析式，再表示，，结合，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【解析】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）①由（1）知， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 把直线向上平移个单位，得到：， 当时，，当时，， ∴， 设直线交于点，过点作轴，交于点，设， 同法可得：的解析式为， 则：， 的解析式为， 当时，， ∴点E， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，等腰三角线的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）连接，，是圆的内接正六边形的一边时，进而判断是等边三角形，即可求解； （2）根据题意证明，得出则,，在，中，勾股定理即可求解； （3）分情况讨论，①当时，如图所示，过点作于点，则，②当时，分别画出图形，根据，解方程即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，连接，，      ∵半圆的直径， ∴， ∵是圆的内接正六边形的一边时， ∴, ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，    ∵是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图所示，过点作于点，则，    设，由（2）可得，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 又∵ ∴， 解得：， ∴； ②如图所示，当时，      同理可得，则，, ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，函数关系式，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$