信息必刷卷03（上海专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：更加注重实际应用，文字阅读的理解能力等综合学科能力。 中考·新考法：动态几何与新定义题可能会有创新 中考·新情境：可能出现函数（或几何）的实际应用或综合应用 命题·大预测：①动态几何、新定义题、圆的位置关系、正多边形与圆、梯形或特殊平行四边形为载体的几何题依然是选填题的难点考查部分；特色内容：代数方程的综合考查，函数解析式以各种载体的形式出现等 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 3．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数（单位：户）依次是：28，30，27，29，28，29，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．28和29 B．29和28 C．29和29 D．27和28 4．若一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y的值随x值的增大而减小，则（     ） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 5．下列说法中，不正确的是（     ） A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B．面积相等的两个圆一定能够重合 C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合 6．如图1，有一个含45°角且一组邻边长分别为b，的平行四边形纸片①和一个含45°角且边长为a的菱形纸片②（∠ABC＝45°）纸片内，再将①按不同的方式放置到图2中依次得到图3、图4．平行四边形ABCD未被覆盖的部分用阴影表示S1，S2，若S2﹣S1＝2b，则AD﹣AB的值为（　　　） A．3 B．6 C．9 D．12 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算： ． 8．分解因式： ． 9．若则 ． 10．已知点A（－3，－2）在反比例函数y＝的图像上，那么 k＝ ． 11．方程的根是 ． 12．甲乙两人做“石头、剪刀、布”游戏，能在一个回合中分出胜负的概率是 ． 13．如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 14．某学校组织主题为“保护自然，爱护家园”的手抄报作品评比活动．评审组对各年级选送的作品数量进行了统计，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）．那么选送的作品中，七年级的作品份数是 ． 15．如图，线段AD与BC相交于点G， AB//CD， ，设， ，那么向量用向量表示是 ． 16．如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为 米． 17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ． 18．如图，矩形中，，．矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．先化简，再求值：，其中． 20．解方程组：． 21．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： （1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域） （2）求两车的速度． 22．小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON； (2)如果AEON，AFOM，求证：． 24．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长； (3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 25．如图①，已知梯形ABCD中，//，，，，，点P是边AD上的动点，连接BP，作，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． (1)求的度数； (2)如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷03（上海专用） 数学·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 B A C C D D 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8． 9． 10．6 11． 12． 13． 14．84 15． 16．3 17．3 18． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（10分） 【解析】解：原式 当时，原式 ． 20．（10分） 【解析】解：由方程2x-3y=3得，， 把代入方程， 得， 整理得，， 解得或， 把代入2x-3y=3，解得， 把代入2x-3y=3，解得， 所以，原方程组的解为或． 21．（10分） 【解析】解：（1）设s关于t的函数关系式为s＝kt+b，根据题意 ， 解得， ∴s＝﹣150t+450； （2）由s＝﹣150t+450，可知甲，乙两车相距450千米，相遇时间是3小时 设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为v1千米/小时，v2千米/小时，根据题意得： 解得 轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时． 22．（10分） 【解析】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 23．（12分）． 【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心， ∴，． 又∵， ∴． ∵在Rt△AOM和Rt△AON中， ， ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）， ∴． （2）解：连接EF，交AO于点P． ∵，， ∴四边形AEOF是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形AEOF是菱形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即． 24．（12分） 【解析】（1）直线与轴、轴相交于点、， 当y=0，则-x+4=0，解得，x=4， 当x=0，则y=4， ∴、.， 代入得， ， 解得，，， ∴抛物线的解析式为. （2）∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当x=1时， ∴， ∴. （3）如图，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴点是坐标是， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点是坐标是 25．（14分） 【解析】（1）解：如图：过点D作于点H， ， 梯形ABCD中，//，， ，， 四边形ABHD是矩形，，AD=BH=6， CH=BC-BH=7-6=1， 在中，， ，CD=2CH=2， ． （2）解：如图：过点C作交AD的延长线于点M， ， 梯形ABCD中，//，， ，，， 四边形ABCM是矩形，，AM=BC=7， DM=BC-AD=7-6=1， ，PM=AM-AP=7-AP，PD=6-AP， ， 又， ， ，得， 得， 得， 解得或． （3）过点P作PM⊥DF，交FD的延长线于点M， 根据（1）得∠ADC=∠BPF=120°，AP=x，DF=y，PD=6-x， ∴∠F+∠FPD=60°，∠BPA+∠FPD=60°，∠PDM=60°， ∴∠F=∠BPA，MD=PDcos60°=，MP=PDsin60°=，FM=， ∴tan∠F=tan∠BPA， ∴， ∴， ∴． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：更加注重实际应用，文字阅读的理解能力等综合学科能力。 中考·新考法：动态几何与新定义题可能会有创新 中考·新情境：可能出现函数（或几何）的实际应用或综合应用 命题·大预测：①动态几何、新定义题、圆的位置关系、正多边形与圆、梯形或特殊平行四边形为载体的几何题依然是选填题的难点考查部分；特色内容：代数方程的综合考查，函数解析式以各种载体的形式出现等 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念判断． 【解析】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 2．如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 3．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数（单位：户）依次是：28，30，27，29，28，29，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．28和29 B．29和28 C．29和29 D．27和28 【答案】C 【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案． 【解析】解：对这组数据重新排列顺序得， 27，28，28，29，29，29，30， 处于最中间是数是29， ∴这组数据的中位数是29， 在这组数据中，29出现的次数最多， ∴这组数据的众数是29， 故选C． 【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数． 4．若一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y的值随x值的增大而减小，则（     ） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【答案】C 【解析】函数值y随x的增大而减小，则k<0；图象与y轴的正半轴相交，则b>0． 故选C． 5．下列说法中，不正确的是（     ） A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B．面积相等的两个圆一定能够重合 C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合 【答案】D 【分析】利用全等图形的定义，以及等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质分析选项即可． 【解析】解：由题意可知： A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一个角都为，故说法正确，不符合题意； B. 面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意； C. 面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为，故说法正确，不符合题意； D. 周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个角对应相等，故说法不正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查全等图形的定义，等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握性质，并进行分析． 6．如图1，有一个含45°角且一组邻边长分别为b，的平行四边形纸片①和一个含45°角且边长为a的菱形纸片②（∠ABC＝45°）纸片内，再将①按不同的方式放置到图2中依次得到图3、图4．平行四边形ABCD未被覆盖的部分用阴影表示S1，S2，若S2﹣S1＝2b，则AD﹣AB的值为（　　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】设平行四边形ABCD的面积为S，则S1＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AD﹣a）×sin45°，S2＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AB﹣a）×sin45°，得S2﹣S1b（AB﹣AD），再由S2﹣S1＝2b，即可求解． 【解析】解：设平行四边形ABCD的面积为S， 则S1＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AD﹣a）×sin45°， S2＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AB﹣a）×sin45°， ∴S2﹣S1＝S﹣a2﹣（AB﹣a）×-[S-a2﹣（AD﹣a）×] =b（AB﹣AD）， ∵S2﹣S1＝2b， ∴b（AB﹣AD）＝3b， ∴AB﹣AD＝12， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数定义等知识；正确求出平行四边形的面积是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键． 根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解析】解：， 故答案为：． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 再利用平方差公式分解即可． 【解析】解： ． 故答案为：． 9．若则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质以及乘方运算，解题的关键是根据非负数的性质求出a，b的值． 根据算术平方根和绝对值的非负性，得到关于a，b的方程，进而求出a，b的值，最后代入式子计算． 【解析】由题意可得： 所以可得， 解得；， 将代入可得： ， 故答案为：． 10．已知点A（－3，－2）在反比例函数y＝的图像上，那么 k＝ ． 【答案】6 【分析】把A（-3，-2）代入函数y＝中，即可求出k的值． 【解析】由题意知，k=-3×（-2）=6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，属于基础题，比较简单. 11．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解特殊的高次方程，熟练掌握解法是解决本题的关键． 本题中移项，得，将问题转化为求一个已知数的n次方根的问题． 【解析】解：， ， 故答案为： 12．甲乙两人做“石头、剪刀、布”游戏，能在一个回合中分出胜负的概率是 ． 【答案】 【分析】直接用列表法求出所有可能的情况，然后根据基本概率公式即可得出答案． 【解析】分别用表示石头、剪刀、布，则在一个回合下的所有情况列表如下： 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布 一共有9种等可能结果，其中获胜的情况有6种，故获胜的概率． 【点睛】本题考查了基本概率的求法，解题的关键是熟练掌握求概率的方法，包括列表法和树状图法． 13．如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【解析】解：在中，当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 14．某学校组织主题为“保护自然，爱护家园”的手抄报作品评比活动．评审组对各年级选送的作品数量进行了统计，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）．那么选送的作品中，七年级的作品份数是 ． 【答案】84 【分析】先求出所有作品的总数量，再求出八年级作品数，进而得七年级作品数． 【解析】解：作品总数量为：（份）； 八年级作品数：（份）； 七年级的作品数：（份）； 故答案为：84． 【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图，根据题中信息正确计算是解题的关键． 15．如图，线段AD与BC相交于点G， AB//CD， ，设， ，那么向量用向量表示是    【答案】 【分析】根据三角形法则求向量的差，根据AB//CD， ，即可求得向量． 【解析】解：， ， ， ∵AB//CD， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的和差计算是解题的关键． 16．如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为 米． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数值，求出相关角度，从而进行求解即可. 【解析】解：设、交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的性质，垂径定理的推论，勾股定理，正确理解题意，作出图形是解题的关键．先根据题意画图，连接，与交于点，设，由勾股定理建立方程，求出，再由即可求解． 【解析】解：根据题意画图如下： 连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴经过圆心O， ∴， 设， 则， 连接， ∴，   ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：3． 18．如图，矩形中，，．矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么 ． 【答案】 【分析】过A点作AF⊥BD，交BD于点F，利用勾股定理求出BD=5，在根据是矩形ABD的面积求出AF，进而可求出，进而求出，再证明，即有，DE可求． 【解析】过A点作AF⊥BD，交BD于点F，如图， ∵矩形中AB=3，BC=AD=4，∠BAC=90°， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知：，，， ∵， ∴，即， ∴， 根据旋转可知：，，， ∴根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 【解析】解：原式 当时，原式 ． 【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简． 20．解方程组：． 【答案】或 【分析】首先由2x-3y=3可得，，再把代入另一个方程，即可解得x，据此即可解得． 【解析】解：由方程2x-3y=3得，， 把代入方程， 得， 整理得，， 解得或， 把代入2x-3y=3，解得， 把代入2x-3y=3，解得， 所以，原方程组的解为或． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握和运用二元二次方程组的解法是解决本题的关键． 21．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： （1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域） （2）求两车的速度． 【答案】（1）s＝﹣150t+450；（2）轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时． 【分析】（1）观查图像找出直线上的两个点坐标，带入计算即可； （2）由s＝﹣150t+450，可知甲，乙两车相距450千米，相遇时间是3小时，根据题型列出方程组求解即可． 【解析】解：（1）设s关于t的函数关系式为s＝kt+b，根据题意 ， 解得， ∴s＝﹣150t+450； （2）由s＝﹣150t+450，可知甲，乙两车相距450千米，相遇时间是3小时 设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为v1千米/小时，v2千米/小时，根据题意得： 解得 轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，一次函数等知识点，能从图像中看出总路程是解题关键． 22．小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【解析】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON； (2)如果AEON，AFOM，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论； （2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心， ∴，． 又∵， ∴． ∵在Rt△AOM和Rt△AON中， ， ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）， ∴． （2）解：连接EF，交AO于点P． ∵，， ∴四边形AEOF是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形AEOF是菱形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键． 24．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长； (3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点是坐标是 【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可； （3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案． 【解析】（1）直线与轴、轴相交于点、， 当y=0，则-x+4=0，解得，x=4， 当x=0，则y=4， ∴、.， 代入得， ， 解得，，， ∴抛物线的解析式为. （2）∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当x=1时， ∴， ∴. （3）如图，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴点是坐标是， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点是坐标是 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系． 25．如图①，已知梯形ABCD中，//，，，，，点P是边AD上的动点，连接BP，作，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． (1)求的度数； (2)如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)2或5 (3) 【分析】(1)过点D作于点H，可得四边形ABHD是矩形，，CH=BC-AD=1，再通过解直角三角形即可求得的度数，据此即可求得； (2)，过点C作交AD的延长线于点M，可证得四边形ABCM是矩形，，AM=BC=7， 可得MD=BC-AD=1，PM=AM-AP=7-AP，PD=6-AP，，可证得，据此即可求得； (3)过点P作PM⊥DF，交FD的延长线于点M，根据∠F+∠FPD=60°，∠BPA+∠FPD=60°，得∠F=∠BPA，利用正切函数值相等，建立等式计算即可． 【解析】（1）解：如图：过点D作于点H， ， 梯形ABCD中，//，， ，， 四边形ABHD是矩形，，AD=BH=6， CH=BC-BH=7-6=1， 在中，， ，CD=2CH=2， ． （2）解：如图：过点C作交AD的延长线于点M， ， 梯形ABCD中，//，， ，，， 四边形ABCM是矩形，，AM=BC=7， DM=BC-AD=7-6=1， ，PM=AM-AP=7-AP，PD=6-AP， ， 又， ， ，得， 得， 得， 解得或． （3）过点P作PM⊥DF，交FD的延长线于点M， 根据（1）得∠ADC=∠BPF=120°，AP=x，DF=y，PD=6-x， ∴∠F+∠FPD=60°，∠BPA+∠FPD=60°，∠PDM=60°， ∴∠F=∠BPA，MD=PDcos60°=，MP=PDsin60°=，FM=， ∴tan∠F=tan∠BPA， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，三角形相似的判定和应用，熟练掌握三角形相似的判定，活用三角函数及其特殊角的函数值是解题的关键． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$