期中测试卷（A卷·提升卷·单元重点综合测试）（北师大版八下1～3章）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一至三章 期中测试卷（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若a＜b，则下列不等式不一定正确的是（　　） A．﹣3a＞﹣3b B．a﹣b＜0 C．2a＜2b D．a2＜b2 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 4．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm 6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．如图，在△ABC中，∠CAB＝68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° 8．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 9．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　） A．8＜x＜10 B．10＜x＜12 C．x＞10 D．10＜x＜11 10．若关于x的不等式组的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．写出一个解集为x＜2的一元一次不等式：　 　 ． 14．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于，B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为 　 　 ． 15．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠AB'B的度数为 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t　 　 时，△PBQ是直角三角形． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（12分）（1）计算：； （2）解不等式组． 18．（10分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△AB1C1； （2）在（1）的条件下，请求出△AB1C1的面积． 19．（10分）下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： 3（1+x）﹣2（2x+1）≤1① 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1② 移项得：3x﹣4x≤1+2﹣3③ 合并同类项得：﹣x≤0④ 两边同除以﹣1得：x≤0．⑤ （1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是　 　 ； （2）请你写出正确的解答过程． 20．（10分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21．（10分）如图，等边△ABC，在BC边延长线上取点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE，AE． （1）求∠ECD的度数； （2）若AB＝6，CD＝2，求DE的长． 22．（10分）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G． （1）求证：CE＝FG． （2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积． 23．（12分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E． （1）求证：AC平分∠EAF； （2）求证：∠FAD＝∠E； （3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长． 24．（12分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元． （1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 25．（12分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一至三章 期中测试卷（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．若a＜b，则下列不等式不一定正确的是（　　） A．﹣3a＞﹣3b B．a﹣b＜0 C．2a＜2b D．a2＜b2 【解答】解：A、若a＜b，则﹣3a＞﹣3b，故本选项正确，不符合题意； B、若a＜b，则a﹣b＜0，故本选项正确，不符合题意； C、若a＜b，则2a＜2b，故本选项正确，不符合题意； D、若a＜b，不等式a2＜b2不一定成立，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 【解答】解：A、如果a2＝b2﹣c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，原说法错误，符合题意； B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意； C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意； D、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意， 故选：A． 4．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x≥﹣3， 将两个不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 5．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF， ∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm， ∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC＝20cm， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝20+3+3＝26（cm）， 即四边形ABFD的周长为26cm． 故选：D． 6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵PB＝13，PD＝5， ∴BD12， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，∠CAB＝68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° 【解答】解：∵AB∥CE， ∴∠CAB＝∠ACE＝68°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置， ∴AE＝AC，∠CAB＝∠EAD＝68°， ∴∠ECA＝∠AEC＝68°， ∴∠EAC＝44°， ∴∠CAD＝68°﹣44°＝24°， 故选：B． 8．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【解答】解：如图，连接AB， 由题意得：OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∵BD⊥OA， ∴∠OBD∠OBA60°＝30°， 故选：D． 9．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　） A．8＜x＜10 B．10＜x＜12 C．x＞10 D．10＜x＜11 【解答】解：∵小明说：“你们三个人都说错了”， ∴， ∴10＜x＜12， 故选B． 10．若关于x的不等式组的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：由不等式得：x＜﹣2， 由4xa＜x﹣1得：xa， ∵不等式组的解集是x＜﹣2， ∴2， 解得a， 解方程得y， 由题意知0， 解得a＞﹣2， 则符合条件的整数a的值之和为﹣1+0+1+2+3＝5， 故选：C． 11．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：C． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【解答】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， 分类如下： ①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x， 解得：x＝22.5°． 此时∠B＝2x＝45°； 见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB． ②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x， 解得x＝37.5°， 此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． 图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°． ③DE＝BE时，则∠B（180﹣2x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x（180﹣2x）°， 此方程无解． ∴DE＝BE不成立． 综上所述，∠B＝45°或30°． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．写出一个解集为x＜2的一元一次不等式：　2x＜4（答案不唯一）　 ． 【解答】解：将x＜2两边同乘以2可得一元一次不等式2x＜4， 故答案为：2x＜4． 14．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于，B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为 　　 ． 【解答】解：∵﹣kx﹣b＜0， ∴kx+b＞0， 由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 15．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠AB'B的度数为 　70°　 ． 【解答】解：∵C'C∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝70°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，AB＝AB'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠ACC'＝∠AC'C＝70°， ∴∠CAC'＝40°＝∠BAB'， ∵AB＝AB'， ∴∠AB'B＝70°， 故答案为：70°． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t　或6　 时，△PBQ是直角三角形． 【解答】解：①当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， 即t＝2（24﹣2t），解得：t； ②当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠QPB＝30°， ∴PB＝2BQ， 即24﹣2t＝2t， 解得：t＝6； 故答案为：或6． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（1）计算：； （2）解不等式组． 【解答】解：（1）原式＝5×（﹣4）﹣1﹣8 ＝﹣20﹣1﹣8 ＝﹣29； （2）， 由①得，x＞﹣2， 由②得，x＜3， 故此不等式组的解集为：﹣2＜x＜3． 18．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△AB1C1； （2）在（1）的条件下，请求出△AB1C1的面积． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求； （2）△AB1C1的面积9﹣1.5﹣1﹣3＝3.5． 19．下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： 3（1+x）﹣2（2x+1）≤1① 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1② 移项得：3x﹣4x≤1+2﹣3③ 合并同类项得：﹣x≤0④ 两边同除以﹣1得：x≤0．⑤ （1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是　①⑤　 ； （2）请你写出正确的解答过程． 【解答】解：（1）第①步给两边乘以6时，不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误； 第⑤步两边同除以﹣1时，不等号的方向没有改变，所以第⑤步也错误； 故答案为：①⑤； （2）原不等式去分母得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6， 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6， 移项得：3x﹣4x≤6+2﹣3， 合并同类项得：﹣x≤5， 两边同除以﹣1得：x≥﹣5． 20．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′． 21．如图，等边△ABC，在BC边延长线上取点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE，AE． （1）求∠ECD的度数； （2）若AB＝6，CD＝2，求DE的长． 【解答】解：（1）由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE， ∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°； （2）如图，过点A作AM⊥BC于点M， ∵△ABC是等边三角形， ∴CMBCAB＝3， ∴AM3， ∵CD＝2， ∴DM＝CM+CD＝5， ∴AD2， ∵∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE， ∴DE＝2． 22．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G． （1）求证：CE＝FG． （2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，FG⊥AB， ∴FC＝FG，∠CAF＝∠DAE∠BAC， ∠CAF+∠CFA＝90°，∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠AFC， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠AFC， ∴CE＝CF， ∴CE＝FG． （2）解：∵CE＝4， ∴FG＝CF＝CE＝4， ∵AC＝12，AB＝15， ∴， 所以△ABC的面积为54． 23．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E． （1）求证：AC平分∠EAF； （2）求证：∠FAD＝∠E； （3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长． 【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵过点A作AF∥BC交CD于F， ∴∠CAF＝∠BCA， ∴∠CAF＝∠BAC， 即AC平分∠EAF； （2）证明：∵在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠DCA是△ACE的一个外角， ∴∠DCA＝∠E+∠EAC， ∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF， ∵∠CAF＝∠EAC， ∴∠FAD＝∠E； （3）解：过点C作CM⊥AE，垂足为M，如图， ∵∠EAD＝90°， ∴∠E+∠ADE＝90°， 又∵FAD＝∠E， ∴∠FAD+∠ADE＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴CF⊥AF． ∵△AEC的面积为， ∴AE•CM， 又∵AE＝5， ∴CM， ∵AC平分∠EAF，CM⊥AE，CF⊥AF， CF＝CM． 24．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元． （1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 【解答】解：（1）设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元， 根据题意得， 解得， 答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元； （2）设需要购买m本甲种笔记本， 根据题意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤225， 解得， ∴m取最大整数为21， 答：至多需要购买21本甲种笔记本． 25．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2； （2）解：设AC＝AB＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， ∵CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.4）2， ∴x＝1， 即CA＝1千米， ∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.2千米； （3）解：作CH⊥AB，垂足为H， 设AH＝y， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，AB＝21，AC＝10，BC＝17， ∵CH2＝CA2﹣AH2，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， ∴y＝6， ∴AH＝6， ∴． ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/31 14:32:51；用户：赵玉琴；邮箱：13721589064；学号：37201216 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$