广东省东莞市常平中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 常平中学第二学期高二数学 3 月教学质量阶段性自查测试 班级 姓名 试室号 试室座号 一、单选题（每题 5分） 1．某跳水运动员练习跳水，其重心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t （单位：s）的函数 关系是 2( ) 5 2 4h t t t    ，则该运动员在 0.5st  时的瞬时速度为（ ） A． 0.50m / s B．0.50m / s C．3m / s D． 3m / s 2．函数    2e cosxf x x x   的图象在 0x  处的切线方程为（ ） A． 2 1 0x y   B． 2 0x y   C． 2 0x   D．2 1 0x y   3．已知   3 22 6f x x x a   （a 为常数）在 2 2 , 上有最大值 3，则此函数  f x 在 2 2 , 上的最小值是（ ） A． 37 B． 29 C． 5 D． 8 4．若函数   lnf x kx x  在区间 1 , 2       上单调递增，则 k 的取值范围为（ ） A． 1 , 2       B． 2, C． 1 , 4       D． 4, 5．2160 有多少个不同的正因数？（ ） A．24 B．36 C．40 D．58 6．函数 ( )f x 与其导函数 ( )f x 的图象的一部分如图所示，则关于函数 ( ) ( ) ex f x g x  的单调性说法正确的是（ ） A．在 ( 1,1) 单调递减 B．在 (0,2 3) 单调递减 C．在[2 3,1] 单调递减 D．在[1,2]单调递减 7．已知函数  3( ) exf x x a  既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A．( 4,0) B．[ 4,0] C． (0,4) D．[0,4] 8．已知 3 1 ( ) ln 1 4 4 g x x x x     ， 2( ) 2 4f x x tx   ，若 1 (0, 2)x  ，  2 1,2x  ，使 1 2( ) ( )g x f x ，则 t 的取 值范围是（ ） A． 17 [2, ] 8 B． 17 , 8      C． 2, D． 1, 二、多选题(每题 6分.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.) 9．下列表述中正确的是（ ） A．若 0( )f x 不存在，则曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处没有切线 B．曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线方程为 2y x ，则当 0x  时， (1) (1 ) 1 2 f f x x     C．  2 1 ln 2 log ln 2 x x   D．若 2( ) 2 (1) ln 1f x f x x x    ，则 (1) 0f  试卷第 2 页，共 4 页 第一步： ln ln ln xy a x a  ； 第二步：    ln lny x a  ； 第三步： 1 lny a y   ； 第四步： ln lnxy y a a a     . 10．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如 213、435 等都是“凹数”，用 1，2，3，4，5 这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A．组成的三位数的个数为 60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为 9 的个数为 6 C．在组成的三位数中，比 300 大的个数为 36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为 24 11．已知函数   2 , ex x f x a x  R，则下列说法正确的有（ ） A．2 是函数 ( )f x 的极小值点 B．当 0x  时，函数 ( )f x 取得最小值 C．当 2 4 e a  时，函数 ( )f x 存在 2 个零点 D．若函数 ( )f x 有 1 个零点，则 2 4 e a  或 0a  三、填空题(每题 5分) 12．若  2 1 *16 16C Cx x x N ，则 x  ． 13．对于 xy a  0a  ，且 1a  这类函数的求导，可以使用以下方式进行： 根据框内的信息，函数  0xy x x  的导数 y  14．已知曲线 lny x x  在点  1,1 处的切线与曲线  2 2 3 1y ax a x    只有一个公共点，则a  . 四、解答题（共 77分） 15．（13 分）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A 系列进行市场销 售量调研，通过对该品牌的A 系列一个阶段的调研得知，发现A 系列每日的销售量 ( )f x （单位：千克）与 销售价格 x（元/千克）近似满足关系式 2( ) 10( 7) 4 a f x x x     ，其中4 7x  ，a为常数.已知销售价格为 6 元/千克时，每日可售出A 系列 15 千克. （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）若A 系列的成本为 4 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使该商场每日销售A 系列所获得的利润最大. 试卷第 3 页，共 4 页 16．（15 分）某社团共有学生 9 名，其中有 5 名男生和 4 名女生，现从中选出 4 人去参加一项创新大赛. （列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果 4 人中男生女生各选 2 人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种选法？ （4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ （5）若 9 名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ 17．(15 分)已知曲线    e 1xf x x  . (1)求  f x 在 1x  处的切线方程. (2)求  f x 在[ 3,0] 内的最值。 (3)若函数     3exg x f x m   有两个零点，求实数m 的取值范围． 试卷第 4 页，共 4 页 18.(17 分)已知函数 21( ) (1 ) ln ( ) 2 f x ax a x x a    R ． (1)若 0a  ，判断 21( ) ( ) 2 x xf x x   的单调性； (2)讨论 ( )f x 的单调性； (3)当 0a  时， ( ) ln( )f x b a a    恒成立，求实数b 的最小值. 19．（17 分）著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数   e e 2 x x f x   叫做双曲正弦函数，函数   e e 2 x x g x   叫做双曲余弦函数。已知函数     e e e e 2 2 x x x x f x g x     ， . (1)对任意实数 x，     2 2 g x f x       是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (2)求不等式    3 2 1 0f x f x    的解集； (3)当  0, ln3x 时，求      4 2 2h x mf x g x  的最大值  m . 答案第 1 页，共 4 页 《常平中学高二第二学期数学 3 月教学质量阶段性自查测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C B A B BC AC BCD 12． 5 13．  ln 1xx x  14．0 或 1 2 4．B【详解】 ' 1( )f k x x   ,因为函数   lnf x kx x  在区间 1 , 2       上单调递增，所以 ' 1( ) 0f x k x    在 1 , 2       上恒成立，即 1 k x  在 1 , 2       上恒成立.因为 1 y x  在 1 , 2       上单调递减，所以当 1 , 2 x        时， 2y  ，所以 2k  ，则 k 的取值范围为 2, . 5．C【详解】由题意， 4 32160 2 5 3   ，则 2160 的正因数  2 5 3 , , , r s tp r s t   N ，因为 r 可取0,1,2,3,4; s 可取 0，1;t 可取0,1,2,3；所以 2160 有5 2 4 40   个不同的正因数. 6．B【详解】从图象可以看出过点  2,0 的为 ( )f x 的图象，过点  1,0 的为导函数 ( )f x 的图象，  ( ) ( ) ex f x f x g x     ，当 ( 1,2 3)x   时，  ( ) 0f x f x   ，故 ( ) 0g x  ， ( ) ( ) ex f x g x  在 ( 1,2 3)x   上 单调递减，当 2 3,2x    时，  ( ) 0f x f x   ，故 ( ) 0g x  ， ( ) ( ) ex f x g x  在 2 3,2x    上单调递增， 7．A【详解】由题设  3 2( ) e 3xf x x x a    ，令 3 2( ) 3g x x x a   ，则 2( ) 3 6 3 ( 2)g x x x x x     ， 当 2x   或 0x  时， ( ) 0g x  ，则 ( )g x 在 ( , 2)  和 (0, ) 上单调递增，当 2 0x   时， ( ) 0g x  ，则 ( )g x 在 ( 2,0) 上单调递减， ( 2) 8 12 4g a a       ， (0) g a 且 x 时 ( )g x 趋向，x 时 ( )g x 趋向， 要使函数  3( ) exf x x a  既有极大值又有极小值，即 ( )f x 至少有两个变号零点，所以 ( )g x 至少有两个变 号零点，所以 4 0 4 0 0 a a a        . 8．B【详解】由题     min min g x f x ，因为 3 1 ( ) ln 1 4 4 g x x x x     ，所以     2 2 2 2 1 31 3 1 4 3 4 4 4 4 x xx x g x x x x x           ，且0 2x  ，当  0,1x 时，   0g x  ，函数单调递减， 当  1,2x 时，   0g x  ，函数单调递增，所以当 1x  时，  g x 取得最小值，   1 1 2 g   ，     22 22 4 4f x x tx x t t       ，  1,2x ，①当 1t  时，函数单调递增，     min 1 5 2f x f t   ， 即 1 5 2 2 t   ，解得： 11 4 t  ，不成立；②当1 2t  时，     2 min 4f x f t t   ， 即 2 14 2 t   ，解得： 3 2 2 t  或 3 2 2 t   ，不成立；③当 2t  时，函数单调递减，    min 2 8 4f x f t   ， 即 1 8 4 2 t   ，解得： 17 8 t  ，成立.综上可知： 17 8 t  . 法二：分参 9．BC【详解】对于 A，不妨记   1 3f x x ，则   2 3 1 3 f x x    ，在 0x  处导数不存在，但   1 3f x x 在 0x  处 的切线方程为 0x  ，故 A 错误；对于 B，若曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线方程为 2y x ，则  1 2f   ，即 答案第 2 页，共 4 页 当 0x  时， (1) (1 Δ ) 2 Δ f f x x    ，所以，当 0x  时， (1) (1 ) 1 2 f f x x     ，故 B 正确； 对于 C，      2 2 1 ln 2 log ln 2 log ln 2 x x x        ，故 C 正确；对应 D，若 2( ) 2 (1) ln 1f x f x x x    ，则 1 ( ) 2 (1) 2f x f x x     ，则 (1) 2 (1) 2 1f f   ，解得  1 1f   ，所以 2( ) 2 ln 1f x x x x    ，则 2(1) 2 1 1 ln1 1 2f       ，故 D 错误. 10．AC【详解】依题意，组成的三位数的个数为 3 5A 60 ，故 A 正确；各位数字之和为 9 的有1 3 5  ；2 3 4  两种组合，故各位数字之和为 9 的个数为 3 32A 12 ，B 错误；比 300 大，则百位上的数可以为 3，4，5，比 300 大的个数为 1 2 3 4C A 36 ，C 正确；将这些“凸数”分为三类：①十位为 1，则有 2 4A 12 （种）；②十位为 2， 则有 2 3 A 6 （种）；③十位为 3，则有 2 2A 2 （种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12 6 2 20   11．BCD【详解】对 A，由题意    2 2 22 e e , e e x x x x x xx x f x x    R ，所以当 0x  或 2x  时，   0f x  ， 此时 ( )f x 单调递减，当0 2x  时，   0f x  ，此时 ( )f x 单调递增，所以 2 是函数 ( )f x 的极大值点，故 A 错误；对 B，由 A 知    0f x f a  极小值 ，且当 x 时，  f x a ，且大于 a ，则当 0x  时，函数 ( )f x 取得最小值，故 B 正确；对于 C，若 2 4 e a  ，则令   2 2 4 0 e ex x f x    ，即 2 2 4 e ex x  ，设   2 ex x h x  ， 则    2 ex x x h x   ，所以当 0x  或 2x  时，   0h x  ，此时 ( )h x 单调递减，当0 2x  时，   0h x  ，此 时 ( )h x 单调递增，则    0 0h x h 极小值 ，     2 4 2 e h x h  极大值 ，且当 x ，   0h x  ，且大于 0， 作出函数图象如图所示，则直线 2 ex x y  与函数 ( )h x 有两个交点，则当 2 4 e a  时，函数 ( )f x 存在 2 个零点， 故 C 正确；对于 D，若函数 ( )f x 有 1 个零点，即方程 2 ex x a  有一个根，则转化为直线 y a 与   2 ex x h x  的 图象只有一个交点，由图可知，若函数 ( )f x 有 1 个零点，则 2 4 e a  或 0a  ， 12．5 【详解】已知 2 1 16 16C C x x ，根据组合数性质可得 2 1x x  或 (2 1) 16x x   . 当 2 1x x  时，可得 1x   .但因为 *Nx ，舍去；当 (2 1) 16x x   时，解得 5x  ，则 5 11 16 16C C 成立 13．  ln 1xx x  【详解】因为 xy x ，故可得 ln lny x x ，所以    ln lny x x    ，即 1 ln 1y x y    ， 所以    ln 1 ln 1xy y x x x    . 14．0 或 1 2 【详解】因为 lny x x  ，所以 1 1y x    ，所以当 1x  时， 1 1 2y    ，即切线的斜率为 2， 所以由点斜式得 1 2( 1)y x   即 2 1y x  ，联立  2 2 3 1 2 1 y ax a x y x         整理得 2 (2 1) 2 0ax a x    ， 因为切线与曲线  2 2 3 1y ax a x    只有一个公共点，所以方程 2 (2 1) 2 0ax a x    只有一个根， 当 0a  时，方程为 2 0x   只有一个根，满足题意；当 0a  时， 2(2 1) 8 0a a     ，即   2 2 1 0a   ， 解得 1 2 a  ，综上 0a  或 1 2 a  ， 答案第 3 页，共 4 页 15．解：（1）有题意可知，当 6x  时，   15,f x  ，即 10 15 2 a   ，解得 10a  ，所以     210 10 7 4 f x x x     . （2）设该商场每日销售A 系列所获得的利润为  h x ，则       2 3 210= 4 10 7 10 180 1050 1950(4 7) 4 h x x x x x x x x              ，   230 360 1050h x x x   ， 令   230 360 1050=0h x x x   ，得 5x  或 7x  （舍去）， 所以当4 5x  时，      0, 4,5h x h x 在 为增函数； 当5 7x  时，      0, 5,7h x h x 在 为减函数， 故当 =5x 时，函数  h x 在区间  4,7 内有极大值点，也是最大值点， 即 =5x 时函数  h x 取得最大值50 . 所以当销售价格为 5 元/千克时，A 系列每日所获得的利润最大. 16．（1）60；（2）21；（3）91；（4）120 ；（5）181440 【详解】（1）如果 4 人中男生女生各选 2 人，有 2 2 5 4 60C C  种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的 7 人中任选 2 人，有 2 7 21C  种选法； （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，共有 4 4 9 7 91C C  种选法； （4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，先从所有 9 人中选 4 人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有 4 4 4 9 4 5 120C C C   种选法. (5)根据题意，将 9 人全排列，有 9 9A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙 的左边有 9 9 =1 0 1 2 8144A 种不同的排法 17．（1）因为    e 1xf x x  ，所以    e 2xf x x  ，  1 2ef  ，即切点为  1,2e ， 又  1 3ef   ，所以切线方程为  2e 3e 1y x   ，即 3e ey x  . (2)    e 2 , [ 3,0]xf x x x    ,所以 ( ) ( 3, 2)f x 在 单调递减，在(-2,0)单调递增， 2 3( 2) , ( 3) 2 , (0) 1f e f e f ，所以 2 max min( ) 1, ( )f x f x e 。 （3）因为      3e e 2x xg x f x m x m      ， 函数    e 2xg x x m   有两个零点，相当于曲线    e 2xu x x   与直线 y m 有两个交点， 又 ( ) e ( 2) e e ( 1)x x xu x x x       ，当 ( ,1)x   时，   0u x  ，所以  u x 在 ( ,1) 上单调递减，当 (1, )x  时，   0u x  ，所以  u x 在 (1, ) 上单调递增，所以 1x  时，  u x 取得极小值  1 eu   ， 又 x 时，  u x  ，且当 2x  时，   0u x  ， 所以    e 2xu x x   的图象如下所示： 由图可得实数m 的取值范围为 | e 0m m   ． 法二：直接求导分类讨论 18.（1）当 0a  时， ( ) lnf x x x   ， 2 ( ) ln , (0, ) '( ) ln 1 2 x x x x x x x x，          ， 记 ( ) ln 1, (0, )h x x x x ，则 1 1 '( ) 1 x h x x x ，令 '( ) 0,h x 则 1x ， 所以 ( ) 1 1h x 在(0,)内单调递增，在( ,+ )内单调递减， ( ) (1) 0h x h . 所以 '( ) 0, ( ) (0, )x x 在 单调递减。 答案第 4 页，共 4 页 （2）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，求导得 1 ( 1)( 1) ( ) (1 ) x ax f x ax a x x         ， 当 0a  时，由 ( ) 0f x  ，得0 1x  ；由 ( ) 0f x  ，得 1x  ， ( )f x 在  0,1 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减； 当0 1a  时，由 ( ) 0f x  ，得0 1x  或 1 x a  ；由 ( ) 0f x  ，得 1 1 x a   ， 函数 ( )f x 在 1 (0,1), ( , ) a  上单调递增，在 1 (1, ) a 上单调递减； 当 1a  时， ( ) 0f x  恒成立，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 当 1a  时，由 ( ) 0f x  ，得 1 0 x a   或 1x  ；由 ( ) 0f x  ，得 1 1x a   ， 函数 ( )f x 在 1 (0, ), (1, ) a  上单调递增，在 1 ( ,1) a 上单调递减， 综上，当 0a  时，函数 ( )f x 的递增区间为(0,1)，递减区间为 (1, ) ； 当0 1a  时，函数 ( )f x 的递增区间为 1 (0,1), ( , ) a  上单调递增，递减区间为 1 (1, ) a ； 当 1a  时，函数 ( )f x 的递增区间为 (0, ) ； 当 1a  时，函数 ( )f x 的递增区间为 1 (0, ), (1, ) a  ，递减区间为 1 ( ,1) a . （3）由（2）知当 0a  时，函数 ( )f x 在(0,1)上单调递增，在 (1, ) 上单调递减，则 max ( ) (1) 1 2 a f x f    ， 依题意， ln( ) 1 2 a b a a      ，即 ln( ) 1 2 a b a    恒成立， 令函数 ( ) ln( ) 1 ( 0) 2 a g a a a     ，求导得 1 1 2 ( ) 2 2 a g a a a      ， 当 2a   时， ( ) 0g a  ，当 2 0a   时， ( ) 0g a  ，函数 ( )g a 在 ( , 2)  上递增，在 ( 2,0) 上递减， 即 max ( ) ( 2) ln 2 2g a g    ，因此 ln 2 2b   ，所以b 最小值为 ln 2 2 . 19．【详解】（1）由     e e e e , 2 2 x x x x f x g x      ，可得     2 2 2 2 e e e e 2 2 x x x x g x f x                         2 2 2 2e e e e 1 2 2 4 4 x x x x        ，即     2 2 g x f x       是定值，定值为 1. （2）易知   e e 2 x x f x   的定义域为R ，又     e e 2 x x f x f x       ，所以  f x 为奇函数， 由不等式    3 2 1 0f x f x    可得      3 2 1 1f x f x f x       ， 又因   e e 2 x x f x   是R 上的增函数，所以3 2 1x x    ，所以 1 4 x  ，所以不等式的解集为{ 1 | 4 }x x  . （3）令 e ex xt   ，因 e ex xt   在 0,ln3 上单调递增，故得 8 [0, ] 3 t ， 又因为 2 2 2e +e 2x xt   ，       2 24 2 2 2 (e e ) (e e )x x x xh x mf x g x m        ， 则 2 2 2( ) ( ) 2 ( 2) ( ) 2h x p t mt t t m t         ， 8 [0, ] 3 t ， ① 当 8 3 m  时，函数 ( )p t 在 8 [0, ] 3 上单调递增，故当 8 3 t  时， ( )p t 取得最大值为   64 16 16 82 2 9 3 3 9 m m m       ； ② 当 0m  时，函数 ( )p t 在 8 [0, ] 3 单调递减，故当 0t  时， ( )p t 取得最大值为   2m   ； ③当 8 0 3 m  时，函数 ( )p t 在 0,m 上单调递增，在 8 [ , ] 3 m 上单调递减，所以 t m 时取最大值   2 2 22 2 2m m m m       ；综上可得：   2 2, 0 8 2,0 3 16 82 8 , 3 9 3 m m m m m m               .