江苏省淮阴中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期诊断性测试 高一数学试题 满分：150分 时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.已知为锐角，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知平面向量，均为非零向量，则“”是“”的(    ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，，，(    ) A. B. C. D. 6.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，点在所在的平面内，满足，且，则(    ) A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 7.平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则(    ) A. B. C. D. 8.已知内角，，所对的边分别为，，，若，的面积等于，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在中，下列命题正确的是(    ) A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 10.已知向量，则(    ) A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11.已知，，，则    ． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量，满足，，与的夹角为，则的值为          ． 13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，要使该三角形有两解，则实数的取值范围为          ． 14.已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，如图，分别为两个正方形的中心其中，，三点不共线，则当的值最大时，的面积为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，有两条相交成的直路，，交点是，甲、乙两人分别在，上行走，一开始，甲在距点的点处，乙在距点的点处，现在他们同时以的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． 若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示 若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示 什么时间两人间的距离最短 16.本小题分 已知是同一平面内的三个向量，其中． 若，且，求； 若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标． 17.本小题分 如图，在平面四边形中，，，，． 求四边形的周长； 求四边形的面积． 18.本小题分 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． 试用表示 求的值 已知方程在上有三个根，记为，，， 求证：． 19.本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，已知，． 求证：是直角三角形； 已知，，点，是边上的两个动点不重合，记． 当时，设的面积为，求的最小值； 记，问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淮安市新淮高级中学2024-2025学年度第二学期诊断性测试 高一数学试题答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.   10.   11.   三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.   13.   14.   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 解：若过小时后，甲到达点，乙到达点， 则，， 故．......................................3分 若过小时后，甲到达点，乙到达点， 则，， 故．..........................7分 如图，建立平面直角坐标系，则，， 则由可得， 故两人间的距离 ， 则当时，，故过小时后两人间的距离最短．..................................13分 16. 解：因为， 所以 ， 所以．.............................7分 因为， ， 所以在上的投影向量为 ． ...............................15分 17. 解：因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为；.................................7分 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． ............................15分 18. 解：因为 .....................................................4分 所以， 因为， 因为， ， 即 因为，解得已舍.........................9分 要证，因为， 即证 设，代入方程得到， 解三角方程得，，， 不妨取，，， ， 而， 综上， 即证．...............................................17分 19. 解：证明：在中，， ， 即， 所以或者B. 当时，即，所以为直角三角形； 当时，，从而， 因此，所以为直角三角形．........................................5分 因为，所以，又，，所以，． 如图，设， 则在中，由正弦定理得，所以． 在中，由正弦定理得，所以． 所以， 因为，所以， 故当，即，..............................10分 假设存在实常数，，对于所有满足题意的，， 都有成立， 则存在实常数，，对于所有满足题意的，， 都有． 由题意，是定值， 所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以， 从而，． .............................................17分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$