第22讲 梯形(五类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第22讲 梯形(十一大题型） 学习目标 1．理解梯形、直角梯形和等腰梯形的概念． 2．掌握等腰梯形的性质和判定． 3. 熟练运用所学的知识解决梯形问题． 4. 掌握三角形，梯形的中位线定理. 一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 五、三角形、梯形的中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 【即学即练1】梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D= . 【答案】102°. 【分析】根据梯形的性质，同腰的两个角互补来求解． 【解析】由梯形的性质知，∠D=180°−∠C=180°−78°=102°. 故答案为102°. 【点睛】此题考查梯形，解题关键在于掌握其性质. 【即学即练2】如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线定理． 【解析】解：∵是的中位线，， ∴， 故答案为：20． 【即学即练3】等腰梯形的周长为，中位线长为，则腰长为 ． 【答案】7． 【分析】根据梯形的周长公式和中位线（上底下底），代入对应数据即可求得答案． 【解析】上底下底两腰周长，中位线长（上底下底）， 腰长， 腰长， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰梯形的周长和中位线定理，解题关键在于掌握相关性质定理． 【即学即练4】下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质对①③进行判断；根据等腰梯形的判定方法对②④进行判断． 【解析】解：等腰梯形的两个底角相等，所以①为真命题； 两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以②为真命题； 等腰梯形的对角线相等，所以③为真命题； 对角线相等的梯形是等腰梯形，所以④为真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 题型1:概念辨析 【典例1】．下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【答案】A 【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可． 【解析】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑． 【典例2】．下列命题中，假命题有（    ） ① 有两个角相等的梯形是等腰梯形； ② 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③ 一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④ 等腰梯形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等腰梯形的判定方法对①进行判断；根据等腰梯形的定义对②进行判断；根据等腰梯形的性质对③④进行判断． 【解析】解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，所以①错误； 一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，所以②错误； 一组对角互补的梯形是等腰梯形，所以③正确； 等腰梯形是轴对称图形，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型2:根据特殊梯形的性质求长度、角度等 【典例3】．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰梯形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，要求学生掌握等腰梯形的性质，知道先过上底的一个顶点作下底的垂线，组成一个直角三角形，再解这个直角三角形． 【解析】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为， 过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F， ∵四边形是等腰梯形，， ∴四边形是矩形， ∵两底差为， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 故选：B． 【典例4】．在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【答案】130 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【解析】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 【典例5】．一个等腰梯形，它的上底是12厘米，下底是22厘米，高和上底一样长，则这个等腰梯形的周长是 厘米． 【答案】60 【分析】设等腰梯形为，厘米，厘米，过点A作梯形的高，则厘米，由勾股定理可求得腰长，从而可求得周长． 【解析】解：如图，过点A作梯形的高，E为垂足， 则厘米， 由等腰梯形的性质得：厘米， 在中，由勾股定理得（厘米） ∴等腰梯形的周长为：（厘米） 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，由勾股定理求得腰长是关键． 【典例6】．在梯形中，，，，，，则的长为 ． 【答案】2或8 【分析】根据直角梯形的性质解答即可． 【解析】解：在梯形中，，，，，，    过作于， ， ， 或， 故答案为：2或8． 【点睛】此题考查直角梯形的性质，关键是根据直角梯形的性质和勾股定理解答． 【典例7】．等腰梯形的一个锐角等于，腰长为，下底为，则上底为 ． 【答案】/ 【分析】先画出图形，再过上底一个点作腰的平行线，将等腰梯形拆分成一个等腰直角三角形和一个平行四边形，从而得解． 【解析】根据题意作出如下等腰梯形，则有∠B=∠C=，，，ADBC， 过点A作AECD交BC于E， ∵AECD，∠B=∠C= ∴∠B=∠AEB=， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵ADBC，AECD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴， 即：上底为． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键． 【典例8】．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【解析】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 【典例9】．直角梯形的两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为 ． 【答案】 【分析】作出直角梯形的高，得到一个矩形和一个直角三角形，利用比值可得出，再根据含30度角的直角三角形性质，可知∠DCE的度数，从而得出答案． 【解析】解：如图，作DE⊥BC于点E， ∵梯形ABCD是直角梯形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形，△CDE是直角三角， ∴DE＝AB， ∵AB：CD＝1：2， ∴DE：DC＝1：2， 即 ∴∠DCE＝30°， ∴∠DCB＝30°， ∴直角梯形的内角中锐角的度数为30°， 故答案为30°． 【点睛】本题考查直角梯形及含30度角的直角三角形的性质；作出梯形的高是解决本题的难点；利用得到∠DCE的度数是解决本题的关键． 【典例10】．一个等腰梯形中三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边．那么，这个等腰梯形的一个腰长是 厘米． 【答案】25 【分析】本题考查了等腰梯形的定义，根据题意，结合等腰梯形的定义解答即可，熟练掌握等腰梯形的定义是解此题的关键． 【解析】解：∵一个等腰梯形中三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边， ∴当腰长为25厘米时，可以构成等腰梯形，符合题意， 当腰长为15厘米时，两底是55厘米、25厘米，无法构成等腰梯形，不符合题意； 故答案为：25． 【典例11】．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 ． 【答案】 【分析】在等腰梯形ABCD中，过点D作交BC的延长线于点E，证明四边形ADEC为平行四边形，推出，利用等腰梯形对角线相等得出，进而得出，利用，得出，从而得出是等腰直角三角形，可知． 【解析】解：如图，四边形ABCD为等腰梯形，其中，， 过点D作交BC的延长线于点E， ∵， ∴四边形ADEC为平行四边形， ∴， ∵ 四边形ABCD为等腰梯形， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即一条对角线与底边的夹角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，熟记等腰梯形的对角线相等是解题的关键． 题型3:根据特殊梯形的性质求面积 【典例12】．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例13】．等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是 ． 【答案】64 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积可以用BD2=BE2求出其面积． 【解析】解∶延长BC，过点D作于点E， ∵四边形ABCD是等腰梯形，且对角线互相垂直梯形两底之和为16cm， ∴AD+BC=16cm，AC⊥BD，AC=BD， ∴∠BMC=90°， ∵，， ∴四边形ACED是平行四边形，∠BDE=∠BMC=90°， ∴AC=DE，AD=CE， ∴BE=AD+BC=20cm， ∵∠BDE=∠BMC=90°， ∴BD2+DE2=BE2=256， ∴BD2=BE2=128， ∴梯形的面积∶（cm2）， 故答案是∶64cm2． 【点睛】考查了对角线互相垂直的四边形的面积计算，得出BD=DE是解题关键． 【典例14】．等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是 ． 【答案】120 【分析】过A、D作的垂线，易证，从而得出，，根据勾股定理可求得的长，即可求出答案． 【解析】解：过A、D作的垂线，垂足分别为E、F，   四边形是等腰梯形， ，，， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 梯形的面积是：． 故答案为：120 ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，能够将等腰梯形的问题通过作高线转化成直角三角形是解决问题的关键． 【典例15】．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【解析】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 【典例16】．已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【解析】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 【典例17】．如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】由等腰梯形的性质得出，，可求出，进而得出，结合平行线性质得出，故得 ．过点作于点，借助特殊直接三角形的性质求出高的长，结合梯形面积公式即可求解． 【解析】解：在等腰梯形中，，， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 如图，过点作于点， ，, ， ， ， 等腰梯形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和面积，平行线的性质以及直角三角形的性质，准确运用性质进行角度转化以及求出相应线段长度是本题的关键． 题型4:等腰梯形的证明+在特殊平行四边形中的应用 【典例18】．如图所示，在梯形中，，作交于点E (1)求证：四边形是菱形 (2)若，．求证：梯形是等腰梯形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等腰梯形的判定，三角形内角和定理： （1）先证明四边形是平行四边形  再由，即可证明四边形是菱形 ； （2）先利用三角形内角和定理得到，再由菱形的性质得到，进而得到，即可证明梯形是等腰梯形． 【解析】（1）证明：∵, ∴四边形是平行四边形   ∵ ∴四边形是菱形 ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形 ∴ ， ∴，   ∴梯形是等腰梯形． 【典例19】．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【解析】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 【典例20】．如图：在梯形中，，平分，延长至点，使，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若，，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是掌握等腰梯形的判定方法与性质． （1）两个底角相等的梯形是等腰梯形，由此需证：先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得：，由得． （2）先证明是直角三角形，再由直角三角形的性质求解． 【解析】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形，（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）， ∴， ， 平分， ， 即：， ， ， 四边形是梯形， 四边形是等腰梯形； （2）解：， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【典例21】．已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【解析】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 题型5:（特殊）梯形的判定辨析 【典例22】．下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行的四边形是梯形 B．有两个角是直角的四边形是直角梯形 C．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形 【答案】C 【分析】根据梯形，直角梯形，等腰梯形的判定定理依次分析即可. 【解析】解：A.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故本选项错误； B.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，故本选项错误； C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，本选项正确； D.一组对边平行另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误； 故选C. 【点睛】本题考查的是梯形，直角梯形，等腰梯形，解答本题的关键是熟练掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，一组对边平行另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形. 【典例23】．下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是    （    ） A．一组对角互补 B．一组对角相等 C．一组对角互余 D．一组邻角相等 【答案】A 【分析】等腰梯形的判定:两条腰相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.利用判定定理对选项一一判断，即可解答. 【解析】对于A选项， ∵ 梯形的上底与下底平行， ∴ 梯形上底与下底间的同旁内角互补 (两直线平行,同旁内角互补)， ∵ 梯形上底与下底间的同旁内角互补,梯形的一组对角互补， ∴ 梯形同一底上的两个内角相等， ∴ 这个梯形是等腰梯形 (同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形)， 对于B选项, ∵ 等腰梯形的对角是互补的， ∴ 由一组对角相等不能判断一个梯形是等腰梯形， 对于C选项,由“等腰梯形的对角互补”可判断C选项不能判断一个梯形是等腰梯形， 对于D选项,当相等的一组邻角不在同一底边上时,就不能判断一个梯形是等腰梯形,故D选项不能判断一个梯形是等腰梯形， 故选A. 【点睛】此题考查等腰梯形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 【典例24】．下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 【答案】A 【分析】利用直角梯形可对A进行判断；根据等腰梯形的性质对B、D进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C进行判断． 【解析】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，如：直角梯形，故这个命题为假命题； B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题； C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题； D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理和梯形的性质和判定，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例25】．在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．∠ABC=∠DCB B．∠DBC=∠ACB C．∠DAC=∠DBC D．∠ACD=∠DAC 【答案】D 【解析】A、∵∠ABC=∠DCB， ∴BD=BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； B、∵∠DAC=∠DBC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB， ∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA ∴OB=OC，OD=OA， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB， ∴OA=OD，OB=OC， ∴AC=BD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； D、根据∠ACD=∠DAC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确． 故选D． 点睛：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 题型6:梯形中位线的性质及综合应用 【典例26】．已知梯形的四条边长为1，2，3，4，则梯形的中位线长是 ． 【答案】 【分析】设梯形中，，过点D作交于点E，则四边形是平行四边形，得到，，利用三角形的三边关系进行判断即可． 【解析】解：如图，设梯形中，， 过点D作交于点E， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为1，3，4，此三角形不存在， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为2，2，4，此三角形不存在， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为3，2，3，此三角形存在， 此时梯形的中位线长是， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为1，1，4，此三角形不存在， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为1，2，3，此三角形不存在， 当时，只有此时，或者，， 则的三边长为1，1，2，此三角形不存在， 综上可知梯形的中位线长是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了梯形的定义、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系、梯形的中位线定理，分类讨论是解题的关键． 【典例27】．已知梯形的上底长为，下底长为，则此梯形中位线长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了梯形中位线定理．根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得中位线的长． 【解析】 解：由已知得，梯形的中位线长． 故答案为：5． 【典例28】．梯形上底长为，中位线长为，那么下底长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，熟记梯形的中位线等于上底与下底和的一半是解题的关键． 【解析】解：设梯形的下底为cm，由题意得： ， 解得， 故答案为：． 【典例29】．已知在等腰梯形中，，厘米，厘米，高厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理； 过点D作于M，证明四边形是矩形，可得厘米，厘米，然后利用勾股定理求出和，再根据梯形的中位线定理计算即可． 【解析】解：如图，过点D作于M，则， ∵是等腰梯形的高，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴厘米，厘米， ∵厘米，厘米，， ∴厘米， ∵厘米，，厘米 ∴厘米， ∴厘米， ∴这个梯形的中位线长为：厘米， 故答案为：． 【典例30】．如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【答案】 【分析】以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H，由梯形中位线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的特征及等腰三角形的性质，得到，，利用勾股定理即可求解． 【解析】解：以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H， ， 三点共线， 梯形的中位线长为6， ， ， ， ， ， 在梯形中，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握梯形的性质是解题的关键． 【典例31】．如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了梯形中位线，梯形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形三边关系等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 根据题意算出另外一条底边长，延长使，连接，则，证明四边形是平行四边形，得出，再根据三边关系即可解答， 【解析】如图，是梯形，为梯形的中位线，则， ∴， 延长使，连接，则， ∵是梯形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【典例32】．如图，在梯形ABCD中，，中位线与对角线交于点G．若，且，则BC的长是 ．    【答案】10 【分析】根据中位线的定理可求得的长，再根据，即可求得的长，再根据三角形中位线定理即可求得的长． 【解析】解：是梯形的中位线，， ， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 题型7:梯形中位线有关的面积问题 【典例33】．若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2  ， 则这个梯形的高等于（ ） A．6cm B．6 cm C．3cm D．3 cm 【答案】D 【分析】根据梯形的中位线定理，知梯形的面积=梯形的中位线×高．根据这一面积公式，列方程求解． 【解析】设高为xcm，则梯形的中位线是2xcm. 根据梯形的面积公式,得2x =18,解得x=±3(取正值). 故选D. 【点睛】此题考查梯形中位线定理，解题关键在于掌握运算公式. 【典例34】．如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰梯形．熟练掌握等腰梯形性质，等腰直角三角形性质，三角形面积公式，是解决问题的关键． 根据等腰梯形性质得到，，过C作交延长线G，于点H，得到四边形是平行四边形，得到，，得到，，根据，得到，推出，得到，，即得． 【解析】如图，过C作交延长线G，作于点H， ∵等腰梯形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例35】．如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线，根据梯形的中位线得出，根据已知三角形的面积求出, 即可求出答案. 【解析】过作于, 交于, ∵是梯形的中位线, ∴, ∴, ∵的面积为 ， ∴, ∴梯形的面积为 故答案为：. 题型8:三角形的中位线 【典例36】．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【解析】解：，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 【典例37】．如图，中，，，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 ． 【答案】11 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据线段中点的概念分别求出DB、EC，计算即可． 【解析】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，AB＝AC＝5， ∴DE是△ABC的中位线，DB＝AB＝2.5，EC＝AC＝2.5， ∴DE＝BC， ∵BC＝4， ∴DE＝2， ∴四边形DBCE的周长＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【典例38】．如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形的中位线定理即可求解． 【解析】解：∵点P，Q分别是的边和的中点 ∴是的中位线，又米， ∴（米）， 故选：D． 【典例39】．如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【解析】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 题型9:三角形中位线在（特殊）平行四边形的应用 【典例40】0．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【解析】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 【典例41】．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选 【典例42】．如图，矩形的两条对角线相交于点O， ，点E是的中点，连接，则的长是(   ) A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，根据矩形的性质，推出为的中位线，进行求解即可． 【解析】解：∵矩形的两条对角线相交于点O， ∴， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选A． 【典例43】．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【解析】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 题型10:中点四边形 【典例44】．顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 【答案】菱 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【解析】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 【典例45】．联结等腰梯形各边中点组成的四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，所以判定为菱形． 【解析】解：如图所示， 根据三角形中位线定理，EF=GH=BD，FG=EH=AC， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AC=BD， ∴EF=GH=FG=EH， ∴四边形EFGH为菱形． 故答案是：菱形． 【点睛】本题考查中点四边形，解题的关键是记住：一般四边形的中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形． 【典例46】．下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可． 【解析】解：如图：    观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： ，， ∴四边形是平行四边形； A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意； B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当时， ∴， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意； C、当时，则：， ∴， ∴四边形为矩形； ∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意； D、当时，则：， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意． 故答案选：B． 【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键． 【典例47】．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【解析】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 题型11:解答综合题 【典例48】．如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)14 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质解答即可． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：、分别是、的中点， ， ， ， ， ∴的周长． 【典例49】．如图，在中，，是上一点，交于点，且，是上一点，，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)四边形是等腰梯形；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结论：四边形是等腰梯形．首先证明四边形是梯形，再证明即可； （2）只要证明四边形是平行四边形即可． 【解析】（1）解：结论：四边形是等腰梯形． 理由：∵、是的两边， ∴与不平行，即与不平行， ∵， ∴四边形是梯形， ∵， ∴， ∴梯形是等腰梯形． （2）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识．解题的关键是掌握等腰梯形的判定方法，平行四边形的判定方法． 【典例50】．如图，已知梯形，，，． (1)求的度数； (2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据平行线的性质和等边对等角得到，然后由得到，进而得到； （2）首先根据角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）∵， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴； （2）如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 在中，． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【典例51】．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 一、单选题 1．一组对边平行，且对角线相等的四边形是(   ) A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形或矩形 【答案】D 【分析】已知一组对边平行，则对这组对边是否相等进行分类讨论，分别判断其形状． 【解析】解：分为两种情况： ①当，且时，四边形是矩形； ②当，且时，四边形是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 2．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状． 【解析】解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则 2x+2x+x+3x=360°， 解得x=45°． 则2x=90°，3x=135°． ∴这个四边形的形状是直角梯形． 故选：C． 【点睛】本题用比的形式考查了多边形内角和的公式，同时考查了直角梯形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为   （    ） A．8 B．10 C．4 D．16 【答案】C 【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题. 【解析】根据题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°. 因为DE⊥AB，∠A=30°，AD=8， 所以DE=AD=4， 所以CD=4，AE= =4，同理BF=4. 因为DE⊥AB，CF⊥AB， 所以DE∥CF. 因为CD∥EF， 所以四边形CDEF是平行四边形， 所以EF=CD=4. 因为CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4， 所以AB+CD=8+4+4=8+8， 所以梯形的中位线长为  (AB+CD)=4+4. 故选C. 【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解. 4．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别过C、D作CF、DE垂直于AB，垂足分别为F、E，则易得△ADE≌△BCF，有AE=BF，且四边形CDEF为矩形，EF=CD=6，从而可得AE的长，由勾股定理可求得DE，由梯形面积公式即可求得梯形面积． 【解析】解：分别过C、D作CF、DE垂直于AB，垂足分别为F、E，如图 ∴∠DEA=∠CFB=90゜ ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD ∴AD=BC，∠A=∠B 在△ADE和△BCF中 ∴△ADE≌△BCF ∴AE=BF ∵AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB ∴DE⊥DC，CF⊥DC ∴∠EDC=∠FCD=∠DEA=∠CFB=90゜ ∴四边形CDEF为矩形 ∴EF=CD=6 ∴ 在Rt△DEA中，由勾股定理得 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识，通过作梯形的高把四边形的问题转化为三角形与矩形的问题是关键． 5．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于，求出，推出，，，即可推出A，B正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断D；根据含度角的直角三角形的性质判断C选项． 【解析】解：延长交延长线于， ∵， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ，， ；平分；   ∴， 故A，B选项正确， 取中点，连接， ，分别是，的中点， 是梯形是中位线 ， ， ， ，故D选项正确， 当时，，故C选项不一定成立 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，梯形的性质，关键是推出是等腰三角形． 二、填空题 6．如图，等腰梯形ABCD中，，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决． 【解析】解：延长DM交CB的延长线于点E， ∵AD//CE， ∴∠ADM=∠E， ∵M是AB的中点， ∴AM=BM， 在△ADM与△BEM中， ， ∴△ADM≌△BEM（ASA）， ∴AD=BE． ∵AD=2，BC=8， ∴AD+BC=10， ∴EB+BC=10， 即CE=10， 过A作AN⊥BC于N，DF⊥BC于F， 则NF=AD=2， ∵AB=CD， ∴BN=CF=3， ∴EF=7 ∵DM⊥CD，DF⊥BC， ∴ ∴ ∴ ∴DF2=21， ∴DF=， ∴S梯形ABCD=S△DCE=． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是梯形和解直角三角形，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积． 7．如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为 ． 【答案】8 【分析】过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案． 【解析】解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD，AD∥BC， ∵DF∥AC， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC=DF，AD=CF， ∴BD=DF ， ∵， ∴DF⊥BD， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∵DE⊥BF， ∴ ∴，即梯形的中位线是8cm， 故答案为：8． 【点睛】此题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线是解题的关键． 8．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 【答案】7 【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线． 【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图， ∵，， ∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°， ∵， ∴， ∵， ∴DE=2， ∵BM⊥CE， ∴∠BMD=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴DM=AB=4， ∴EM=2+4=6， ∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处， ∴BE=BC， ∵BM⊥CE， ∴EC=2EM=12， ∴CD=12-2=10， ∴梯形ABCD的中位线为：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题 9．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．求证：四边形BCDE是等腰梯形． 【答案】证明见解析 【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BE＝CD，根据三角形的内角和得到∠AED＝∠ABC得到DE∥BC，于是得到结论． 【解析】证明：如图所示， ∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线． ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， 又∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（ASA）， ∴BE＝CD， ∴AE＝AD， ∴∠AED＝（180°﹣∠A）， ∵∠ABC＝（180°﹣∠A）， ∴∠AED＝∠ABC， ∴DE∥BC， ∴四边形BCDE是等腰梯形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积． 【答案】（1）8（2）32 【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案； （2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案. 【解析】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD＝EC，AE＝DC， ∵AB＝DC， ∴AB＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝8， ∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8； （2）作AF⊥BC于F， 则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4， ∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32. 【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质. 11．如图，在梯形中，，，点M在边的延长线上，点N在边上． （1）如果，求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABM≌△CDA，从而可证得结论； （2）由已知条件结合三角形外角的性质证得∠CAN=∠ACB，得到AN=CN，根据平行线的性质证得∠CAN=∠ACB=∠DAC=∠DCA，进而证得△ACN≌△ACD，即可得到AN=CN=AD=DC，可得四边形四边形ADCN是菱形是菱形． 【解析】解：证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC=∠DCM， ∵∠ABM+∠ABC=180°，∠DCM+∠D=180°， ∴∠ABM=∠D， 在△ABM和△CDA中， ， ∴△ABM≌△CDA（SAS）， ∴AM=AC； （2）∵∠ANB=∠CAN+∠ACB，∠ANB=2∠ACB， ∴∠CAN+∠ACB=2∠ACB， ∴∠CAN=∠ACB， ∴AN=CN， ∵AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠CAN=∠ACB=∠DAC=∠DCA， 在△ACN和△ACD中， ， ∴△ACN≌△ACD（ASA）， ∴AN=AD， ∴AN=CN=AD=DC， ∴四边形四边形ADCN是菱形． 【点睛】此题主要考查等腰梯形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，（1）中证得△ABM≌△CDA，（2）证得△ACN≌△ACD是解决问题的关键． 12．如图，已知点和点都在一次函数上，是的平分线，过点作，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为．    (1)求这条直线的解析式； (2)求证：为的中点； (3)若一次函数图像上有点，和点，，构成梯形，试求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，根据等腰三角形的判定可得到，再根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）由（2）可知，，从而得到，，分两种情况当时和时两种情况进行求解即可． 【解析】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， 这条直线的解析式为； （2）如图，延长交轴于点，    是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （3）如图：    由（2）可知，， ， 为的中点，， ， ，， 当时， 在中，令得， ； 当时， 由，得直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入， 得，， 解得：， 直线的解析式为， 解，得， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形中位线，梯形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 13．如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．    (1)求的长； (2)如果点E为边的中点，联结，求的面积； (3)如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）过A作，过D作，垂足分别为M、N，证明四边形是平行四边形，则，，再证，可得，在中，，则，即可得到的长； （2）过点O作，垂足为点Q，则，由三角形中位线定理可得，，由中点的定义可得，进一步得到，在中，，，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）证明四边形是菱形，过点D作于点N，由（1）可知，，，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解得，即可得到四边形的周长． 【解析】（1）解：过A作，过D作，垂足分别为M、N，    则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，， ∵，   ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵   ∴， ∴， ∴． （2）过点O作，垂足为点Q，则，    ∵O是的中点，E是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ． （3）∵，     ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，    过点D作于点N， 由（1）可知，， ∴， 由勾股定理得， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，添加适当的辅助线和数形结合是解题的关键． 56 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 梯形(十一大题型） 学习目标 1．理解梯形、直角梯形和等腰梯形的概念． 2．掌握等腰梯形的性质和判定． 3. 熟练运用所学的知识解决梯形问题． 4. 掌握三角形，梯形的中位线定理. 一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 五、三角形、梯形的中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 【即学即练1】梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D= . 【即学即练2】如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【即学即练3】等腰梯形的周长为，中位线长为，则腰长为 ． 【即学即练4】下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 题型1:概念辨析 【典例1】．下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【典例2】．下列命题中，假命题有（    ） ① 有两个角相等的梯形是等腰梯形； ② 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③ 一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④ 等腰梯形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2:根据特殊梯形的性质求长度、角度等 【典例3】．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【典例5】．一个等腰梯形，它的上底是12厘米，下底是22厘米，高和上底一样长，则这个等腰梯形的周长是 厘米． 【典例6】．在梯形中，，，，，，则的长为 ． 【典例7】．等腰梯形的一个锐角等于，腰长为，下底为，则上底为 ． 【典例8】．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【典例9】．直角梯形的两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为 ． 【典例10】．一个等腰梯形中三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边．那么，这个等腰梯形的一个腰长是 厘米． 【典例11】．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 ． 题型3:根据特殊梯形的性质求面积 【典例12】．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【典例13】．等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是 ． 【典例14】．等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是 ． 【典例15】．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【典例16】．已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 【典例17】．如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为 ． 题型4:等腰梯形的证明+在特殊平行四边形中的应用 【典例18】．如图所示，在梯形中，，作交于点E (1)求证：四边形是菱形 (2)若，．求证：梯形是等腰梯形 【典例19】．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【典例20】．如图：在梯形中，，平分，延长至点，使，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若，，求边的长． 【典例21】．已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 题型5:（特殊）梯形的判定辨析 【典例22】．下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行的四边形是梯形 B．有两个角是直角的四边形是直角梯形 C．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形 【典例23】．下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是    （    ） A．一组对角互补 B．一组对角相等 C．一组对角互余 D．一组邻角相等 【典例24】．下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 【典例25】．在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．∠ABC=∠DCB B．∠DBC=∠ACB C．∠DAC=∠DBC D．∠ACD=∠DAC 题型6:梯形中位线的性质及综合应用 【典例26】．已知梯形的四条边长为1，2，3，4，则梯形的中位线长是 ． 【典例27】．已知梯形的上底长为，下底长为，则此梯形中位线长为 ． 【典例28】．梯形上底长为，中位线长为，那么下底长为 ． 【典例29】．已知在等腰梯形中，，厘米，厘米，高厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 【典例30】．如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【典例31】．如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是 ． 【典例32】．如图，在梯形ABCD中，，中位线与对角线交于点G．若，且，则BC的长是 ．    题型7:梯形中位线有关的面积问题 【典例33】．若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2  ， 则这个梯形的高等于（ ） A．6cm B．6 cm C．3cm D．3 cm 【典例34】．如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么 ． 【典例35】．如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 题型8:三角形的中位线 【典例36】．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例37】．如图，中，，，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 ． 【典例38】．如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【典例39】．如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 ． 题型9:三角形中位线在（特殊）平行四边形的应用 【典例40】．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D． 【典例41】．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 【典例42】．如图，矩形的两条对角线相交于点O， ，点E是的中点，连接，则的长是(   ) A． B．2 C． D．4 【典例43】．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 题型10:中点四边形 【典例44】．顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 【典例45】．联结等腰梯形各边中点组成的四边形是 ． 【典例46】．下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【典例47】．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 题型11:解答综合题 【典例48】．如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【典例49】．如图，在中，，是上一点，交于点，且，是上一点，，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：． 【典例50】．如图，已知梯形，，，． (1)求的度数； (2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长． 【典例51】．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 一、单选题 1．一组对边平行，且对角线相等的四边形是(   ) A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形或矩形 2．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 3．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为   （    ） A．8 B．10 C．4 D．16 4．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（    ） A．平分 B． C． D． 二、填空题 6．如图，等腰梯形ABCD中，，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 ． 7．如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为 ． 8．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 三、解答题 9．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．求证：四边形BCDE是等腰梯形． 10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积． 11．如图，在梯形中，，，点M在边的延长线上，点N在边上． （1）如果，求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． 12．如图，已知点和点都在一次函数上，是的平分线，过点作，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为．    (1)求这条直线的解析式； (2)求证：为的中点； (3)若一次函数图像上有点，和点，，构成梯形，试求点的坐标． 13．如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．    (1)求的长； (2)如果点E为边的中点，联结，求的面积； (3)如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$