专题7.2 第七章 复数 练透核心单元检测卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二下·陕西宝鸡·阶段练习）设复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法及共轭复数求解即得. 【详解】依题意，复数， 所以的共轭复数为. 故选：A 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．（2025·河南信阳·一模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、由复数模求参数 【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（2025高一·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，则复数在复平面内对应的点为， 又复数对应的点坐标为，所以. 故选：D 6．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】将等式进行化简，然后根据复数相等的条件求出、的值，最后逐一分析选项. 【详解】 所以.可得. 由可得，解得或. 当时，； 当时，. 逐一分析选项， 对于A选项：当，时，； 当，时，，所以该选项不一定正确. 对于B选项：当，时，； 当，时，，所以该选项不一定正确. 对于C选项：当，时，； 当，时，，所以该选项不一定正确. 对于D选项：当，时，； 当，时，，所以该选项正确. 故选：D. 7．（24-25高三上·安徽·阶段练习）（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、复数代数形式的乘法运算 【分析】由同角的三角函数结合两角和的正余弦以及复数的乘法可得. 【详解】 ， 故选：B． 8．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可. 【详解】设射线为终边的角为，而，则， ，， 向量对应复数， 所以向量的坐标为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 【答案】BC 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】 算出，根据复数的基本概念即可判断答案. 【详解】 ， ，，z的共轭复数为，z的虚部为1. 故选：BC． 10．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】取特殊值判断A、D；应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C. 【详解】对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，取，满足，但，所以，故D错误． 故选：BC 11．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）复数，则下列结论正确的是（   ） A．若z是纯虚数，则 B．若z是实数，则 C．若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D．若，则或 【答案】ACD 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于AB：根据复数的定义运算求解；对于C：根据复数的几何意义分析判断；对于D：分析可知z是实数，结合选项B分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若z是纯虚数，则，解得，故A正确； 对于选项B：若z是实数，则，解得或，故B错误； 对于选项C：若，则， 所以复数z在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于选项D：若，可知z是实数， 由选项B可知或，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·新疆喀什·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应的点坐标为 . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据共轭复数的概念及复数的几何意义求解. 【详解】由题，， 所以在复平面内对应的点坐标为. 故答案为：. 13．（2025高三下·全国·专题练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 【答案】 【知识点】复数的向量表示、复数的坐标表示 【分析】利用复数的几何意义，结合向量运算即可得解. 【详解】由向量对应的复数是，得，由向量对应的复数是，得， 因此，所以向量对应的复数是. 故答案为： 14．（2025高三·全国·专题练习）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是 .（填序号） ①        ②．        ③        ④ 【答案】②④ 【知识点】判断或写出数列中的项、复数代数形式的乘法运算、数列周期性的应用、函数新定义 【分析】对由递推公式生成的不同数列情况进行分析，结合收敛点的定义判断即可. 【详解】对于①，由可得数列随的增大不断增大，①错误． 对于②，由可得数列，，当时，，则恒成立，存在一个正数，使得对任意都成立，②正确． 对于③，由可得数列，不满足题意，③错误． 对于④，由可得数列，，从第二项起为周期数列，周期为2，因为，所以存在一个正数，使得对任意都成立，④正确． 故选：②④ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、实轴、虚轴上点对应的复数、复数范围内方程的根、复数的除法运算 【分析】（1）根据题意分析可知，即可得，进而可求； （2）根据复数的除法运算结合纯虚数概念可得，可知是方程的根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 若复数对应的点在实轴上，则， 可得，即， 所以. （2）因为， 若是纯虚数，则，解得， 若是方程的根，则也是该方程的根， 由韦达定理可得，即，所以. 16．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可. 【详解】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, （2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根， 得，              整理得，而，                 因此, 解得所以 17．（浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）已知复数是虚数单位，，且为实数. (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据题意，得到，化简，根据是实数，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解； （2）根据复数的运算法则，化简得到，由在复平面内对应的点在第二象限，列出不等式，求得，即可得到实数的取值范. 【详解】（1）解：由复数是虚数单位，，可得， 则， 因为是实数，所以，解得， 则，所以. （2）解：由， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为. 18．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）设是关于x的方程的一个根． (1)求实数的值； (2)求方程的另一个根及的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3). 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）利用方程根的意义，结合复数相等求解即得. （2）求出方程的根得，再利用复数乘法计算得解. （3）由（1）可得，再利用指数运算法则计算得解. 【详解】（1）依题意，，即， 整理得，而，因此，解得， 所以. （2）由（1）知，方程为，即， 解得或，所以， . （3）由（1）知，，而，则，即， 显然，因此， ， 所以. 19．（23-24高一下·安徽合肥·期中）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、复数的相等、复数的乘方 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【详解】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二下·陕西宝鸡·阶段练习）设复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 3．（2025·河南信阳·一模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高一·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·安徽·阶段练习）（   ） A．1 B．i C． D． 8．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 10．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）复数，则下列结论正确的是（   ） A．若z是纯虚数，则 B．若z是实数，则 C．若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D．若，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·新疆喀什·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应的点坐标为 . 13．（2025高三下·全国·专题练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 14．（2025高三·全国·专题练习）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是 .（填序号） ①        ②．        ③        ④ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 16．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 17．（浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）已知复数是虚数单位，，且为实数. (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 18．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）设是关于x的方程的一个根． (1)求实数的值； (2)求方程的另一个根及的值； (3)已知，求的值． 19．（23-24高一下·安徽合肥·期中）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $$