专题7.1 复数-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题7-1 复数 题型一：虚数单位及其性质 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2．（24-25高一下·全国·课前预习）计算：. 精练核心考点 1．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）（   ） A． B． C． D．1 3．（2024·青海西宁·二模）已知复数，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一下·浙江·期中）设复数，则 ． 题型二：复数的概念 典型例题 例题1．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 例题2．（多选）（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 精练核心考点 1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期中）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ） A．4 B． C． D． 4．（23-24高一下·天津南开·期中）已知复数与都是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 题型三：复数的实部和虚部 典型例题 例题1．（24-25高三上·辽宁·期末）复数的虚部是实部的（    ） A． B．倍 C． D．2倍 例题2．（天津市和平区2024-2025学年高三下学期第一次质量调查数学试卷）为虚数单位，复数的实部为 . 例题3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之和为 . 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）非零复数满足，其中是虚数单位，则的实部为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．3 题型四：复数相等问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·浙江台州·期末）已知，（i为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D．2 例题2．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 精练核心考点 1．（2025·北京顺义·一模）复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）知，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷）已知，，则 . 题型五：已知复数类型求参数 典型例题 例题1．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 例题2．（2025·天津南开·一模）是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 例题3．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 例题4．（23-24高一下·福建宁德·期末）已知复数，. (1)若是纯虚数，求; (2)若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 精练核心考点 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高一下·天津滨海新·阶段练习）已知，若复数是纯虚数，则a的值为 . 3．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 4．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知复数，，为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 题型六：实轴、虚轴上对应点的复数 典型例题 例题1．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）设，若复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ） A．0 B．–1 C．1 D． 例题2．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 精练核心考点 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 3．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 题型七：复数的模 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知复数满足，则为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 精练核心考点 1．（湖南省常德市2025届高三下学期模拟考试数学试题）已知复数满足：，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（陕西省咸阳市2025年高考模拟检测（二）数学试题）若是虚数单位，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（山西省部分学校2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八：与复数模相关的轨迹问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·广西·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 精练核心考点 1．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设，且，则的最小值为 . 题型九：判断复数对应点所在象限 典型例题 例题1．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2．（2025·新疆·二模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题3．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 精练核心考点 1．（河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型十：复数的四则运算 典型例题 例题1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知，则复数的共轭复数为（   ）. A． B． C． D． 例题3．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例题4．（24-25高一下·广西·阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为 ． 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．（安徽省池州市普通高中2025届高三下学期教学质量统一监测数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·一模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7-1 复数 题型一：虚数单位及其性质 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】虚数单位i及其性质、在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由题意，设，且，而，进一步分析即可得点在第四象限. 【详解】复数对应的点在第三象限，设，则， ，由，则复数对应的点在第四象限. 故选：D. 例题2．（24-25高一下·全国·课前预习）计算：. 【答案】1 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的乘方 【分析】利用虚数单位的性质，得到，，，且，即可求出结果. 【详解】因为，，，， 得到，，，且， 所以. 精练核心考点 1．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【知识点】虚数单位i及其性质、已知复数的类型求参数 【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可. 【详解】因为， 若复数表示纯虚数，则，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的除法运算 【分析】根据除法运算可得，结合的性质即可得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．（2024·青海西宁·二模）已知复数，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】虚数单位i及其性质、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据条件，利用的运算性质，得到，从而有，即可求解. 【详解】因为，所以，其对应的点为， 故选：A. 4．（23-24高一下·浙江·期中）设复数，则 ． 【答案】 【知识点】虚数单位i及其性质、复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】根据复数的四则运算结合的性质运算求解. 【详解】因为，则， 两式相减得，所以. 故答案为：. 题型二：复数的概念 典型例题 例题1．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 例题2．（多选）（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 【答案】ABD 【知识点】复数的基本概念、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用二次函数的知识分析实部和虚部，则答案可求. 【详解】对于C，，， 则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故C正确； 对于A，取，，则z在复平面内的点在第二象限，故A错误； 对于B，令，解得，此时，则z为纯虚数，故B错误； 对于D，因为，所以z的虚部不可能为0， 则z一定不是实数，故D错误； 故选：ABD. 精练核心考点 1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、复数的基本概念 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】根据题意，若复数表示虚数，则； 第一步，从中任取一个数作为，共有4种方法； 第二步，在剩下4个数中任取一个作为，共有4种方法， 所以共有种. 故选：D. 2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、复数的除法运算 【分析】由复数除法及复数实部，虚部概念可得答案. 【详解】，因的实部与虚部相等， 则，得. 故选：C. 3．（23-24高一下·重庆·期中）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】求出复数的共轭复数即可求解. 【详解】因为，所以， 所以复数的共轭复数的虚部为. 故选：B. 4．（23-24高一下·天津南开·期中）已知复数与都是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意，设，结合复数的运算可得，再由纯虚数的定义列出方程，即可得到结果. 【详解】设， 且为纯虚数， 所以，解得，所以. 故选：B 题型三：复数的实部和虚部 典型例题 例题1．（24-25高三上·辽宁·期末）复数的虚部是实部的（    ） A． B．倍 C． D．2倍 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】解：因为，且， 所以的虚部是实部的2倍． 故选：D 例题2．（天津市和平区2024-2025学年高三下学期第一次质量调查数学试卷）为虚数单位，复数的实部为 . 【答案】2 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】化简复数，根据复数的定义即可得出答案. 【详解】, 所以复数的实部为2. 故答案为：2. 例题3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之和为 . 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和、虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部 【分析】利用虚数单位的运算性质，结合条件，即可求解. 【详解】， 所以的实部与虚部之和为， 故答案为：. 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】设代入化简，即可求得复数；或利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】法一：设，则， 由复数相等，得，则， 即复数，所以，所以的虚部为． 法二：由，得，则有， 所以的虚部为． 故选：A． 2．（2025高三·全国·专题练习）非零复数满足，其中是虚数单位，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由及已知，应用复数除法求复数，即可得. 【详解】因，结合，， 可得． 所以的实部为． 故选：C 3．（24-25高二上·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据虚部的概念求解即可. 【详解】由题意得，， ∴的虚部为. 故选：C. 题型四：复数相等问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·浙江台州·期末）已知，（i为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件可得的值，即可求解. 【详解】由可得，故，因此， 故选：C 例题2．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数乘法法则计算出，根据复数相等得到答案. 【详解】， 故. 故选：C 例题3．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】复数的相等 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 精练核心考点 1．（2025·北京顺义·一模）复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，代入已知条件利用复数相等求解，再求出，最后由复数的乘法求解即可. 【详解】设，所以即为， 整理得：，所以，解得， 所以，，. 故选：A 2．（2025·辽宁·模拟预测）知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算，复数相等即可求实数. 【详解】依题意得 ， 故. 故选：A. 3．（河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷）已知，，则 . 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】应用复数相等得出，再应用模长公式计算即可. 【详解】由题意得得所以. 故答案为：. 题型五：已知复数类型求参数 典型例题 例题1．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义求出，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】复数为纯虚数，等价于，即或， 由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B 例题2．（2025·天津南开·一模）是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】应用复数的乘法求复数，根据纯虚数的性质求参数值即可. 【详解】由为纯虚数， 所以，则. 故答案为： 例题3．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出； （2）结合共轭复数以及实数的定义即可得出； （3）利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果. 【详解】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得, 所以, 若复数是实数，可得， 解得； （3）易知， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得. 即实数的取值范围为. 例题4．（23-24高一下·福建宁德·期末）已知复数，. (1)若是纯虚数，求; (2)若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据是纯虚数可求，由复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的除法运算先求，再根据在复平面内对应的点在第三象限求解即可. 【详解】（1）因为，是纯虚数， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以. 精练核心考点 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数乘法及纯虚数定义可判断选项正误. 【详解】由题，，又为纯虚数，. 故选：A． 2．（24-25高一下·天津滨海新·阶段练习）已知，若复数是纯虚数，则a的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的概念，实部等于0，虚部不为0，列式求解即可. 【详解】由题：，解得：， 故答案为：. 3．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征、已知复数的类型求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. （2）因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 4．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知复数，，为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）首先判断复数的实部与虚部，根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可； （2）根据实部、虚部均大于得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）复数，的实部为，虚部为， 因为复数为纯虚数，则，解得； （2）因为复数在复平面上对应的点为，位于第一象限， 所以，解得或， 即的取值范围为. 题型六：实轴、虚轴上对应点的复数 典型例题 例题1．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）设，若复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ） A．0 B．–1 C．1 D． 【答案】B 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、复数的除法运算 【分析】利用复数除法运算化简，根据其对应点在实轴上列方程来求得的值. 【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴，即. 故选：B 例题2．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 精练核心考点 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】因为复数，， 所以， 因为所对应的点在实轴上，所以， 解得，故C正确. 故选：C 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 3．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，即可根据对称求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B. 4．（23-24高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 题型七：复数的模 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知复数满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故选：C. 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】1 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】应用复数除法化简，进而求复数的模. 【详解】，则. 故答案为： 精练核心考点 1．（湖南省常德市2025届高三下学期模拟考试数学试题）已知复数满足：，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据已知条件化简求解得出，进而得出模长. 【详解】因为复数满足：，则， 即得，所以 则. 故选：A. 2．（陕西省咸阳市2025年高考模拟检测（二）数学试题）若是虚数单位，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算将复数化为一般形式，然后利用复数的模长公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 3．（山西省部分学校2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算，结合复数的模和共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：C. 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求复数的模、由复数模求参数 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 题型八：与复数模相关的轨迹问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·广西·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 例题2．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】求复数的模 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 精练核心考点 1．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 2．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值. 【详解】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 题型九：判断复数对应点所在象限 典型例题 例题1．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 例题2．（2025·新疆·二模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】设（，），然后由复数除法运算得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】设（，），则 . 因为，，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 例题3．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、判断复数对应的点所在的象限 【详解】因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限， 故选：AB． 精练核心考点 1．（河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【详解】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先对给定的复数进行化简，再求出其共轭复数，最后根据共轭复数的实部与虚部确定其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】，所以，对应点的坐标为， 故选：D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以对应的点的坐标是，位于第一象限. 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得在复平面内对应的点为， 则其位于第二象限. 故选：B. 题型十：复数的四则运算 典型例题 例题1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法运算求出，即可求其共轭复数. 【详解】由可得：，解得， 用复数除法得：， 则， 故选：C. 例题2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知，则复数的共轭复数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的模长公式以及复数运算求复数，即可得共轭复数. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 例题3．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得. 故选：C. 例题4．（24-25高一下·广西·阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为： 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解； 【详解】由，解得， 所以． 所以的虚部为1． 故选：C． 2．（安徽省池州市普通高中2025届高三下学期教学质量统一监测数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案. 【详解】， 则. 故选：B 3．（2025·江西·一模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的坐标表示结合共轭复数和复数的除法计算即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以.， 所以， 故选：. 4．（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数相等求参数的值. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 学科网（北京）股份有限公司 $$