专题15 分式（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题15 分式专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如果对于任何实数x，分式总有意义，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 2．若，则的值是（    ）． A． B． C． D． 3．已知实数，满足，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 5．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 6．要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若为实数，且，则 8．函数，则x的取值范围是 ． 9．已知，且，则一次函数与轴的交点坐标为 ． 10．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 11．对于正数，规定，例如，则 ． 12．若为正数，且，则 ． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题10分）已知，，求的值. 14．（本题12分）（1）计算； （2）先化简，再求值：，其中、满足． 15．（本题12分）设a，b，c都是实数，若，求分式的值． 16．（本题12分）已知实数满足，求的值． 17．（本题14分）探索发现：，，……  根据你发现的规律，回答下列问题： (1)＝___________，＝___________， (2)利用你发现的规律计算 (3)灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题15 分式专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如果对于任何实数x，分式总有意义，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，根据分式有意义的条件是分母不为0可知方程无解，则，据此求解即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴， ∴方程无解， ∴， ∴， 故选：B． 2．若，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由得到，设，得到，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由知， ∴， ， 设， 则， ∴， 即， 故选：． 3．已知实数，满足，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含，的代数式，最后将，的值代入并计算即得答案． 【详解】 ， 当，时， 原式． 故选B． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，根据得，再将的分子分母变形为含的式子，即可解题． 【详解】解：由得， 则 ． 故选：A． 5．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，掌握通分的技巧和完全平方公式是解题关键． 先已知等式通分去分母化简为，代入变形后的第二个分式中即可． 【详解】解：∵， ∴，得， ∴． 故选：B． 6．要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键． 分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x值． 【详解】∵式子有意义， ∴，， ∴且． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若为实数，且，则 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质以及分式的分母不为零求出和的值，然后进行计算． 【详解】解： ，且0， ， ， ， 故答案为：. 8．函数，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义，分母不为0．根据此求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得，且， 故答案为：且． 9．已知，且，则一次函数与轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，先利用整理求出或，再利用二次根式和完全平方的非负性求出的值，最后令一次函数即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴，即：， ∵， ∴，即， ∴，， ∴一次函数为：或， ∴令得：或， ∴一次函数轴的交点坐标为：或， 故答案为∶或． 10．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】4030 【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置， 则由得， 由得， 由得， 三式相加得， 则， ∴． 11．对于正数，规定，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 12．若为正数，且，则 ． 【答案】 【分析】先求出，再求出，最后整体代入进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】解：∵为正数，且， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题10分）已知，，求的值. 【答案】0 【分析】由得，a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b，代入整理后即可求解. 【详解】∵a+b+c=0， ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b， ∴原式= = = = ∵， ∴原式=0. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，由由求出a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b是解答本题的关键. 14．（本题12分）（1）计算； （2）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】（1）（2）化简得：；原式 【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键，（1）根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果；（2）直接利用括号里面因式分解进行化简，再利用分式乘除运算法则化简，再根据二次根式、绝对值的性质得出、的值，进行代入求出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． ∵， ∴，， ∴，， 故原式． 15．（本题12分）设a，b，c都是实数，若，求分式的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设，得出①，②，由得，求出，则，代入进行变形求值即可． 【详解】解：设，由已知得： ， 故，① 又， 故，② 得， 故，则， ∴原式． 16．（本题12分）已知实数满足，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了分式的化简求值，先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把进行配方，得到的值，再把它整体代入即可求出答案，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤． 【详解】解：由可得， ， ， ， ． 17．（本题14分）探索发现：，，……  根据你发现的规律，回答下列问题： (1)＝___________，＝___________， (2)利用你发现的规律计算 (3)灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝ 【答案】(1)，； (2)； (3)50； 【分析】（1）根据题目中分母的规律计算求值即可； （2）将式子中的每项进行拆分，正负项抵消合并即可； （3）由可得，然后将方程左边的每项进行拆分，正负项抵消后再解分式方程解即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：原式===； （3）解：∵， ∴， 同理可得，…，， ∴原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验是方程的解； 所以方程的解为． 【点睛】本题考查了分式的通分，解分式方程等知识；根据已知条件对所求式子变形化简是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$