精品解析：2025届陕西省西安市临潼区高三二模数学试题

2025届高三第二次模拟检测 数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理，试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，或，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题．则（ ） A. 和都是真命题 B. 是假命题，是真命题 C. 是真命题，是假命题 D. 和都假命题 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为5，乙组样本数据的平均数为12，则下列说法错误的是（ ） A. B. 乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍 C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的极差可能相等 6. 甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（ ） A. 720种 B. 1440种 C. 2880种 D. 4320种 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时,（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则关于的说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的最大值 C 图象关于点对称 D. 把图象向左平移个单位长度得到的图象 10. 设，若为函数极大值点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，使得函数在区间上单调递增 B. 当时，有 C. 当时，，使得函数在区间上单调递增 D. 当时，有 11. 如图，以，，，，，为顶点的六面体中，四边形为菱形，，，，，，，则（ ） A. B. 平面 C. 当时，二面角的正弦值为 D. 当时，此六面体的体积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，，且，则与的夹角为______． 13. 若点在直线上，且，则的最小值为______． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 16. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，求证：. 17. 年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． （1）现有瓶水果罐头，已知其中瓶优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第二次模拟检测 数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理，试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得. 【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数， 所以，解得. 故选：D 2. 已知集合，或，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，再由交集和并集、补集的运算可判断结果. 【详解】由题意可得，，所以A错误； 又或，可得或，所以B错误； 因为，所以或，所以C错误； 因为，所以，所以D正确． 故选：D 3. 已知命题；命题．则（ ） A. 和都是真命题 B. 是假命题，是真命题 C. 是真命题，是假命题 D. 和都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明. 【详解】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题. 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合特值点处的函数值判断即可. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除C； ， 当时，， 且， 而，即，故， 所以在的单调递增区间上，AD不满足，B满足. 故选：B 5. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为5，乙组样本数据的平均数为12，则下列说法错误的是（ ） A. B. 乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍 C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的极差可能相等 【答案】D 【解析】 【分析】由甲组平均数为，乙组平均数为可得选项A正确；由乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的倍可得选项B正确；根据中位数和极差的概念可得选项C正确，选项D错误. 【详解】A.设甲组样本数据的平均数为，则乙组样本数据的平均数为， 由，得，A正确. B. 乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的倍，B正确. C.设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为， 由得，，故两组样本数据的中位数可能相等，C正确. D.不妨设，则甲组数据的极差为，乙组数据的极差为， ∵甲组数据各不相同，∴两组样本数据的极差不相等，D错误. 故选：D. 6. 甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（ ） A. 720种 B. 1440种 C. 2880种 D. 4320种 【答案】B 【解析】 【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解. 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先设点的坐标，再联立抛物线计算求解点，最后应用平行线距离计算求解. 【详解】由题意得，，，， 设点D，E的坐标分别为，， 直线AD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，所以， 同理直线BD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，可得， 所以两条反射光线，之间的距离． 故选：B. 8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时,（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以当，可得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则关于的说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的最大值 C. 图象关于点对称 D. 把图象向左平移个单位长度得到的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】利用整体法可判断A；利用代入法判断BC；利用平移变换求得平移后的解析式判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，所以不是的最大值，故B错误； 对于C，，所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D，将图象向左平移个单位长度得到的图象， 即，故D正确. 故选：AD. 10. 设，若为函数的极大值点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，使得函数在区间上单调递增 B. 当时，有 C. 当时，，使得函数在区间上单调递增 D. 当时，有 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，按分类确定的大小，进而确定极大值点及单调区间即可判断. 【详解】函数的定义域为R， 求导得， 对于AD，当时，若，则当时，，函数在取不到极大值， 因此，由，得或，由，得， 函数在取得极大值，符合题意，此时，D错误； 函数在上单调递增，取，函数在上单调递增，A正确； 对于BC；当时，若，则当时，，函数在取不到极大值， 因此，由，得，由，得或， 函数在取得极大值，符合题意，此时，B正确； 函数在上单调递减，在上单调递增， 则不存在，使得函数在区间上单调递增，C错误. 故选：AB 11. 如图，以，，，，，为顶点的六面体中，四边形为菱形，，，，，，，则（ ） A. B. 平面 C. 当时，二面角的正弦值为 D. 当时，此六面体的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过证明面，可判断A，对于B，通过证明平面平面，可判断B，对于C，过作于点，证明出平面，根据求出答案，对于D，取中点，连接，，该几何体可分割为三棱锥和三棱锥，，通过计算体积和得到结果. 【详解】对于A，取中点，为菱形，， ，， 中，， 中，，， ，， 面，，面， 面，，故A正确. 对于B，取中点，，且， 则，，，， 即为平行四边形，为平行四边形， ，，，，四边形为平行四边形， ，又， 平面，平面，则平面， 同理平面，平面， 平面平面， 平面，平面，故正确. 对于C，过作于点， ， ，且， 又，， 又，平面，， 则平面，记二面角的平面角为，， ，故C错误. 对于D，取中点，连接，，该几何体可分割为三棱柱 和三棱锥，， 则几何体体积， 图中，到底面的距离为， ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，，且，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设与的夹角为， 由于，所以， 解得，则为锐角，且 故答案为： 13. 若点在直线上，且，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由点在直线上，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的性质推出函数的性质，再利用函数性质化简不等式，进而求解的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的偶函数， 所以的图象关于对称， 且在上的单调递增，在区间上单调递减. 由， 得， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角及余弦定理求解. （2）利用辅助角公式求出角及，再利用正弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 化简得，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，得， 由，得，则，即， ， 由及正弦定理，得， 所以的面积. 16 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式即可求数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 当时，， 当时，，， 故. 时，上式亦成立. 所以数列的通项公式为： 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 两式相减得：， 所以：. 17. 年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． （1）现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． 【小问2详解】 设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 【答案】（1） （2）的单调减区间为，无增区间. （3）能， 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，利用点斜式方程可求切线方程； （2）求导得，令，求导得，可得结论； （3）由题意判断方程的解的情况，令求导可得结论. 【小问1详解】 当时，则， ， ， 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，函数的定义域是， 所以， 令， 所以， 当时，；当时，， 所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值， 又，故恒成立， 所以的单调减区间为，无增区间. 【小问3详解】 由题意知，因为， 所以，即有， 令 则， 故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点， 即方程有唯一实根0，所以. 所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i），（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可； （2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可； （ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值． 【小问1详解】 因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，点，倾斜角为， 故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得， 可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则； （ii）由，，， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）， 设，在新图形中对应点记为，，， ，， ①， 即 所以②， 由①②可得： 即 则 即，， 解得， 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$