黄金卷08（山西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

3学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 【赢在中考黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷(山西专用) 黄金卷08 一、选择题:(本大题共10题,每题3分,共30分下列各题四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 0 8 2 6 7 4 5 10 C D A D 二、填空题:(本大题共5题,每题3分,共15分) 11.8 12.82 13. 8n+1 14.4 15.45-8 三、解答题:(本大题共8题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16(10分) 【详解】解:(1)(7一、)#1)## =1+3-1 ............... -7 ............... 3x+151 (2) 6x-223x-1' 方程两边同时乘以2(3x-1)得,3x+1-5(3x-1)=2. .................... 解得x- 1 3 ....................................... 2(3x-1)=0. ............................... :原方程无解。 17.(7分) 【详解】(1)如图,AE即为所求 1/9 3学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 (2)证明:AE为/BAD的平分线, $ BAE= DAE: . AD/BC $. 乙DAE= BEA $. BAE= BEA. . AB=BE .AB=AD '. AD=BE :四边形ABED为平行四边形 .............................分 .AB=AD :四边形ABED是菱形 18.(8分) 【详解】(1)解:由折线统计图可得: a=(4+7+7+5+8+4+3+6)+8=5.5. b=(9+10)+2=9.5,c-4和7: 故答案为:5.5,9.5,4和7: (2)①建议选择篮球技能. 理由如下: ②篮球技能的平均数和足球技能相同,均为8.375分,但是篮球技能的众数为10分是最高的,并且篮球技 能的中位数为9.5分也是最高,表明思博在篮球技能上取得了更高的成绩频率,这可能意味着篮球技能是思 博较为擅长的项目,有较高的得分潜力 ③建议思博同学进一步提升自己的篮球技能,特别是在保持高分稳定性的同时,提高中低分的成绩,缩小 成绩分布范围,从而在正式考试中取得更稳定、更高的分数。 19(8分) 解:分别延长PO、MN与AB交于点E,F. 2/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 由题意得,PE1AB,MF1 AB, $ PEA= MFA=9$0$$ 8. AE=PE-tan53*s1.33PE 在Rt& AMF中,2 AMF=450, tanZAMF-AF PM' AF=MF-tan45*=MF 由题意得,四边形PCBF,四边形MDBF均为矩形, $PE=B$C$MF=B$D,BE=P$C=1.5$,FB=MD=0.5 $ ................... 设PE=BC=$米,则BD=CD-CB= 2 00-$t 米$ $AE=1.33xAF=200-t. *EF=AF-AE=BE-BF=1.5-0.5=1$$ $$ 200-x-1.33x=1. B 解得x:85.4. .AF=1.33x85.4:113.6(米) $AB=AF+BE=113.6+1.5=115(米) 答:风电塔简AB的高度约为115米。 ................................分.... 20.(8分) 【详解】(1)解:设A款的进货单价是x元,则B款的进货单价是(x+5)元, 500750 根据题意,可得 r+5* 解得x=10. 经检验,x=10是该方程的解. .x+5=15. 答:4款的进货单价是10元,则B款的进货单价是15元; 3/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 1000-15n (2)解:设购进B款7个,则购进A款 又A款的数量不小于B款的一半, 3n +100>-n. 2 解得:n<50. 10]+(20-15)n=2n+200, ............... :20. :w随7的增大而增大, .当7a取得最大整数解50时;w取得最大值,最大值为2x50+200=300. 此时n=50,则- 答:购进A款25个,购进B款50个时,获得的总利润最高,最高为300元. .............. 21.(9分) 【详解】(1)①解::D,E分别是边AB,AC的中点, .EA=EC. 在 ADE与△CFE中. EA-FC 乙AED=/CEF. ED-EF .AADE。CFESAS). 故选:A: ②:ADECFE(SAS). : 乙A=/ECF,AD=CF. : AB/CF. ”点D是AB的中点, . DB=AD=CF. .四边形DBCF是平行四边形. 故答案为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (2)证明:在△FDB和:GDC中. 4/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 BD-CD BDF= CDG.$$ FD-GD$ .△FDBGDC($AS). $$BF =$CG$$$ G=$ BFD $ .AE=EF. $ EAF=$ EFA= BFD= $G $$ .AC=GC=BF (3)如图,延长CP交DE于点N,延长CP使得PM=PC. 根据(2)中原理,可得。BCP。GMP(SAS), :BC=GM. BCP=ZPMG. :四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形 $CD=$CB=GM,$CE=CG,$ BCD= $GCE=90$ $$$$ $ DCE=360$-$ BCD- GCE- BCP- MCG$= 180$-$ M- MCG$= MG$ .△DCE&MGCISAS) 2 :/DCN+/BCM=90*. :乙M+ DCN= EDC+ DCN=90*. ./DNC-90 ................................. A _2 _ E 图3 22.(12分) 【详解】解:(1)解:探究发现:x与7是一次函数关系,y与1是二次函数关系. 设x=kt,v=ax{}+bx,把(2.10)代入一次函数解析式,把(2.22l,(4.40)代入二次函数解析式 5/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 [4a+2b= 2 由题意得: $ 10= k $ |$ 6 +4b=40' #[--# 解得:k=5 -2. $$ =2$ $x=51,y=- .....................................4分 解得,1=0(舍),1=24. 当1=24时,x=120. 答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m. (3)设发射平台相对于安全线的高度为m,飞机相对于安全线的飞行高度y=- :125<x<130. 125<51<130. :25<1<26, 当t=25,y'=0时,n=12.5; 当1=26,y'-0时,n=26. .12.5<n<26. 答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m. ................1.分.. 23.(13分) 【详解】(1)解:四边形OEMD为正方形,理由如下: 由旋转可得0A=0E. B G :四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形, $ AD=CD,$ D=90$$ E=90* $$ 6/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 . CAD=45^$$$$$$ 又:OA=0E$ $ AE0= CAD=4 $$ 40E=90{*$$ . E0D=90*$$$$$ .四边形OFMD为矩形, 又:O为AD的中点, $ 0A=0D. : 0E=0D. :四边形OFMD为正方形; (2)解:CM=FM,理由如下: 连接OM, F . E=OD,OM=OM G RIAOFMRt△ODM; .EM-DM, ·四边形ABCD和四边形EFGH为全等的正方形, .CD=EF. . CM=FM (3)解:A4BO绕点O旋转到点B的对应点E落到直线AD上,点F的位置确定,根据旋转的性质可以确 定点E的位置 ①当点A:D,F三点共线时,如下图: 7/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 OFE= 0FE, FEO=9$ $$$ $ $ OFE+ FFEO= 0FE+ M=9$0$, . FEO=ZM. .△MDF△OEF. :正方形4BCD边长为4:EH中点为O,AD的中点O. :F0=A0=2: F0=2+4-25. :FA=25-2. FD=4+25-2=25+2$ F # EF FO 4 25 ._ 25+2 FM' 20+45 .FM二 2-5+5. 4 :FM=5+5-4=5+1 ②当点A,D,F三点共线时,如下图: EM ' MFD= MFD. = MFD+ DMF= MFD+ EOD. . ZDMF=ZEOD. .△MDFo△OEF. :EO=2.EF=4. 1.FO-25, :0D=2: 8/9 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 FD-25-2$ 2-25-1. .MD- 2 FM DF FM 25-2 2V53 .解得:FM=5-5 $ 4 EM=4-5+5=5-1. ...................................12分 综上所述:EM的长5-1或5+1 .....................”.分 9/9 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷08 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 2．甲骨文是刻写在龟甲和兽骨上的文字，为我们提供了了解商代历史的珍贵资料．下面是四个甲骨文字，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．甲烷()是具有正四面体结构的非极性分子，也是作为天然气、页岩气、可燃冰等的主要成分，是最简单的有机物．连接四个原子就得到如图所示的正四面体，对于该几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不相同 5．电影《哪吒2》上映40天的累计票房为146.27亿元，146.27亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 7．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 9．如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为 ． 12．《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为，，则正方形的周长为 ． 13．凯库勒是19世纪德国化学家，他因成功地描绘出苯分子的环形结构名噪一时．如图，小华用9根火柴棒搭出的第1个图形恰好类似于苯的结构简式，他继续用17根火柴棒搭出第2个图形，，按此规律，搭第个图形所需火柴棒的根数为 ．    14．如图，直线交双曲线于，交轴于点，为线段的中点，过点作轴于，连接．若，四边形的面积为5，则的值为 ． 15．如图，矩形，点在线段上，点在线段上，．当的值最小时，线段的长度是 ． 三、解答题：（本大题共8题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算； （2）解方程． 17．（7分）如图，在四边形中，，． (1)用尺规作的角平分线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 18．（8分）2025年山西中考体育在原来三项的基础上增加了第四项，即在篮球技能，排球技能，足球技能中必选一项，分值为10分，体育总分由原来的50分增加到60分．思博同学在老师的帮助下对自己的篮球技能，排球技能，足球技能分别进行了测试，并获得了一些数据． 数据整理： 数据分析：思博对上述数据进行了如下分析： 项目 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 篮球技能 8.375 b 10 排球技能 a 5.5 c 足球技能 8.375 8 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)请你给思博一些建议，建议内容包括①选择篮球技能，排球技能，足球技能中的哪一项作为中考体育项目，②选择该项目的理由（2条即可），③针对该项目后续的努力方向（1条即可）． 19．（8分）风能是一种清洁能源，我国风能资源非常丰富．某校综合与实践小组了解到风电塔筒是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，该小组测量某风电塔筒（即风力发电的塔杆）的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 风电塔筒的高度 测量目的 运用三角函数有关知识解决实际问题 测量工具 测角仪、激光测距仪等 测量示意图 测量方案 1．在风电塔筒前的空地上取测量点，利用测角仪测得此时点的仰角；2．改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点，利用测角仪测得此时点的仰角；3．测得米，米，米．（图中各点均在同一竖直平面内） 请根据以上测量数据，求风电塔筒的高度（结果精确到1米，参考数据：． 20．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 21．（9分）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 22．（12分）综合与实践 问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题提出： 科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述． （1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题延伸： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域． （3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 23．（13分）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M． 猜想证明： (1)如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (2)在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷08 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据温差最高温度最低温度列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选：D． 2．甲骨文是刻写在龟甲和兽骨上的文字，为我们提供了了解商代历史的珍贵资料．下面是四个甲骨文字，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可．确定轴对称图形的关键是能否找到对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考出了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； B、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 4．甲烷()是具有正四面体结构的非极性分子，也是作为天然气、页岩气、可燃冰等的主要成分，是最简单的有机物．连接四个原子就得到如图所示的正四面体，对于该几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三视图的知识，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示，三个视图都不相同 故选：D． 5．电影《哪吒2》上映40天的累计票房为146.27亿元，146.27亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：146.27亿用科学记数法表示为． 故选：A． 6．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 7．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，是正确计算的前提． 利用三角形中位线的性质以及相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵中点四边形． ∴．， ∴，， ∴， ∴ ∴， 同法可证，，，， ∴ ， ∴则飞镖落在阴影区域的概率为 故选：B． 8．如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理．由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．注意菱形的对角线互相垂直平分． 【详解】解：如图． 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C 9．如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，光的反射定律，掌握广德反射定律是解题的关键． 延长交轴于点E，则，继而证明，则，再将其代入即可求解． 【详解】解：延长交轴于点E， 由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：A． 10．如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可． 【详解】解：连接、， ∵过的中点C作交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解． 【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为， ∵矩形的周长为 ∴， 解得：， 故答案为：8． 12．《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为，，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．设位似中心为，连接、，首先得到，，然后利用勾股定理求出，然后根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设位似中心为，连接、， 正方形的外接圆半径为， ，， ， ， ， ． 正方形的周长为． 故答案为：． 13．凯库勒是19世纪德国化学家，他因成功地描绘出苯分子的环形结构名噪一时．如图，小华用9根火柴棒搭出的第1个图形恰好类似于苯的结构简式，他继续用17根火柴棒搭出第2个图形，，按此规律，搭第个图形所需火柴棒的根数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加，根据此可求解． 【详解】解：∵第个图形中木棒的根数为； 第个图形中木棒的根数为； 第个图形中木棒的根数为； 第个图形中木棒的根数为； ； ∴第个图形中木棒的根数为根， 故答案为：． 14．如图，直线交双曲线于，交轴于点，为线段的中点，过点作轴于，连接．若，四边形的面积为5，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算方法是求出反比例函数系数的关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，得到，点是的中点，结合题意得到，设，则，得，则，由，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：4 ． 15．如图，矩形，点在线段上，点在线段上，．当的值最小时，线段的长度是 ． 【答案】/ 【分析】在右侧作，且截取，连接，则，那么，则当点共线时，最小，即为，过点G作于点，由勾股定理得，由，可得，那么，可证明，则，即可求解． 【详解】解：在右侧作，且截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点共线时，最小，即为，如图： 过点G作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，综合性强，解题的关键在于构造全等三角形进行转化． 三、解答题：（本大题共8题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查实数的混合运算，解分式方程； （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根化简各个数字，再计算加减即可； （2）先去分母化成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1）； （2）， 方程两边同时乘以得，， 解得， 当时，， ∴原方程无解． 17．（7分）如图，在四边形中，，． (1)用尺规作的角平分线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)证明如下 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定、角平分线的定义以及作图方法是解答本题的关键； （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，则，进而可得，则四边形为平行四边形，再根据，即可证出结论． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）证明：为的平分线， ， ∵ ， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形． 18．（8分）2025年山西中考体育在原来三项的基础上增加了第四项，即在篮球技能，排球技能，足球技能中必选一项，分值为10分，体育总分由原来的50分增加到60分．思博同学在老师的帮助下对自己的篮球技能，排球技能，足球技能分别进行了测试，并获得了一些数据． 数据整理： 数据分析：思博对上述数据进行了如下分析： 项目 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 篮球技能 8.375 b 10 排球技能 a 5.5 c 足球技能 8.375 8 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)请你给思博一些建议，建议内容包括①选择篮球技能，排球技能，足球技能中的哪一项作为中考体育项目，②选择该项目的理由（2条即可），③针对该项目后续的努力方向（1条即可）． 【答案】(1)，，和； (2)见解析 【分析】本题考查数据的统计与分析，解题的关键在于理解平均数、中位数和众数的意义，通过已知数据推断出未知数据的可能范围，并据此给出合理的建议． （1）结合折线统计图，利用平均数、中位数和众数的定义进行分析计算； （2）根据平均数、中位数和众数进行合理的建议和回答． 【详解】（1）解：由折线统计图可得： ， ，和； 故答案为：，，和； （2）①建议选择篮球技能．理由如下： ②篮球技能的平均数和足球技能相同，均为8.375分，但是篮球技能的众数为10分是最高的，并且篮球技能的中位数为分也是最高，表明思博在篮球技能上取得了更高的成绩频率，这可能意味着篮球技能是思博较为擅长的项目，有较高的得分潜力． ③建议思博同学进一步提升自己的篮球技能，特别是在保持高分稳定性的同时，提高中低分的成绩，缩小成绩分布范围，从而在正式考试中取得更稳定、更高的分数． 19．（8分）风能是一种清洁能源，我国风能资源非常丰富．某校综合与实践小组了解到风电塔筒是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，该小组测量某风电塔筒（即风力发电的塔杆）的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 风电塔筒的高度 测量目的 运用三角函数有关知识解决实际问题 测量工具 测角仪、激光测距仪等 测量示意图 测量方案 1．在风电塔筒前的空地上取测量点，利用测角仪测得此时点的仰角；2．改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点，利用测角仪测得此时点的仰角；3．测得米，米，米．（图中各点均在同一竖直平面内） 请根据以上测量数据，求风电塔筒的高度（结果精确到1米，参考数据：． 【答案】风电塔筒的高度约为115米 【分析】分别延长与交于点．设米，则米，根据矩形的判定和性质，结合仰角的理解，解直角三角形求解即可． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握仰角的计算是解题的关键． 【详解】解：分别延长与交于点． 由题意得，， 在中，， 在中，，， ． 由题意得，四边形，四边形均为矩形， 米，米， 设米，则米， ． 米， ． 解得． （米） （米） 答：风电塔筒的高度约为115米． 20．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 21．（9分）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答； ②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，． 【详解】（1）①解： D，E分别是边的中点， ， 在与中， ， ， 故选：A； ②， ，， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， , , ； （3）如图，延长交于点，延长使得， 根据（2）中原理，可得， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，． 22．（12分）综合与实践 问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题提出： 科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述． （1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题延伸： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域． （3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】（1）；  （2）    （3）大于且小于 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解题目中的数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，令二次函数中，即可求解； （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，根据进行计算即可求解． 【详解】解：（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设，把代入一次函数解析式，把，代入二次函数解析式， 由题意得：，， 解得：，， ∴，； （2）依题意，得， 解得，（舍），， 当时，， 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度， ∵， ∴， ∴， 在中， 当时，； 当时，． ∴． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 23．（13分）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M． 猜想证明： (1)如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (2)在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转性质得，再证明出四边形为矩形，继而证明出本题答案； （2）连接，证明，继而得到本题答案； （3）绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，从而构图成功，进一步由求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： 由旋转可得． ， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， 又 ， ， ∴四边形为矩形， 又∵O为的中点， ， ∴四边形为正方形； （2）解：，理由如下： 连接， ，， ， ， ∵四边形和四边形为全等的正方形， （3）解：绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置， ①当点A，D，F三点共线时，如下图： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形边长为4，中点为O，的中点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点A，D，F三点共线时，如下图： ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 综上所述：的长或． 【点睛】本题考查正方形判定及性质，全等三角形判定及性质，矩形判定及性质，旋转性质，相似三角形判定及性质等． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$