精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一下学期月考(一)数学试题

重庆市巴蜀中学高 2027 届高一3月月考 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2. 在 中，点 为 上的点，且满足 ，记 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量、的夹角为，且满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 5. 近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数 的图象，只需将 上所有点（ ） A. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 B. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 C. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 D. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 7. 在中，边上的高等于，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行四边形满足，且.设平面内有一点满足 ，点的轨迹分别与、交于、两点.线段 上有一动点，上有一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 10. 已知 ，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 的最大值为 3 C. 关于对称 D. 若，则 11. 在锐角 中， ，点 为 所在平面内一点，且满足 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 为三角形 重心 B. 为三角形 的外心 C. 若 ，则 取值范围是 D. 若 ，则 的取值范围是 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 在中，点为的中点，且，则实数_____ 13. 在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为:_____ 14. _____ 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 设，，. （1）若，求. （2）若与共线，求与夹角的余弦值. 16. 设. （1）求的单调增区间； （2）设，若在上无零点，求的取值范围. 17. 如图，在菱形中， ， ， 、 为线段上的两个动点 (包含端点)， 且. （1）若、重合，求； （2）求的取值范围. 18. 已知函数 ，且 的图象关于原点对称. （1）求 的解析式； （2）将 的图象向右移 个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的 倍，得到 的图象.已知关于 的方程 在 内有 2 个不同的解 (i) 求 的取值范围； (ii)求 .(用 表示) 19. 已知，存在，使得成立，且的最小值为. （1）求值； （2）若函数， (i)求函数的值域； (ii)若函数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学高 2027 届高一3月月考 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，代入求值即可. 【详解】， 又， ，即， 解得：. 故选：B. 2. 在 中，点 为 上的点，且满足 ，记 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的加减运算求解即可. 【详解】因为，所以M为BC的四等分点且靠近点C， 所以， 故选：A. 3. 已知向量、的夹角为，且满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出、，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以， 又，即，所以，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 4. 已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式求解即可. 【详解】依题意， 所以， 因为，又, 所以， 故选：C. 5. 近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解. 【详解】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A 6. 为了得到函数 的图象，只需将 上所有点（ ） A. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 B. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 C. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 D. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式可得，再结合三角函数的图像变换，即可得到结果. 【详解】因为， 所以要得到函数 的图象， 只需将上所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 再向左平移个单位即可. 故选：D 7. 在中，边上的高等于，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设边上的高为，为垂足，即可得到，设，即可求出，，，再由余弦定理计算可得. 【详解】设边上的高为，为垂足，所以， 因为，所以，所以， 设,那么,. 由勾股定理，， 又， 由余弦定理可知. 故选：C 8. 已知平行四边形满足，且.设平面内有一点满足 ，点的轨迹分别与、交于、两点.线段 上有一动点，上有一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到，即可得到平行四边形为正方形，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，即可求出、的坐标，再作关于轴对称的点为，作关于轴对称的点为，即可求出最小值. 【详解】因为，所以， 所以，所以，又， 所以平行四边形为正方形， 如图建立平面直角坐标系， 则，，， 所以，，设，则， 因为，所以， 所以，所以，即点在上，令可得，所以， 令可得，所以， 作关于轴对称的点为，作关于轴对称的点为， 则， 所以，当且仅当、、、四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】是夹角为的单位向量，， 对于，，同理可得，故错误； 对于，，故正确； 对于，因 又，，故C正确； 对于， 所以在上的投影向量为，故正确. 故选：． 10. 已知 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 3 C. 关于对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为， 对于A：的最小正周期，故A正确； 对于B：因为，所以的最大值为，故B错误； 对于C：因为，所以关于对称，故C正确； 对于D：因为，所以， 即，所以，所以， 所以，即，所以， 所以， 当时，当时，故D错误. 故选：AC 11. 在锐角 中， ，点 为 所在平面内一点，且满足 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 为三角形 的重心 B. 为三角形 的外心 C. 若 ，则 的取值范围是 D. 若 ，则 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB，如图取AC，BC中点为D，E，由题可得，据此可判断选项正误；对于CD，由AB可得，又由题可得，，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，如图取AC，BC中点为D，E，则， ，因， 则，，即 为BC，AC中垂线交点， 即 一定为三角形 的外心，故A无法判断（正三角形重心，外心重合，但题目无条件能够判断三角形是否为正三角形），B正确； 对于CD，如图以为圆心，做出三角形的外接圆，因，则外接圆半径R满足： ，则， 又注意到为劣弧AC所对的圆周角，为弧对应的圆心角，则. 如图，延长AO，CO，交圆O于F，G，因为锐角三角形， 则外心O在三角形内部，则点B轨迹为劣弧FG（不包括F，G）. 注意到，则. 又，， 则， 因，则故C正确，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：外心为三角形三条边中垂线的交点，也是三角形外接圆圆心，对于关于外心的问题，常联想正弦定理，也可将外接圆画出，利用圆的几何性质解决问题. 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 在中，点为的中点，且，则实数_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为点为的中点，所以， 又，、不共线， 所以. 故答案为： 13. 在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为:_____ 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理得，由三点共线得，利用基本不等式计算即可. 【详解】 ， ， ， 为 上一点， ， ， 当且仅当，等号成立. 解得 或（舍）　 即等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 14. _____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15 设，，. （1）若，求. （2）若与共线，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法和模长的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量共线可构造方程求得，由向量夹角公式可求得结果. 【小问1详解】 当时，，，. 【小问2详解】 ，又与共线， ，解得：，， ， 即与夹角的余弦值为. 16. 设. （1）求的单调增区间； （2）设，若在上无零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式将函数化为的形式，进而利用正弦函数的单调性列不等式求解函数的单调增区间； （2）利用整体的思想及结合正弦函数的图象列不等式求解即可. 小问1详解】 令 解得 的单调增区间为 【小问2详解】 , 在上无零点， 解得 17. 如图，在菱形中， ， ， 、 为线段上的两个动点 (包含端点)， 且. （1）若、重合，求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，求出、的长度，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）设，则，利用坐标法表示出，再由二次函数的性质计算可得. 小问1详解】 过点作于点，因为，， 则，所以，则， 所以， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 当、重合时，，所以，， 所以. 【小问2详解】 设，则， 所以，， 所以， 所以当时，，当时，当时， 所以的取值范围为. 18. 已知函数 ，且 的图象关于原点对称. （1）求 的解析式； （2）将 的图象向右移 个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的 倍，得到 的图象.已知关于 的方程 在 内有 2 个不同的解 (i) 求 的取值范围； (ii)求 .(用 表示) 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数对称性得到，再结合其范围即可得到解析式； （2）（i）利用辅助角公式得，再结合正弦型函数性质即可得到其范围； （ii）根据对称性得到，从而有，最后利用二倍角余弦公式即可. 【小问1详解】 ， 关于原点对称，， ，. 【小问2详解】 （i）， ， 其中， . 且 由正弦型函数性质可知，. （ii）由对称性有：，， ，， ， . 19. 已知，存在，使得成立，且的最小值为. （1）求的值； （2）若函数， (i)求函数的值域； (ii)若函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数值域可确定，由此可得； （2）(i)令，结合辅助角公式化简得到，由正弦函数值域可构造不等式求得结果； (ii)将配凑为，结合(i)中值域和二次函数值域求法可求得结果. 【小问1详解】 ，，，， 存在，使得，，， ，即，. 【小问2详解】 (i)由（1）知：， 令，则（其中，）， ，，解得：， 的值域为. (ii)， ，， 由(i)知：且， 在上单调递增，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$