精品解析：山东省烟台爱华高级中学有限公司2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

爱华高级中学2023级高二下数学月考试卷 一、单选题 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 3. 下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（ ） 3 4 5 6 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为1，列方程求得的值. 【详解】根据概率和为1，列方程得： ， 解得. 故选：C. 4. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从五张卡片中无放回随机抽取两张则可能结果有，，，， ，，，，，共个； 其中满足两张卡片数字之和是6的有、共个， 所以抽到的两张卡片数字之和是6的概率. 故选：A 5. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法即可得解. 【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 6. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 7. 甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设“甲同学报的活动其他同学不报”，“位同学所报活动各不相同”，根据条件概率公式分别计算出积事件所含的基本事件数和事件所含的基本事件数，代入公式计算即得. 【详解】设“甲同学报的活动其他同学不报”，“位同学所报活动各不相同”， 由题得，， 所以. 故选：C. 8. 盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解. 【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B， 则， 所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可判定A；由得，，可判断B、D；然后由根据公式求解即可判断C. 【详解】由知正态分布曲线的对称轴为，，， 因为，所以，， 故A、D不正确，B、C正确. 故选：BC. 10. 口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（ ） A. A与B互斥 B. C. A与B独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 11. 已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（ ） A. 若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B. 若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C. 若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D. 若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 三、填空题 12. 某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，， 则样本空间 共含有10个样本点， 设事件表示“这2名学生来自不同年级”， 则包含，即， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故答案为：. 13. 的展开式中常数项为__________用数字作答 【答案】14 【解析】 【分析】利用展开式的通项即可求解. 【详解】解：展开式的通项为， 则的展开式中常数项为 故答案为：14 14. 甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为_______. 【答案】##0.104 【解析】 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：，所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 16. 为了监控某种零件的一条生产线的生成过程，检验员从该生产线随机抽取100个零件，并测量其尺寸，得到如下表格： 误差（单位：） 数量 3 10 20 35 19 9 4 （1）求这100件零件误差平均值（同一组的数据用该组区间中点代表） （2）若已知零件的误差服从正态分布，其中近似样本平均数，若随机从生产线上抽取一个零件，求其误差位于区间上的概率； （3）以频率估计概率．若从该生产线上随机抽取10个零件，10个零件中有个零件的误差位于区间，求的分布列和数学期望． 附：（若服从正态分布，则，，） 【答案】（1） （2） 0.9545 （3）的分布列为， 【解析】 【分析】（1）由平均数的计算公式直接计算即可； （2）由正态分布的相关知识可得，由此即可得解； （3）由题意可得服从二项分布，进一步即可求解. 【小问1详解】 ， 所以这100件零件误差平均值为； 【小问2详解】 由题意零件的误差服从正态分布， 而，，， 所以其误差位于区间上的概率为； 【小问3详解】 误差位于区间的概率为，显然服从二项分布， 所以的分布列为， 数学期望. 17. 某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． （1）求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； （2）记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列： X 0 1 2 3 4 P 【解析】 【分析】（1）分别求出甲、乙同学获得一个零食的概率，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望. 【小问1详解】 设“甲同学获得一个零食”为事件A，“乙同学获得一个零食”为事件B，“甲、乙两名同学恰好各获得一个零食”为事件C． ， 则； 所以甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率为； 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， . X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 18. 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出. （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列； （3）记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求. 【答案】（1） （2） 随机变量的分布列为 0 1 2 3 （3）【解析】 【分析】（1）分别求出，结合条件概率公式即可求解； （2）的所有可能取值为，算出对应的概率即可得分布列； （3）由题意得，化简即可得解. 【小问1详解】 记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以； 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为，则， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】由题意可知，前次取了一个白球，第次取了第二个白球，则： ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，根据题意得到，从而得解. 19. Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. （1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 【答案】（1）的分布列如下： -3 -1 1 3 ，0 （2）（i），；（ii）【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望， （2）（i）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解（i）， （ii）设事件A：粒子在第2n秒末第一次回到原点，事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位， 根据，结合的定义，即可求解． 【小问1详解】 依题可知，的可能取值为， ，， ，， 的分布列如下： -3 -1 1 3 . 【小问2详解】 （i），， （ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点， 事件：粒子第1秒末向右移动一个单位. ， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为， 以下仅考虑事件. 设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设， 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知 数列的前项中有个1和个. ，， 粒子在余下秒中运动的位置满足， 即， 粒子在余下秒中运动方式的总数为， ，又， . 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 爱华高级中学2023级高二下数学月考试卷 一、单选题 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ） A. B. C. D. 3. 下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（ ） 3 4 5 6 A. B. C. D. 4. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（ ） A. A与B互斥 B. C. A与B独立 D. 11. 已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（ ） A. 若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B. 若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C. 若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D. 若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 三、填空题 12. 某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为______． 13. 的展开式中常数项为__________用数字作答 14. 甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为_______. 四、解答题 15. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 16. 为了监控某种零件的一条生产线的生成过程，检验员从该生产线随机抽取100个零件，并测量其尺寸，得到如下表格： 误差（单位：） 数量 3 10 20 35 19 9 4 （1）求这100件零件误差平均值（同一组的数据用该组区间中点代表） （2）若已知零件的误差服从正态分布，其中近似样本平均数，若随机从生产线上抽取一个零件，求其误差位于区间上的概率； （3）以频率估计概率．若从该生产线上随机抽取10个零件，10个零件中有个零件的误差位于区间，求的分布列和数学期望． 附：（若服从正态分布，则，，） 17. 某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． （1）求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； （2）记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 18. 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出. （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列； （3）记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求. 19. Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. （1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $