精品解析：江苏省江都中学、江苏省仪征中学2026-2027学年第一学期高三10月联合检测数学 试卷

江苏省江都中学、江苏省仪征中学2026-2027学年 第一学期高三10月联合检测数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于集合，解不等式， 即， 即，即， 所以， ， 所以， 所以. 2. 下列函数为奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义和函数单调递增的定义进行判断. 【详解】对于选项A，设，则对，有，所以是奇函数， 而由幂函数的单调性可知，函数在和上单调递增，不满足题意； 对于选项B，设，则对，有，所以是奇函数， 由正切函数的单调性可知，函数的单调增区间为，不满足题意； 对于选项C，函数的定义域为，不满足题意； 对于选项D，设，则对，有，所以是奇函数， 对，且，有， 所以在定义域内单调递增. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义和依次排除选项即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数，其函数图象关于轴对称，故排除选项C，D；又，故排除选项B. 故选：A. 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由有，再讨论时，解一元二次不等式求解集，根据所得解集与的包含关系，判断条件间充分、必要关系即可. 【详解】函数， 当时，，故不存在的情况； 当时，，整理得，解得或； ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】凑角后利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】. 6. 已知函数，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式确定奇偶性和单调性，根据题设不等式恒成立得在上恒成立，求m的范围. 【详解】由题意，，即为奇函数，同时也为增函数， ∵，即， ∴，则，又， 当时，不等式恒成立；当时，恒成立，即. 综上，m的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：将不等式转化为在上恒成立，求参数范围. 7. 已知函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用同构法求解含参函数最值的导数问题，首先通过指数恒等式对原函数进行同构变形，引入换元，将复杂的指对混合函数转化为单一变量函数；接着分析的单调性，得出其最大值为0且仅在处取得，由此将“的最大值为0”等价转化为存在正实数使得，即方程有正解；然后构造函数，通过求导分析其单调性与最小值，结合两端极限确定函数的值域；最后根据方程有解等价于参数属于函数值域，得到的取值范围，进而求出的最小值. 【详解】函数定义域为， 因为， 所以函数改写为： 令，则. 对求导：. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此在处取得最大值，即恒成立， 当且仅当时取到最大值. 题目要求的最大值为，等价于存在使得，即方程有正实数解. 令， 求导： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在处取得极小值（最小值）： 当时， 当时， 因此的值域为. 所以方程有解等价于， 故的最小值为. 【点睛】核心技巧：面对这类指对混合结构，利用统一为指数形式，凑出相同的整体变量换元，是简化复杂函数的关键手段，能大幅降低分析难度. 最值转化逻辑：复合函数能取到外层函数的最大值，本质是内层函数的值域必须包含外层函数取最值时的自变量值，由此将函数最值问题转化为方程有解问题，是本题的核心转化思想. 通用方法：分离参数法是处理方程有解、恒成立求参问题的常用方法，将参数范围问题转化为求函数值域问题，思路清晰直接. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上的值域为 D. 若将的图像向左平移个单位得的图像，则是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】将函数化简得到，结合最小正周期为，推出.再由整体替换思想求出其单调区间，然后逐一判断即可. 【详解】. ，函数的最小正周期为，，A错误. ，， 令，当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递减，B正确. 当时，，在处取得最大值，在处取得最小值. 函数在区间上的值域为，C错误. 为偶函数，D正确. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值判断ABC，利用消元法结合二次函数求得最值判断D． 【详解】对于A、因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 则的最大值为，故A选项正确； 对于B、，当且仅当，即，即时取等号，故B选项正确； 对于C、， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，故C选项错误； 对于D、因为， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D选项错误． 11. 已知函数 ，则（ ） A. B. 的图象是轴对称图形 C. 曲线 不存在斜率为 的切线 D. 在 内所有零点之和为 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据解析式判断函数的单调性，即可判断A，B；利用导数的几何意义，求得曲线  的切线的斜率的取值范围，从而判断C；易得，构造函数，分析及的对称性，将 在  内所有零点之和转化为两个函数图象交点的横坐标之和，数形结合求解可判断D. 【详解】函数  的定义域为， 因为，且为增函数，所以为减函数； 又是减函数，所以函数是减函数. 对于A，因为，所以， 所以A正确. 对于B，因为函数是减函数，所以不可能是轴对称图形，所以B不正确. 对于C， . 因为， 所以，. 即. 所以曲线  不存在斜率为  的切线，所以C正确. 对于D， . 令，则是减函数. 因为， 所以， 所以关于点对称. 又，且， 所以当时，. 因为， 所以关于点对称. ，且. ， ， 因为， 所以，所以， 即. 如图，与 在  内有3个交点， 其横坐标之和为，所以 在  内所有零点之和为 3. 所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个周期为且值域为的函数的解析式___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期和值域推导即可得到结果. 【详解】周期为，值域为，满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件计算出的值，然后结合二倍角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化成在上有零点，通过构造函数，利用导数求函数的最值，再结合函数有零点，列式求实数m的取值范围. 【详解】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点， 等价于在上有零点， 令 则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 则，又， ， ， 因， 又， 则， 所以① ② 解得． 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别是．已知 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可直接求出的值； （2）利用正弦定理可直接求出的值； （3）利用正弦定理分别求得，继而可求得，利用两角差的正弦公式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知， 由余弦定理可得，， 得． 又， . 【小问2详解】 由（1）及， 可得，解得：. 【小问3详解】 由正弦定理可得，， 即解得：， 而，所以都为锐角， 因此， 由（2）知， 则， 所以 . 16. 现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立． （1）记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望； （2）记4次朝上的点数之积为，求． 【答案】（1） 1 2 4 ； （2） 【解析】 【小问1详解】 依题意，的可能取值为，， 所以的分布列为 1 2 4 数学期望. 【小问2详解】 依题意，的事件是以下3个互斥事件的和，4次正面朝上的点数都是2的事件； 4次正面朝上的点数中1次为1，2次为2，1次为4的事件； 4次正面朝上的点数中2次为1，2次为4的事件， ， 所以 17. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 【答案】（1）证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形是平行四边形，得点为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；（ⅱ）利用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ⅱ）由（ⅰ）知， 所以点到平面的距离. 18. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图象． （1）已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，求实数的取值范围； （2）当时，若方程恰好有两个不同的根，，求的取值范围及的值； （3）令，若对任意都有，求的最大值． 【答案】（1） （2）的取值范围； 时，；时，． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式，写出极值点通式并按顺序排列正半轴的极值点，根据 “2个极大、1个极小”的条件确定t的范围； （2）先由平移变换得到解析式，分析给定区间内的单调性与端点值，结合正弦函数的对称性得到m的范围与两根之和； （3）先确定的取值范围，将恒成立问题转化为二次函数在闭区间上恒小于等于0，利用开口向上二次函数的最值在端点的性质列不等式求解． 【小问1详解】 根据图象可知，，，， ，代入得，，， ，，，， 函数的极值点满足： 极大值点：， 极小值点：， 时，极值点按从小到大依次为：， 要使上恰有2个极大值点和1个极小值点，则． 【小问2详解】 ，，则， 故在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且，，，， 方程恰好有两个不同的根，， 的取值范围， 令，对称轴为，， ，，或，， 时，；时，． 【小问3详解】 由（1）可知 ，对任意都有恒成立， 令，即在上恒成立， 是关于的二次函数，开口向上，则， 而的最大值，在或时取到， 则，，解得， ，则的最大值为． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）（i）； （ii）线段的中点在第四象限，证明如下： 设，两点的坐标分别为， 由，可得， 令，则， 当时，，则，则在上单调递减； 当时，，则，则在上单调递增； 由，不妨设． 令 ∴当时，，则， 又， 而在上单调递增，从而有，可得； ∴线段的中点的纵坐标，横坐标， 故其位置在第四象限． 【解析】 【分析】（1）求导后对分类讨论即可； （2）（i）求出切线方程代入点坐标得到，再设新函数求导研究即可； （ii）设点坐标，根据得到方程，再构造函数，求导后研究其单调性，从而构造函数，求导后得到即可. 【小问1详解】 ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，令，得，则在上单调递增； 令，得，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 （i），设切点为，则切线方程为， 代入点坐标，得， 由题，上述关于的方程有两个不同的解， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；所以的极大值为， 当时，；当时，， 则的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省江都中学、江苏省仪征中学2026-2027学年 第一学期高三10月联合检测数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数为奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上的值域为 D. 若将的图像向左平移个单位得的图像，则是偶函数 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数 ，则（ ） A. B. 的图象是轴对称图形 C. 曲线 不存在斜率为 的切线 D. 在 内所有零点之和为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个周期为且值域为的函数的解析式___________. 13. 已知，则___________. 14. 已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别是．已知 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立． （1）记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望； （2）记4次朝上的点数之积为，求． 17. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 18. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图象． （1）已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，求实数的取值范围； （2）当时，若方程恰好有两个不同的根，，求的取值范围及的值； （3）令，若对任意都有，求的最大值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $