精品解析：湖南省岳阳市第九中学2024--2025学年下学期八年级入学考试数学试卷

岳阳市第九中学2025年上学期八年级入学考试数学试卷 满分：120分时间：120分钟 一、单选题 1. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数：中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个关于x不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列每组数分别是三根小木棒长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 9，6，13 B. 6，8，16 C. 18，9，8 D. 3，5，9 7. 若是等腰三角形，，则等腰的顶角的度数是（ ） A B. C. D. 或 8. 如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 二、填空题 11. 的平方根是_______． 12. 若分式的值为0，则x的值为______． 13. 若，则______． 14. 不等式的非负整数解有______个． 15. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_______________． 16. 已知关于分式方程有增根，则 ______． 17. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为___． 18. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为______． 三、解答题 19. 计算： 20. 解方程： 21. 先化简，再求值：，其中 22. 解不等式组：，并求出所有整数解的和． 23. （1）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解． （2）已知2a的平方根是±2，3是3a+b的立方根，求a﹣2b的值． 24. 如图，在中，，，于点G，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，的两边分别交和于点E和F，求证：． 25. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 26. 在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． （1）如图①，点D在线段上，求证：． （2）设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳阳市第九中学2025年上学期八年级入学考试数学试卷 满分：120分时间：120分钟 一、单选题 1. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根，平方根，二次根式的加减计算选择即可，本题考查了平方根，算术平方根，二次根式的加减，熟练掌握定义个性质是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. 不是同类二次根式，无法计算，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选C． 2. 在实数：中，无理数有（　　） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 故无理数有：、、，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； B、，原不等式不成立，不符合题意，选项错误； C、，所以，原不等式一定成立，符合题意，选项正确； D、当时，，原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，先进行同分母分式减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式分解后约分即可，解题关键是熟练运用分式减法运算法则． 【详解】解： ， 故选：． 5. 若一个关于x的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，利用了数形结合的思想，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别． 6. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 9，6，13 B. 6，8，16 C. 18，9，8 D. 3，5，9 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、，能摆成三角形，符合题意，选项正确； B、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误； C、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误； D、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 7. 若是等腰三角形，，则等腰的顶角的度数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当为顶角时，当为底角时，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：分两种情况： 当为顶角时，顶角为， 当为底角时，顶角为， 故选：D． 8. 如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而求解． 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线的性质． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每套《水浒传》连环画的价格是元．则《三国演义》连环画的价格是元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线可求，则，可判断①的正误；则，证明，则，，，可求，即，可判断②的正误；由，，，证明，可判断③的正误；由，，可知当时，即时，，，由的大小未知，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵，的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，③正确，故符合要求； ∴， 由题意知，，， 当时，即时，，， ∵的大小未知， ∴④错误，故不符合要求； 由题意知，，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 二、填空题 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式为零的条件：分子为零，分母不等于零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得， 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 不等式非负整数解有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 15. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_______________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，掌握逆命题中的题设与结论与原命题互换是解题的关键． 16. 已知关于的分式方程有增根，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键；由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， 则，， ，， 解得，； ②当时， 则， ，， 解得，， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 18. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值，     ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，立方根，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、立方根，绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是增根，分式方程无解． 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内约分作差，再将除法化为乘法约分计算，然后将、的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 22. 解不等式组：，并求出所有整数解的和． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，然后写出整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 整数解为0、1、2、3， 所有整数解的和为． 23. （1）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解． （2）已知2a的平方根是±2，3是3a+b的立方根，求a﹣2b的值． 【答案】（1）x=±5；（2）-40. 【解析】 【分析】（1）本题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号． （2）利用平方根及立方根的定义求出a与b的值，即可确定出a﹣2b的值． 【详解】解：（1）∵a⊕b=a2﹣b2，∴（4⊕3）⊕x=（42﹣32）⊕x=7⊕x=72﹣x2 ∴72﹣x2=24，∴x2=25，∴x=±5． （2）根据题意得：2a=4，3a+b=27，解得：a=2，b=21，则a﹣2b=2﹣42=﹣40． 【点睛】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键． 24. 如图，中，，，于点G，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，的两边分别交和于点E和F，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一性质得到，进而利用等边三角形的判定可得结论； （2）根据等边三角形的性质和已知得到，，进而利用“”可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴． 25. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 【答案】（1）每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）至少要购进A型早餐机5台． 【解析】 【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ， 解得：， 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； 【小问2详解】 解：设购进A型早餐机n台，依题意得： 80n+120（20﹣n）≤2200， 解得：n≥5， 答：至少要购进A型早餐机5台． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解． 26. 在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． （1）如图①，点D在线段上，求证：． （2）设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$