高一下学期期中真题压轴题百题大通关（第6～7章）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

高一下学期期中真题压轴题百题大通关（第6~7章） 一、单选题 1．（22-23高一下·上海普陀·期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由题意可知，，若对任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以，即， 因为，，所以， 若对任意，都存在，使得成立， 得，只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则，因为， 所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则，因为，的取值符合条件，故B正确； 对于C：当时，，则， 因为，的取值不符合条件，故C错误； 对于D：当时，，则， 因为，的取值不符合条件，故D错误； 故选：B 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【知识点】判断零点所在的区间、余弦函数图象的应用、三角函数综合 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 3．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且及或，求解（3）． 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图像如下图所示： 因为， 所以为偶函数， 由可知，在,内， 当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图像如下图所示： 显然不是周期函数，故（1）错误； 的图像不关于直线对称，故（2）错误； 因为当， 时，， 所以； 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以； 如图所示， 此时有一个解； 当或，时，， 所以； 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 4．（22-23高一下·上海·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求含sinx的函数的奇偶性、求含sinx(型)函数的值域和最值、已知三角函数值求角 【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】函数，定义域为R， ①：因为，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为，所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，解得或，其中当时，， 显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，解得或，其中当时，， ，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 所以4个结论中，正确的有2个. 故选：B. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【详解】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 6．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 7．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、辅助角公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 二、填空题 8．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、函数不等式恒成立问题 【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值. 【详解】依题意，                  ， 对任意， 恒成立， 当时，， 当时，则， 当时，， 当 时，. 所以，得， 所以. 故答案为：. 【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式. 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 【答案】 【知识点】和差化积公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解. 【详解】由， 设， 则 所以函数，最小正周期, 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即 化简，即， 又由，， 所以，即, 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解. 10．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求含tanx的函数的单调性、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】根据商数关系将整理成，借助诱导公式和函数的单调性可得，设，则可将转化为二次函数求最值问题，根据函数的单调性即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因，故， 则， 因函数，均在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故有：， 设，其中， 则 当且仅当时取等号， 则此时，故， 又函数在时单调递减，在时单调递增， 而， 故当时，取到最大值，此时，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用同角三角函数基本关系式和三角函数的单调性，将求的最大值问题转化成求函数在的最大值. 12．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得. 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示： 因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 13．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、分段函数的性质及应用 【分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可. 【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意； 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，最小值为. ①当时，即时，无零点，则当时， 有7个零点，此时， 即，故零点分别为时取得. 故，解得； ②当，即时，有一个零点. 此时有6个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得. 又满足，故满足条件题意； ③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则 1.当，即时，在上有1个零点， 故有2个零点， 此时有5个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得，综上有 2.当，即时，在上无零点， 故有1个零点， 此时有6个零点，即，不满足； 综上有或或. 故答案为： 14．（22-23高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、二倍角的正弦公式、给值求角型问题、诱导公式五、六 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【详解】 ， 令，有，解得， 令，解得， 方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又， 所以，或， 解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用间接法得到区间内不存在整数，从而得解. 15．（23-24高一下·上海·期中）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 【答案】5 【知识点】正弦函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知， ， 令，，此时， 而，，， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，， 一个周期内有三个零点，，则需要个周期， 即； 当时，此时，解得， 若，此时， 则一个周期内有四个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时，， 则一个周期内有三个零点，， 个周期恰好个零点，个周期是个零点， 个周期则个零点，此时不符题意， 若，此时， 一个周期内有两个零点， 则或. 综上所述，这样的正整数有个， 分别是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，通过将三角函数方程换元，得到关于的二次方程，根据二次方程根的分布分类讨论得到的范围，然后根据数形结合的思想结合正弦函数的图像进行求解是解决本题的关键. 16．（23-24高一下·上海·期中）已知，存在实数，使得对任意，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】解余弦不等式、单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值. 【详解】作出单位圆如图所示， 由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域， 若，显然成立； 若，则，解得， 由题意可知：，即， 又因为，可得， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围. 17．（23-24高一下·上海·期中）已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 【答案】11 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】分析得到时满足要求，当时，结合等式左右两边的单调性和特殊值得到只有时，满足要求，结合正弦函数的周期和，得到答案. 【详解】显然时，，满足要求， 当时，先考虑一个周期内， 当时，，故单调递增且大于， 而单调递减且小于，两者不可能相等， 时，单调递减且大于0， ，两者不可能相等， 当时，， 故要想成立， 则， 由周期性知，当时，等式左边为0， 又当时，， 故当时，满足要求， 共11个. 故答案为：11 【点睛】关键点点睛：本题需要先分析得到等式两边的单调性，从而确定只有两者等于0时，才会符合要求，进而结合正弦函数周期性和特殊值得到答案 18．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求含cosx的函数的最小正周期、求含sinx的函数的最小正周期 【分析】当，时，，证明是的最小正周期；当是大于2的偶数时，分析证明的最小正周期是. 【详解】当时，， 所以是的一个周期， 令，可得，即，解得， 下面证明是的最小正周期， 当，且，取，则，而， ，所以不是的周期. 当时，取， 则，， 所以不是的周期. 综上，当时，的最小正周期是. 当时，， 所以是的一个周期. 下面证明是的最小正周期. 当时，取，则， 所以，， ， 而，所以， 所以不是的周期. 综上，当时，的最小正周期是. 综上所述，当时，的最小正周期是； 当时，的最小正周期是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意，当是正奇数时，易发现是的一个周期，再任取一个内的数，证明其不是周期；当是不为2的正偶数时，易发现是的一个周期，在内任取一个数，证明其不是周期. 三、解答题 19．（22-23高一下·上海普陀·期中）设，. (1)若函数是定义在上的奇函数，求的值； (2)若，求函数在区间上的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的定义，列出等式，即可解出的值； （2）由，可得的取值，然后对恒等变形得，由条件得的取值范围是，由此即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，对于任意给定的实数，有， 即， 移项整理得， 因此. （2）由题意知，解得. 故. 当时，的取值范围是， 的取值范围是， 因此函数在区间上的取值范围是. 20．（22-23高一下·上海普陀·期中）在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题，得，利用正弦定理以及和差公式，诱导公式，逐步化简，即可求解； （2）由题目条件，结合余弦定理和面积公式，得，，然后两式相加即可求得本题答案. 【详解】（1）由于，故， 利用正弦定理，有， 又，故， 由于为三角形内角，故，因此，进而； （2）由（1）知，由余弦定理知，即. 由知，即. 将上面两式相加得，故，因此的周长为. 21．（22-23高一下·上海长宁·期中）已知函数，； (1)用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图像（体现作图过程）； (2)若的图像关于点对称，且，求的值； (3)不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)． 【知识点】五点法画正弦函数的图象、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简函数式，然后令等于，列表，描点，连线可得； （2）由（1）得的图象在轴右侧的一个对称中心，由图象平移可得值； （3）不等式化为，由的最大值和最小值可得的不等关系，从而得其范围． 【详解】（1）， 最小正周期是， 列表： 0 0 2 0 0 描点，连线 （2）由（1）知的图象在点右侧关于点对称，把它向左平移个单位，则图象关于点对称，因此； （3）， 由（1）知时,，又,,即, 所以，解得． 22．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用平方关系求出，再利用诱导公式及商数关系计算作答. （2）利用（1）中信息，结合二倍角的正余弦公式求解作答. 【详解】（1）因为，则，， 所以. （2）由（1）知，， 所以. 23．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）在中，由余弦定理计算即可求解； （2）设，在中，由余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，由解得， 所以； （2）设，在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 又，， 所以， 所以， 故四边形ABCD的面积的最大值为. 24．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位； (2)求函数的单调递增区间； (3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)振幅为，初始相位为； (2)， Z； (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式恒等变形即可求解； （2）利用整体法求函数的单调递增区间； （3）利用函数单调性求出的值域，再利用集合之间的关系求解即可. 【详解】（1）, 由此可知的振幅为，初始相位为； （2）令，Z， 解得，Z， 则函数的单调递增区间为， Z； （3）因为，所以， 因为函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以的值域为， 又因为，所以， 解得， 即实数a的取值范围为. 25．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 【答案】(1) (2)第月是该地区的旅游旺季 【知识点】解余弦不等式、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由余弦（型）函数的周期性求值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题意结合余弦函数分析运算即可； （2）令，结合余弦函数分析运算，注意为正整数. 【详解】（1）因为A和是正整数， 由②可得：，解得； 由③可得：且，则，且，解得； 且，解得； 所以. （2）令，则， 因为，则， 可得，解得， 且，则， 所以第月是该地区的旅游旺季. 【点睛】方法点睛：函数y＝Acos(ωx＋φ)的解析式的确定 （1）A由最值确定； （2）ω由周期确定； （3）φ由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 26．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值； (3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点. 【答案】(1) (2) (3)，. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由周期为求得，再根据图象的一个对称中心为求得； （2）利用伸缩变换和平移变换得到，再令得到A，B，C，然后利用三角形面积公式求解； （3）由，得到，设或（），再分，，求解. 【详解】（1）解：， 当时，（）， 取； （2）将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到， 再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数， 由，得，即， 解得或. 得、、， ； （3）由，. 令，对称轴， 不妨设或（），显然，， 若，则在上必有偶数个零点，得或， 当，则（舍去）； 当，则，此时在上有3个零点， 故， 综上所述，，. 27．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 【答案】(1)增区间，减区间为； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求cosx(型)函数的值域、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案； （2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 即函数的单调增区间为； 令，解得， 函数的单调减区间为 函数的周期为. （2）函数为偶函数，则， 即， 即，即， 由于，则， 故， 由于，故. 28．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． (1)用及表示和； (2)求的最小值． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数在生活中的应用、辅助角公式 【分析】（1）先利用及R表示出的长，即可表示出，进而设的中点为O，连接，表示出的长，结合三角形面积公式即可表示出； （2）利用（1）的结论可得的表达式，结合三角函数之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案. 【详解】（1）因为，故， 所以， 设的中点为O，连接，则, 设交于点E， 则， 则， 同理求得， 故. （2）由（1）的结论可得， 令，则， 故，所以， 由于，在上单调递增， 则，故，即的最小值为. 29．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先将函数化为的形式，再利用其性质可解. （2）利用正弦函数的性质，可得范围 【详解】（1） 故的最小正周期为， 令，， 得，， 故的单调递增区间为， （2）， ， ， 即函数在区间上的取值范围为. 30．（22-23高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数并运用三角函数周期公式求解即可. （2）由范围可得的范围，进而由同角三角函数的平方关系可求得的值，再利用配凑角及两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）因为， 所以. 即的最小正周期为. （2）因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 31．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式以及辅助角公式可化简函数的解析式； （2）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最大值和最小值，由参变量分离法可得出，即可求得实数的取值范围； （3）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，分析可知直线与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解： . （2）解：因为，则，所以，， 所以，，， 因为不等式对任意恒成立，则， 所以，对任意恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）解：将的图象向左平移个单位，可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点. 因此，实数的取值范围是. 32．（22-23高一下·上海虹口·期中）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案． 第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）． 第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤： ①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米； ②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）． 实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．    (1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）； (2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由． 【答案】(1)； (2)第一组方案更好，理由见解析 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据三角函数知识得到，根据相似得到，代入数据计算得到答案. （2）第一组方案测量方法容易理解，普适性强，计算思路简洁，操作性强，故更好. 【详解】（1）第一小组：，，， 故， ； 第二小组：，， ，， 故，故， 故. （2）第一组方案更好： ①：测量方法容易理解，普适性强； ②：计算思路简洁； ③：操作性强； 33．（22-23高一下·上海静安·期中）已知. (1)若，求的单调递增区间； (2)若，求的最大值，并指出相应的值； (3)当时，的值域； (4)作出函数的大致图象. 【答案】(1)， (2)最大值为，， (3) (4)答案见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用二倍角和降幂公式，再利用辅助角公式化一角一函数，就可借助正弦函数的单调增区间即可求得函数的单调递增区间； （2）直接根据三角函数的有界性，求其最值，并求对应的值； （3）通过的范围，求出的范围，进而求出，可得的值域. （4）根据五点法作图可得. 【详解】（1）， 解不等式，得， 的单调增区间为； （2）当，即时，取最大值为2. （3），， 则，， 即当时，的值域为. （4）根据五点法作一个周期函数图象，列表 0 x y 0 2 0 -2 0 描点连线可得图象如图：    34．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知. (1)将化成； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解. （2）利用（1）的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答. （3）利用（1）的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答. 【详解】（1）， 所以； （2）由（1）知，当时， 则由得，即在上单调递减， 所以函数在区间上的单调减区间是. （3）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为， 再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像， 所以，则的周期为 因为在区间上至少有100个最大值， 所以在长为2的区间上至少有99.5个周期， 因此，，解得，而，于是得， 所以的取值范围 35．（22-23高一下·上海普陀·期中）（1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数； （2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米） 【答案】（1）证明见解析（2）34m 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、三角函数在生活中的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）根据两角差的正切公式解得条件表示出张角的正切，然后根据基本不等式即得. 【详解】（1）设任意的且， 则， 因为且， ，，， 所以，即， 即对任意的，当时，都有， 故在区间上是严格增函数； （2）设运动员在，球门为， 依题意，， 设，则， 则， 则 ， 当且仅当米时等号成立， 所以距底线米处射球门，对球门所张的角最大.    36．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调减区间； (3)当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简函数解析式，根据正弦函数最小正周期公式可得结果； （2）根据正弦函数的单调递减区间可求出结果； （3）根据正弦函数图象求出的值域，再利用的最值可求出结果. 【详解】（1） , 所以函数的最小正周期为. （2）由，， 得，， ，， 所以当时，求函数的单调减区间为. （3）当时，，， 因为不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，，则不等式对恒成立， 所以，解得. 37．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式即可算出结果． （2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果． 【详解】（1）由题意，则，，， ， ； （2）设，则，， ， ， ， 故当时，即时，取得最大值． 38．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】（1）若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. （2）若，, 函数 由，得 ,当，则      则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. （3）因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数. 39．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 【答案】(1)；对称轴为 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式； （2）用整体代入法，根据正弦函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期； 令 对称轴为 ； （2）当 时，  ， 所以当 ，即 时，函数f(x)单调递增； 所以函数的单调递增区间是. 40．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知函数，. (1)设，求函数的值域； (2)求方程，的解集（其中是第（1）小题中的函数）； (3)在中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.若、，的面积为.求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【知识点】已知三角函数值求角、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数的性质求出值域作答. （2）由（1）的函数，由给定正弦值求出对应角作答. （3）由（1）结合已知求出角，由三角形面积公式求出，再由余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】（1）依题意，， 显然，所以函数的值域为. （2）由（1）及，得，由，得， 所以，解得：， 所以所求解集是. （3）由，即，，得或， 又，解得， 若，则，解得，因此； 若，则，解得，因此， 所以或. 41．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的周期性求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 42．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角恒等变换的化简问题、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数图象的性质求得的值； （2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求． 【详解】（1） ， 由题，函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为，即函数的最小正周期为， 且，所以. （2）点是函数图象的一个对称中心,所以, 又因为的内角, 则，可知， 可得，所以， 在中，设外接圆半径为， 由得， 所以的外接圆的面积. 43．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图：    由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 44．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【详解】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 45．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，或 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知，， 由，可得，， 所以，， 故； （2）令由，可得， 所以， 则， 因为，， 所以，所以， 所以当，即或，即或时，取得最大值， 所以，此时或.    46．（23-24高一下·上海·期中）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记. (1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用. 【答案】(1)详见解析 (2)，万元 【知识点】三角函数在生活中的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）根据题意，得到，，进而求得矩形和的面积的表达式； （2）根据题意，得到总费用为：，设，结合二次函数与三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，所以，， 所以矩形PCOD的面积为， 的面积为. （2）由题意，可得建造观景区所需总费用为：， 设，则， 又由， 所以， 当，即时，有， 所以（万元）， 即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元． 47．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、函数周期性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 48．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【知识点】求含tanx的函数的单调性、用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 49．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明见解析. 【知识点】函数新定义、由不等式的性质证明不等式、求含tanx的函数的定义域、函数周期性的应用 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 50．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 【答案】(1)，递增区间为； (2)最小值， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的周期公式与整体代入法即可得解； （2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得该函数的最小值及其对应的值. 【详解】（1）因为函数 ， 所以函数最小正周期是； 由，得， 函数单调递增区间为. （2）因为，所以； 所以当时，即时，， 此时， 所以函数在区间上的最小值为，此时. 51．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 52．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 【答案】(1)； (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据余弦定理表示，再根据等边三角形的面积公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值. 【详解】（1）设，在中，由余弦定理得： ； （2）于是，四边形的面积： ， 因为，则，所以当，时， 四边形的面积取得最大值，最大值为． 53．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 【答案】(1)表格见解析，； (2)或 (3)证明见解析 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可补全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得，， 所以，， 由时，，可知，， 所以由时，， 补全表格如下： 0 0 0 0 （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数，或 则函数的零点所组成的集合为或； （3）证明：，即， 因为，所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得. 54．（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx的函数的最小正周期、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】(1)由已知结合正弦函数的单调性即可求解； (2)结合周期公式先求出，然后结合正弦函数的奇偶性可求，再由二倍角公式及和差角公式对所求式子进行化简，代入即可求解. 【详解】（1）若，则， 令， 解得， 所以函数的单调减区间； （2）若函数的最小正周期为，则， 所以， 因为为偶函数， 所以，则， 因为为锐角，所以， . 55．（23-24高一下·上海·期中）已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2)最大值为，最小值为. 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据给定函数，利用三角恒等变换化简，然后利用周期公式求得结果. （2）由给定范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）依题意， ， 所以的最小正周期. （2）由（1）知，，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 56．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）将题给不等式进行参变分离，再利用换元法和二次函数性质即可求得实数的取值范围； （2）先求得函数的解析式，再依据题给条件求得的值，进而利用三角函数的性质求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，对任意时， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由，可得，则， 令，则， 则时，不等式， 即恒成立， 令，则，又在上单调递减， 则，则， 则，解之得 （2）由题意得，， 存在非零常数，对任意，有 即成立， 由， 则，则，解之得， 当时，，则2为的一个周期， 则2为的最小正周期的整数倍，即， 则. 当时，， 即恒成立， 则，即， 综上： 57．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)处于向下的运动状态，理由见解析 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解； （2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态． 【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一周需要1分钟，所以，故， 在中，， 所以，即． （2）盛水筒处于向下运动的状态， 结合（1）可得，， 则当时，，此时单调递减， 所以盛水筒处于向下运动的状态． 58．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】(1)80m (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 59．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时取最小值，当时取最大值； (3). 【知识点】函数不等式恒成立问题、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 当时，令， 原不等式等价于， 函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数的取值范围. 【点睛】结论点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体， 由求得函数的单调递减区间， 由求得函数的单调递增区间． 60．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【详解】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 61．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 62．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【知识点】几何中的三角函数模型、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. （2）因为，所以当时，取得最大值. 63．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的单调增区间； (2)已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积. 【答案】(1) (2). 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换化简，可得的表达式，利用正弦函数单调性即可求得答案； （2）利用（1）的结果求得，由余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知， ， 由， 解得 所以函数的单调增区间为. （2）由， 所以，即， 又因为， 所以. 又因为， 所以由余弦定理得， 即， 解得或（舍去）， 故的面积为. 64．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求方程的解集； (3)若对任意的，使得恒成立，求实数的值. 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)答案见详解 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、正弦函数图象的应用、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （2）由题意可得，以为整体，结合正弦函数分析求解； （3）由题意可知：，分类讨论，结合诱导公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得； 令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，即， 则或，解得或， 所以方程的解集为. （3）因为， 可知， 若，即，可知； 若，即， 且，可知； 若，即， 且，可知； 若，即， 且，可知； 综上所述：或或或. 65．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    66．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 67．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 【答案】(1)28海里/小时； (2)北偏东 【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】由题设条件可得，，，根据余弦定理即可求出和． 【详解】（1）由题意，，， 又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点， 在中，由余弦定理得， ， ，又， 故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时． （2）在中，， 由余弦定理得， ，则， 即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东． 68．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 【答案】（1）；（2），． 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，用、表示出，利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】解：（1）因为，，则， 因此，； （2）因为，则，， 因为，， 则， ， 因为， 所以， . 69．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 【答案】（1）；（2）1 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值； （2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值. 【详解】（1）已知，，且及都是锐角， 所以，， 所以 又，所以，故； （2）因为与是方程的两个根 所以 在中，， 所以. 70．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 【答案】(1)验证见解析，为定值 (2)时，该种植计划经济收益最大 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用余弦定理推出与的关系，即可求得为一个定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ，则， 故为定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，由（1）知， 则 ， 当时，取到最大值. 71．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数的基本关系化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值； （2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值． 【详解】（1）因为， 所以. （2）根据余弦定理可知：， ， 又，即， ，当且仅当时，， 故的最大值是． 72．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)15.28公里 (2)1.25小时 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 73．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由题意可得，结合任意角三角函数值的定义运算求解； （2）根据两角和差公式解得，结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以，，； （2）因为，解得， 所以原式. 74．（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)等腰三角形或直角三角形. 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】（1）利用韦达定理，结合和角的正切公式及诱导公式求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】（1）在中，与是方程的两个实根， 则，，， ，又， 所以. （2）在中，由正弦定理及，得，即， 则，即，而， 因此或，即或, 所以为等腰三角形或直角三角形． 75．（2024高一下·上海·专题练习）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． (1)求海域的面积； (2)现海面上点处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 【答案】(1) (2)未进入海域，理由见解析 【知识点】余弦定理解三角形、扇形面积的有关计算 【分析】（1）根据题意可得，，然后利用扇形的面积公式可求得结果； （2）根据题意结合余弦定理可求得，再利用余弦定理求出，与150比较可得结论. 【详解】（1）连接， ∵，，， ，， ， ； （2）由题意知，，， ， ∵， ， ∴， ， ， ， 则该船只未进入海域． 76．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 77．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的余弦公式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 78．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)，或. (3)答案见解析 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知正（余）弦求余（正）弦、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 79．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角函数综合、解正弦不等式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 80．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正切公式、辅助角公式、三角函数新定义 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 81．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 【答案】(1)，； (2) (3). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可； （2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可； （3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可. 【详解】（1） 当时， 由，，得，. 故的严格递增区间为，. （2） 由（1）可知，当时，， 则， 令，当时，则，所以， 则，即. 于是， ①当时，，当且仅当时，最大值为； ②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为， 综上所述， （3） 由函数为常值函数，令，则原式， 令，则原式（为正整数）； 令，则原式，即， 因为（为正整数），即为正奇数，所以， 即，则， 解得或， 又因为（为正整数），所以. 当时，原式为 . 所以当时，函数为常值函数. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可. 82．（22-23高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用、函数新定义 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【详解】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 83．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角函数综合、三角函数新定义、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【详解】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 84．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义 【分析】（1）取特殊值验证得到答案. （2）根据三角函数的有界性得到，得到答案. （3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案. 【详解】（1），取，，则， 故是函数的“P区间”； （2）， 则， 故不是函数的“P区间”， （3），， 则，故， 故，，不妨设， 则，，故， 即在区间至少上有两个不同的偶数，，即， 当，区间为，满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足； 综上所述： 85．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 86．（22-23高一下·上海静安·期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)A在弧的四等分点处， . 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、三角函数在生活中的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案. （2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）作，垂足为H，交于E，连接，    由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称， 则，则， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则 ； （2）因为，则， ， 故， 则 ， 因为，所以，故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案. 87．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 88．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【详解】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 89．（23-24高一下·上海·期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、函数周期性的应用、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【详解】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 90．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. （2）依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. （3）由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 91．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二倍角的正弦公式、求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出； （2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值； （3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果. 【详解】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 92．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，4,理由见解析 (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、对数函数图象的应用 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… （2）作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴，又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3）由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 93．（23-24高一下·上海徐汇·期中）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数x，y，满足．证明：． (2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据三角换元，即可利用三角函数的有界性求解， （2）利用正切的和差角公式，换元为即可根据三角恒等变换，结合二次函数以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）由，设，， 则其中为锐角，且， 故当时，取最大值， 故 （2）由可得， 设，且， 则，满足 则 ， 由于， 当且仅当且时取到等号，故最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由可换元为，且，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 94．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、函数新定义 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 95．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 96．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 【答案】(1)， (2)，或 (3)3 【知识点】辅助角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）分别令，，即可求出集合，； （2）由辅助角公式可得的解析式，分别令，即可求出集合，； （3）设，则，由题意可得，可得，然后分和两种情况讨论，由三角函数的有界性，可得，即恒成立，可得整数的值，从而可求得整数的最大值. 【详解】（1）令，即，得，所以， 令，即，得，所以； （2）， 令，则，得, 解得，所以， 令，则， 所以， 解得， 由正弦函数的有界性，可得只有满足，所以， 所以或， 解得，或， 所以或 （3）设，则， 因为，所以， 所以， 所以，得， 所以， 当时，，显然满足条件， 当时，， ， 所以， 因为，，且， 因为，所以，即恒成立， 所以，所以整数为， 所以整数的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的性质，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是对方程的化简，考查计算能力，属于较难题. 97．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)2个 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求函数零点或方程根的个数、函数新定义 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【详解】（1）令， 故， 则不具有性质P． （2）若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． （3） 当时， 具体如图所示    则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 98．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【知识点】求sinx的函数的单调性、利用正弦型函数的单调性求参数、求含cosx的函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【详解】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 99．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，. 【知识点】三角函数综合、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域； （2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值； （3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与． 【详解】（1）由题意， 在中，， 在中， ， 当时，， ∴的值域为：. （2）由题意及（1）得， 在中， ①当即， ， 函数在定义域上单调递减 ，， ②当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ③当即时，， 函数在上单调递增， ，， ④当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ∴函数是周期为的周期函数，图像如下： 在中， 存在，对任意，有恒成立， ∴ ∴当最小时，由图像可知，， （3）由题意，， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， 设，， ∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点， ∵在周期内，与有1~2个交点， ∴在上有1~4个交点， ∴若在内恰有2022个零点，则， 在中， 当即或，此时有1个交点， ①当函数有两个零点时， 若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点， ，解得：， ∴当有2022个交点时，， 若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， ②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， 综上： 当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性. 100．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】求函数值、函数周期性的应用、正弦函数图象的应用、三角函数新定义 【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”； （2）由题意条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，求出，再证明不合要求，从而得到，并求出； （3）法1：，满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，得到结论； 法2：反证法，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题目条件推出，故假设不成立，证明出结论. 【详解】（1），则， 故， 所以是正弦周期函数. （2）存在，使得，故， 因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以， 又，， 所以， 又， 则， 故，， 因为，所以，且严格增， 由于，， 故，解得， 则整数， 下证. 若不然，，则，由的值域为R知， 存在，，使得，， 则， ， 由严格单调递增可知， 又， 故，这与矛盾. 故，综上所述，； （3）法1：若，则由可知为周期函数. 若，则对任意，存在正整数，使得且. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 所以， 故，所以， 若，则同理可证（取为负整数即可）. 综上，得证. 法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立. 显然. 因为不恒成立，所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 由正弦周期性得， 即， 所以，矛盾，假设不成立， 综上，是周期函数. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期中真题压轴题百题大通关（第6~7章） 一、单选题 1．（22-23高一下·上海普陀·期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 3．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高一下·上海·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 7．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 二、填空题 8．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 10．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 11．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为 . 12．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 13．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 14．（22-23高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 15．（23-24高一下·上海·期中）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 16．（23-24高一下·上海·期中）已知，存在实数，使得对任意，则的最小值是 . 17．（23-24高一下·上海·期中）已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 18．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 三、解答题 19．（22-23高一下·上海普陀·期中）设，. (1)若函数是定义在上的奇函数，求的值； (2)若，求函数在区间上的取值范围. 20．（22-23高一下·上海普陀·期中）在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 21．（22-23高一下·上海长宁·期中）已知函数，； (1)用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图像（体现作图过程）； (2)若的图像关于点对称，且，求的值； (3)不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 22．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 23．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 24．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位； (2)求函数的单调递增区间； (3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围． 25．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 26．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值； (3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点. 27．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 28．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． (1)用及表示和； (2)求的最小值． 29．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 30．（22-23高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设，且，求的值. 31．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 32．（22-23高一下·上海虹口·期中）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案． 第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）． 第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤： ①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米； ②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）． 实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．    (1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）； (2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由． 33．（22-23高一下·上海静安·期中）已知. (1)若，求的单调递增区间； (2)若，求的最大值，并指出相应的值； (3)当时，的值域； (4)作出函数的大致图象. 34．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知. (1)将化成； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围. 35．（22-23高一下·上海普陀·期中）（1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数； （2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米） 36．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调减区间； (3)当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 37．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 38．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 39．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 40．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知函数，. (1)设，求函数的值域； (2)求方程，的解集（其中是第（1）小题中的函数）； (3)在中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.若、，的面积为.求的值. 41．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 42．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 43．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 44．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 45．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 46．（23-24高一下·上海·期中）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记. (1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用. 47．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 48．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 49．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 50．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 51．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 52．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 53．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 54．（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 55．（23-24高一下·上海·期中）已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 56．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 57．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 58．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 59．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 60．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 61．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 62．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 63．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的单调增区间； (2)已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积. 64．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求方程的解集； (3)若对任意的，使得恒成立，求实数的值. 65．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 66．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 67．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 68．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 69．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 70．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 71．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 72．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 73．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 74．（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 75．（2024高一下·上海·专题练习）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． (1)求海域的面积； (2)现海面上点处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 76．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 77．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 78．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 79．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 80．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 81．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 82．（22-23高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 83．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 84．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 85．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 86．（22-23高一下·上海静安·期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 87．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 88．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 89．（23-24高一下·上海·期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 90．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 91．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 92．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 93．（23-24高一下·上海徐汇·期中）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数x，y，满足．证明：． (2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 94．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 95．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 96．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 97．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 98．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 99．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 100．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$