第4章 因式分解（思维导图+知识梳理+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共37题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第4章 因式分解 （知识梳理+易错点拨+9个重难点考点讲练+压轴题专练 共37题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：因式分解 2 知识点梳理02：提公因式法 2 知识点梳理03：公式法 2 知识点梳理04：十字相乘法和分组分解法 3 知识点梳理05：因式分解的一般步骤 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：因式分解的基本概念 4 易错知识点02：提公因式法 4 易错知识点03：公式法 4 易错知识点04：分组分解法 4 易错知识点05：因式分解的步骤与注意事项 5 易错知识点06：特殊类型多项式的因式分解 5 易错知识点07：因式分解的应用 5 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01:因式分解的意义 5 重点难点考点讲练02:公因式 6 重点难点考点讲练03:因式分解-提公因式法 7 重点难点考点讲练04:因式分解-运用公式法 7 重点难点考点讲练05:提公因式法与公式法的综合运用 8 重点难点考点讲练06:因式分解-分组分解法 9 重点难点考点讲练07:因式分解-十字相乘法等 9 重点难点考点讲练08:实数范围内分解因式 11 重点难点考点讲练09:因式分解的应用 11 压轴专练 拔尖冲刺 13 知识点梳理01：因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点梳理02：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点梳理03：公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点梳理04：十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点梳理05：因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 易错知识点01：因式分解的基本概念 概念理解不清： 学生可能将因式分解与整式乘法混淆，不清楚因式分解是将多项式化为几个整式的乘积，而整式乘法则是将几个整式相乘化为一个多项式。 易错知识点02：提公因式法 1. 公因式确定错误： 学生可能无法准确找出多项式的公因式，特别是在多项式含有多个字母或复杂系数时。 忽视公因式可以是单项式也可以是多项式。 2. 提公因式不彻底： 学生可能只提取了部分公因式，而没有将所有公因式一次性提取干净。 3. 符号处理不当： 在提取公因式时，学生可能忽视负号的处理，导致提取结果错误。 易错知识点03：公式法 1. 公式应用错误： 学生可能错误地应用平方差公式（a²−b²=(a+b)(a−b）或完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)2²），例如将非平方差或非完全平方形式的多项式错误地应用这些公式。 2. 公式形式识别不清： 学生可能无法准确识别出多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式，导致无法应用公式进行因式分解。 3. 公式应用不全面： 学生可能只注意到部分多项式可以应用公式，而忽视了其他部分，导致因式分解不彻底。 易错知识点04：分组分解法 1. 分组不合理： 学生可能无法合理地将多项式分组，使得分组后无法提取公因式或应用公式进行因式分解。 2. 分组后处理不当： 在分组后，学生可能无法正确地对每组进行因式分解，或者忽视了分组后可能产生的新的公因式或可应用公式的形式。 易错知识点05：因式分解的步骤与注意事项 1. 步骤混乱： 学生可能在进行因式分解时，没有按照先提取公因式、再应用公式、最后考虑分组分解的步骤进行，导致因式分解不彻底或错误。 2. 忽视检查： 在完成因式分解后，学生可能忽视对结果的检查，没有验证每个因式是否都不能再分解，或者没有检查因式分解前后是否等价。 3. 符号处理不当： 在整个因式分解过程中，学生可能忽视符号的处理，导致最终结果的符号错误。 易错知识点06：特殊类型多项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解： 对于二次三项式ax²+bx+c，学生可能无法正确应用十字相乘法或因式分解公式进行分解。 忽视二次三项式因式分解的特殊情况，如x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 2. 含有分数系数或字母系数的多项式： 学生可能无法正确处理含有分数系数或字母系数的多项式，特别是在提取公因式时。 易错知识点07：因式分解的应用 1. 应用场景识别不清： 学生可能无法准确识别出哪些问题需要应用因式分解来解决，如解方程、化简表达式等。 2. 应用过程出错： 在应用因式分解解决问题时，学生可能出现计算错误、公式应用错误等问题。 重点难点考点讲练01:因式分解的意义 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）下列各式属于因式分解的是（　　） A．（3x+1）（3x﹣1）＝9x2﹣1 B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2 C．a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1） D．9x2﹣1+3x＝（3x+1）（3x﹣1）+3x 【训练1】（2024春•银川期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【训练2】（2023春•桥西区期中）填数游戏：在x2﹣□xy+□y2中的每个“□”内，填入适当的整数，使之能分解因式． （1）分解因式：x2﹣2xy+y2； （2）在“□”内填入﹣1和0，请你写出所有不同的结果，并分解因式． 重点难点考点讲练02:公因式 【例题精讲】（2024春•芗城区校级期中）多项式﹣8x2y2+12xy3z的公因式为 ． 【训练1】（2023春•驿城区期中）2x3y2与12x4y的公因式是 　 ． 【训练2】（2024春•岳阳期中）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是 　 ． 重点难点考点讲练03:因式分解-提公因式法 【例题精讲】（2023春•吴兴区期中）因式分解：a2﹣a＝　 ． 【训练1】（2024春•埇桥区期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 【训练2】（2024春•商河县期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）[（1+x）（1+x）] ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是　 ； （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3； （3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　 ． 重点难点考点讲练04:因式分解-运用公式法 【例题精讲】（2024春•南岸区校级期中）下列各式不能用平方差公式分解的是（　　） A． B．﹣0.04﹣0.09y2 C．25x2﹣16y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2 【训练1】（2024春•宁化县期中）在4ab+3b2，a2+b2，3a2﹣4ab这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解． 【训练2】（2021春•柯桥区期中）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　 （3） 请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 重点难点考点讲练05:提公因式法与公式法的综合运用 【例题精讲】（2024春•南海区校级期中）将下列多项式因式分解，结果中不含因式（m+2）的是（　　） A．m2+2m B．m2﹣4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m+4 【训练1】（2020春•安源区期中）已知xy，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝　 　 ． 【训练2】（2017春•昆都仑区校级期中）因式分解 （1）5a2b+10ab2﹣15ab． （2）（3m+n）2﹣（m﹣n）2． （3）m2﹣6m+9． 重点难点考点讲练06:因式分解-分组分解法 【例题精讲】（2023春•龙泉驿区期中） （1） 分解因式：8x3+8x2+2x； （2）分解因式：x2﹣4y2+2x+4y； （2） 解不等式：； （4）解不等式组：． 【训练1】（2023春•揭西县校级期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值． 【训练2】（2023春•开江县校级期中）如果3x2﹣4y2﹣4xy+4y+2x﹣1因式分解的结果为 　 　 ． 重点难点考点讲练07:因式分解-十字相乘法等 【例题精讲】（2024春•福田区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B． C．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2 【训练1】（2024春•驿城区校级期中）【类比学习】小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． （1）【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆）（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了如图2竖式：得出□＝　 　 ，☆＝ 　 ． （2）【深入研究】小明用这种方法对多项式x3+2x2+2x+4进行因式分解，进行到了：x3+2x2+2x+4＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2+2x+4因式分解． 【训练2】（2023春•即墨区期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1） 试用上述方法分解因式： （1）a2+2ab+b2+ac+bc； （2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2． 重点难点考点讲练08:实数范围内分解因式 【例题精讲】（2022春•克东县期中）（1）计算：（﹣3）﹣2． （3） 在实数范围内分解因式：a3﹣5a． 【训练1】（2015春•广河县校级期中）利用公式，在实数范围内把7﹣x2分解因式为　 ． 【训练2】（2023春•越秀区校级期中）利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝　 ． 重点难点考点讲练09:因式分解的应用 【例题精讲】（2024春•辽阳期中）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2 C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） 【训练1】（2024春•雨城区校级期中）阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：9x2﹣y2﹣9x+3y； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 【训练2】（2024秋•鼓楼区校级期中）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中（a+b+c）2＝ 　 ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 1．（2024春•辽阳期中）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2 C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） 2．（2024春•渠县校级期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A．5﹣m2＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x C．（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2 D．a2+4a+4＝（a+2）2 3．（2024春•南海区校级期中）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） C．x2﹣2x+4＝x（x﹣2）+4 D．x2﹣y2﹣2＝（x+y）（x﹣y）﹣2 4．（2024春•东坡区期中）两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3），则原来的多项式为 　 5．（2024春•成都期中）已知a﹣b＝4，ab＝﹣2，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　 　 ． 6．（2023春•南海区校级期中）因式分解：1﹣4a2＝　 　 ． 7．（2024春•桥西区期中）如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算． （1）若选择B、C卡片，请进行因式分解； （2）嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论k为何整数，其结果总可以被m（m≠1）整除”，请确定满足条件的最小正整数m的值． 8．（2024春•雁塔区校级期中）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请用含a，b的代数式表示S1＝　 　 ，S2＝ ； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式： 　 ； （3）利用这个公式说明216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 9．（2024春•碑林区校级期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝　 ； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝20，则a2+b2+c2＝　 　 ； （3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值 　 ； （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　 　 ． 10．（2024春•即墨区期中）阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第4章 因式分解 （知识梳理+易错点拨+9个重难点考点讲练+压轴题专练 共37题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：因式分解 2 知识点梳理02：提公因式法 2 知识点梳理03：公式法 2 知识点梳理04：十字相乘法和分组分解法 3 知识点梳理05：因式分解的一般步骤 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：因式分解的基本概念 4 易错知识点02：提公因式法 4 易错知识点03：公式法 4 易错知识点04：分组分解法 4 易错知识点05：因式分解的步骤与注意事项 5 易错知识点06：特殊类型多项式的因式分解 5 易错知识点07：因式分解的应用 5 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01:因式分解的意义 5 重点难点考点讲练02:公因式 7 重点难点考点讲练03:因式分解-提公因式法 8 重点难点考点讲练04:因式分解-运用公式法 9 重点难点考点讲练05:提公因式法与公式法的综合运用 11 重点难点考点讲练06:因式分解-分组分解法 12 重点难点考点讲练07:因式分解-十字相乘法等 14 重点难点考点讲练08:实数范围内分解因式 16 重点难点考点讲练09:因式分解的应用 16 压轴专练 拔尖冲刺 20 知识点梳理01：因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点梳理02：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点梳理03：公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点梳理04：十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点梳理05：因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 易错知识点01：因式分解的基本概念 概念理解不清： 学生可能将因式分解与整式乘法混淆，不清楚因式分解是将多项式化为几个整式的乘积，而整式乘法则是将几个整式相乘化为一个多项式。 易错知识点02：提公因式法 1. 公因式确定错误： 学生可能无法准确找出多项式的公因式，特别是在多项式含有多个字母或复杂系数时。 忽视公因式可以是单项式也可以是多项式。 2. 提公因式不彻底： 学生可能只提取了部分公因式，而没有将所有公因式一次性提取干净。 3. 符号处理不当： 在提取公因式时，学生可能忽视负号的处理，导致提取结果错误。 易错知识点03：公式法 1. 公式应用错误： 学生可能错误地应用平方差公式（a²−b²=(a+b)(a−b）或完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)2²），例如将非平方差或非完全平方形式的多项式错误地应用这些公式。 2. 公式形式识别不清： 学生可能无法准确识别出多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式，导致无法应用公式进行因式分解。 3. 公式应用不全面： 学生可能只注意到部分多项式可以应用公式，而忽视了其他部分，导致因式分解不彻底。 易错知识点04：分组分解法 1. 分组不合理： 学生可能无法合理地将多项式分组，使得分组后无法提取公因式或应用公式进行因式分解。 2. 分组后处理不当： 在分组后，学生可能无法正确地对每组进行因式分解，或者忽视了分组后可能产生的新的公因式或可应用公式的形式。 易错知识点05：因式分解的步骤与注意事项 1. 步骤混乱： 学生可能在进行因式分解时，没有按照先提取公因式、再应用公式、最后考虑分组分解的步骤进行，导致因式分解不彻底或错误。 2. 忽视检查： 在完成因式分解后，学生可能忽视对结果的检查，没有验证每个因式是否都不能再分解，或者没有检查因式分解前后是否等价。 3. 符号处理不当： 在整个因式分解过程中，学生可能忽视符号的处理，导致最终结果的符号错误。 易错知识点06：特殊类型多项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解： 对于二次三项式ax²+bx+c，学生可能无法正确应用十字相乘法或因式分解公式进行分解。 忽视二次三项式因式分解的特殊情况，如x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 2. 含有分数系数或字母系数的多项式： 学生可能无法正确处理含有分数系数或字母系数的多项式，特别是在提取公因式时。 易错知识点07：因式分解的应用 1. 应用场景识别不清： 学生可能无法准确识别出哪些问题需要应用因式分解来解决，如解方程、化简表达式等。 2. 应用过程出错： 在应用因式分解解决问题时，学生可能出现计算错误、公式应用错误等问题。 重点难点考点讲练01:因式分解的意义 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）下列各式属于因式分解的是（　　） A．（3x+1）（3x﹣1）＝9x2﹣1 B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2 C．a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1） D．9x2﹣1+3x＝（3x+1）（3x﹣1）+3x 【思路点拨】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【规范解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、不符合完全平方公式的特点，不能运用完全平方公式进行分解，错误； C、两次运用平方差公式，正确； D、不是积的形式，错误； 故选：C． 【考点评析】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 【训练1】（2024春•银川期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【思路点拨】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【规范解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 【考点评析】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． 【训练2】（2023春•桥西区期中）填数游戏：在x2﹣□xy+□y2中的每个“□”内，填入适当的整数，使之能分解因式． （1）分解因式：x2﹣2xy+y2； （2）在“□”内填入﹣1和0，请你写出所有不同的结果，并分解因式． 【思路点拨】（1）运用完全平方公式因式分解即可； （2）在“□”内分别填入﹣1和0及﹣1和0，并分别进行因式分解即可． 【规范解答】解：（1）x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2； （2）当前后方框分别填入﹣1、0时 x2+xy＝x（x+y）； 当前后方框分别填入0、﹣1时 x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 【考点评析】此题考查了因式分解，熟练掌握运用提公因式法、平方差公式及完全平方公式进行因式分解是解本题的关键． 重点难点考点讲练02:公因式 【例题精讲】（2024春•芗城区校级期中）多项式﹣8x2y2+12xy3z的公因式为 　﹣4xy2　 ． 【思路点拨】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解． 【规范解答】解：多项式﹣8 x2y2+12 x y3z的公因式是﹣4xy2． 故答案为：﹣4xy2． 【考点评析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【训练1】（2023春•驿城区期中）2x3y2与12x4y的公因式是　2x3y　 ． 【思路点拨】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式． 【规范解答】解：∵2x3y2＝2x3y•y，12x4y＝2x3y•6x， ∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y， 故答案为：2x3y． 【考点评析】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键． 【训练2】（2024春•岳阳期中）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是 　3x2y2　 ． 【思路点拨】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可． 【规范解答】解：∵3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3＝3x2y2（1﹣4y2﹣2xy） ∴3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2． 【考点评析】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键． 重点难点考点讲练03:因式分解-提公因式法 【例题精讲】（2023春•吴兴区期中）因式分解：a2﹣a＝　a（a﹣1）　 ． 【思路点拨】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可． 【规范解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）． 故答案为：a（a﹣1）． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【训练1】（2024春•埇桥区期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 【思路点拨】表示出x、y的关系，再提取公因式，然后进行计算即可得解． 【规范解答】解：由题意得，x﹣y＝26， ∵x2﹣xy＝x（x﹣y）， ∴26x＝1040， 解得x＝40， y＝40﹣x＝40﹣26＝14． 答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁． 【考点评析】本题考查了提公因式法分解因式，是基础题，分解因式并得到关于x的一元一次方程是解题的关键． 【训练2】（2024春•商河县期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）[（1+x）（1+x）] ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是　提公因式法　 ； （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3； （3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　（1+x）n+1　 ． 【思路点拨】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案； （2）结合题干解题方法提取公因式得出答案； （3）结合（2）中解题方法得出规律求出答案． 【规范解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法； 故答案为：提公因式法； （2）方法一：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）（1+x）（1+x）[1+x] ＝（1+x）4； 方法二：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3 ＝（1+x）3+x（1+x）3 ＝（1+x）3（1+x） ＝（1+x）4； （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是：（1+x）n+1． 故答案为：（1+x）n+1． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键． 重点难点考点讲练04:因式分解-运用公式法 【例题精讲】（2024春•南岸区校级期中）下列各式不能用平方差公式分解的是（　　） A． B．﹣0.04﹣0.09y2 C．25x2﹣16y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2 【思路点拨】平方差公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），看看每个式子是否符合即可． 【规范解答】解：A、，能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； C、25x2﹣16y2＝（5x+4y）（5x﹣4y），能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； D、（x+y）2﹣（x﹣y）2＝[（x+y）+（x﹣y）][（x+y）﹣（x﹣y）]，能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握方差公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）特征是关键．． 【训练1】（2024春•宁化县期中）在4ab+3b2，a2+b2，3a2﹣4ab这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解． 【思路点拨】选择a2+b2，3a2﹣4ab，根据整式的加减运算法则计算得到4a2﹣4ab+b2，然后根据完全平方公式因式分解即可． 【规范解答】解：选择a2+b2，3a2﹣4ab， 则（a2+b2）+（3a2﹣4ab） ＝a2+b2+3a2﹣4ab ＝4a2﹣4ab+b2， ∴4a2﹣4ab+b2＝（2a﹣b）2． 【考点评析】本题考查了整式的加减，因式分解，理解题意，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【训练2】（2021春•柯桥区期中）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　C　 A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　（x﹣2）4　 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【思路点拨】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式； （2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解； （3）仿照题中方法将原式分解即可． 【规范解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C， 故答案为：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）4； 故答案为：不彻底；（x﹣2）4； （3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4． 【考点评析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 重点难点考点讲练05:提公因式法与公式法的综合运用 【例题精讲】（2024春•南海区校级期中）将下列多项式因式分解，结果中不含因式（m+2）的是（　　） A．m2+2m B．m2﹣4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m+4 【思路点拨】将所给多项式逐一因式分解即可． 【规范解答】解：A．m2+2m＝m（m+2），本选项不符合题意； B．m2﹣4＝（m﹣2）（m+2），本选项不符合题意； C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，本选项符合题意； D．m2+4m+4＝（m+2）2，本选项不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了多项式因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键． 【训练1】（2020春•安源区期中）已知xy，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝　﹣25　 ． 【思路点拨】因式分解后，整体代入计算即可； 【规范解答】解：2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2） ＝2xy（x+y）2， ∵xy，x+y＝5， ∴原式＝﹣25． 故答案为﹣25． 【考点评析】本题考查提公因式与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，属于中考常考题型． 【训练2】（2017春•昆都仑区校级期中）因式分解 （1）5a2b+10ab2﹣15ab． （2）（3m+n）2﹣（m﹣n）2． （3）m2﹣6m+9． 【思路点拨】（1）原式提取公因式分解即可； （2）原式利用平方差公式分解即可； （3）原式利用完全平方公式分解即可． 【规范解答】解：（1）原式＝5ab（a+2b﹣3）； （2）原式＝（3m+n+m﹣n）（3m+n﹣m+n）＝8m（m+n）； （3）原式＝（m﹣3）2． 【考点评析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 重点难点考点讲练06:因式分解-分组分解法 【例题精讲】（2023春•龙泉驿区期中）（1）分解因式：8x3+8x2+2x； （2）分解因式：x2﹣4y2+2x+4y； （3）解不等式：； （4）解不等式组：． 【思路点拨】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解； （2）一二项、三四项先分解，再提取公因式； （3）按解一元一次不等式的一般步骤求解即可； （4）按解一元一次不等式组的一般步骤求解即可． 【规范解答】解：（1）8x3+8x2+2x ＝2x（4x2+4x+1） ＝2x（2x+1）2； （2）x2﹣4y2+2x+4y ＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y+2）； （3）， 去分母，得4（4﹣x）＞12﹣3（x+2）， 去括号，得16﹣4x＞12﹣3x﹣6， 移项，得3x﹣4x＞12﹣6﹣16， 合并同类项，得﹣x＞﹣10， 系数化为1，得x＜10； （4）， 解①，得x＞4， 解②，得x≤3， ∴原不等式组的解集为空集． ∴原不等式组无解． 【考点评析】本题考查了整式的因式分解、一元一次不等式及组，掌握因式分解的提公因式法、公式法，解一元一次不等式（组）的一般步骤是解决本题的关键． 【训练1】（2023春•揭西县校级期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值． 【思路点拨】直接利用多项式乘法进而得出a，b的值，即可得出答案． 【规范解答】解：∵甲看错了b，所以a正确， ∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， ∵因为乙看错了a，所以b正确 ∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴b＝9， ∴a+b＝6+9＝15． 【考点评析】此题主要考查了分组分解法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键． 【训练2】（2023春•开江县校级期中）如果3x2﹣4y2﹣4xy+4y+2x﹣1因式分解的结果为 　（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）　 ． 【思路点拨】把2y﹣1当成一个整体，再因式分解即可． 【规范解答】解：原式＝3x2﹣4xy+2x﹣4y2+4y﹣1 ＝3x2﹣2x（2y﹣1）﹣（2y﹣1）2 ＝[3x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] ＝（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）， 故答案为：（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）． 【考点评析】本题主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 重点难点考点讲练07:因式分解-十字相乘法等 【例题精讲】（2024春•福田区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B． C．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2 【思路点拨】利用因式分解判断并选择． 【规范解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1），因式分解不彻底，A选项不符合题意； x2﹣xy＝x（x﹣y），B选项因式分解错误，B选项不符合题意； x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1错误，没有全部做到因式分解，C选项不符合题意； ﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，D选项符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 【训练1】（2024春•驿城区校级期中）【类比学习】小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． （1）【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆）（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了如图2竖式：得出□＝　5　 ，☆＝　3　 ． （2）【深入研究】小明用这种方法对多项式x3+2x2+2x+4进行因式分解，进行到了：x3+2x2+2x+4＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2+2x+4因式分解． 【思路点拨】（1）根据竖式除法的运算方法先确定☆表示的数，然后确定□代表的数即可； （2）利用列竖式除法的结果进行分解即可． 【规范解答】解：（1）仿照例题，得：（□﹣2）x+6﹣（☆x+2☆）＝（□﹣☆﹣2）x+（6﹣2☆）＝0， 则有□﹣☆﹣2＝0，6﹣2☆＝0， 故□＝5，☆＝3； 故答案为5，3． （2）仿照例题得： ∴x3+2x2+2x+4＝（x+2）（x2+2） 故将多项式可因式分解为（x+2）（x2+2）． 【考点评析】本题考查因式分解、二元一次方程组的求解、归纳与类比，会利用类比的方法，仿照例题解决问题是解答的关键． 【训练2】（2023春•即墨区期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1） 试用上述方法分解因式： （1）a2+2ab+b2+ac+bc； （2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2． 【思路点拨】（1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可； （2）原式后三项提取﹣1，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【规范解答】解：（1）原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）； （2）原式＝4a2﹣（x2﹣4xy+4y2）＝4a2﹣（x﹣2y）2＝（2a+x﹣2y）（2a﹣x+2y）． 【考点评析】此题考查了分解因式﹣十字相乘法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 重点难点考点讲练08:实数范围内分解因式 【例题精讲】（2022春•克东县期中）（1）计算：（﹣3）﹣2． （2）在实数范围内分解因式：a3﹣5a． 【思路点拨】（1）根据负整数指数幂，二次根式，绝对值的计算以及零指数幂依次进行计算即可； （2）根据提公因式以及平方差公式进行因式分解． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2））原式＝a（a2﹣5） ． 【考点评析】本题主要考查实数的混合运算以及因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【训练1】（2015春•广河县校级期中）利用公式，在实数范围内把7﹣x2分解因式为　（x）（x）　 ． 【思路点拨】利用平方差公式即可分解． 【规范解答】解：7﹣x2＝（x）（x）． 故答案为：（x）（x）． 【考点评析】本题主要考查了在实数内分解因式，正确理解平方差公式是关键． 【训练2】（2023春•越秀区校级期中）利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝　　 ． 【思路点拨】利用平方差公式进行因式分解解决此题． 【规范解答】解：a2﹣6． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键． 重点难点考点讲练09:因式分解的应用 【例题精讲】（2024春•辽阳期中）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2 C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） 【思路点拨】观察图1和图2，根据面积公式列出关系式即可． 【规范解答】解：根据题意得：a2+2a+1＝（a+1）2． 故选：B． 【考点评析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【训练1】（2024春•雨城区校级期中）阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：9x2﹣y2﹣9x+3y； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 【思路点拨】（1）先分组，再用公式分解． （2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状． 【规范解答】解：（1）9x2﹣y2﹣9x+3y ＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y） ＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y） ＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）； （2）△ABC为等腰三角形． 理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0， ∵△ABC三边a、b、c都大于0， ∴a+b﹣c＞0． ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 【考点评析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． 【训练2】（2024秋•鼓楼区校级期中）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中（a+b+c）2＝ 　a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　 ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 【思路点拨】（1）等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，那么所求的等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和； （2）把（1）中得到的等式进行整理，可得：ab+bc+ca，代入计算即可； （3）按照（2）的方法可得分子的值；根据a+b+c＝0可得c＝﹣a﹣b，代入a2+b2+c2＝4中可得分母的值，相除即可求得所求分式的值． 【规范解答】解：（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方， ∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和． ∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2， ∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）． ∴ab+bc+ca． ∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4， ∴ab+bc+ca＝﹣2； （3）由（1）得：（ab+bc+ca）2＝a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc， ∴a2b2+b2c2+c2a2＝（ab+bc+ca）2﹣2ab2c﹣2abc2﹣2a2bc ＝（﹣2）2﹣2abc（a+b+c） ＝4﹣2abc×0， ＝4． ∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b． ∵a2+b2+c2＝4， ∴a2+b2+（﹣a﹣b）2＝4． 即 2a2+2b2+2ab＝4 ∴a2+b2+ab＝2 ∴原式2． 【考点评析】本题考查完全平方式及因式分解的应用．根据面积的不同表示方法得到（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac是解决本题的关键．解决本题的难点是：灵活应用得到的等式． 1．（2024春•辽阳期中）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2 C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） 【思路点拨】观察图1和图2，根据面积公式列出关系式即可． 【规范解答】解：根据题意得：a2+2a+1＝（a+1）2． 故选：B． 【考点评析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（2024春•渠县校级期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A．5﹣m2＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x C．（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2 D．a2+4a+4＝（a+2）2 【思路点拨】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【规范解答】解：A、等式左右两边不相等，且等式左边无法在有理数范围内因式分解，错误； B、等式左右两边不相等，且等式左边无法因式分解，错误； C、是多项式乘法，不是因式分解，错误； D、是完全平方公式因式分解，分解正确． 故选：D． 【考点评析】本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断． 3．（2024春•南海区校级期中）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） C．x2﹣2x+4＝x（x﹣2）+4 D．x2﹣y2﹣2＝（x+y）（x﹣y）﹣2 【思路点拨】把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，据此进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的； B、x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是正确的； C、x2﹣2x+4＝x（x﹣2）+4不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的； D、x2﹣y2﹣2＝（x+y）（x﹣y）﹣2不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的； 故选：B． 【考点评析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是关键． 4．（2024春•东坡区期中）两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3），则原来的多项式为 　3x2﹣3x﹣6　 【思路点拨】由于看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将3（x﹣1）（x+2）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将3（x+2）（x﹣3）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案． 【规范解答】解：∵3（x﹣1）（x+2）＝3（x2+x﹣2）＝3x2+3x﹣6， ∴a＝3，c＝﹣6； 又∵3（x+2）（x﹣3）＝3（x2﹣x﹣6）＝3x2﹣3x﹣18， ∴b＝﹣3． ∵二次三项式为：ax2+bx+c， ∴原多项式为3x2﹣3x﹣6， 故答案为：3x2﹣3x﹣6． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键． 5．（2024春•成都期中）已知a﹣b＝4，ab＝﹣2，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　﹣32　 ． 【思路点拨】因式分解后整体代换求值 【规范解答】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2 ＝﹣2×42 ＝﹣32． 故答案为：﹣32． 【考点评析】本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键． 6．（2023春•南海区校级期中）因式分解：1﹣4a2＝　（1﹣2a）（1+2a）　 ． 【思路点拨】直接利用平方差分解因式进而得出答案． 【规范解答】解：1﹣4a2＝（1﹣2a）（1+2a）． 故答案为：（1﹣2a）（1+2a）． 【考点评析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 7．（2024春•桥西区期中）如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算． （1）若选择B、C卡片，请进行因式分解； （2）嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论k为何整数，其结果总可以被m（m≠1）整除”，请确定满足条件的最小正整数m的值． 【思路点拨】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）求出（k+3）2﹣k2＝3（2k+3），即可得到答案． 【规范解答】解：（1）﹣k2+4＝4﹣k2＝（2+k）（2﹣k）； （2）（k+3）2﹣k2＝（k+3+k）（k+3﹣k）＝3（2k+3）， ∵由题意可知（k+3）2﹣k2的值总可以被m（m≠1）整除， 即3（2k+3）是整数m的倍数， ∴满足条件的最小正整数m的值是3． 【考点评析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是关键． 8．（2024春•雁塔区校级期中）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请用含a，b的代数式表示S1＝　a2﹣b2　 ，S2＝　（a+b）（a﹣b）　 ； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （3）利用这个公式说明216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【思路点拨】（1）S1＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，代入可得S1＝a2﹣b2，S2＝大长方形的面积+小长方形的面积，即，S2＝a×（a﹣b）+b×（a﹣b），化简即可； （2）因为两个图形阴影部分的面积相等，所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）3）216﹣1＝（28+1）（28﹣1）＝257×255＝257×3×5×17，因此原式能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【规范解答】解：（1）S1＝a×a﹣b×b ＝a2﹣b2； S2＝a×（a﹣b）+b×（a﹣b） ＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）因为S1＝S2， 所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）216﹣1 ＝（28+1）（28﹣1） ＝257×255 ＝257×3×5×17， 所以216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【考点评析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是分别表示出两个阴影部分的面积． 9．（2024春•碑林区校级期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝　a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　 ； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝20，则a2+b2+c2＝　60　 ； （3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值 　5或7　 ； （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）　 ． 【思路点拨】（1）利用等面积法确定恒等式； （2）利用（1）中结论求解； （3）利用所拼成的长方形或正方形的面积从因式分解的角度进行解答； （4）利用体积关系求关于x的恒等式． 【规范解答】解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2 分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 两部分面积相等． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）∵（a+b+c）2 ＝（a+b+c）（a+b+c） ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 ＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）， ∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝20， ∴102＝a2+b2+c2+2×20， ∴a2+b2+c2＝100﹣40＝60， 故答案为：60； （3）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为： 2a2+3b2+mab 从因式分解的角度看，可分解为（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b） ∴（2a+b）（a+3b）＝2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）＝2a2+3b2+5ab ∴m＝5或7． 故答案为：5或7； （4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x， ∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x． 故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式和平方差公式的几何背景，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10．（2024春•即墨区期中）阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 【思路点拨】（1）利用十字相乘法变形即可得； （2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式； ②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式． 【规范解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）①令A＝x﹣y， 则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3）， 所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）； ②令B＝m2+2m， 则原式＝B（B﹣2）﹣3 ＝B2﹣2B﹣3 ＝（B+1）（B﹣3）， 所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3） ＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）． 【考点评析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$