第四单元《因式分解》期末复习测试题 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

期末单元复习测试 第四单元《因式分解》 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．2x（x﹣3）＝2x2﹣6x B．12m2n＝3m2•4n C．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 2．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（　　） A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3 3．下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（　　） A．b2﹣a2 B．x2﹣4x C．x2+4x+1 D．﹣x2﹣1 4．下列因式分解正确的是（　　） A．a2b﹣2ab＝a（ab﹣2b） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C．ab﹣ab2＝ab（1﹣b2） D．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） 5．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（　　） A．3a2﹣2a+1 B．6a2﹣4a+2 C．3a2﹣2a D．3a2+2a﹣1 6．将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（　　） A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2 C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4） 7．将6a2b（x﹣y）2+8ab2（x﹣y）3因式分解，应提取的公因式是（　　） A．2ab（x﹣y）2 B．48ab（x﹣y）2 C．48ab（x﹣y）3 D．2ab（x﹣y）3 8．已知a＝2024x+2023，b＝2024x+2024，c＝2024x+2025，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（　　） A．20 B．30 C．32 D．37 10．已知正整数a，b，c，d，e，f满足a＜b＜c＜d＜e＜f，且a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（　　） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若a＜b＜c＜d＜e＜f＜10，则该六元方程有21组解； ④若a+b+c+d+c+f＝53，则该六元方程有28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11．若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　 　． 12．分解因式：6x2+ax+10＝（3x+2）（2x+5），则a＝　 　． 13．多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2，则另一个因式是　 　． 14．已知a+b＝3，ab＝10，则2a2b+2ab2＝　 　． 15．2a2+2b2+8a﹣20b+30的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．因式分解： （1）﹣3a3+6a2b﹣3ab2； （2）x2（m﹣n）+4y2（n﹣m）． 17．分解因式： （1）4a2﹣9； （2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2； （3）a（x﹣y）+16（y﹣x）． 18．先因式分解，再计算求值． 2x2﹣4xy+2y2，其中，． 19．已知m2＝n+2，n2＝m+2，且m≠n．求证：m+n＝﹣1． 20．（1）若20.82＝202+a，求a的值． （2）已知x2﹣2x﹣1＝0，求x4﹣x3﹣3x2﹣x+2023的值． 21．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 　 　． （2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　 　张，3号卡片 　 　张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是 　 　； （4）动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2，并画出拼图的图形． 22．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于x2+3x+2，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，x2+3x+2最高含有x的二次项，所以看作由（ax+b）（cx+d）得到； 第二步，去括号，（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd和x2+3x+2对比发现， 二次项系数为1，二次项由ax和cx相乘得出，所以a＝c＝1（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把x2+（b+d）x+bd和x2+3x+2对比，发现b，d两数之积为2，和为3，就不难凑出b＝1，d＝2，检验一下：（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①x2﹣5x+6； ②2y2+y﹣36； （2）对关于x的多项式因式分解：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1． 23．定义：任意两个数a、b，按规则c＝a+b+ab运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”． （1）若a＝4，b＝﹣3，求a，b的“加乘数”c； （2）若，a2+b2＝8，求a，b的“加乘数”c． 24．【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到完全平方公式：（x+y）2＝x2+2xy+y2，这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1）如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式：（a+b+c）2＝　 　． （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知a+b+c＝8，ab+bc+ac＝17．求a2+b2+c2的值． ②若m、n满足如下条件：（n﹣2021）2+（2023﹣2n）2+（n+1）2＝m2﹣2m﹣20，（n﹣2021）（2023﹣2n）+（n﹣2021）（n+1）+（2023﹣2n）（n+1）＝2+m，求m的值． 【应用迁移】如图3，△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为M，N，H，连接AO．若OM＝1.2，ON＝2.5，利用上述“面积法”，求CH的长． 25．我们知道，对于一个图形，通过不同方法计算图形面积可以得到一个数学等式．例如：通过不同方法计算图1所示的正方形ABCD的面积S，可得等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，理由如下： ∵S＝（a+b）2 又∵ ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2 根据上述材料，解答下列问题： （1）写出根据图2可得到的数学等式：　 　； （2）已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38利用（1）中所得等式，求a2+b2+c2的值； （3）利用材料所给方法，画图并根据图形说明等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2成立． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1-5．DCADA 6-10. AADAB． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11．﹣8． 12．a＝19． 13．x+10． 14．60． 15．﹣28． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）原式＝﹣3a（a2﹣2ab+b2） ＝﹣3a（a﹣b）2； （2）原式＝x2（m﹣n）﹣4y2（m﹣n） ＝（m﹣n）（x2﹣4y2） ＝（m﹣n）（x+2y）（x﹣2y）． 17．解：（1）4a2﹣9＝（2a﹣3）（2a+3）； （2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2 ＝﹣8a（x2﹣2xy+y2） ＝﹣8a（x﹣y）2； （3）a（x﹣y）+16（y﹣x） ＝a（x﹣y）﹣16（x﹣y） ＝（x﹣y）（a﹣16）． 18．解：原式＝2（x2﹣2xy+y2） ＝2（x﹣y）2， ∵其中，， ∴x﹣y＝112， ∴原式＝2×（2）2＝16． 19．解：∵m2＝n+2，n2＝m+2， ∴m2﹣n2＝n﹣m， ∴（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）＝0， ∴（m﹣n）（m+n+1）＝0， ∵m≠n， ∴m+n＝﹣1． 20．（解：（1）∵20.82＝202+a， ∴a＝20.82﹣202 ＝（20.8+20）（20.8﹣20） ＝40.8×0.8 ＝32.64； （2）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2＝2x+1，x2﹣x＝x+1， ∴x4﹣x3﹣3x2﹣x+2023 ＝x2（x2﹣x）﹣3x2﹣x+2023 ＝（2x+1）（x+1）﹣3x2﹣x+2023 ＝2x2+3x+1﹣3x2﹣x+2023 ＝﹣x2+2x+1+2023 ＝﹣（x2﹣2x﹣1）+2023 ＝0+2023 ＝2023． 21．解：（1）由图得，正方形面积为（a+b）2，或为a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2， ∴需要2号卡2个，三号卡3个， 故答案为：2，3； （3）长方形面积为a2+4ab+3b2，或为（a+3b）（a+b）， ∴a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）， 故答案为：a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）； （4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）， 如图所示， 故答案为：（a+2b）（a+3b）． 22．解：（1）①由题意得，a＝c＝1，b+d＝﹣5，bd＝6， 所以可凑数b＝﹣2，d＝﹣3， 故x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）； ②由题意得，ac＝2，ad+bc＝1，bd＝﹣36， 所以可凑数a＝1，c＝2， 则d+2b＝1，bd＝﹣36， 又可凑数b＝﹣4，d＝9， 故2y2+y﹣36＝（y﹣4）（2y+9）； （2）设（ax+b）（cx+d）＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1， 则acx2+（ad+bc）x+bd＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1， 凑数a＝1，c＝m， ∴mx2+（d+mb）x+bd＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1， ∴d+mb＝﹣（3m﹣1），bd＝2m﹣1， 分四种情况讨论： 当b＝1，d＝2m﹣1时，代入d+mb＝﹣（3m﹣1），不成立，舍去； 当b＝2m﹣1，d＝1时，代入d+mb＝﹣（3m﹣1），不成立，舍去； 当b＝﹣1，d＝1﹣2m时，代入d+mb＝﹣（3m﹣1），成立，符合题意； 当b＝1﹣2m，d＝﹣1时，代入d+mb＝﹣（3m﹣1），不成立，舍去； 所以只有b＝﹣1，d＝1﹣2m， 故mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝（x﹣1）（mx+1﹣2m）． 23．解：（1）当a＝4，b＝﹣3时， c＝4+（﹣3）+2×（﹣3）＝﹣18； （2）当，a2+b2＝8时， ∵（a+b）2 ＝a2+b2+2ab ＝8+1 ＝9， ∴a+b＝±3， ∴c＝±3 ∴c或． 24．解：（1）∵由题意可得：等式左边是从整体看大正方形的边长为 a+b+c，面积为：（a+b+c）2， ∴等式右边应该从组成看，由六部分组成，分别是 a2，b2，c2，ab，bc，ac，ab，bc，ae， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）①：由（1）可得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc， ∵a+b+c＝8，ab+bc+ac＝17， ∴a2+b2+c2＝82﹣2×17＝30； ②令：a＝n﹣2021，b＝2023﹣2n，c＝n+1， ∴a+b+c＝n﹣2021+2023﹣2n+n+1＝3， ∴（n﹣2021）2+（2023﹣2n）2+（n+1）2＝a2+b2+c2＝m2﹣2m﹣20， ∴（n﹣2021）（2023﹣2n）+（n﹣2021）（n+1）+（2023﹣2n）（n+1）＝ab+bc+ac＝2+m， 由（1）知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 即：32＝m2﹣2m﹣20+2（2+m）， ∴m2＝25， ∴m＝±5， ∵n﹣2021）2+（2023﹣2n）2+（n+1）2＝a2+b2+c2＝m2﹣2m﹣20＞0， ∴m＝﹣5； （3）由图可得，∵S△ABC＝SΔABC+S△AOC， ∴ ∵AB＝AC，OM＝1.2，ON＝2.5， ∴CH＝OM+ON， ∴CH＝1.2+2.5＝3.7． 25．解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2， 9个长方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝112﹣2×38＝45； （3）如图所示， 大长方形的面积为（2a+b）（a+b）， 6个长方形的面积和为2a2+3ab+b2， ∴（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/4 18:20:04；用户：熊生泉；邮箱：XFS-7458266096907191.42133300；学号：55617395 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$