第3章 图形的平移与旋转（思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共52题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第3章 图形的平移与旋转 （知识梳理+易错点拨+14个重难点考点讲练+压轴题专练 共52题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：平移变换 2 知识点梳理02：旋转变换 3 知识点梳理03：中心对称与图案设计 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：图形的平移易错知识点 5 易错知识点02：图形的旋转易错知识点 5 易错知识点03：图形的平移与旋转综合应用易错知识点 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:生活中的平移现象 6 重点难点考点讲练02:平移的性质 8 重点难点考点讲练03:坐标与图形变化-平移 10 重点难点考点讲练04:作图-平移变换 12 重点难点考点讲练05:利用平移设计图案 15 重点难点考点讲练06:生活中的旋转现象 17 重点难点考点讲练07:旋转的性质 19 重点难点考点讲练08:旋转对称图形 23 重点难点考点讲练09:中心对称 24 重点难点考点讲练10:中心对称图形 27 重点难点考点讲练11:关于原点对称的点的坐标 29 重点难点考点讲练12:作图-旋转变换 32 重点难点考点讲练13:利用旋转设计图案 35 重点难点考点讲练14:几何变换的类型 38 压轴专练 拔尖冲刺 41 知识点梳理01：平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点剖析】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点剖析】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点剖析】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点梳理02：旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点剖析】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点梳理03：中心对称与图案设计 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点剖析】中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点剖析】中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 易错知识点01：图形的平移易错知识点 1. 平移方向与距离的理解错误： 错误理解：学生可能错误地认为平移只能沿坐标轴方向（即水平或垂直方向）进行，或者混淆平移的方向和距离。 正确理解：平移可以是任意方向的直线移动，距离是图形上每一点沿平移方向移动的相同长度。 2. 平移后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为平移会改变图形的形状、大小或方向。 正确理解：平移是一种刚性变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 3. 平移作图错误： 错误作图：在平移图形时，学生可能错误地移动图形的某些部分，而不是整体移动，或者没有保持图形内部各点间的相对位置不变。 正确作图：平移图形时，应确保图形上每一点都沿同一方向移动相同距离，保持图形内部各点间的相对位置不变。 易错知识点02：图形的旋转易错知识点 1. 旋转中心与角度的确定错误： 错误确定：学生可能错误地确定旋转中心，或者混淆旋转的角度（如顺时针和逆时针）。 正确确定：旋转中心是图形旋转时固定不动的点，旋转角度是图形绕旋转中心旋转的度数，应明确是顺时针还是逆时针旋转。 2. 旋转后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为旋转会改变图形的形状或大小。 正确理解：旋转是一种刚性变换，它只改变图形的方向，不改变图形的形状和大小。 3. 旋转作图错误： 错误作图：在旋转图形时，学生可能错误地旋转图形的某些部分，而不是整体旋转，或者没有保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 正确作图：旋转图形时，应确保图形上每一点都绕旋转中心旋转相同角度，保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 易错知识点03：图形的平移与旋转综合应用易错知识点 1. 变换顺序的混淆： 错误混淆：在进行平移和旋转的综合变换时，学生可能混淆变换的顺序，导致最终图形位置或方向错误。 正确顺序：在进行综合变换时，应明确每种变换的顺序，因为不同的顺序可能导致不同的结果。 2. 忽视图形变换的限制条件： 错误忽视：在进行图形变换时，学生可能忽视题目中的限制条件（如只能在网格线上平移、旋转角度必须是90倍数等）。 正确注意：在进行图形变换时，应仔细阅读题目，注意题目中的限制条件，确保变换后的图形符合题目要求。 3. 变换后图形位置的确定错误： 错误确定：在进行平移和旋转的综合变换后，学生可能错误地确定变换后图形的位置。 正确确定：在进行综合变换后，应通过作图或计算等方法准确确定变换后图形的位置。 重点难点考点讲练01:生活中的平移现象 【例题精讲】（2024春•仓山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF若四边形ECDF为菱形时，则a值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝3时，▱ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝3， ∵将线段AB水平向右平得到线段EF， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形ECDF为平行四边形， 当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形， 此时a＝BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键． 【训练1】（2021春•饶平县校级期中）下列各图中，能够通过图①平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形． 【规范解答】解：A、图形需要旋转才能得到，不符合平移的定义，故本选项错误； B、图形的形状和大小没有改变，符合平移的性质，故本选项正确； C、图形需要翻转才能得到，不符合平移的定义，故本选项错误； D、图形中的斜线位置不对，图形发生了改变，不符合平移的定义，故本选项错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选． 【训练2】（2023春•太原期中）如图所示的是一块矩形ABCD的场地，AB＝102m，AD＝51m，从A，B两地入口的路宽都为1m，两小路汇合处的路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 　5000　 m2． 【思路点拨】本题主要利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答． 【规范解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：102﹣2＝100（m），宽为51﹣1＝50（m）．所以草坪的面积应该是长×宽＝100×50＝5000（m2）． 故答案为：5000． 【考点评析】本题考查矩形的性质及空间想象能力，有一定的思维容量． 重点难点考点讲练02:平移的性质 【例题精讲】（2024春•运城期中）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若AA′＝3cm，B′C＝4cm，则BC′的长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【思路点拨】根据平移的性质得到BB′＝CC′＝AA′＝3cm，再根据线段的和差关系求解即可． 【规范解答】解：由平移的性质可得BB′＝CC′＝AA′＝3cm， ∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝3+3+4＝10cm， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质，关键是平移性质的熟练掌握． 【训练1】（2024春•城关区校级期中）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（如图）．因为在平面AA′C′C′中，CC′∥AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的△BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角． 解决问题 如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，则既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】连接BC′，则△A′BC′为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角的大小． 【规范解答】解：连接BC′， ∵AC∥A′C′，BA′与A′C′相交于点A′， 根据正方体性质可得：A′B＝BC′＝A′C′， ∴△A′BC′为等边三角形， ∴∠BA′C′＝60°， 即既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角为60°． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质、平行线的性质，读懂题意是解题的关键． 【训练2】（2022春•兰州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF． （1）试求出∠E的度数； （2）若AE＝9cm，DB＝2cm．请求出CF的长度． 【思路点拨】（1）根据平移可得，对应角相等，由∠CBA的度数可得∠E的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由BE的长可得CF的长． 【规范解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°， ∴∠CBA＝90°﹣33°＝57°， 由平移得，∠E＝∠CBA＝57°； （2）由平移得，AD＝BE＝CF， ∵AE＝9cm，DB＝2cm， ∴AD＝BE（9﹣2）＝3.5cm， ∴CF＝3.5cm． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． 重点难点考点讲练03:坐标与图形变化-平移 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【思路点拨】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解． 【规范解答】解：由题意得A（﹣1，0），A'（2，a）， ∴A'是点A向右平移2﹣（﹣1）＝3个单位得到； ∵B（0，2），B'（b，1）， ∴点B'是点B向下平移2﹣1＝1个单位得到； ∴线段A'B'是线段AB先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到， 故a＝0﹣1＝﹣1，b＝0+3＝3， ∴a+b＝﹣1+3＝2， 故选：A． 【考点评析】本题考查了线段的平移，点的平移，代数式求值，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键． 【训练1】（2024春•凉州区校级期中）将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　（﹣6，﹣2）　 ． 【思路点拨】根据点Q在x轴上，得到m+6＝0，计算即可． 【规范解答】解：∵P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点， ∴Q（m，m+6）， ∵点Q在x轴上， ∴m+6＝0，解得：m＝﹣6， ∴点P（﹣6，﹣2）， 故答案为：（﹣6，﹣2）． 【考点评析】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【训练2】（2024春•河东区校级期中）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）． （1）填空：点A的坐标是 　（2，﹣1）　 ，点B的坐标是 　（4，3）　 ； （2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）利用点的坐标的表示方法写出A点和B点坐标； （2）利用点的坐标平移规律写出点A′、B′、C′的坐标，然后描点得到△A′B′C′； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到△ABC的面积． 【规范解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）； 故答案为（2，﹣1），（4，3）； （2）如图，△A′B′C′为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）； （3）△ABC的面积＝3×42×43×13×1＝5． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 重点难点考点讲练04:作图-平移变换 【例题精讲】（2024春•泗县期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（﹣2，1）． （1）点C的坐标是 　（1，﹣2）　 ； （2）将三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1，请画出三角形A1B1C1； （3）在（2）的条件下，若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P′的坐标为 　（5+x，4+y）　 ． 【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标特点求解即可； （2）根据图形的平移方法求解即可； （3）根据图形的平移方法求解即可． 【规范解答】解：（1）由点C在平面直角坐标系中的位置可得， 点C的坐标为（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）如图所示，△A1B1C1即为所求作三角形． （3）∵P（x，y），三角形ABC先向右平移5个长度，再向上平移4个长度 ∴三角形ABC内的点P也进行相同的平移， ∴P′坐标为（5+x，4+y）． 【考点评析】本题考查的是作图﹣平移变换，掌握“利用平移的性质进行作图以及确定平移后的坐标”是解本题的关键． 【训练1】（2024春•山亭区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（﹣3，1）、B（﹣4，﹣1）、C（0，2），△ABC经一次平移后得到△DEF，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，其中D的坐标为（﹣1，﹣2）． （1）平移的距离为 　　 ； （2）请画出平移后的△DEF； （3）若P（a，b）为△ABC边上的一个点，平移后点P的对应点Q的坐标为 　（a+2，b﹣3）　 ； （4）平移过程中，边AB扫过的面积为 　7　 ． 【思路点拨】（1）根据对应点的坐标即可得出平移的距离； （2）根据平移的规律，确定对应点，连接即可； （3）根据△ABC的平移规律即可求得； （4）利用一个矩形的面积减去4个三角形的面积计算即可． 【规范解答】解：（1）∵A（﹣3，1），D（﹣1，﹣2）， ∴△ABC先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到△DEF， ∴平移的距离为：； 故答案为：△ABC先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到△DEF； （2）如图，△DEF即为所求； （3）平移后点P的对应点Q的坐标为（a+2，b﹣3）， 故答案为：（a+2，b﹣3）； （4）平移过程中，边AB扫过的面积为＝3×57． 故答案为：7． 【考点评析】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 【训练2】（2024春•龙岗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2.1），C（﹣1，3）． （1）若△ABC经过平移后得到△ABC，已知点C1的坐标为（2，3），画出平移后的图形△A1B1C1． （2）求△A1B1C1的面积． （3）若点P是x轴上的一个动点，则PB+PC1的最小值为 　4　 ，此时点P的坐标为 　（﹣1，0）　 ． 【思路点拨】（1）利用C点和C1点坐标得到平移的规律，然后利用此规律写出A1的坐标和B1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用割补法求解即可； （2）作点C1关于x轴的对称点为C′（2，﹣3），连接BC′交x轴于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PB+PC1最小，然后利用待定系数法法求出直线BA′的解析式，再计算出自变量为0对应的函数值即可得到P点坐标． 【规范解答】解：（1）∵C（﹣1，3）平移后C1（2，3）， ∴B1（1，1），A1（0，5）；如图： （2）三角形A1B1C1面积＝2×41×43； （2）作点C1关于x轴的对称点为C′（2，﹣3），连接BC′交x轴于P点，如图，根据最短路径可知PB+PC1＝BC′＝4， 设直线BC′的解析式为y＝kx+b， 把B（﹣2，1），C′（2，﹣3）代入得， ， 解得，， 所以直线CA′的解析式为y＝﹣x﹣1， 当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1， 此时P点坐标为（﹣1，0）， 故答案为：4；P（﹣1，0）． 【考点评析】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 重点难点考点讲练05:利用平移设计图案 【例题精讲】（2024春•沙坡头区校级期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（　　） A．1cm B．2cm C． D． 【思路点拨】利用正方形的性质以及勾股定理求出BD，求出小正方形的对角线DB′的长，可得结论． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∵AB＝AD＝2cm，∠A＝90°， ∴BDAB＝2（cm）， 由平移变换的性质可知BB′＝1cm， ∴DB′＝BD﹣BB1）cm， ∴小正方形的边长DB′（21）＝（2）cm， 故选：C． 【考点评析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平移变换等知识，解题关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 【训练1】（2024春•桥西区期中）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 　6　 ． 【思路点拨】根据平移的性质即可得到结论． 【规范解答】解：右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【训练2】（2024春•黎川县期中）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用有理数加法表示为3+（﹣2）＝1． 若坐标平面上的点做如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d} 解决问题： （1）计算：{3，1}+{1，﹣2}； （2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是B吗？在图1中画出四边形OABC． （3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 【思路点拨】（1）根据“平移量”的加法法则计算即可． （2）根据要求画出图形即可． （3）用“平移量”表示运动过程，如何根据“平移量”的加法法则表示运动过程． 【规范解答】解：（1）{3，1}+{1，﹣2}＝{3+1，1+（﹣2）}＝{4，﹣1}． （2）如图1中，最后的位置是B，四边形OABC如图所示． （3）航行过程：{2，3}+{3，2}+{﹣5，﹣5}＝{0，0}． 【考点评析】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 重点难点考点讲练06:生活中的旋转现象 【例题精讲】（2021春•历下区期中）如图是一个装饰灯，每绕对称中心顺时针旋转90度就闪烁一次，此图为第一次闪烁，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】旋转一次90°，四次一个循环，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【规范解答】解：由题意，每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505......1， 即第2021次与第1次的图案相同． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了图形的旋转变换，注意通过特殊例子发现规律，再选择即可． 【训练1】（2024春•渭滨区期中）如图所示，在正方形网格中，图①经过　平移　 变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点　A　 （填“A”或“B”或“C”）． 【思路点拨】平移前后，对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心． 【规范解答】解：根据题意：观察可得：图①与图②对应点位置不变，通过平移可以得到； 根据旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是A． 故答案为：平移，A． 【考点评析】本题考查平移、旋转的性质； 平移的基本性质①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心． 【训练2】（2024春•城关区校级期中）我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方B处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所转动的角度是 　150　 度． 【思路点拨】根据圆周角等于360°解答即可． 【规范解答】解：由题意得，水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所转动的角度是：360°150°． 故答案为：150． 【考点评析】本题考查了生活中的旋转现象以及认识立体图形，掌握周角等于360°是解答本题的关键． 重点难点考点讲练07:旋转的性质 【例题精讲】（2024春•黑山县期中）如图，P是∠AOB平分线上一点，OP＝12，∠AOB＝120°，在绕点P旋转的过程中始终保持∠MPN＝60°不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①△PMN是等边三角形；②MN的值不变；③OM+ON＝12；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，再证明△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【规范解答】解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图所示： ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN＝60°， ∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE＝PF，∠EPO＝∠FPO＝30°， ∴， 在Rt△POE和Rt△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，S△PEM＝S△PNF， ∵∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形，故①正确； ∵S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确； ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝12，故③正确； ∵M，N的位置变化， ∴MN的长度是变化的，故②错误； 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【训练1】（2024春•青岛期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　22　 ． 【思路点拨】由旋转的性质可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠CA'B'＝30°，然后得到AB＝A'B'＝4，BC＝2，利用勾股定理求得AC＝A'C＝2，最后利用AB′＝AC﹣B'C解答即可． 【规范解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′， ∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'， ∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°， ∴∠CA'B'＝30°， ∵AB＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∴BC＝2， ∴AC＝A'C2， ∴AB′＝AC﹣B'C＝22， 故答案为：22． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 【训练2】（2023秋•椒江区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【思路点拨】（1）由旋转的性质可以证明△BOC≌△ADC，得出∠ADC＝∠BOC＝150°，由等边三角形的性质得出∠ODC＝60°，求出∠ADO＝90°即可； （2）先根据周角的定义表示∠AOD的度数，由三角形全等表示∠ADO的度数，最后由三角形内角和可得结论； （3）分三种情况：①AO＝AD时；②OA＝OD时；③OD＝AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果． 【规范解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， ∴∠ADO＝90°， 即△AOD是直角三角形； （2）解：∵△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α， 由（1）知：△ADC≌△BOC， ∴∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠ADO＝α﹣60°， △ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°； （3）解：分三种情况： ①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO． ∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°； ②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO． ∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°； ③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD． ∵190°﹣α＝50°， ∴α＝140°， 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，掌握等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质的运用是解题的关键． 重点难点考点讲练08:旋转对称图形 【例题精讲】（2022春•南海区校级期中）如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　120　 度，可与其自身重合． 【思路点拨】正三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【规范解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：120． 【考点评析】本题考查旋转对称图形的知识，难度不大，注意正三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容． 【训练1】（2022春•宜兴市校级期中）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【规范解答】解：A、最小旋转角度90°． B、最小旋转角度72°． C、最小旋转角度120°． D、最小旋转角度60°． 综上可得：顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是A． 故选：A． 【考点评析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 【训练2】（2024春•薛城区期中）如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°； （1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数． 【思路点拨】（1）先利用已知条件∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF，那么∠BAC﹣∠PAF＝∠EAF﹣∠PAF，即有∠BAE＝∠CAF＝25°； （2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF； （3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB． 【规范解答】解：（1）∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF， ∴△ABC≌△AEF， ∴∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF， ∴∠BAC﹣∠PAF＝∠EAF﹣∠PAF， ∴∠BAE＝∠CAF＝25°； （2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF； （3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°， ∴∠AMB＝∠C+∠CAF＝57°+25°＝82°． 【考点评析】本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等． 重点难点考点讲练09:中心对称 【例题精讲】（2024春•英德市期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【思路点拨】利用中心对称的性质一一判断即可． 【规范解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'， ∴A，B，C正确， 故选：D． 【考点评析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型． 【训练1】（2024秋•林州市期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　12　 ． 【思路点拨】过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，证明四边形A′DOF是矩形，则A′F＝OD＝3，同理可知，四边形ABOE是矩形，则AE＝OB＝4，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，则AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E， ∵A′D⊥b于点D． ∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°， ∴四边形A′DOF是矩形， ∴A′F＝OD＝3， 同理可知，四边形ABOE是矩形， ∴AE＝OB＝4， ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′， ∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 【考点评析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握． 【训练2】（2024春•电白区期中）综合探究： 在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB． （1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边BC上，，求CE的长． 【思路点拨】（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC； （2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10． 【规范解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下： ∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转得到△DBE， ∴BE＝BC， ∴∠BCE＝∠BEC（等边对等角）， ∵CE∥AB（已知）， ∴∠ABC＝∠BCE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABC＝∠BEC（等量代换）； （2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F， ∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转得到△DBE， ∴AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵CE∥AB， ∴∠BCE＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE， ∴∠CDF＝30°， ∴CFCD＝2，DFCF＝2， 在Rt△DEF中，EF8， ∴CE＝EF+CF＝8+2＝10． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 重点难点考点讲练10:中心对称图形 【例题精讲】（2024春•沿河县期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据中心图形的概念求解即可． 【规范解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； D、是中心对称图形，本选项正确，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 【训练1】（2024春•宁海县校级期中）北京时间2023年10月26日顺利进驻空间站组合体以来，神舟十七号航天员乘组已在轨工作生活54天，为期6个月的飞天之旅已完成近三分之一，将于近日择机实施第一次出舱活动．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合，据此即可求解． 【规范解答】解：只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合， 故选：B． 【考点评析】本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 【训练2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6， （1）画出△BCD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段CD长的取值范围． 【思路点拨】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的三边关系求解即可． 【规范解答】解：（1）所画图形如下所示： △ADE就是所作的图形． （2）由（1）知：△ADE≌△BDC， 则CD＝DE，AE＝BC， ∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC， ∴2＜2CD＜10， 解得：1＜CD＜5． 【考点评析】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解． 重点难点考点讲练11:关于原点对称的点的坐标 【例题精讲】（2024春•迁安市期中）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校A（5，3），体育馆B（﹣3，﹣2），火车站O为坐标原点，文化馆C与体育馆B关于x轴对称，超市D与点B关于原点对称． （1）请在图中建立平面直角坐标系，并标出点O、C的位置； （2）直接写出点D的坐标； （3）小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆E． ①在图中标出点E，并写出点E的坐标 　（2，﹣3）　 ； ②连接B、O、E，则△OBE的面积是 　　 ． 【思路点拨】（1）根据点的坐标画出图，描出点即可； （2）根据B（﹣3，﹣2），超市D与点B关于原点对称即可得出D点坐标； （3）①先在图上描出E点，再写出坐标即可；②用割补法求其面积，见详解． 【规范解答】解：（1）如图建立平面直角坐标系，点O，C的位置如图所示； （2）∵B（﹣3，﹣2），超市D与点B关于原点对称， ∴D（3，2）； （3）①点E位置如图所示，点E的坐标为（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）； ②△OBE的面积为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查用坐标表示位置，正确进行计算是解题关键． 【训练1】（2024秋•津南区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于原点O成中心对称的点的坐标为 　（2，﹣3）　 ． 【思路点拨】关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，据此解答即可． 【规范解答】解：点A（﹣2，3）关于坐标原点O中心对称的点的坐标为（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【考点评析】本题考查了关于原点成中心对称的点坐标特点，熟知关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，是解题的关键． 【训练2】（2023春•开江县校级期中）已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【思路点拨】设点P（a，b），由点P与第二象限内的点Q关于原点对称可得点P在第四象限，进而得到a＞0，b＜0；再由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3可得|a|＝3，|b|＝2，再求解即可． 【规范解答】解：设点P（a，b）， ∵点P与第二象限内的点Q关于原点对称， ∴点P在第四象限， ∴a＞0，b＜0， ∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴点P的坐标为（3，﹣2）， 故选：A． 【考点评析】本题主要是点关于原点对称的点的坐标问题，求解本题的关键是熟悉点关于原点对称的点的坐标特点． 重点难点考点讲练12:作图-旋转变换 【例题精讲】（2024春•天元区期中）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（不写作法）； （2）作出△ABC关于原点对称的△A2B2C2并写出点C2的坐标（不写作法）； （3）求△A2B2C2的面积． 【思路点拨】（1）先利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可． （3）长方形的面积﹣四个直角三角形的面积． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标分别为（1，﹣2）． （3）△A2B2C2的面积＝3×26﹣4＝2． 【考点评析】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【训练1】（2023春•太原期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标； （2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，不画图直接写出顶点B2，C2的坐标； （3）画出△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的△A3B3C3，写出△A3B3C3的顶点A3的坐标． 【思路点拨】（1）由点C的对应点C1的坐标得出平移的方向和距离，据此可得； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数可得； （3）将三角形三顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转90°得到对应点，据此可得． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作， 因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0）， 所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1， 所以点A1的坐标为（2，2）； （2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形， 所以B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）； （3）如图，△A3B3C3为所作，A3（5，3）． 【考点评析】本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键． 【训练2】（2024春•南山区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2）． （1）画出△ABC关于原点中心对称的图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C请画出A2B2C； （3）连接B2A1并直接写出线段B2A1的长． 【思路点拨】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出A、B、C关于x轴的对称点，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C，然后利用勾股定理计算线段B2A1的长． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C为所作， （3）线段B2A1的长． 【考点评析】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 重点难点考点讲练13:利用旋转设计图案 【例题精讲】（2024春•金沙县期中）如图1是由4个全等的正方形组成的“L”型图形，请你分别在图2、图3中按下列要求画图． （1）给图2中的“L”型图形添加1个相同的正方形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）改变图1中“L”型图形的其中1个正方形的位置，从而得到一个新的图形，使新图形既是中心对称图形又是轴对称图形，请在图3中画出改变后的图形. 【思路点拨】（1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形，轴对称图形的定义画出图形即可． 【规范解答】解：（1）图形如图2所示； （2）图形如图3所示． 【考点评析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义． 【训练1】（2024春•江北区期中）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． （1）在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【思路点拨】（1）根据轴对称图形的定义画出图形（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形（答案不唯一）． 【规范解答】解：（1）图形如图①所示（答案不唯一）； （2）图形如图②所示（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查作图﹣利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的性质． 【训练2】（2024春•武侯区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0），解答下列问题： （1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）在其他格点位置添知一个点P，使A，B、C，P四个点为顶点的四边形成为一个轴对称图形，且对称轴为x轴，请在图中画出该图形，此时点P的坐标为 　（﹣1，﹣3）　 ； （3）在x轴下方添加一个点Q，使A，B、C，Q四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点Q的坐标为 　（﹣3，﹣3）　 （直接写出）． 【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）根据轴对称变换的性质作出点P，写出坐标即可； （3）根据中心对称变换的性质作出点Q，写出坐标即可． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求； （2）如图，点P即为所求，P（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）； （3）如图，点Q即为所求，Q（﹣3，﹣3）． 【考点评析】本题考查作图﹣利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，轴对称变换，中心对称变换的性质． 重点难点考点讲练14:几何变换的类型 【例题精讲】（2024春•中原区校级期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（　　） ①△DEF可由△ABC沿AD方向平移一定的距离得到； ②△DEF可由△BAC绕点N顺时针旋转一定的角度得到； ③△DEF可由△BCA沿直线MN翻折得到； ④△DEF不可由△BCA通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据题中所给变换方式，依次进行判断即可解决问题． 【规范解答】解：将△DEF沿AD方向平移时， 当DE与BC重合时，其它的两边无法重合． 故①中的说法错误． 连接AN，EN，BN，DN，CN，FN， 因为∠ANE＝∠CNF＝∠BND＝90°，且AN＝EN，CN＝FN，BN＝DN， 所以△DEF可由△ABC绕点N顺时针旋转90°得到． 故②中的说法正确． 显然△ABC和△DEF关于直线MN对称， 所以△DEF可由△BCA沿直线MN翻折得到． 故③中的说法正确． 由②③中的说法正确可知， △DEF可由△ABC通过一次变换得到． 故④中的说法错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查几何变换的类型及全等图形，熟知图形平移、旋转和翻折的性质是解题的关键． 【训练1】（2021春•贺兰县期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： （1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？ （2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？ 【思路点拨】（1）根据旋转变换的定义判断即可． （2）根据旋转变换的性质解决问题即可 【规范解答】解：（1）△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF．这里是旋转变换． （2）BE＝DF．理由： 因为△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 后得到△ADF，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，所以 BE＝DF． 【考点评析】本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【训练2】（2019春•叶县期中）如图，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边三角形AOC的顶点A、O都在x轴上，顶点C在第二象限内，△AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　2　 个长度单位；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　y轴　 ；△AOC绕原点O顺时针方向旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　120　 度． （2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数． 【思路点拨】（1）直接利用平移的定义求解即可； （2）根据△AOC和△DOB是能够重合的等边三角形得到AO＝DO，然后利用∠AOC＝∠COD＝60°得到OE⊥AD，从而得到∠AEO＝90°． 【规范解答】解：（1）△AOC沿数轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度至少是120°度， 故答案为：2；y轴；120； （2）∵△AOC和△DOB是能够重合的等边三角形， ∴AO＝DO，∠AOC＝∠COD＝60°， ∴OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°． 【考点评析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质． 1．（2024春•沿河县期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据中心图形的概念求解即可． 【规范解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； D、是中心对称图形，本选项正确，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 2．（2024春•榆次区期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上．如果EA⊥BC，则∠E的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【思路点拨】延长EA交EA于F，根据旋转的性质求得AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝140°，进而可求得∠ADE＝∠ABD＝20°，则可求得∠FDE＝40°，再利用直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：延长EA交EA于F，如图： ∵EA⊥BC， ∴EF⊥BD， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝140°， ∴， ∴∠ADE＝∠ABD＝20°， ∴∠FDE＝2∠ADE＝40°， ∴∠E＝90°﹣∠FDE＝50°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3．（2024秋•台州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【思路点拨】在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论． 【规范解答】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠CAQ＝∠EAP， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小， 即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP， 在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝4， ∵AE＝AC＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝2， 在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2， ∴EFBE， 故线段CQ长度最小值是， 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 4．（2024春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 　　 ． 【思路点拨】延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，可以证明△ABD为等边三角形，结合△BCC'为等边三角形可用“SAS”证明△DBC≌△ABC'，从而S△DBC＝S△C'AB．过点B作BE⊥AD于点E，由三角函数可求BE，又CD＝AD﹣AC，故S△DBC可求，即可得△ABC′的面积． 【规范解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图， ∵∠CAB＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′， ∴△BCC'为等边三角形， ∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°， ∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC， 即∠DBC＝∠ABC'． 在△DBC和△ABC'中， ， ∴△DBC≌△ABC'（SAS）． ∴S△DBC＝S△C'AB， 过点B作BE⊥AD于点E， ∴BE＝AB•sin60°＝105，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4， ∴S△DBC10， ∴S△C'AB＝10． 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，构造等边三角形ABD，证明△DBC≌△ABC'是解决本题的关键． 5．（2024春•榆林期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，E是线段AD上一点，连接CE，在平面内将线段CE绕点E逆时针旋转80°得到线段EF，连接BF、CF，则∠CBF的度数为 　40°　 ． 【思路点拨】连接BE，如图，先根据旋转的性质得到EF＝EC，∠CEF＝80°，则利用三角形内角和定理得到∠EFC+ECF＝100°，再根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，则EB＝EC，所以∠EBC＝∠ECB，同理可得∠EFB＝∠EBF，则∠EFB+∠ECB＝∠CBF，然后利用三角形内角和定理可求出∠CBF的度数． 【规范解答】解：连接BE，如图， ∵线段CE绕点E逆时针旋转80°得到线段EF， ∴EF＝EC，∠CEF＝80°， ∴∠EFC+ECF＝180°﹣80°＝100°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵EF＝EC＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF， ∴∠EFB+∠ECB＝∠EBF+∠EBC＝∠CBF， ∵∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°， ∴∠CBF+∠CBF+100°＝180°， 解得∠CBF＝40°． 故答案为：40°． 【考点评析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 6．（2024春•萧县期中）如图，D是等边△ABC外一点，AD＝3，CD＝2，BD的最大值是 　5　 ，此时△ABC的面积为 　　 ． 【思路点拨】以CD为边作等边△DCE，连接AE．利用全等三角形的性质证明BD＝AE，利用三角形的三边关系即可解决问题；当BD取最大值时，则点A、D、E三点共线，过点A作AF⊥CE，交CE延长线于F，过点B作BG⊥AC于G，利用等边三角形性质和勾股定理求出AC、BG长，然后利用三我面积公式求解即可． 【规范解答】解：以CD为边作等边△DCE，连接AE． ∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE， 在△ADE中， ∵AD＝3，DE＝CD＝2， ∴AE≤AD+DE， ∴AE≤5， 当点A、D、E三点共线时，AE最大， ∴AE的最大值为5， ∴BD的最大值为5． 当BD取最大值时，则点A、D、E三点共线，如图， 过点A作AF⊥CE，交CE延长线于F，过点B作BG⊥AC于G， ∵等边△DCE， ∴∠AEF＝60°，CE＝CD＝2， ∴∠EAF＝30°， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∵等边△ABC，BG⊥AC， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5；． 【考点评析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短，勾股定理．求得当BD取最大值时，则点A、D、E三点共线是解题的关键． 7．（2024春•砀山县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点P是在△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'B'．若点C，P，P'，B'恰好在同一直线上，则PA+PB+PC＝　3　 ． 【思路点拨】连接BB′，利用旋转的性质得△APB≌△AP′B′，则△ABB′是等边三角形，则BB′＝AB＝6，在Rt△ABC中，利用含30°的直角三角形中可求BC的长，然后在Rt△CBB′中，根据勾股定理即可得出答案． 【规范解答】解：连接BB′， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6， ∴AC＝3，BC＝3， ∵将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B′， ∴△APB≌△AP′B′，△APP′是等边三角形，△ABB′是等边三角形， ∴PP′＝AP，PB＝P′B′，BB′＝AB＝6，∠ABB′＝60°， ∴∠CBB′＝∠ABB′+∠ABC＝90°， 若点C，P，P′，B′恰好在同一直线上， 在Rt△CBB′中，CB′3， ∴PA+PB+PC＝CB′＝3． 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加正确的辅助线是解题的关键． 8．（2024春•榆阳区期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小：∠ABD＝　30°α　 （用含α的式子表示） （2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明． 【思路点拨】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案； （2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD∠BACα，求出∠BECα＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可． 【规范解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝90°α， ∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°， 即∠ABD＝30°α； （2）△ABE是等边三角形， 证明：连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD， 则BC＝BD，∠DBC＝60°， ∵∠ABE＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°α，且△BCD为等边三角形， 在△ABD与△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD∠BACα， ∵∠BCE＝150°， ∴∠BEC＝180°﹣（30°α）﹣150°α＝∠BAD， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（AAS）， ∴AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等． 9．（2024春•临渭区期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　BD2+CE2＝DE2　 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 【思路点拨】（1）将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，可证△AEC≌△AFB，故BF＝CE，旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，因为△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠FAB＝45°，从而可得∠FAD＝90°，在Rt△FBD中，由勾股定理得线段BD、DE、CE之间的等量关系式； （2）方法同（2），由∠ADE＝45°可得∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，斜边BF＝CE，直角边DF＝DE，由勾股定理建立等量关系． 【规范解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2； 理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB， ∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE ∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°， 故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°， 易证△AFD≌△AED，故FD＝DE， 在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2； 即：BD2+CE2＝DE2． （2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB， 故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°， 在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2， ∴CE2＝BD2+DE2． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用． 10．（2021春•运城期中）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　5或17　 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第　11或23　 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果） 【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理可得∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO，代入数据计算即可得解； （2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； （3）①分CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可；②分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解． 【规范解答】解：（1）在△CEN中， ∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO ＝180°﹣45°﹣30° ＝105°； （2）∵OD平分∠MON， ∴∠DON∠MPN90°＝45°， ∴∠DON＝∠D＝45°， ∴CD∥AB， ∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°； （3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠OFD＝∠M＝60°， 在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD， ＝180°﹣45°﹣60°， ＝75°， ∴旋转角为75°， t＝75°÷15°＝5秒； CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠DFO＝∠M＝60°， 在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴旋转角为75°+180°＝255°， t＝255°÷15°＝17秒； 综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行； 如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G， ∵CD⊥MN， ∴∠NGC＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CON＝∠NGC﹣∠OCD＝60°﹣45°＝15°， ∴旋转角为180°﹣∠CON＝180°﹣15°＝165°， t＝165°÷15°＝11秒， CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G， ∵CD⊥MN， ∴∠NGD＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOC＝∠NGD﹣∠C＝60°﹣45°＝15°， ∴旋转角为360°﹣∠AOC＝360°﹣15°＝345°， t＝345°÷15°＝23秒， 综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直． 故答案为：5或17；11或23． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第3章 图形的平移与旋转 （知识梳理+易错点拨+14个重难点考点讲练+压轴题专练 共52题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：平移变换 2 知识点梳理02：旋转变换 3 知识点梳理03：中心对称与图案设计 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：图形的平移易错知识点 5 易错知识点02：图形的旋转易错知识点 5 易错知识点03：图形的平移与旋转综合应用易错知识点 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:生活中的平移现象 6 重点难点考点讲练02:平移的性质 7 重点难点考点讲练03:坐标与图形变化-平移 8 重点难点考点讲练04:作图-平移变换 9 重点难点考点讲练05:利用平移设计图案 11 重点难点考点讲练06:生活中的旋转现象 12 重点难点考点讲练07:旋转的性质 13 重点难点考点讲练08:旋转对称图形 14 重点难点考点讲练09:中心对称 15 重点难点考点讲练10:中心对称图形 17 重点难点考点讲练11:关于原点对称的点的坐标 18 重点难点考点讲练12:作图-旋转变换 19 重点难点考点讲练13:利用旋转设计图案 20 重点难点考点讲练14:几何变换的类型 22 压轴专练 拔尖冲刺 23 知识点梳理01：平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点剖析】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点剖析】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点剖析】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点梳理02：旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点剖析】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点梳理03：中心对称与图案设计 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点剖析】中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点剖析】中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 易错知识点01：图形的平移易错知识点 1. 平移方向与距离的理解错误： 错误理解：学生可能错误地认为平移只能沿坐标轴方向（即水平或垂直方向）进行，或者混淆平移的方向和距离。 正确理解：平移可以是任意方向的直线移动，距离是图形上每一点沿平移方向移动的相同长度。 2. 平移后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为平移会改变图形的形状、大小或方向。 正确理解：平移是一种刚性变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 3. 平移作图错误： 错误作图：在平移图形时，学生可能错误地移动图形的某些部分，而不是整体移动，或者没有保持图形内部各点间的相对位置不变。 正确作图：平移图形时，应确保图形上每一点都沿同一方向移动相同距离，保持图形内部各点间的相对位置不变。 易错知识点02：图形的旋转易错知识点 1. 旋转中心与角度的确定错误： 错误确定：学生可能错误地确定旋转中心，或者混淆旋转的角度（如顺时针和逆时针）。 正确确定：旋转中心是图形旋转时固定不动的点，旋转角度是图形绕旋转中心旋转的度数，应明确是顺时针还是逆时针旋转。 2. 旋转后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为旋转会改变图形的形状或大小。 正确理解：旋转是一种刚性变换，它只改变图形的方向，不改变图形的形状和大小。 3. 旋转作图错误： 错误作图：在旋转图形时，学生可能错误地旋转图形的某些部分，而不是整体旋转，或者没有保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 正确作图：旋转图形时，应确保图形上每一点都绕旋转中心旋转相同角度，保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 易错知识点03：图形的平移与旋转综合应用易错知识点 1. 变换顺序的混淆： 错误混淆：在进行平移和旋转的综合变换时，学生可能混淆变换的顺序，导致最终图形位置或方向错误。 正确顺序：在进行综合变换时，应明确每种变换的顺序，因为不同的顺序可能导致不同的结果。 2. 忽视图形变换的限制条件： 错误忽视：在进行图形变换时，学生可能忽视题目中的限制条件（如只能在网格线上平移、旋转角度必须是90倍数等）。 正确注意：在进行图形变换时，应仔细阅读题目，注意题目中的限制条件，确保变换后的图形符合题目要求。 3. 变换后图形位置的确定错误： 错误确定：在进行平移和旋转的综合变换后，学生可能错误地确定变换后图形的位置。 正确确定：在进行综合变换后，应通过作图或计算等方法准确确定变换后图形的位置。 重点难点考点讲练01:生活中的平移现象 【例题精讲】（2024春•仓山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF若四边形ECDF为菱形时，则a值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（2021春•饶平县校级期中）下列各图中，能够通过图①平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2023春•太原期中）如图所示的是一块矩形ABCD的场地，AB＝102m，AD＝51m，从A，B两地入口的路宽都为1m，两小路汇合处的路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 　 　 m2． 重点难点考点讲练02:平移的性质 【例题精讲】（2024春•运城期中）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若AA′＝3cm，B′C＝4cm，则BC′的长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【训练1】（2024春•城关区校级期中）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（如图）．因为在平面AA′C′C′中，CC′∥AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的△BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角． 解决问题 如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，则既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【训练2】（2022春•兰州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF． （1）试求出∠E的度数； （2）若AE＝9cm，DB＝2cm．请求出CF的长度． 重点难点考点讲练03:坐标与图形变化-平移 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【训练1】（2024春•凉州区校级期中）将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 ． 【训练2】（2024春•河东区校级期中）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）． （1）填空：点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 ； （2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 重点难点考点讲练04:作图-平移变换 【例题精讲】（2024春•泗县期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（﹣2，1）． （1）点C的坐标是 　（1，﹣2）　 ； （2）将三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1，请画出三角形A1B1C1； （3）在（2）的条件下，若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P′的坐标为 　 　 ． 【训练1】（2024春•山亭区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（﹣3，1）、B（﹣4，﹣1）、C（0，2），△ABC经一次平移后得到△DEF，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，其中D的坐标为（﹣1，﹣2）． （1）平移的距离为 　 ； （2）请画出平移后的△DEF； （3）若P（a，b）为△ABC边上的一个点，平移后点P的对应点Q的坐标为 　 ； （4）平移过程中，边AB扫过的面积为 　　 ． 【训练2】（2024春•龙岗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2.1），C（﹣1，3）． （1）若△ABC经过平移后得到△ABC，已知点C1的坐标为（2，3），画出平移后的图形△A1B1C1． （2）求△A1B1C1的面积． （3）若点P是x轴上的一个动点，则PB+PC1的最小值为 　 ，此时点P的坐标为 　 　 ． 重点难点考点讲练05:利用平移设计图案 【例题精讲】（2024春•沙坡头区校级期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（　　） A．1cm B．2cm C． D． 【训练1】（2024春•桥西区期中）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 　　 ． 【训练2】（2024春•黎川县期中）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用有理数加法表示为3+（﹣2）＝1． 若坐标平面上的点做如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d} 解决问题： （1）计算：{3，1}+{1，﹣2}； （2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是B吗？在图1中画出四边形OABC． （3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 重点难点考点讲练06:生活中的旋转现象 【例题精讲】（2021春•历下区期中）如图是一个装饰灯，每绕对称中心顺时针旋转90度就闪烁一次，此图为第一次闪烁，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•渭滨区期中）如图所示，在正方形网格中，图①经过　 　 变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点　　 （填“A”或“B”或“C”）． 【训练2】（2024春•城关区校级期中）我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方B处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所转动的角度是 　 度． 重点难点考点讲练07:旋转的性质 【例题精讲】（2024春•黑山县期中）如图，P是∠AOB平分线上一点，OP＝12，∠AOB＝120°，在绕点P旋转的过程中始终保持∠MPN＝60°不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①△PMN是等边三角形；②MN的值不变；③OM+ON＝12；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2024春•青岛期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　 ． 【训练2】（2023秋•椒江区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 重点难点考点讲练08:旋转对称图形 【例题精讲】（2022春•南海区校级期中）如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转 度，可与其自身重合． 【训练1】（2022春•宜兴市校级期中）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2024春•薛城区期中）如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°； （1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数． 重点难点考点讲练09:中心对称 【例题精讲】（2024春•英德市期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【训练1】（2024秋•林州市期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　12　 ． 【训练2】（2024春•电白区期中）综合探究： 在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB． （1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边BC上，，求CE的长． 重点难点考点讲练10:中心对称图形 【例题精讲】（2024春•沿河县期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•宁海县校级期中）北京时间2023年10月26日顺利进驻空间站组合体以来，神舟十七号航天员乘组已在轨工作生活54天，为期6个月的飞天之旅已完成近三分之一，将于近日择机实施第一次出舱活动．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6， （1）画出△BCD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段CD长的取值范围． 重点难点考点讲练11:关于原点对称的点的坐标 【例题精讲】（2024春•迁安市期中）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校A（5，3），体育馆B（﹣3，﹣2），火车站O为坐标原点，文化馆C与体育馆B关于x轴对称，超市D与点B关于原点对称． （1）请在图中建立平面直角坐标系，并标出点O、C的位置； （2）直接写出点D的坐标； （3）小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆E． ①在图中标出点E，并写出点E的坐标 　 　 ； ②连接B、O、E，则△OBE的面积是 　　 ． 【训练1】（2024秋•津南区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于原点O成中心对称的点的坐标为 　 　 ． 【训练2】（2023春•开江县校级期中）已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 重点难点考点讲练12:作图-旋转变换 【例题精讲】（2024春•天元区期中）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（不写作法）； （2）作出△ABC关于原点对称的△A2B2C2并写出点C2的坐标（不写作法）； （3）求△A2B2C2的面积． 【训练1】（2023春•太原期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标； （2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，不画图直接写出顶点B2，C2的坐标； （3）画出△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的△A3B3C3，写出△A3B3C3的顶点A3的坐标． 【训练2】（2024春•南山区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2）． （1）画出△ABC关于原点中心对称的图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C请画出A2B2C； （3）连接B2A1并直接写出线段B2A1的长． 重点难点考点讲练13:利用旋转设计图案 【例题精讲】（2024春•金沙县期中）如图1是由4个全等的正方形组成的“L”型图形，请你分别在图2、图3中按下列要求画图． （1）给图2中的“L”型图形添加1个相同的正方形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）改变图1中“L”型图形的其中1个正方形的位置，从而得到一个新的图形，使新图形既是中心对称图形又是轴对称图形，请在图3中画出改变后的图形. 【训练1】（2024春•江北区期中）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． （1）在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【训练2】（2024春•武侯区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0），解答下列问题： （1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）在其他格点位置添知一个点P，使A，B、C，P四个点为顶点的四边形成为一个轴对称图形，且对称轴为x轴，请在图中画出该图形，此时点P的坐标为 　 ； （3）在x轴下方添加一个点Q，使A，B、C，Q四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点Q的坐标为 　 　 （直接写出）． 重点难点考点讲练14:几何变换的类型 【例题精讲】（2024春•中原区校级期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（　　） ①△DEF可由△ABC沿AD方向平移一定的距离得到； ②△DEF可由△BAC绕点N顺时针旋转一定的角度得到； ③△DEF可由△BCA沿直线MN翻折得到； ④△DEF不可由△BCA通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2021春•贺兰县期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： （1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？ （2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？ 【训练2】（2019春•叶县期中）如图，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边三角形AOC的顶点A、O都在x轴上，顶点C在第二象限内，△AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　　 个长度单位；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 ；△AOC绕原点O顺时针方向旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度． （2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数． 1．（2024春•沿河县期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•榆次区期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上．如果EA⊥BC，则∠E的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 3．（2024秋•台州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 4．（2024春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 　 ． 5．（2024春•榆林期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，E是线段AD上一点，连接CE，在平面内将线段CE绕点E逆时针旋转80°得到线段EF，连接BF、CF，则∠CBF的度数为 　　 ． 6．（2024春•萧县期中）如图，D是等边△ABC外一点，AD＝3，CD＝2，BD的最大值是 　5　 ，此时△ABC的面积为 　　 ． 7．（2024春•砀山县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点P是在△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'B'．若点C，P，P'，B'恰好在同一直线上，则PA+PB+PC＝　　 ． 8．（2024春•榆阳区期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小：∠ABD＝　　 （用含α的式子表示） （2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明． 9．（2024春•临渭区期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 10．（2021春•运城期中）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第　 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$