第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组（思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共49题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 （知识梳理+易错点拨+13个重难点考点讲练+压轴题专练 共49题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：不等式 2 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：一元一次不等式 5 易错知识点02：一元一次不等式组 5 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:不等式的定义 6 重点难点考点讲练02:不等式的性质 6 重点难点考点讲练03:不等式的解集 7 重点难点考点讲练04:在数轴上表示不等式的解集 7 重点难点考点讲练05:一元一次不等式的定义 8 重点难点考点讲练06:解一元一次不等式 8 重点难点考点讲练07:一元一次不等式的整数解 8 重点难点考点讲练08:由实际问题抽象出一元一次不等式 9 重点难点考点讲练09:一元一次不等式的应用 10 重点难点考点讲练10:解一元一次不等式组 10 重点难点考点讲练11:一元一次不等式组的整数解 11 重点难点考点讲练12:一元一次不等式组的应用 12 重点难点考点讲练13:一次函数与一元一次不等式 14 压轴专练 拔尖冲刺 16 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 易错知识点01：一元一次不等式 1. 不等式的性质理解不清： 错误理解：例如，对于不等式 a > b，错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 正确理解：不等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 2. 不等式的解集表示错误： 错误表示：在表示不等式的解集时，错误地使用等号或遗漏解集的范围。 正确表示： x >3. 3.解不等式的步骤混淆： 步骤混淆：在解不等式时，混淆去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的顺序或方法。 正确步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序逐步求解。 4. 忽视不等式的定义域： 忽视定义域：在解不等式时，忽视题目中给出的变量的定义域限制。 注意定义域：在解不等式前，应首先明确变量的定义域，并在求解过程中始终考虑这一限制。 易错知识点02：一元一次不等式组 1. 不等式组的解集求解错误： 错误求解：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，导致解集求解错误。 正确求解：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的解集。 2. 忽视不等式组的解集范围： 忽视范围：在求解不等式组后，忽视解集的范围限制，导致答案错误。 注意范围：在求解不等式组后，应仔细检查解集是否满足题目中的所有条件，包括变量的定义域和其他限制条件。 3. 不等式组与方程组的混淆： 混淆概念：将不等式组与方程组的概念混淆，导致求解方法错误。 区分概念：明确不等式组和方程组的不同之处，不等式组是由多个不等式组成，而方程组是由多个方程组成。在求解时，应分别采用相应的方法。 4. 解集表示方法错误： 错误表示：在表示不等式组的解集时，错误地使用并集、交集等符号，或遗漏解集的部分范围。 正确表示：使用正确的符号表示不等式组的解集 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 1. 应用问题建模错误： 建模错误：在将实际问题抽象为一元一次不等式或不等式组时，错误地理解题意或遗漏关键信息。 正确建模：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的不等关系，并准确地将其抽象为一元一次不等式或不等式组。 2. 解集的实际意义理解不清： 理解不清：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 理解实际意义：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等，并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 3. 答案表述不准确： 表述不准确：在给出答案时，表述不准确或遗漏重要信息。 准确表述：在给出答案时，应准确、清晰地表述解题过程和结果，包括不等式的建立、求解过程、解集的范围以及解集的实际意义等。 重点难点考点讲练01:不等式的定义 【例题精讲】（2023春•龙川县校级期中）下列式子中，是不等式的有（　　） ①2x＝7；②2x+3；③﹣2＜2；④5a﹣3≥0；⑤x≠1；⑥m﹣n＞8． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【训练1】（2024春•临渭区期中）下列各式中，是不等式的是（　　） A．2x＝7 B．﹣2x＞5 C．4﹣2x D．x+y＝1 【训练2】（2023春•云岩区校级期中）用适当的符号表示下列关系：a是正数 ． 重点难点考点讲练02:不等式的性质 【例题精讲】（2024春•榆次区期中）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y 【训练1】（2023春•和平区校级期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）2a＞2b；（3）ac2＞bc2；（4），一定能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（2023春•电白区期中）若a＜b，下列各式中错误的是（　　） A．a+6＜b+6 B． C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b 重点难点考点讲练03:不等式的解集 【例题精讲】（2021春•吉安期中）关于x的不等式m﹣x＞1的解集是x＜4，则m的值为　　 ． 【训练1】（2024春•永寿县期中）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x，则a的取值范围为　　 ． 【训练2】（2021春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 重点难点考点讲练04:在数轴上表示不等式的解集 【例题精讲】（2024春•宁化县期中）如图所示是一个关于x的一元一次不等式的解集，则该解集是　 ． 【训练1】（2024春•安次区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解． （1）求m的值； （2）若x的取值范围如图所示，求y的正整数值． 【训练2】（2023春•安源区期中）解不等式x，并把它的解集在数轴上表示出来． 重点难点考点讲练05:一元一次不等式的定义 【例题精讲】（2024春•西安期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣3＞0 B．5＞﹣2 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＝y 【训练1】（2024秋•金牛区校级期中）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 ． 【训练2】（2023春•蕉岭县期中）若不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　　 ． 重点难点考点讲练06:解一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•金沙县期中）规定：min{m，n}表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），例如：min{4，5}＝4．若min2，则x的取值范围是（　　） A．x＜7 B．x＞9 C．x＜9 D．x＞7 【训练1】（2024春•成都校级期中）若关于x的不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围 　 ． 【训练2】（2022春•景泰县校级期中）若方程组的解是正数，求 （1）a的取值范围； （2）化简绝对值|a+3|+|a﹣6| 重点难点考点讲练07:一元一次不等式的整数解 【例题精讲】（2024春•黑山县期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式3⊕x＜13的最小整数解为 　　 ． 【训练1】（2024春•双流区校级期中）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.24]＝3，[﹣6.17]＝﹣7，则满足关系式3的x的整数值有 　　 个． 【训练2】（2018春•鄄城县期中）若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求4a的值． 重点难点考点讲练08:由实际问题抽象出一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•新津区校级期中）小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700 C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7 【训练1】（2024春•顺德区期中）一辆匀速行驶的汽车需在2小时内到达距离50千米的A地，设车速x km/h，则可列出关于x的一元一次不等式为 　 ． 【训练2】（2023春•寿阳县期中）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下： 小强：x+　 　 ＜9，小刚：0.5x+　 　 ＜9． （1）小强同学所列的不等式中，x表示的是 　1元　 硬币的枚数；小刚同学所列的不等式中，x表示的是 　 　 硬币的枚数； （2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式； （3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币． 重点难点考点讲练09:一元一次不等式的应用 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【训练1】（2024春•榆次区期中）阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于20%．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按　　 折销售． 【训练2】（2023春•茂南区校级期中）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？ （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 重点难点考点讲练10:解一元一次不等式组 【例题精讲】（2024春•东阿县期中）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　） A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7 【训练1】（2008春•福鼎市校级期中）解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来． （1） （2）． 【训练2】（2022春•惠来县期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：对于（x﹣2）（x﹣4）＞0，这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析： 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得①②从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即： 解不等式组①得x＞4，解不等式组②得x＜2 所以，（x﹣2）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜2 请利用上述解题思想解决下面的问题： （1）请直接写出（x﹣2）（x﹣4）＜0的解集． （2）对于，请根据除法法则化为我们学过的不等式（组）． （3）求不等式的解集． 重点难点考点讲练11:一元一次不等式组的整数解 【例题精讲】（2024春•大渡口区校级期中）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【训练1】（2024春•鼓楼区校级期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣8＝0；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是 　　 ；（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围． 【训练2】（2024春•榕城区期中）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，求a的取值范围． 重点难点考点讲练12:一元一次不等式组的应用 【例题精讲】（2024春•中站区期中）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．21人 B．22人 C．23人 D．24人 【训练1】（2024春•永济市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 计算机编程语言是指用于人与计算机之间通信的语言，是人与计算机之间传递信息的媒介．因为它是用来进行程序设计的，所以又称为程序设计语言或者编程语言． 如图所示的某运算程序语言中，可描述为如果输出结果小于37，就把该输出结果作为输入的数再进行二次计算，直到符合要求（结果不小于37）为止例如：当x＝20时，20x5+2＝102＞37．所以输出结果为102；当x＝5时，5×5+2＝27＜37．再把x＝27代入，得27×5+2＝137＞37．所以输出结果为137． 任务： （1）当x＝10时，输出结果为 　　 ；当x＝2时，输出结果为 　　 ． （2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围． 【训练2】（2024春•高新区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A、B两款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元． （1）公司预计用不多于135万元且不少于129万元的资金购进这两款汽车共20辆，有几种进货方案，它们分别是什么？ （2）如果A款汽车每辆售价为9万元，B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（1）中所有的方案获利相同，a值应是多少，此种方案是什么？（提示：可设购进B款汽车x辆） 重点难点考点讲练13:一次函数与一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•蕉城区期中）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 【训练1】（2024春•榆阳区期中）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 　 　 ． 【训练2】（2024春•长清区期中）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组﹣1≤﹣|x|+3≤2的解集： 首先令y＝﹣|x|+3，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 　﹣1　 　0　 　1　 　2　 　3　 　2　 　1　 　0　 　﹣1　 … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若P（a，b），Q（5，b）为该函数图象上不同的两点，则a＝　　 ； （3）观察图象，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是 　 ； 【拓展运用】 函数y＝|x|的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数y＝|x|的图象所围成的图形面积． 1．（2024春•市中区校级期中）如图，直线y1＝2x与直线y2＝kx+b（k≠0）相交于点P（a，2），则关于x的不等式2x≤kx+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 2．（2024春•丹江口市期中）一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一坐标系中的图象如图所示，则下列结论： ①它们的交点在直线x＝1上； ②a+b＞0； ③不等式ax+b＞bx+a的解集为x＞1； ④它们与x轴围成的三角形的面积为． 其中，正确的序号是（　　） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 3．（2024春•南山区校级期中）关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024春•榆次区期中）如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点M（1，2），则关于x的不等式2x＞kx+b的解集是 　 ． 5．（2024春•吉安期中）若不等式组的解为x≥m，则m的取值范围是 　 ． 6．（2021春•奉化区校级期中）我校为组织八年级的234名同学去看电影，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．他们共租了 　　 辆公共汽车． 7．（2024春•单县期中）阅读材料： 解分式不等式． 解：根据实数的除法法则，同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①，②． 解不等式组①，得：x＞3． 解不等式组②，得：x＜﹣2． 所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 请仿照上述方法解分式不等式：0． 8．（2022春•澧县期中）哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？ 9．（2023春•射洪市校级期中）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表： 品名 价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 20 30 售价（元/袋） 25 36 （1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ （2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？ 10．（2021春•东明县期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ （3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 （知识梳理+易错点拨+13个重难点考点讲练+压轴题专练 共49题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：不等式 2 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：一元一次不等式 5 易错知识点02：一元一次不等式组 5 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:不等式的定义 6 重点难点考点讲练02:不等式的性质 7 重点难点考点讲练03:不等式的解集 9 重点难点考点讲练04:在数轴上表示不等式的解集 10 重点难点考点讲练05:一元一次不等式的定义 12 重点难点考点讲练06:解一元一次不等式 12 重点难点考点讲练07:一元一次不等式的整数解 14 重点难点考点讲练08:由实际问题抽象出一元一次不等式 15 重点难点考点讲练09:一元一次不等式的应用 17 重点难点考点讲练10:解一元一次不等式组 18 重点难点考点讲练11:一元一次不等式组的整数解 21 重点难点考点讲练12:一元一次不等式组的应用 24 重点难点考点讲练13:一次函数与一元一次不等式 26 压轴专练 拔尖冲刺 30 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 易错知识点01：一元一次不等式 1. 不等式的性质理解不清： 错误理解：例如，对于不等式 a > b，错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 正确理解：不等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 2. 不等式的解集表示错误： 错误表示：在表示不等式的解集时，错误地使用等号或遗漏解集的范围。 正确表示： x >3. 3.解不等式的步骤混淆： 步骤混淆：在解不等式时，混淆去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的顺序或方法。 正确步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序逐步求解。 4. 忽视不等式的定义域： 忽视定义域：在解不等式时，忽视题目中给出的变量的定义域限制。 注意定义域：在解不等式前，应首先明确变量的定义域，并在求解过程中始终考虑这一限制。 易错知识点02：一元一次不等式组 1. 不等式组的解集求解错误： 错误求解：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，导致解集求解错误。 正确求解：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的解集。 2. 忽视不等式组的解集范围： 忽视范围：在求解不等式组后，忽视解集的范围限制，导致答案错误。 注意范围：在求解不等式组后，应仔细检查解集是否满足题目中的所有条件，包括变量的定义域和其他限制条件。 3. 不等式组与方程组的混淆： 混淆概念：将不等式组与方程组的概念混淆，导致求解方法错误。 区分概念：明确不等式组和方程组的不同之处，不等式组是由多个不等式组成，而方程组是由多个方程组成。在求解时，应分别采用相应的方法。 4. 解集表示方法错误： 错误表示：在表示不等式组的解集时，错误地使用并集、交集等符号，或遗漏解集的部分范围。 正确表示：使用正确的符号表示不等式组的解集 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 1. 应用问题建模错误： 建模错误：在将实际问题抽象为一元一次不等式或不等式组时，错误地理解题意或遗漏关键信息。 正确建模：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的不等关系，并准确地将其抽象为一元一次不等式或不等式组。 2. 解集的实际意义理解不清： 理解不清：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 理解实际意义：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等，并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 3. 答案表述不准确： 表述不准确：在给出答案时，表述不准确或遗漏重要信息。 准确表述：在给出答案时，应准确、清晰地表述解题过程和结果，包括不等式的建立、求解过程、解集的范围以及解集的实际意义等。 重点难点考点讲练01:不等式的定义 【例题精讲】（2023春•龙川县校级期中）下列式子中，是不等式的有（　　） ①2x＝7；②2x+3；③﹣2＜2；④5a﹣3≥0；⑤x≠1；⑥m﹣n＞8． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【思路点拨】依据不等式的定义判断即可． 【规范解答】解：①2x＝7是等式； ②2x+3不是等式，也不是不等式； ③﹣2＜2是不等式； ④5a﹣3≥0是不等式； ⑤x≠1是不等式； ⑥m﹣n＞8是不等式； ∴不等式有4个． 故选：B． 【考点评析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号． 【训练1】（2024春•临渭区期中）下列各式中，是不等式的是（　　） A．2x＝7 B．﹣2x＞5 C．4﹣2x D．x+y＝1 【思路点拨】主要依据不等式的定义—用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【规范解答】解：A、它是一元一次方程，故本选项错误； B、符合不等式的定义，故本选项正确； C、它是代数式，不是不等式，故本选项错误； D、它是方程，不是不等式，故本选项错误； 故选：B． 【考点评析】考查了不等式的定义，（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式； （2）从符号上来看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”来表示的；而方程是用“＝”来连接两边的式子的； （3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数． 【训练2】（2023春•云岩区校级期中）用适当的符号表示下列关系：a是正数 　a＞0　 ． 【思路点拨】根据正数大于0，利用不等式表示出来即可． 【规范解答】解：a是正数可表示为a＞0， 故答案为：a＞0． 【考点评析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的表示方法是解题关键． 重点难点考点讲练02:不等式的性质 【例题精讲】（2024春•榆次区期中）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y 【思路点拨】不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：A．∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故该选项不正确，不符合题意； B．∵x＜y，∴3x＜3y，故该选项不正确，不符合题意； C．∵x＜y，∴，故该选项正确，符合题意； D．∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式性质是关键． 【训练1】（2023春•和平区校级期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）2a＞2b；（3）ac2＞bc2；（4），一定能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案． 【规范解答】解：在（1）中，当c＜0时，则有a＜b，故不能推出a＞b； 在（2）中，不等式两边同时除以2，得a＞b，故能推出a＞b； 在（3）中，由于c2＞0，不等式两边同时除以c2，得a＞b，故能推出a＞b； 在（4）中，当b＜0时，则有a＜b，故不能推出a＞b； 综上可知一定能推出a＞b的有（2）（3），共2个． 故选：B． 【考点评析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负． 【训练2】（2023春•电白区期中）若a＜b，下列各式中错误的是（　　） A．a+6＜b+6 B． C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b 【思路点拨】根据不等式的基本性质进行解答即可． 【规范解答】解：A．∵a＜b， ∴不等式两边同加上6得a+6＜b+6，故A正确，不符合题意； B．∵a＜b， ∴不等式两边同除以6得，故B正确，不符合题意； C．∵a＜b， ∴不等式两边同乘3得3a＜3b，故C正确，不符合题意； D．∵a＜b， ∴不等式两边同乘﹣3得﹣3a＞﹣3b，故D错误，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 重点难点考点讲练03:不等式的解集 【例题精讲】（2021春•吉安期中）关于x的不等式m﹣x＞1的解集是x＜4，则m的值为　5　 ． 【思路点拨】根据关于x的不等式m﹣x＞1的解集是x＜4，可得：x＜m﹣1，所以m﹣1＝4，据此求出m的值为多少即可． 【规范解答】解：∵关于x的不等式m﹣x＞1的解集是x＜4， ∴x＜m﹣1， ∴m﹣1＝4， 解得m＝5． 故答案为：5． 【考点评析】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用． 【训练1】（2024春•永寿县期中）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x，则a的取值范围为　a＜﹣2　 ． 【思路点拨】根据不等式的基本性质，由不等式x（a+2）＜1的解集为x，可得：a+2＜0，据此求出a的取值范围即可． 【规范解答】解：∵不等式（a+2）x＜1的解集为x， ∴a+2＜0， ∴a的取值范围为：a＜﹣2． 故答案为：a＜﹣2． 【考点评析】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用． 【训练2】（2021春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 【思路点拨】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值． 【规范解答】解：（1）解原方程组得：， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得﹣2＜m≤3； （2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m； （3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1， ∵x＞1，∴2m+1＜0， ∴m， ∴﹣2＜m， ∴m＝﹣1． 【考点评析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 重点难点考点讲练04:在数轴上表示不等式的解集 【例题精讲】（2024春•宁化县期中）如图所示是一个关于x的一元一次不等式的解集，则该解集是　x≥﹣2　 ． 【思路点拨】把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，据此可得答案． 【规范解答】解：由数轴可知，表示的不等式的解集为x≥﹣2， 故答案为：x≥﹣2． 【考点评析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 【训练1】（2024春•安次区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解． （1）求m的值； （2）若x的取值范围如图所示，求y的正整数值． 【思路点拨】（1）根据题意，把解代入二元一次方程，结合二次根式的运算法则即可求解； （2）用含y的式子表示x，结合数轴，不等式的性质，无理数的估算方法即可求解． 【规范解答】解：（1）把代入二元一次方程得，， ∴； （2）二元一次方程变形得， 根据数轴可得，x＞1， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴y的正整数值为1或2． 【考点评析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，二元一次方程的解法，不等式的性质，及无理数的估算等知识的综合，掌握二元一次方程的解法，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【训练2】（2023春•安源区期中）解不等式x，并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】先把原不等式去分母、化简可得：﹣7x﹣19≥8x﹣4，再求解，然后把解集在数轴表示出来即可． 【规范解答】解：原不等式去分母得：2x﹣4﹣9x﹣15≥6x﹣4+2x， 移项得：2x﹣9x﹣6x﹣2x≥﹣4+4+15， 合并同类项的：﹣15x≥15， 解得x≤﹣1．解集在数轴上表示为： 【考点评析】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 重点难点考点讲练05:一元一次不等式的定义 【例题精讲】（2024春•西安期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣3＞0 B．5＞﹣2 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＝y 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义解答即可 【规范解答】解：∵一元一次不等式是含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式， ∴只有A符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查不等式的定义，关键是不等式定义的熟练掌握． 【训练1】（2024秋•金牛区校级期中）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　1　 ． 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|＝1，从而可求得m的值． 【规范解答】解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式， ∴m+1≠0，|m|＝1． 解得：m＝1． 故答案为：1． 【考点评析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 【训练2】（2023春•蕉岭县期中）若不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　1　 ． 【思路点拨】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【规范解答】解：∵不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2＞0是关于x的一元一次不等式， ∴|m﹣2|＝1，且m﹣3≠0， 解得：m＝3（舍去）或m＝1， 则m的值为1， 故答案为：1 【考点评析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 重点难点考点讲练06:解一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•金沙县期中）规定：min{m，n}表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），例如：min{4，5}＝4．若min2，则x的取值范围是（　　） A．x＜7 B．x＞9 C．x＜9 D．x＞7 【思路点拨】由题意易得，然后求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：x＞9； 故选：B． 【考点评析】本题考查了新定义，一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【训练1】（2024春•成都校级期中）若关于x的不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围 　a＜3　 ． 【思路点拨】根据已知解集得到a﹣3为负数，即可确定出a的范围． 【规范解答】解：不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1， ∴a﹣3＜0， 解得a＜3． 故答案为：a＜3． 【考点评析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【训练2】（2022春•景泰县校级期中）若方程组的解是正数，求 （1）a的取值范围； （2）化简绝对值|a+3|+|a﹣6| 【思路点拨】（1）首先解关于x，y的方程组，根据解是一对正数即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围； （2）根据a的范围确定a+3和a﹣6的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可求解． 【规范解答】解：（1）解原方程组可得： 因为方程组的解为一对正数 所以有 解得：﹣3＜a＜6， 即a的取值范围为：﹣3＜a＜6； （2）由（1）可知：a+3＞0，a﹣6＜0 所以|a+3|+|a﹣6|＝（a+3）﹣（a﹣6） ＝9． 【考点评析】本题是考查已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 重点难点考点讲练07:一元一次不等式的整数解 【例题精讲】（2024春•黑山县期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式3⊕x＜13的最小整数解为 　0　 ． 【思路点拨】根据新运算的法则，列出不等式，进而求出不等式的解集，确定最小整数解即可． 【规范解答】解：由题意，得：3⊕x＝3（3﹣x）+1＜13， 解得：x＞﹣1， ∴最小整数解为：0， 故答案为：0． 【考点评析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，熟练掌握以上知识点是关键． 【训练1】（2024春•双流区校级期中）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.24]＝3，[﹣6.17]＝﹣7，则满足关系式3的x的整数值有 　3　 个． 【思路点拨】首先把问题转化为解不等式组34，得到不等式组的解集，然后求其整数解． 【规范解答】解：由题意得34， 解得：10≤x， 其整数解为10、11、12共3个． 故答案为：3． 【考点评析】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【训练2】（2018春•鄄城县期中）若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求4a的值． 【思路点拨】先求出不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解，代入方程2x﹣ax＝3，求出a的值，然后代入4a，计算即可． 【规范解答】解：∵5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7， ∴x＞11， ∴不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解是12， 把x＝12代入方程2x﹣ax＝3，得24﹣12a＝3，解得a． ∴4a47﹣8＝﹣1． 【考点评析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解以及代数式求值．解决此类问题的关键在于正确求得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，从而根据得到的条件进而代入求得代数式的值． 重点难点考点讲练08:由实际问题抽象出一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•新津区校级期中）小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700 C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7 【思路点拨】根据“步行时间×步行速度+跑步时间×跑步速度≥5700”列不等式即可． 【规范解答】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（52﹣x）分钟， 根据题意，得：210x+90（52﹣x）≥5700， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系． 【训练1】（2024春•顺德区期中）一辆匀速行驶的汽车需在2小时内到达距离50千米的A地，设车速x km/h，则可列出关于x的一元一次不等式为 　2x≥50　 ． 【思路点拨】根据速度×时间≥距离列式即可． 【规范解答】解：根据题意知，关于x的一元一次不等式为2x≥50， 故答案为：2x≥50． 【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 【训练2】（2023春•寿阳县期中）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下： 小强：x+　0.5×（15﹣x）　 ＜9，小刚：0.5x+　1×（15﹣x）　 ＜9． （1）小强同学所列的不等式中，x表示的是 　1元　 硬币的枚数；小刚同学所列的不等式中，x表示的是 　5角　 硬币的枚数； （2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式； （3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币． 【思路点拨】（1）根据这些硬币的总币值小于9元，结合两人所列不等式可得； （2）由（1）可得答案； （3）解不等式得出x的范围，从而得出答案． 【规范解答】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下： 小强：x+0.5×（15﹣x）＜9， 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9， 小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数， 故答案为：1元；5角； （2）由（1）知小强：x+0.5×（15﹣x）＜9， 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9， 故答案为：0.5×（15﹣x）、1×（15﹣x）； （3）设小刚可能有5角的硬币x枚， 根据题意得出：0.5x+（15﹣x）＜9， 解得：x＞12， ∵x是自然数， ∴x可取13、14、15． 答：小刚可能有5角的硬币13枚，14枚，15枚． 【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意得出不等关系是解题关键． 重点难点考点讲练09:一元一次不等式的应用 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【思路点拨】求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．设可打x折，根据售价＝标价×打折率和利润＝售价﹣进价＝进价×利润率列出不等式求解即可． 【规范解答】解：设可打x折，则有1200x÷10﹣800≥800×5%， 解得：x≥7， 即至少可打7折． 故选：B． 【考点评析】本题考查的是一元一次不等式的应用，关键是注意利润和折数，计算折数时注意要除以10． 【训练1】（2024春•榆次区期中）阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于20%．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按　8　 折销售． 【思路点拨】设打x折销售，根据题目意思，列出关于x的不等式进行求解即可． 【规范解答】解：设打x折销售，则售价为120×0.1x元，利润为（120×0.1x﹣80）元， 由题意得：120×0.1x﹣80≥80×20%， 解得x≥8， ∴此种商品可以按最多打8折销售， 故答案是：8． 【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解． 【训练2】（2023春•茂南区校级期中）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？ （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 【思路点拨】（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可； （2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式x≤50﹣x与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可． 【规范解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台， 由题意，得：1000x+2000（50﹣x）≤77000 解得：x≥23． ∴该公司至少购进甲型显示器23台． （2）依题意可列不等式：x≤50﹣x， 解得：x≤25． ∴23≤x≤25． ∵x为整数， ∴x＝23，24，25． ∴购买方案有： ①甲型显示器23台，乙型显示器27台； ②甲型显示器24台，乙型显示器26台； ③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 【考点评析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键． 重点难点考点讲练10:解一元一次不等式组 【例题精讲】（2024春•东阿县期中）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　） A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7 【思路点拨】根据题意可得：34，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得： 34， ∴6≤x+1＜8， ∴5≤x＜7， 故选：A． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键． 【训练1】（2008春•福鼎市校级期中）解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来． （1） （2）． 【思路点拨】（1）去分母，移项，合并同类项，化系数为1即可； （2）先解每一个不等式，取它们解集的交集． 【规范解答】解：（1）x﹣5+2＞2（x﹣3），（1分） x﹣5+2＞2x﹣6， x﹣2x＞3﹣6， ﹣x＞﹣3， x＜3．（4分） ∴原不等式的解集为x＜3； （2） 解由①得：5x﹣3＞3x﹣3， x＞0， 由②得：2x≥8， x≥4． ∴原不等式组的解集为x≥4． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式组．在数轴上表示不等式的解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【训练2】（2022春•惠来县期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：对于（x﹣2）（x﹣4）＞0，这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析： 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得①②从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即： 解不等式组①得x＞4，解不等式组②得x＜2 所以，（x﹣2）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜2 请利用上述解题思想解决下面的问题： （1）请直接写出（x﹣2）（x﹣4）＜0的解集． （2）对于，请根据除法法则化为我们学过的不等式（组）． （3）求不等式的解集． 【思路点拨】（1）先化成两根据不等式组，再求出即可； （2）根据除法法则得出即可； （3）先得出两个不等式组，再求出每个不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣4）＜0的解集是2＜x＜4； （2）0可以化为：①或②； （3）根据除法法则可得： ①或②， 解不等式组①得：x＞1，解不等式组②得：x＜﹣3， 所以0的解集是x＞1或x＜﹣3． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 重点难点考点讲练11:一元一次不等式组的整数解 【例题精讲】（2024春•大渡口区校级期中）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【思路点拨】根据关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组有解，可以求得k的取值范围，从而可以求得符合条件的整数k的值的和，本题得以解决． 【规范解答】解：由方程k﹣2x＝3（k﹣2），得x＝3﹣k， ∵关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数， ∴3﹣k≥0，得k≤3， ， 由①，得x≥﹣1， 由②，得x≤k， ∵关于x的不等式组有解， ∴﹣1≤k，得k≥﹣1， 由上可得，﹣1≤k≤3， ∴符合条件的整数k的值为：﹣1，0，1，2，3， ∴符合条件的整数k的值的和为：﹣1+0+1+2+3＝5． 故选：C． 【考点评析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法． 【训练1】（2024春•鼓楼区校级期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣8＝0；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是 　①②　 ；（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围． 【思路点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出m的范围，然后求出方程的解为x＝6m﹣7，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式，最后取公共部分即可． 【规范解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得x＝3； ②4x﹣8＝0，解得x＝2； ③，解得x＝1； 解不等式2x﹣2＞x﹣1得：x＞1， 解不等式3（x﹣2）﹣x≤4得：x≤5， ∴的解集为1＜x≤5， ∵x＝3，x＝2在1＜x≤5范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式3x+1≥2x得：x≥﹣1， 解不等式得：x≤7， ∴的解集为﹣1≤x≤7， 关于x的方程2x﹣k＝6的解为， ∵关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”， ∴在﹣1≤x≤7范围内， ∴﹣17， 解得﹣8≤k≤8； （3）解不等式x+3m＞3m得：x＞0， 解不等式x﹣m≤2m+1得：x≤3m+1， ∴的解集为0＜x≤3m+1， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴4≤3m+1＜5， 解得， 关于x的方程的解为x＝6m﹣7， ∵关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ∴x＝6m﹣7在0＜x≤3m+1范围内 ∴0＜6m﹣7≤3m+1， 解得， 综上所述，． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． 【训练2】（2024春•榕城区期中）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，求a的取值范围． 【思路点拨】根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【规范解答】解：由题意得，a＜2x﹣2﹣x+3＜7， 则a﹣1＜x＜6， ∵解集中有两个整数解， ∴3≤a﹣1＜4， 故答案为：4≤a＜5． 【考点评析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 重点难点考点讲练12:一元一次不等式组的应用 【例题精讲】（2024春•中站区期中）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．21人 B．22人 C．23人 D．24人 【思路点拨】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，再求解，注意x为整数． 【规范解答】解：设每组预定的学生数为x人，由题意得， ， 解得， ∵x是正整数， ∴x＝22， 故选：B． 【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式是解题关键． 【训练1】（2024春•永济市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 计算机编程语言是指用于人与计算机之间通信的语言，是人与计算机之间传递信息的媒介．因为它是用来进行程序设计的，所以又称为程序设计语言或者编程语言． 如图所示的某运算程序语言中，可描述为如果输出结果小于37，就把该输出结果作为输入的数再进行二次计算，直到符合要求（结果不小于37）为止例如：当x＝20时，20x5+2＝102＞37．所以输出结果为102；当x＝5时，5×5+2＝27＜37．再把x＝27代入，得27×5+2＝137＞37．所以输出结果为137． 任务： （1）当x＝10时，输出结果为 　52　 ；当x＝2时，输出结果为 　62　 ． （2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围． 【思路点拨】（1）根据题意分别列式计算即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【规范解答】解：（1）由题意可知，当x＝10时，输出结果为10×5+2＝52； 当x＝2时，输出结果为（2×5+2）×5+2＝62， 故答案为：52，62； （2）根据题意得：， 解得：1≤x＜7． ∴x的取值范围为1≤x＜7． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【训练2】（2024春•高新区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A、B两款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元． （1）公司预计用不多于135万元且不少于129万元的资金购进这两款汽车共20辆，有几种进货方案，它们分别是什么？ （2）如果A款汽车每辆售价为9万元，B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（1）中所有的方案获利相同，a值应是多少，此种方案是什么？（提示：可设购进B款汽车x辆） 【思路点拨】（1）关系式为：129≤A款汽车总价+B款汽车总价≤135． （2）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款． 【规范解答】解：（1）设购进A款汽车每辆x辆，则购进B款汽车（20﹣x）辆， 依题意得：129≤7.5x+6（20﹣x）≤135． 解得：6≤x≤10， ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴有5种进货方案： 购进A款汽车6辆，购进B款汽车14辆， 购进A款汽车7辆，购进B款汽车13辆， 购进A款汽车8辆，购进B款汽车12辆， 购进A款汽车9辆，购进B款汽车11辆， 购进A款汽车10辆，购进B款汽车10辆． （2）设总获利为W万元，购进B款汽车x辆，则： W＝（9﹣7.5）（20﹣x）+（8﹣6﹣a）x＝（0.5﹣a）x+30． 当a＝0.5时，（1）中所有方案获利相同． 此时，购买A款汽车6辆，B款汽车14辆时对公司更有利． 【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 重点难点考点讲练13:一次函数与一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•蕉城区期中）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 【思路点拨】先利用直线y＝﹣2x+2的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣2x+2上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+2得﹣2m+2＝4，解得m＝﹣1， 当x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b． 故选：A． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【训练1】（2024春•榆阳区期中）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 　x＞3　 ． 【思路点拨】观察函数图象得到当x＞3时，函数y＝kx+6的图象都在y＝x+b的图象下方，所以关于x的不等式kx+6＜x+b的解集为x＞3． 【规范解答】解：由函数图象知，当x＞3时，kx+6＜x+b， 即不等式kx+6＜x+b的解集为x＞3． 故答案为：x＞3． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【训练2】（2024春•长清区期中）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组﹣1≤﹣|x|+3≤2的解集： 首先令y＝﹣|x|+3，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 　﹣1　 　0　 　1　 　2　 　3　 　2　 　1　 　0　 　﹣1　 … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若P（a，b），Q（5，b）为该函数图象上不同的两点，则a＝　﹣5　 ； （3）观察图象，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是 　﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4　 ； 【拓展运用】 函数y＝|x|的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数y＝|x|的图象所围成的图形面积． 【思路点拨】【问题探究】（1）将x值代入y＝﹣|x|+3，求出对应y值即可；在平面直角坐标系中描出表格中各坐标对应的点，并将它们用平滑的线条连接起来即可； （2）将P（a，b）和Q（5，b）分别代入y＝﹣|x|+3，得到关于a和b的二元一次方程组，解出a的值即可（注意a的取值要符合题意）； （3）通过观察图象，可直接写出x的取值范围． 【拓展运用】两图象所围成的图形是三角形，可以证明它为直角三角形．两函数联立，求出其交点坐标，从而求出两直角边，利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：【问题探究】（1）当x＝﹣4时，y＝﹣|﹣4|+3＝﹣4+3＝﹣1； 当x＝﹣3时，y＝﹣|﹣3|+3＝﹣3+3＝0； 当x＝﹣2时，y＝﹣|﹣2|+3＝﹣2+3＝1； 当x＝﹣1时，y＝﹣|﹣1|+3＝﹣1+3＝2； 当x＝0时，y＝﹣|0|+3＝3； 当x＝1时，y＝﹣|1|+3＝﹣1+3＝2； 当x＝2时，y＝﹣|2|+3＝﹣2+3＝1； 当x＝3时，y＝﹣|3|+3＝﹣3+3＝0； 当x＝4时，y＝﹣|4|+3＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1，0，1，2，3，2，1，0，﹣1． 描点并画出该函数的图象： （2）将（1）中的函数图象左右延长，如图． ∵函数y＝﹣|x|+3的图象关于y轴对称， ∴P（a，b），Q（5，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣5． 故答案为：﹣5． （3）由图象可知，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4． 故答案为：﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4． 【拓展运用】函数y＝|x|与yx+3的图象交于点A、B，S△AOB即为所求． ∵y＝|x|的图象与x轴夹角的正切值为1， ∴y＝|x|的图象与x轴的夹角为45°， ∴∠AOB＝90°． ∴SRt△AOBOA•OB． 由题意，得，解得或． ∴A（﹣6，6），B（2，2）． ∴OA6，OB2， ∴SRt△AOBOA•OB6212． ∴两图象所围成的图形面积为12． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及性质和一元一次不等式的应用．这部分内容非常重要，必须能够熟练掌握、灵活运用． 1．（2024春•市中区校级期中）如图，直线y1＝2x与直线y2＝kx+b（k≠0）相交于点P（a，2），则关于x的不等式2x≤kx+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【思路点拨】利用y1＝2x求得点P的坐标，然后直接利用图象得出答案． 【规范解答】解：∵直线y1＝2x过点P（a，2）， ∴2＝2a， ∴a＝1， ∴P（1，2）， 如图所示：关于x的不等式2x≤kx+b的解是：x≤1． 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键． 2．（2024春•丹江口市期中）一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一坐标系中的图象如图所示，则下列结论： ①它们的交点在直线x＝1上； ②a+b＞0； ③不等式ax+b＞bx+a的解集为x＞1； ④它们与x轴围成的三角形的面积为． 其中，正确的序号是（　　） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【思路点拨】根据两个函数的交点即可判断①；根据当x＝1，图象在第一象限，来判定②；找出一次函数y＝ax+b的图象位于一次函数y＝bx+a的图象的上方时，x的取值范围即可判断③；分别把x＝1，y＝0代入函数得出三角形的底和高，利用面积计算公式即可判断④． 【规范解答】解：∵一次函数y＝ax+b和y＝bx+a交于一点， ∴ax+b＝bx+a， 解得：x＝1， ∴①正确； ∵一次函数y＝ax+b和y＝bx+a交点在第一象限，且交点横坐标为1， ∴把x＝1代入y＝ax+b得：a+b＞0故②正确； ∵函数图象它们的交点在直线x＝1上， 有函数图象可知ax+b＞bx+a的解集为x＞1，故③正确； 把x＝1代入y＝ax+b得：y＝a+b， 当y＝0代入y＝ax+b得：， 当y＝0代入y＝bx+a得：， 与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误； 综上所述：正确的有①②③； 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 3．（2024春•南山区校级期中）关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子的值是整数，可求出符合条件的a个数． 【规范解答】解：解不等式0得x＜t， 解不等式2的x＞﹣2， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴0＜t≤1， ∴0＜21t≤21， ∵21t＝2a+12， ∴0＜2a+12≤21， ∴﹣6＜a≤4.5， ∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴要使的值是整数的a的值为﹣3，3，﹣4，4，共4个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键． 4．（2024春•榆次区期中）如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点M（1，2），则关于x的不等式2x＞kx+b的解集是 　x＞1　 ． 【思路点拨】结合函数图象，写出直线y＝2x在直线y＝kx+b（k≠0）上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：∵两条直线相交于点M（1，2）， ∴当x＞1时，2x＞kx+b， 即关于2x＞kx+b的不等式的解集为x＞1． 故答案为：x＞1． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小． 5．（2024春•吉安期中）若不等式组的解为x≥m，则m的取值范围是 　m≥﹣1　 ． 【思路点拨】首先解不等式，然后根据不等式组解集的确定方法：同大取较大，同小取较小，就可以得到结论． 【规范解答】解：由2x﹣m≥x解得x≥m， 由解得x≥﹣1， 由于不等式组的解为x≥m， ∴m≥﹣1， 故答案为：m≥﹣1． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 6．（2021春•奉化区校级期中）我校为组织八年级的234名同学去看电影，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．他们共租了 　8　 辆公共汽车． 【思路点拨】不空也不满意思是这辆车上的人少于30人，多于0人． 【规范解答】解：设他们共租了x辆公共汽车． 0＜234﹣30×（x﹣1）＜30， 解得7.8＜x＜8.8， ∴他们共租了8辆公共汽车． 【考点评析】得到相应的等量关系是解决本题的关键，应重点理解不空也不满的意思． 7．（2024春•单县期中）阅读材料： 解分式不等式． 解：根据实数的除法法则，同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①，②． 解不等式组①，得：x＞3． 解不等式组②，得：x＜﹣2． 所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 请仿照上述方法解分式不等式：0． 【思路点拨】根据题中给出的例子列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可． 【规范解答】解：原分式不等式可化为①，②， 不等式组①无解； 解不等式组②得，﹣1＜x， 故不等式组的解集为：﹣1＜x． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据同号两数相除得正数，异号两数相除得负数列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 8．（2022春•澧县期中）哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？ 【思路点拨】（1）首先设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得：①20个甲种笔记本的价格+10个乙种笔记本的价格＝110元；②甲种笔记本30个的价格+10＝乙种笔记本20个的价格，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设乙种笔记本购买a个，由题意得不等关系：3×甲种笔记本的数量+5×乙种笔记本的数量≤320元，根据不等关系列出不等式，再解即可． 【规范解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，由题意得： ， 解得． 答：甲种笔记本的单价是3元；乙种笔记本的单价是5元； （2）设乙种笔记本购买a个，由题意得： 3（2a﹣10）+5a≤320， 解得：， ∵a为整数， ∴a取31． 答：本次乙种笔记本最多购买31个． 【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出不等式或方程． 9．（2023春•射洪市校级期中）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表： 品名 价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 20 30 售价（元/袋） 25 36 （1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ （2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？ 【思路点拨】（1）分别根据用12000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2700元，得出等式组成方程求出即可； （2）根据购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于2460元，得出不等式求出即可． 【规范解答】解：（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋， 则， 解得：， 答：该商店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩200袋； （2）设每袋乙种型号的口罩打m折，则 300×5+400（0.1m×36﹣30）≥2460， 解得：m≥9， 答：每袋乙种型号的口罩最多打9折． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用及一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键． 10．（2021春•东明县期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ （3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【思路点拨】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，根据“A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得； （3）根据（2）中所得方案，分别计算得出费用即可． 【规范解答】解：（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：52≤m≤53， ∵m为正整数， ∴m＝52或53， 所以购买的方案有： 1、购进A种树苗52棵，B种树苗48棵； 2、购进A种树苗53棵，B种树苗47棵； （3）方案一的费用为52×30+48×20＝2520元， 方案二的费用为53×30+47×20＝2530元， 所以购进A种树苗52棵，B种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元． 【考点评析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到题目蕴含的相等或不等关系得出方程组、不等式组． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$