第1章 三角形的证明（思维导图+知识梳理+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共90题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第1章 三角形的证明 （知识梳理+易错点拨+27个重难点考点讲练+压轴题专练 共90题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：等腰三角形 3 知识点梳理02：直角三角形 4 知识点梳理03：线段的垂直平分线 4 知识点梳理04：角平分线 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：等腰三角形 5 易错知识点02：直角三角形 5 易错知识点03：线段的垂直平分线 6 易错知识点04：角平分线 6 重点难点 考点讲练 7 第一部分：常考易考考点讲练 7 重点难点考点讲练01:直角三角形全等的判定 7 重点难点考点讲练02:角平分线的性质 8 重点难点考点讲练03:线段垂直平分线的性质 9 重点难点考点讲练04:等腰三角形的性质 10 重点难点考点讲练05:等腰三角形的判定 11 重点难点考点讲练06:等腰三角形的判定与性质 12 重点难点考点讲练07:等边三角形的性质 13 重点难点考点讲练08:等边三角形的判定 14 重点难点考点讲练09:等边三角形的判定与性质 15 重点难点考点讲练10:直角三角形的性质 16 重点难点考点讲练11:含30度角的直角三角形 18 重点难点考点讲练12:勾股定理 19 重点难点考点讲练13:勾股定理的证明 20 重点难点考点讲练14:勾股定理的逆定理 21 重点难点考点讲练15:反证法 23 第二部分：三角形的解题模型 23 重点难点考点讲练16:“8”字模型 23 重点难点考点讲练17:飞镖模型 25 重点难点考点讲练18:"A"字模型 27 重点难点考点讲练20:角平分线模型 28 重点难点考点讲练21:直角三角形中的锐角平分线模型 31 重点难点考点讲练22:勾股定理之图形折叠模型 31 重点难点考点讲练23:勾股定理之赵爽弦图模型 32 重点难点考点讲练24:勾股定理之大树折断模型 33 重点难点考点讲练25:勾股定理之风吹荷花模型 34 重点难点考点讲练26:勾股定理之蚂蚁行程模型 36 重点难点考点讲练27:勾股定理之垂美四边形模型 36 压轴专练 拔尖冲刺 38 知识点梳理01：等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【易错点剖析】 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 知识点梳理02：直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【易错点剖析】 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 【易错点剖析】 ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 知识点梳理04：角平分线 【高频考点精讲】 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 【易错点剖析】 ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 易错知识点01：等腰三角形 1. 等腰三角形的性质混淆： 错误理解：误认为等腰三角形的任意两边相等或任意两角相等。 正确理解：等腰三角形的两腰相等，且两底角相等（等边对等角）。 2. “三线合一”的应用误区： 错误应用：在等腰三角形中，错误地认为任意一边上的中线、高线、角平分线都互相重合。 正确应用：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一），这一性质仅适用于底边和顶角。 3. 等腰三角形的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，但忽视了这两个角必须是底角。 正确判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边），且这两个相等的角必须是底角。 易错知识点02：直角三角形 1. 勾股定理的误用： 错误使用：在非直角三角形中错误地应用勾股定理。 正确使用：勾股定理只适用于直角三角形，即直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 30°-60°-90°直角三角形的性质遗忘： 遗忘性质：在30°-60°-90°的直角三角形中，忘记30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质。 正确应用：在30°-60°-90°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，且较短的直角边与斜边的比值为，较长的直角边与斜边的比值为。 3. 直角三角形全等的判定条件混淆： 错误判定：在判定直角三角形全等时，错误地认为只要一条直角边相等，两个三角形就全等。 正确判定：直角三角形全等的判定除了满足一般三角形的全等条件（SSS、SAS、ASA、AAS）外，还有HL定理（直角边-斜边定理），即一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。 易错知识点03：线段的垂直平分线 1. 垂直平分线性质的误用： 错误使用：在非垂直平分线上错误地应用垂直平分线的性质，即认为到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 正确使用：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，但反之，到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 2. 垂直平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到线段一点距离相等的点就在线段的垂直平分线上。 正确判定：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 3. 垂直平分线与三角形外心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），且外心到三角形三个顶点的距离相等。 正确理解：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 易错知识点04：角平分线 1. 角平分线性质的误用： 错误使用：在非角平分线上错误地应用角平分线的性质，即认为角平分线上的点到这个角的两边的距离不一定相等。 正确使用：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2. 角平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到一个角的一边距离相等的点就在这个角的平分线上。 正确判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 3. 角平分线与三角形内心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条角平分线相交于一点（内心），且内心到三角形三边的距离相等。 正确理解：三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心，且内心到三角形三边的距离相等。 第一部分：常考易考考点讲练 重点难点考点讲练01:直角三角形全等的判定 【例题精讲】（2024春•沿河县期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，可以判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，其理由是（　　） A．SAS B．AAS C．HL D．ASA 【训练1】（2024春•郏县期中）如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　　） A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③ 【训练2】（2023春•顺德区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF． （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明． 重点难点考点讲练02:角平分线的性质 【例题精讲】（2024秋•确山县期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【训练1】（2024春•长安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，若△DFC的面积为24，则点D到BC的距离为 　　 ． 【训练2】（2024春•金凤区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　　 ． 重点难点考点讲练03:线段垂直平分线的性质 【例题精讲】（2021春•渭滨区校级期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2024秋•集宁区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【训练2】（2024秋•句容市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 重点难点考点讲练04:等腰三角形的性质 【例题精讲】（2024秋•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【训练1】（2024秋•大兴区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【训练2】（2024春•临渭区期中）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 重点难点考点讲练05:等腰三角形的判定 【例题精讲】（2024春•宏伟区期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D，使△ABD为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•榆次区期中）小聪同学在寒假完成项目作业《用纸片“做数学”》时，通过实践探索和推理验证发现，当一个三角形纸片的内角满足一定条件时，这个三角形纸片能沿一条直线剪切成两个等腰三角形，例如三角形纸片的一个内角是另一个内角的3倍时（如图），沿图中虚线剪切得到的两个三角形都是等腰三角形．除此情形，三角形纸片的内角满足 　 　 条件时，也能沿一条直线剪切得到两个等腰三角形（写出一种情况即可）． 【训练2】．（2024秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H． ①求证：△APF是等腰三角形； ②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想． 重点难点考点讲练06:等腰三角形的判定与性质 【例题精讲】（2024秋•曾都区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A．12 B．9 C．10 D．11 【训练1】（2023秋•城中区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． （1）求∠BAC和∠ACB的度数； （2）求证：△ACF是等腰三角形． 【训练2】（2023秋•武都区期中）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 重点难点考点讲练07:等边三角形的性质 【例题精讲】（2024春•宏伟区期中）已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝108°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　） A．48° B．12° C．22° D．18° 【训练1】（2024春•振兴区校级期中）如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条直线l1，l2上滑动，若l1⊥l2，垂足为点O，则OC的最大值与最小值的差是 　　 ． 【训练2】（2024秋•中山区校级期中）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 重点难点考点讲练08:等边三角形的判定 【例题精讲】（2024春•凉州区期中）△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【训练1】（2024春•北林区校级期中）如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．求证：△BCE是等边三角形． 【训练2】（2024春•滕州市校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 重点难点考点讲练09:等边三角形的判定与性质 【例题精讲】（2024春•宣州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AD＝CD，连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC、AC于E、F，若AB＝4，DE＝3，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【训练1】（2024春•南城县期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO＝12，求OE的长． 【训练2】（2023春•郓城县期中）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 重点难点考点讲练10:直角三角形的性质 【例题精讲】（2024秋•忻州期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 【训练1】（2024秋•信阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　　 ． 【训练2】（2019春•港南区期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C． （1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC； （2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数； （3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由． 重点难点考点讲练11:含30度角的直角三角形 【例题精讲】（2024春•金台区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　　 ． 【训练1】（2024春•太谷区期中）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，若FE＝CF，AE＝2，则EF的长为 　 【训练2】（2023春•沈北新区期中）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 　　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 重点难点考点讲练12:勾股定理 【例题精讲】（2024春•湖北期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【训练1】（2024春•静海区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【训练2】（2024春•竹溪县期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 重点难点考点讲练13:勾股定理的证明 【例题精讲】（2024春•湖南期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•永定区期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法． （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成（a＜b），则：S小正方形+4S三角形＝　 ，S大正方形＝　　 ；（此两空均用含a，b，c的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 　 （化简），故验证了勾股定理． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，求CD的长； （3）如图1，S大正方形＝169，S小正方形＝49，直接写出（a+b）2的值． 【训练2】（2024春•惠东县期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 重点难点考点讲练14:勾股定理的逆定理 【例题精讲】（2019秋•泰安期中）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　 　 时，△PBQ是直角三角形． 【训练1】（2023秋•九江期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD，AD＝1，且∠B＝90°．试求： （1）∠BAD的度数． （2）四边形ABCD的面积（结果保留根号） 【训练2】（2024秋•浦口区校级期中）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示； （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想． 重点难点考点讲练15:反证法 【例题精讲】（2024春•市中区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立．∴∠B＜90° ②∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【训练1】（2024春•钱塘区校级期中）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（　　） A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B 【训练2】（2022春•鼓楼区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 ．（填序号） 第二部分：三角形的解题模型 重点难点考点讲练16:“8”字模型 【例题精讲】（2023春•黄陂区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，下列结论：①BC2＝4DE2；②S△ABC＝4S△ADE；③BE2﹣CD2＝3DE2；④．其中正确的是（　　） A． ①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【训练1】（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB． （1）求证：∠CAD＝∠CBD； （2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【训练2】（2021春•双流区校级期中）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD．将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB．点O为线段AB的中点，连接DO，EO． （1）如图1，当点B旋转到CD边上时，线段DO与EO的数量和位置关系是 　 ； （2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）若BC＝2，，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，求线段OD的长． 重点难点考点讲练17:飞镖模型 【例题精讲】（2023春•黑山县期中）如图：直线CD是经过∠ACB顶点C的一条直线，AC＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠AEC＝∠CFB＝∠α． 【数学思考】 （1）若直线CD是经过∠ACB的内部，且E、F在射线CD上．请解决下面两个问题： ①如图1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，则AE 　 　 CF（填＞，＜或＝），猜测线段EF与线段AE、BF的数量关系，并证明你的猜想； ②如图2，若0°＜∠ACB＜90°，当∠ACB与∠α之间满足 　 　 时，能够使得①中的结论仍然成立，并证明两个结论． 【问题拓展】 （2） 如图3．若直线CD经过∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，请直接写出EF、AE、BF三条线段的数量关系． 【训练1】（2019秋•河池期中）一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 【训练2】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）AB∥CD．如图a，点P在AB、CD外部时，∠BOD，∠BPD，∠D之间有何数量关系？请说明理由； （2）如图b，将点P移到AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间又有何数量关系？请说明理由； （3）在图b中，若∠B＝40°，∠D＝25°，则∠BPD的度数是多少？ （4）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）． 重点难点考点讲练18:"A"字模型 【例题精讲】（2023春•建阳区期中）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝15m，则A、B间的距离是（　　） A．18m B．24m C．28m D．30m 【训练1】（2023春•北仑区期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，BC＝12，则EF的长为 　　 ． 【训练2】（2022春•历城区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为 　 ． 【训练1】（2021春•武昌区校级期中）（附加题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（　　） A．∠A＝∠1+∠2 B．∠A＝∠2﹣∠1 C．2∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2） 【训练2】（2023春•通道县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若AD＝BD，则BE与AD的数量关系是 　 ． 重点难点考点讲练20:角平分线模型 【例题精讲】（2024春•邗江区校级期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若BE＝EC＝3，求DF的长． 【训练1】（2024春•城阳区期中）【问题情境】 如图①，△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线BD，CD交于点D． 【建立模型】 （1）如图②，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点A作直线l∥BC，延长BD和CD，分别交l于点E，F，若AB＝4，AC＝3，请你直接写出EF的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，△ABC的内角∠ABC的平分线BD，与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明． 【训练2】（2023春•城关区校级期中）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； 【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与边BC的延长线交于点E，判断∠CFE与∠CEF还相等吗？并说明理由； 【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F，交BC于点E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，请直接写出∠M与∠CFE之间的数量关系． 重点难点考点讲练21:直角三角形中的锐角平分线模型 【例题精讲】（2024春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　　 ； （2）①当P在BC上时，CP的长为 　 （用含t的代数式表示），t的取值范围是 　 ； ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　 ． 【训练1】（2023春•高新区校级期中）已知a、b、c是△ABC 的三条边长，且（b2﹣c2）+（2ab﹣2ac）＝0． （1）利用因式分解判断△ABC的形状，并证明你的结论． （2）若a＝6，b＝5，求△ABC的面积． 重点难点考点讲练22:勾股定理之图形折叠模型 【例题精讲】（2024春•旅顺口区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF．当△CEF为直角三角形时，CE的长是 　 　 ． 【训练1】（2022春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　） A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 重点难点考点讲练23:勾股定理之赵爽弦图模型 【例题精讲】（2024春•潢川县期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 【训练1】（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2． 【训练2】（2023春•卫滨区校级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为 　 cm2． 重点难点考点讲练24:勾股定理之大树折断模型 【例题精讲】（2024春•连江县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？ 【训练1】（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．15m C．18m D．20m 【训练2】（2021春•滨海新区期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，求这棵树在折断前（不包括树根）长度． 重点难点考点讲练25:勾股定理之风吹荷花模型 【例题精讲】（2024春•斗门区校级期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【训练1】（2022春•五华区校级期中）印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 请用学过的数学知识回答这个问题． 【训练2】（2023春•北京期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度． 重点难点考点讲练26:勾股定理之蚂蚁行程模型 【例题精讲】（2024春•黔东南州期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 【训练1】（2021春•个旧市校级期中）有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 　　 厘米（π取3）． 【训练2】（2019春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（3+2） cm B． cm C． cm D． cm 重点难点考点讲练27:勾股定理之垂美四边形模型 【例题精讲】（2023春•番禺区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 　 　 （填序号）； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC，AB＝3． ①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由； ②求GE的长． 【训练1】（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则 ①求证：△AGB≌△ACE ②GE＝　 ． 【训练2】（2023春•孝南区期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形． ①若，则它的面积为 　 ； ②若AB＝c，BC＝d，CD＝a，DA＝b，探究a、b、c、d的数量关系． （2）如图2，已知D、E分别是△ABC中边BC、AC的中点，AD⊥BE，AC＝6，BC＝8，请运用②中的结论，直接写出AB的长为 　 ． 1．（2025•河北模拟）如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 2．（2024秋•临平区期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架AB与CD交于点O，OD＝OB．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面MN与地面水平线l平行，BD＝2AC，∠CAO＝60°，BD＝28cm，那么折叠后椅子比完全打开时高（　　）cm． A．42 B．2121 C． D． 3．（2024秋•兴隆县期末）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 4．（2025•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝8，D为平面内一点且满足AD＝1，E为BD的中点，则BE的取值范围是 　 ． 5．（2025春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝10，CJ＝8，则四边形AJKL的面积是 　 ． 6．（2024秋•内乡县期末）如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025春•南昌县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线，交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求∠PDE的度数． （2）若AC＝6，BC＝8，EB＝4.5，求线段PA的长． 8．（2024秋•贵州期末）如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． （1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数； （2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数； （3）三边的长均为无理数． 9．（2024秋•承德县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 10．（2024春•武侯区期末）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　a2+b2+2m2　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　　 ； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　m　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【思路点拨】（1）利用勾股定理根据AC在直角三角形ACD中，BC在直角三角形BCD中分别得到AC2和BC2用a，b，m表示的式子，相加即可得到AC2+BC2的值；根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到m用a，b表示的式子；易得Rt△ABC的斜边上的中线大于CD或与CD重合，可得与m的大小关系； （2）根据Rt△ABC的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出Rt△ABC的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含m的式子表示，即可得到m的最大值； （3）设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m．根据（1）中得到的结论：，那么a+b≥2，进而可得所有虚线的和为2x+4y，根据2x+4y≥2，整理可得所有虚线和的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第1章 三角形的证明 （知识梳理+易错点拨+27个重难点考点讲练+压轴题专练 共90题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：等腰三角形 3 知识点梳理02：直角三角形 4 知识点梳理03：线段的垂直平分线 4 知识点梳理04：角平分线 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：等腰三角形 5 易错知识点02：直角三角形 5 易错知识点03：线段的垂直平分线 6 易错知识点04：角平分线 6 重点难点 考点讲练 7 第一部分：常考易考考点讲练 7 重点难点考点讲练01:直角三角形全等的判定 7 重点难点考点讲练02:角平分线的性质 9 重点难点考点讲练03:线段垂直平分线的性质 11 重点难点考点讲练04:等腰三角形的性质 14 重点难点考点讲练05:等腰三角形的判定 17 重点难点考点讲练06:等腰三角形的判定与性质 20 重点难点考点讲练07:等边三角形的性质 24 重点难点考点讲练08:等边三角形的判定 28 重点难点考点讲练09:等边三角形的判定与性质 32 重点难点考点讲练10:直角三角形的性质 35 重点难点考点讲练11:含30度角的直角三角形 38 重点难点考点讲练12:勾股定理 43 重点难点考点讲练13:勾股定理的证明 46 重点难点考点讲练14:勾股定理的逆定理 50 重点难点考点讲练15:反证法 53 第二部分：三角形的解题模型 54 重点难点考点讲练16:“8”字模型 54 重点难点考点讲练17:飞镖模型 61 重点难点考点讲练18:"A"字模型 65 重点难点考点讲练19:风筝模型 68 重点难点考点讲练20:角平分线模型 70 重点难点考点讲练21:直角三角形中的锐角平分线模型 76 重点难点考点讲练22:勾股定理之图形折叠模型 79 重点难点考点讲练23:勾股定理之赵爽弦图模型 81 重点难点考点讲练24:勾股定理之大树折断模型 83 重点难点考点讲练25:勾股定理之风吹荷花模型 85 重点难点考点讲练26:勾股定理之蚂蚁行程模型 87 重点难点考点讲练27:勾股定理之垂美四边形模型 89 压轴专练 拔尖冲刺 95 知识点梳理01：等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【易错点剖析】 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 知识点梳理02：直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【易错点剖析】 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 【易错点剖析】 ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 知识点梳理04：角平分线 【高频考点精讲】 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 【易错点剖析】 ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 易错知识点01：等腰三角形 1. 等腰三角形的性质混淆： 错误理解：误认为等腰三角形的任意两边相等或任意两角相等。 正确理解：等腰三角形的两腰相等，且两底角相等（等边对等角）。 2. “三线合一”的应用误区： 错误应用：在等腰三角形中，错误地认为任意一边上的中线、高线、角平分线都互相重合。 正确应用：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一），这一性质仅适用于底边和顶角。 3. 等腰三角形的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，但忽视了这两个角必须是底角。 正确判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边），且这两个相等的角必须是底角。 易错知识点02：直角三角形 1. 勾股定理的误用： 错误使用：在非直角三角形中错误地应用勾股定理。 正确使用：勾股定理只适用于直角三角形，即直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 30°-60°-90°直角三角形的性质遗忘： 遗忘性质：在30°-60°-90°的直角三角形中，忘记30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质。 正确应用：在30°-60°-90°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，且较短的直角边与斜边的比值为，较长的直角边与斜边的比值为。 3. 直角三角形全等的判定条件混淆： 错误判定：在判定直角三角形全等时，错误地认为只要一条直角边相等，两个三角形就全等。 正确判定：直角三角形全等的判定除了满足一般三角形的全等条件（SSS、SAS、ASA、AAS）外，还有HL定理（直角边-斜边定理），即一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。 易错知识点03：线段的垂直平分线 1. 垂直平分线性质的误用： 错误使用：在非垂直平分线上错误地应用垂直平分线的性质，即认为到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 正确使用：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，但反之，到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 2. 垂直平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到线段一点距离相等的点就在线段的垂直平分线上。 正确判定：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 3. 垂直平分线与三角形外心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），且外心到三角形三个顶点的距离相等。 正确理解：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 易错知识点04：角平分线 1. 角平分线性质的误用： 错误使用：在非角平分线上错误地应用角平分线的性质，即认为角平分线上的点到这个角的两边的距离不一定相等。 正确使用：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2. 角平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到一个角的一边距离相等的点就在这个角的平分线上。 正确判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 3. 角平分线与三角形内心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条角平分线相交于一点（内心），且内心到三角形三边的距离相等。 正确理解：三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心，且内心到三角形三边的距离相等。 第一部分：常考易考考点讲练 重点难点考点讲练01:直角三角形全等的判定 【例题精讲】（2024春•沿河县期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，可以判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，其理由是（　　） A．SAS B．AAS C．HL D．ASA 【思路点拨】根据直角三角形HL证明全等． 【规范解答】解：在Rt△ABC和Rt△ABD中， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） 故选：C． 【考点评析】此题考查了直角三角形全等，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 【训练1】（2024春•郏县期中）如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　　） A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③ 【思路点拨】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立． 【规范解答】解：连接AP， ∵PR＝PS， ∴AP是∠BAC的平分线， ∴△APR≌△APS（HL） ∴AS＝AR，①正确． ∵AQ＝PQ ∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA ∴QP∥AR，②正确． BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中． 【训练2】（2023春•顺德区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF． （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明． 【思路点拨】本题考查三角形的全等知识．第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL（斜边直角边定理）来判断两个直角三角形全等． 【规范解答】解：（1）3对．分别是： △ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF． （2）△BDE≌△CDF． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 又D是BC的中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）． 【考点评析】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 重点难点考点讲练02:角平分线的性质 【例题精讲】（2024秋•确山县期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【思路点拨】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DA，然后利用三角形的面积公式求S1：S2的值． 【规范解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴． 故选：B． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【训练1】（2024春•长安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，若△DFC的面积为24，则点D到BC的距离为 　8　 ． 【思路点拨】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠EDB＝∠CBD，可得EF∥BC，再利用三角形的面积计算可求解． 【规范解答】解：∵DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴EF∥BC， ∵DF＝6，△DFC的面积为24， 设点D到BC的距离为h， ∴S△DFC＝×6×h＝24． 解得：h＝8， 故答案为：8． 【考点评析】本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的面积，证明EF∥BC是解题的关键． 【训练2】（2024春•金凤区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　15　 ． 【思路点拨】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15， 故答案为：15． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 重点难点考点讲练03:线段垂直平分线的性质 【例题精讲】（2021春•渭滨区校级期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解． 【规范解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB∠CAB，∠PBE∠CBE， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB， ∠PBE＝∠PAB+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM＝PN＝PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE ∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP ∴PC平分∠DCB， ∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确． 故选：D． 【考点评析】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等． 【训练1】（2024秋•集宁区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【思路点拨】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求． （2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题． 【规范解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【训练2】（2024秋•句容市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键． 重点难点考点讲练04:等腰三角形的性质 【例题精讲】（2024秋•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【思路点拨】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，NM＝ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，最后由三角形内角和求出∠C即可． 【规范解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 【考点评析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【训练1】（2024秋•大兴区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【思路点拨】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【规范解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型． 【训练2】（2024春•临渭区期中）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 【思路点拨】（1）设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得∠A； （2）证明EF是AB的垂直平分线，得AF＝BF，再根据等腰三角形的性质利用线段的和差即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝AD， ∴∠A＝x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴BD＝BC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°， ∴∠BAC的度数为36°； （2）∵E是AB的中点，BD＝AD， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠FAB＝72°， ∴∠AFB＝∠FAC＝36°， ∴CA＝CF， ∴AB＝AC＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用． 重点难点考点讲练05:等腰三角形的判定 【例题精讲】（2024春•宏伟区期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D，使△ABD为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由等腰三角形的判定方法，即可判断． 【规范解答】解：A、由作图知AD＝AB，因此△ABC为等腰三角形，故A不符合题意； B、由作图知D在AB的垂直平分线上，得到AD＝DB，因此△ABC为等腰三角形，故B不符合题意； C、由作图知D是AC的中点，推出BDAC，得到AD＝BD，因此△ABC为等腰三角形，故C不符合题意； D、由作图知BD平分∠ABC，得到∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABD中没有相等的角，不能判定△ABC为等腰三角形，故D符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 【训练1】（2024春•榆次区期中）小聪同学在寒假完成项目作业《用纸片“做数学”》时，通过实践探索和推理验证发现，当一个三角形纸片的内角满足一定条件时，这个三角形纸片能沿一条直线剪切成两个等腰三角形，例如三角形纸片的一个内角是另一个内角的3倍时（如图），沿图中虚线剪切得到的两个三角形都是等腰三角形．除此情形，三角形纸片的内角满足 　有一个内角是直角　 条件时，也能沿一条直线剪切得到两个等腰三角形（写出一种情况即可）． 【思路点拨】根据等腰三角形的判定和三角形内角和定理可得，当α+2α＝90°即α＝30°时，可以， 【规范解答】解：当α+2α＝90°即α＝30°时，可以， 此时，DA＝DC，DC＝DB， 故△DAC，△DCB都是等腰三角形， 故答案为：有一个内角是直角． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【训练2】．（2024秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H． ①求证：△APF是等腰三角形； ②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想． 【思路点拨】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证； ②根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解． 【规范解答】①证明：∵EF∥AD， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠P， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠4＝∠P， ∴AF＝AP， 即△APF是等腰三角形； ②AB＝PC．理由如下： 证明：∵CH∥AB， ∴∠5＝∠B，∠H＝∠1， ∵EF∥AD， ∴∠1＝∠3， ∴∠H＝∠3， 在△BEF和△CDH中， ∵， ∴△BEF≌△CDH（AAS）， ∴BF＝CH， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠H， ∴AC＝CH， ∴AC＝BF， ∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC， ∴AB＝PC． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观． 重点难点考点讲练06:等腰三角形的判定与性质 【例题精讲】（2024秋•曾都区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A．12 B．9 C．10 D．11 【思路点拨】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据垂直定义可得∠MNC＝∠MNB＝90°，从而可得∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°，然后利用等角的余角相等可得∠M＝∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON＝∠MOA，从而可得∠M＝∠MOA，进而可得AM＝AO＝3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵MN⊥BC， ∴∠MNC＝∠MNB＝90°， ∴∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°， ∴∠M＝∠BON， ∵∠BON＝∠MOA， ∴∠M＝∠MOA， ∴AM＝AO＝3， ∵BO＝4， ∴AB＝AC＝AO+BO＝7， ∴MC＝AM+AC＝10， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【训练1】（2023秋•城中区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． （1）求∠BAC和∠ACB的度数； （2）求证：△ACF是等腰三角形． 【思路点拨】（1）设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠BAC＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得； （2）依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF． 【规范解答】解：（1）设∠BAC＝x°， ∵AD＝BD， ∴∠BAC＝∠ABD＝x°， ∴∠BDC＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2x°， 由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， 则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°； （2）∵E是AB的中点，AD＝BD， ∴DE⊥AB，即FE⊥AB； ∴AF＝BF， ∴∠BAF＝∠ABF， 又∵∠ABD＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠FBD＝36°， 又∵∠ACB＝72°， ∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°， ∴∠CAF＝∠AFC＝36°， ∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 【训练2】（2023秋•武都区期中）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【思路点拨】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC∠ABC∠ABC∠BAC，即可得到结论． 【规范解答】解：（1）①∵AD∥BE， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD； ②∵AD∥BE， ∴∠ADC＝∠DCE， 由①知AB＝AD， 又∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴CD平分∠ACE； （2）∠BDC∠BAC， ∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE， ∴∠BDC∠ABC∠ACE， ∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE， ∴∠BDC∠ABC∠ABC∠BAC， ∴∠BDC∠BAC． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 重点难点考点讲练07:等边三角形的性质 【例题精讲】（2024春•宏伟区期中）已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝108°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　） A．48° B．12° C．22° D．18° 【思路点拨】过P作PM∥AB交AC于M，作PN∥AC交AB于N，推出四边形PMAN是平行四边形，得到PM＝AN，由等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，由平行线的性质推出∠BPN＝∠C＝60°，判定△PBN是等边三角形，得到PN＝PB，因此△APN是AP，BP，CP为边的三角形，求出∠APB＝180°﹣108°＝72°，得到∠APN＝72°﹣60°＝12°，求出∠BAP＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∠ANP＝180°﹣60°＝120°，即可得到答案． 【规范解答】解：过P作PM∥AB交AC于M，作PN∥AC交AB于N， ∴四边形PMAN是平行四边形， ∴PM＝AN， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵PN∥AC， ∴∠BPN＝∠C＝60°，∠APN＝∠PAM， ∴∠PNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△PBN是等边三角形， ∴PN＝PB， ∴△APN是AP，BP，CP为边的三角形， ∵∠APC＝108°， ∴∠APB＝180°﹣108°＝72°， ∴∠APN＝72°﹣60°＝12°， ∵∠BAP＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∠ANP＝180°﹣60°＝120°， ∴∠PAN最小， ∴以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的度数是12°． 故选：B． 【考点评析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由平行四边形的性质，等边三角形的性质推出△APN是AP，BP，CP为边的三角形． 【训练1】（2024春•振兴区校级期中）如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条直线l1，l2上滑动，若l1⊥l2，垂足为点O，则OC的最大值与最小值的差是 　2　 ． 【思路点拨】取AB的中点D，连接CD，根据三角形的边角关系得到CD﹣OD≤OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC取得最小值，最小值为CD﹣OD，当点D为AB中点时，OC取得最大值，最大值为OD+DC，根据D为AB中点，得到BD的长，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD的长，进而即可得到答案． 【规范解答】解：取AB的中点D，连接CD，OD、OC，如图： 由三角形的三边关系可得：CD﹣OD≤OC≤OD+DC， ∴当O、D、C共线时，OC取得最小值，最小值为CD﹣OD， 当点D为AB中点时，OC取得最大值，最大值为OD+DC， ∵AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∵AB＝2，D为AB的中点， ∴， 在Rt△BCD中，由勾股定理可得：， 在Rt△AOB中，， ∴，， ∴OC的最大值与最小值的差为：． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查三角形的三边关系，勾股定理和直角三角中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键． 【训练2】（2024秋•中山区校级期中）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 【思路点拨】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB； （2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB． 【规范解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴CE平分∠ACB，AE＝BE， ∴∠BCE＝30°， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠BCE＝30°． ∵∠ABC＝∠D+∠BED， ∴∠BED＝30°， ∴∠D＝∠BED， ∴BD＝BE． ∴AE＝DB． （2）解：AE＝DB； 理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示： ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF． 在△DEB和△ECF中， ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 重点难点考点讲练08:等边三角形的判定 【例题精讲】（2024春•凉州区期中）△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【思路点拨】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形． 【规范解答】解：由题意得， 解得， ∵a2+b2＝c2，且a＝b， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故选：A． 【考点评析】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理． 【训练1】（2024春•北林区校级期中）如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．求证：△BCE是等边三角形． 【思路点拨】根据平行线的性质和等角对等边，得出CB＝CE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【规范解答】证明：∵CE∥DA， ∴∠A＝∠CEB， ∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B， ∴CB＝CE； 又∵∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形． 【考点评析】本题考查等边三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【训练2】（2024春•滕州市校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 【思路点拨】（1）根据∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD，再由∠ABC＝∠ADC＝90°证明∠CBD＝∠CDB，则CB＝CD，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设∠F＝α，根据AB＝AF可得∠ABF＝∠F＝α，由于BF∥CD，可得∠F＝∠DCE，根据∠BAC是△ABF的外角，则∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，由于∠ABC＝90°，所以∠BCE+∠BAC＝90°，从而α＝30°，进而∠ACB＝60°，结论得证； ②延长AD至A′，使DA′＝AD，可得A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【规范解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD； （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形； ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． 【考点评析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含30°角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． 重点难点考点讲练09:等边三角形的判定与性质 【例题精讲】（2024春•宣州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AD＝CD，连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC、AC于E、F，若AB＝4，DE＝3，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【思路点拨】连接BD交AC于点O，证明△FCE为等边三角形，则设FE＝FC＝x，则DE＝3﹣x，由∠ODF＝30°，则在Rt△ODF中，DF＝2OF，得到3﹣x＝2（2﹣x），最后对Rt△ADO运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连接BD交AC于点O， ∵AB＝BC，AD＝CD， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AO＝OC，∠AOD＝∠FOD＝90°， ∵∠B＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4，∠C＝∠A＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠FEC＝∠ABC＝60°，∠EFC＝∠BAC＝60°， ∴∠FEC＝∠EFC＝∠FCE＝60°， ∴△FCE为等边三角形， ∴设FE＝FC＝x，则DF＝3﹣x， 而， ∴OF＝2﹣x， ∵∠OFD＝∠FEC＝60°， ∴∠ODF＝30° ∴在Rt△ODF中，DF＝2OF， ∴3﹣x＝2（2﹣x），解得：x＝1， ∴， 在Rt△ADO中，， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【训练1】（2024春•南城县期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO＝12，求OE的长． 【思路点拨】（1）证明∠C＝60°，CD＝CE，即可解决问题． （2）证明AO＝2OE，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠C＝60°，CEBC，CDAC；而BC＝AC， ∴CD＝CE，△CDE是等边三角形． （2）由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线， ∴∠BAE＝∠DBA＝30°，AE⊥CB， ∴OA＝OB， ∵∠OBE＝30°， ∴OB＝2OE， ∴AO＝2OE，而AO＝12， ∴OE＝6． 【考点评析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握等边三角形的判定及其性质． 【训练2】（2023春•郓城县期中）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论． （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC ∵∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴EC＝CD＝DB， ∴△ABD≌△ACE． ∴AD＝AE，且∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF， ∵∠ACB＝60°， ∴△DCF是等边三角形， ∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°， ∴∠ADF＝∠EDC， ∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE， ∴∠DAF＝∠DEC， ∴△ADF≌△EDC（AAS）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定及性质，难度较大，注意基本性质的掌握及熟练应用是解答本题的关键． 重点难点考点讲练10:直角三角形的性质 【例题精讲】（2024秋•忻州期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 【思路点拨】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC， ∴， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°． 故选：A． 【考点评析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【训练1】（2024秋•信阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　 ． 【思路点拨】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 【考点评析】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED． 【训练2】（2019春•港南区期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C． （1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC； （2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数； （3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由． 【思路点拨】（1）易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出； （2）易证∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，且∠DOB＝∠EOB＝∠OEA就可以得到； （3）∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）根据角平分线的定义，就可以求出． 【规范解答】解：（1）∵△AOB是直角三角形， ∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°． ∵∠A＝∠AOC， ∴∠B＝∠BOC； （2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°， ∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA． ∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°， ∴∠DOB＝30°， ∴∠A＝30°； （3）∠P的度数不变，∠P＝30°， ∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC， ∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO， ∴∠FOM∠AOM（90°﹣∠AOC）＝45°∠AOC，∠PCO∠BCO（∠A+∠AOC）∠A∠AOC． ∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°） ＝45°∠A ＝30°． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质． 重点难点考点讲练11:含30度角的直角三角形 【例题精讲】（2024春•金台区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　10　 ． 【思路点拨】AC与DE相交于G，如图，利用等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，再证明CG＝CD，设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AG＝2AE＝2x，所以AB＝BC＝AC＝5x，则BE＝4x，BF＝5x﹣6，然后在Rt△BEF中利用BE＝2BF得到4x＝2（5x﹣6），解方程求出x后计算5x即可． 【规范解答】解：AC与DE相交于G，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE＝30°， ∴∠CGD＝30°， ∵∠ACB＝∠CGD+∠D， ∴∠D＝30°， ∴CG＝CD， 设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x， 在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x， ∴AB＝BC＝AC＝5x， ∴BE＝4x，BF＝5x﹣6， 在Rt△BEF中，BE＝2BF， 即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2， ∴AC＝5x＝10． 故答案为10． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等边三角形的性质． 【训练1】（2024春•太谷区期中）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，若FE＝CF，AE＝2，则EF的长为 　　 ． 【思路点拨】过F点作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N，根据角平分线的性质可得FM＝FN，∠FMA＝∠FNA＝90°．根据“四边形内角和等于360°”可求得∠MFN＝60°，再证明Rt△EMF≌Rt△NCF（HL），则可得∠MFE＝∠NFC，则∠CFE＝∠MFN＝60°，从而证得△EFC是等边三角形，得EF＝EC．再求得∠B＝30°，在Rt△BEH中，求出EH、BH的长．最后在Rt△EHC中根据勾股定理即可求出EC的长，也就可知EF的长． 【规范解答】解：如图，过F点作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N， ∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， 即AF平分∠BAC， ∴∠FAM＝∠FAN，且∠FMA＝∠FNA＝90°． ∴FM＝FN， 又∵四边形AMFN中∠BAC＝120°， ∴∠MFN＝360°﹣∠BAC﹣∠FMA﹣∠FNA＝60°． 在Rt△EMF与Rt△NCF中， ， ∴Rt△EMF≌Rt△NCF（HL）， ∴∠MFE＝∠NFC， ∴∠MFE+∠EFN＝∠NFC+∠EFN，即∠MFN＝∠EFC， ∴∠CFE＝∠MFN＝60°， ∵FE＝FC， ∴△EFC是等边三角形， ∴EF＝EC． 作EH⊥BC于H， 则∠EHB＝∠EHC＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠ACB＝30°． ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝4， ∴． ∵Rt△ABD中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出△EFC是等边三角形是解题的关键． 【训练2】（2023春•沈北新区期中）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 　不是　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答； （2）分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时；当∠C﹣∠B＝60°时；然后分别进行计算即可解答； （3）在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠ABC＝60°，AB＝2+2，然后分三种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时；当D与A重合时，最后分别进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°， ∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°， ∴分三种情况： 当∠C﹣∠A＝60°时， ∴∠C＝∠A+60°＝95°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°； 当∠C﹣∠B＝60°时， ∵∠A＝35°， ∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°， ∴2∠B＝85°， ∴∠B＝42.5°； 综上所述：∠B的度数为50°或42.5°； （3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2， ∵△BCD是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当∠C﹣∠CBD＝60°时， ∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°， ∴BD＝2CD， ∵CD2+BC2＝BD2， ∴CD2+（1）2＝（2CD）2， 解得：CD或CD（舍去）， ∴BD＝2CD； 当∠BDC﹣∠CBD＝60°时， 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠C＝90°， ∴∠BDC+∠CBD＝90°， ∴2∠BDC＝150°， ∴∠BDC＝75°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BE＝DE，BDDE， 设DE＝BE＝x， 在Rt△ADE中，∠A＝30°， ∴AEDEx， ∵BE+AE＝AB， ∴xx＝2+2， 解得：x＝2， ∴BE＝DE＝2， ∴BDDE＝2； 当D与A重合时， ∵∠C﹣∠A＝60°， ∴△BCD是准等边三角形， 此时BD＝2BC＝2+2， 综上所述：BD的长为或2或2+2． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键． 重点难点考点讲练12:勾股定理 【例题精讲】（2024春•湖北期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【思路点拨】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【考点评析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2＝S3是解题的关键． 【训练1】（2024春•静海区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【思路点拨】连接BH，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得出62+（8﹣x）2＝x2，求出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【训练2】（2024春•竹溪县期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 【思路点拨】（1）根据勾股定理计算即可； （2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算． 【规范解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7， ∴CE＝10﹣7＝3， 在Rt△CBE中，BE5； （2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7， 则t＝7÷1＝7（秒）， 当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2， 解得，t， ∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 重点难点考点讲练13:勾股定理的证明 【例题精讲】（2024春•湖南期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【规范解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ababc2（a+b）（a+b）， 整理得a2+b2＝c2， ∴B选项可以证明勾股定理； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2， ∴C选项可以证明勾股定理； D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积， ∴b2+a2+2ab＝c2+2ab， 整理得a2+b2＝c2， ∴D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键． 【训练1】（2024春•永定区期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法． （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成（a＜b），则：S小正方形+4S三角形＝　（b﹣a）2+2ab　 ，S大正方形＝　c2　 ；（此两空均用含a，b，c的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 　a2+b2＝c2　 （化简），故验证了勾股定理． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，求CD的长； （3）如图1，S大正方形＝169，S小正方形＝49，直接写出（a+b）2的值． 【思路点拨】（1）根据正方形的面积等于边长的平方以及直角三角形的面积等于底乘高除以2，进行列式，然后再化简即可验证a2+b2＝c2； （2）先运用勾股定理求出斜边的长度10，再根据等面积法进行列式，代入数值进行化简计算，即可作答． （3）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． 【规范解答】解：（1）∵如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成（a＜b）， ∴，， ∴； 则； ∵S小正方形+4S三角形＝S大正方形，（b﹣a）2+2ab＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2； ∴a2+b2＝c2； 故答案为：（b﹣a）2+2ab，c2；a2+b2＝c2； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴ ∵CD是AB边上的高， ∴ 即 （3）∵S小正方形+4S三角形＝S大正方形 ∴， ∵， ∴， 结合（1）结论； ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝169+120＝289． 【考点评析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【训练2】（2024春•惠东县期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【思路点拨】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设AB＝AC＝x千米，则AH＝（x﹣0.6）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【规范解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得x≈0.83， 即CA≈0.83千米， ∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米）， 答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3）∵AH＝x， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 根据勾股定理： 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2， 解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH8． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 重点难点考点讲练14:勾股定理的逆定理 【例题精讲】（2019秋•泰安期中）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　1或2　 时，△PBQ是直角三角形． 【思路点拨】本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B＝60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm， △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝（3﹣t）cm， △PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则 ∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°， 当∠BQP＝90°时，BQBP， 即t（3﹣t），t＝1（秒）， 当∠BPQ＝90°时，BPBQ， 3﹣tt，t＝2（秒）． 答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． 故答案为：1或2． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法． 【训练1】（2023秋•九江期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD，AD＝1，且∠B＝90°．试求： （1）∠BAD的度数． （2）四边形ABCD的面积（结果保留根号） 【思路点拨】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数； （2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论． 【规范解答】解：（1）连接AC， ∵AB＝BC＝1，∠B＝90° ∴AC 又∵AD＝1，DC ∴（）2＝12+（）2 即CD2＝AD2+AC2 ∴∠DAC＝90° ∵AB＝BC＝1 ∴∠BAC＝∠BCA＝45° ∴∠BAD＝135°； （2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC ＝1×11 ． 【考点评析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【训练2】（2024秋•浦口区校级期中）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示； （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想． 【思路点拨】（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【规范解答】解：（1）由图表可以得出： ∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1， n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1， n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1， … ∴a＝n 2﹣1，b＝2n，c＝n 2+1． （2）a、b、c为边的三角形时： ∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1， c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出a、b、c与n之间的关系是解决问题的关键． 重点难点考点讲练15:反证法 【例题精讲】（2024春•市中区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立．∴∠B＜90° ②∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【思路点拨】根据反证法的一般步骤判断即可． 【规范解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ①假设在△ABC中，∠B≥90°， ②由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， ③∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， ④因此假设不成立． ∴∠B＜90°， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断是解题的关键． 【训练1】（2024春•钱塘区校级期中）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（　　） A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B 【思路点拨】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【规范解答】解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”， 第一步应假设a≤b， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【训练2】（2022春•鼓楼区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　③④①②　 ．（填序号） 【思路点拨】根据反证法的一般步骤判断即可． 【规范解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°， 2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， 3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， 4、因此假设不成立．∴∠B＜90°， 故答案为：③④①②． 【考点评析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确 第二部分：三角形的解题模型 重点难点考点讲练16:“8”字模型 【例题精讲】（2023春•黄陂区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，下列结论：①BC2＝4DE2；②S△ABC＝4S△ADE；③BE2﹣CD2＝3DE2；④．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】利用三角形的中位线定理即可判断①的结论正确；利用相似三角形的判定与性质即可判断②的结论正确；利用相似三角形的判定与性质和勾股定理即可判断③的结论正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的结论不正确． 【规范解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴BC＝2DE， ∴BC2＝4DE2， ∴①的结论正确； ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴S△ABC＝4S△ADE． ∴②的结论正确； ∵∠ACB＝90°， ∴BE2＝BC2+CE2＝4DE2+CE2． ∵DE∥BC， ∴DE⊥AC， ∴CD2＝DE2+CE2， ∴BE2﹣CD2＝4DE2+CE2﹣（DE2+CE2）＝3DE2． ∴③的结论正确； ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴， ∴S△BOC＝4S△DOE， ∴④的结论不正确． 综上，正确的结论有3个：①②③， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【训练1】．（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB． （1）求证：∠CAD＝∠CBD； （2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）利用“8字形”中∠ACO＝∠DBO＝90°，∠AOC＝∠DOB，即可得到∠CAD＝∠CBD； （2）在AD上截取AE＝BD，连接CE，判定△CAE≌△CBD（SAS），即可得出△CDE为等腰直角三角形，进而得到∠ADC＝45°； （3）由旋转的性质得△CAE≌△CBD，∠ECD＝∠ACB＝90°，进而得到△CDE为等腰直角三角形，依据线段的和差关系即可得到AD+BD CD． 【规范解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠ACO＝∠DBO＝90°， 又∵∠AOC＝∠DOB， ∴∠CAD＝∠CBD； （2）解：如图1，在AD上截取AE＝BD，连接CE， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，且∠AOC＝∠BOD， ∴∠CAE＝∠DBC， 又∵AC＝BC， ∴△CAE≌△CBD（SAS）， ∴CE＝CD，∠ACE＝∠DCB， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴∠ADC＝45°； （3）AD+BD CD． 证明：如图2，由旋转的性质得：△CAE≌△CBD，∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴CE＝CD，AE＝BD， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴DECD，即AD+AECD， ∴AD+BDCD． 【考点评析】本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形，全等三角形以及旋转变换的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等进行转化． 【训练2】（2021春•双流区校级期中）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD．将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB．点O为线段AB的中点，连接DO，EO． （1）如图1，当点B旋转到CD边上时，线段DO与EO的数量和位置关系是 　OD＝OE，OD⊥OE　 ； （2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）若BC＝2，，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，求线段OD的长． 【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE＝OAAB，进而得出∠BOE＝2∠BAE，同理得出OD＝OAAB，∠DOB＝2∠BAD，即可得出结论； （2）先判断出△AOM≌△BOE（SAS），得出∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，再判断出∠MAD＝∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论； （3）分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出OD＝OE，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO； 理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 在Rt△ABE中，点O是AB的中点， ∴OE＝OAAB， ∴∠BOE＝2∠BAE， 在Rt△ABD中，点O是AB的中点， ∴OD＝OAAB， ∴∠DOE＝2∠BAD， ∴OD＝OE， ∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝45°， ∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°， ∴OD⊥OE； 故答案为：OD＝OE，OD⊥OE； （2）成立，理由如下： 如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∵∠AOM＝∠BOE， ∴△AOM≌△BOE（SAS）， ∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB， ∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°， ∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°， ∴∠MAO＝135°， ∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°， ∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°， ∴∠MAD＝∠DCE， ∵MA＝EB，EB＝EC， ∴MA＝EC， ∵AD＝DC， ∴△MAD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE， ∵∠CDE+∠ADE＝90°， ∴∠ADM+∠ADE＝90°， ∴∠MDE＝90°， ∵MO＝EO，MD＝DE， ∴，OD⊥ME， ∵， ∴OD＝OE，OD⊥OE； （3）①当点B在AC左侧时，如图3，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE， 同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS）， ∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM， ∵BE＝CE， ∴AM＝CE， 在五边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD， ∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°， ∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD， ∴∠DAM＝∠DCE， ∵AD＝CD， ∴△DAM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE， ∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵OM＝OE， ∴OD＝OEME，∠DOE＝90°， 在Rt△BCE中，CEBC， 过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H， 在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°， ∴EHCE， 根据勾股定理得，CHEH， ∴DH＝CD+CH， 在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE， ∴ODDE； ②当点B在AC右侧时，如图4， 同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°， 连接DE，过点E作EH⊥CD于H， 在Rt△EHC中，∠ECH＝30°， ∴EHCE， 根据勾股定理得，CH， ∴DH＝CD﹣CH， 在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE， ∴ODDE＝1， 综上所述，线段OD的长为1或． 【考点评析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出∠DAM＝∠DCE是解本题的关键． 重点难点考点讲练17:飞镖模型 【例题精讲】（2023春•黑山县期中）如图：直线CD是经过∠ACB顶点C的一条直线，AC＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠AEC＝∠CFB＝∠α． 【数学思考】 （1）若直线CD是经过∠ACB的内部，且E、F在射线CD上．请解决下面两个问题： ①如图1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，则AE 　＝　 CF（填＞，＜或＝），猜测线段EF与线段AE、BF的数量关系，并证明你的猜想； ②如图2，若0°＜∠ACB＜90°，当∠ACB与∠α之间满足 　∠ACB+∠α＝180°　 时，能够使得①中的结论仍然成立，并证明两个结论． 【问题拓展】 （2）如图3．若直线CD经过∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，请直接写出EF、AE、BF三条线段的数量关系． 【思路点拨】（1）①证明△ACE≌△CBF（AAS），然后推论出边的数量关系； ②证明全等后以上结论仍然成立； （2）同上证明△ACE≌△CBF（AAS）即可推论出边的数量关系． 【规范解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCF＝90°， ∵∠AEC＝∠CFB＝∠α＝90°， ∴∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，BF＝CE， ∵EF＝CF﹣CE， ∴EF＝AE﹣BF， 故答案为：＝； ②∠ACB+∠α＝180°． 证明：∵∠AEC＝∠CFB＝∠α，∠ACB+∠α＝180°， ∠AEC+∠AEF＝180°，∠AEC＝∠CFB＝∠α， ∴∠ACB＝∠AEF， ∵∠AEF＝180°﹣∠α，∠CAE+∠ACF＝180°﹣∠α， ∴∠AEF＝∠CAE+∠ACF， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF， ∴∠CAE+∠ACF＝∠ACF+∠BCF， ∴∠CAE＝∠BCF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，BF＝CE， ∵EF＝CF﹣CE， ∴EF＝AE﹣BF， 故答案为：∠ACB+∠α＝180°； （2）EF＝AE+BF． 证明：与（2）同理可得，△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，BF＝CE， ∵EF＝CF+CE， ∴EF＝AE+BF． 【考点评析】此题考查全等三角形，解题关键是全等三角形对应的边相等，即可推论出边的数量关系． 【训练1】（2019秋•河池期中）一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 【思路点拨】延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BDC，然后即可判断． 【规范解答】解：如图， 延长CD交AB于E， ∵∠A＝90°，∠C＝21°， ∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°， ∵∠B＝32°， ∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°． 又∵∠BDC＝148°， ∴这个零件不合格． 【考点评析】本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键． 【训练2】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）AB∥CD．如图a，点P在AB、CD外部时，∠BOD，∠BPD，∠D之间有何数量关系？请说明理由； （2）如图b，将点P移到AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间又有何数量关系？请说明理由； （3）在图b中，若∠B＝40°，∠D＝25°，则∠BPD的度数是多少？ （4）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）． 【思路点拨】（1）∠BOD是三角形OPD的一个外角，由此可得出三个角的关系． （2）过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系． （3）根据（2）的关系可得出答案． （4）连接BD，QP，并且延长QP交BD于E，则∠BPD＝∠BPE+∠EPD＝（∠PBQ+∠BQP）+（∠PDQ+∠DQP）＝∠PBQ+∠PDQ+∠BQD． 【规范解答】解：（1）∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， ∴∠BOD＝∠BPD+∠D． （2）过P作平行于AB的直线PO， ∵∠BPD＝∠BPO+∠OPD，∠BPO＝∠B，∠OPD＝∠D， ∴∠BPD＝∠B+∠D． （3）由（2）得：∠BPD＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°． （4） ∵∠BQP+∠QBP＝∠BPE， ∠DQP+∠QDP＝∠DPE， ∴∠BPD＝∠PBQ+∠PDQ+∠BQD． 【考点评析】本题考查平行线的性质，比较简单，注意掌握题目中的变与不变． 重点难点考点讲练18:"A"字模型 【例题精讲】（2023春•建阳区期中）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝15m，则A、B间的距离是（　　） A．18m B．24m C．28m D．30m 【思路点拨】根据D、E分别是OA、OB的中点，可得出DE是△OAB的中位线，得出，即可求解． 【规范解答】解：∵D、E分别是OA、OB的中点， ∴DE是△OAB的中位线， ∴， ∴AB＝2DE＝2×15＝30cm， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解此题的关键． 【训练1】（2023春•北仑区期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，BC＝12，则EF的长为 　2　 ． 【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可． 【规范解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝8， ∴DFAB＝4， ∵DE为△ABC的中位线，BC＝12， ∴DEBC＝6， ∴EF＝DE﹣DF＝2， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【训练2】（2022春•历城区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为 　3　 ． 【思路点拨】首先利用SAS证明△ACM≌△BCN，得∠CBN＝∠CAM，可知N在线段BN上运动，作点D关于直线BN的对称点D'，连接CD'，则ND+CN的最小值即为CD'的长，利用勾股定理求出CD'的长即可得出答案． 【规范解答】解：∵线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN， ∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝∠BCN， ∵AC＝CB， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴∠CBN＝∠CAM， ∵△ABC是等边三角形，点D为BC的中点， ∴∠CAM＝30°， ∴∠CBN＝30°， ∴点N在线段BN上运动， 作点D关于直线BN的对称点D'，连接CD'，则ND+CN的最小值即为CD'的长， ∴∠CBN＝∠D'BN＝30°， ∴△BDD'是等边三角形， ∴BD＝DC＝D'B＝D′D， ∴∠BD'C＝90°，∠BCD'＝30°， ∵AB＝BC＝6， ∴BD'＝3，CD'＝3， ∴ND+CN的最小值为3． 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明点N在线段BN上运动是解题的关键． 重点难点考点讲练19:风筝模型 【例题精讲】（2021秋•河西区期中）在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【思路点拨】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解． 【规范解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°， ∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°， ∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°． 故选：B． 【考点评析】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度． 【训练1】（2021春•武昌区校级期中）（附加题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（　　） A．∠A＝∠1+∠2 B．∠A＝∠2﹣∠1 C．2∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2） 【思路点拨】可连接AA′，分别在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论． 【规范解答】解：连接AA′． 则△A′ED即为折叠前的三角形， 由折叠的性质知：∠DAE＝∠DA′E． 由三角形的外角性质知： ∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A； 则∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE， 即∠1+∠2＝2∠A． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键． 【训练2】（2023春•通道县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若AD＝BD，则BE与AD的数量关系是 　AD＝4BE　 ． 【思路点拨】由菱形邻边相等结合，AD＝AB，OBBD，可判断△ABD是等边三角形，继而得到∠ABD＝60°，再由直角三角形的两个锐角互余即可求得∠BOE＝90°﹣60°＝30°，从而可得答案． 【规范解答】解：在菱形ABCD中，AD＝AB，OBBD， ∵AD＝BD， ∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∴OB＝2BE， ∴AD＝4BE， 故答案为：AD＝4BE． 【考点评析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，掌握相关知识是解题关键． 重点难点考点讲练20:角平分线模型 【例题精讲】（2024春•邗江区校级期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若BE＝EC＝3，求DF的长． 【思路点拨】（1）过A作AM⊥EF，交EF于点M，因为AD⊥CD，AB⊥BC，即∠B＝∠D＝90°＝∠C，所以四边形ABCD是矩形，因为AM⊥EF，所以∠AME＝∠AMF＝90°，因为∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，所以∠AEB＝∠AEM，∠AFM＝∠AFD，因为∠AME＝∠B，∠AMF＝∠D，AE＝AE，AF＝AF，证得△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF，可得AM＝AB，AM＝AD，即AB＝AD，即证得矩形ABCD是正方形； （2）因为四边形ABCD是正方形，BE＝EC＝3，即BC＝6，可得CD的长，因为△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF，所以EM＝BE＝3，DF＝MF，设MF＝DF＝x，则FC＝6﹣x，EF＝3+x，由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得x的值，即得DF的长． 【规范解答】（1）证明：过A作AM⊥EF，交EF于点M， ， ∵AD⊥CD，AB⊥BC，即∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AM⊥EF， ∴∠AME＝∠AMF＝90°， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴∠AEB＝∠AEM，∠AFM＝∠AFD， ∵∠AME＝∠B，∠AMF＝∠D，AE＝AE，AF＝AF， ∴△ABE≌△AME（AAS），△ADF≌△AMF（AAS）， ∴AM＝AB，AM＝AD， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC， ∵BE＝EC＝3，即BC＝6， ∴CD＝6， ∵△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF， ∴EM＝BE＝3，DF＝MF， 设MF＝DF＝x，则FC＝6﹣x，EF＝3+x， 由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2， ∴DF＝2． 【考点评析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的定义，关键是掌握正方形的判定与性质． 【训练1】（2024春•城阳区期中）【问题情境】 如图①，△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线BD，CD交于点D． 【建立模型】 （1）如图②，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点A作直线l∥BC，延长BD和CD，分别交l于点E，F，若AB＝4，AC＝3，请你直接写出EF的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，△ABC的内角∠ABC的平分线BD，与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明． 【思路点拨】（1）先由角平分线定义得∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，再由平行线的性质得∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，则∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，证出BE＝DE，CF＝DF，进而得出结论； （2）同（1）证出AE＝AB，AF＝AC，进而得出结论； （3）同（1）证出DE＝BE，DF＝CF，进而得出结论． 【规范解答】解：（1）EF＝BE+CF，理由如下： 如图②， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF， ∵EF∥BC， ∴∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB， ∴∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴DE+DF＝BE+CF， 即EF＝BE+CF； （2）EF＝7；理由如下： 如图③， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠EBC＝∠ABE，∠FCB＝∠ACF， ∵EF∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC，∠FCB＝∠AFC， ∴∠ABE＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC， ∴AE＝AB，AF＝AC， ∵AB＝4，AC＝3， ∴EF＝AE+AF＝4+3＝7； （3）EF＝BE﹣CF，理由如下： 如图④， ∵∠ABC的平分线BD与∠ACG的平分线CD交于点D， ∴∠DBC＝∠ABD，∠ACD＝∠DCG， ∵DE∥BC， ∴∠DBC＝∠BDE，∠CDF＝∠DCG， ∴∠ABD＝∠BDE，∠ACD＝∠CDF， ∴DE＝BE，DF＝CF， ∵EF＝DE﹣DF， ∴EF＝BE﹣CF． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 【训练2】（2023春•城关区校级期中）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； 【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与边BC的延长线交于点E，判断∠CFE与∠CEF还相等吗？并说明理由； 【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F，交BC于点E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，请直接写出∠M与∠CFE之间的数量关系． 【思路点拨】习题回顾：根据角平分线的定义及三角形外角的性质求解即可； 变式思考：根据角平分线的性质和直角三角形的性质可得到结果； 探究延伸：由题可知∠EAN＝90°，证明∠CEF＝∠CFE，即可得结论． 【规范解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD． ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠DAF． ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， ∴∠CEF＝∠CFE； 【变式思考】解：∠CEF＝∠CFE；理由如下： ∵AF为∠BAG的平分线， ∴∠GAF＝∠DAF． ∵CD为边AB上的高，∠ACB＝90°， ∴∠ADF＝∠ACE＝90°． 又∵∠CAE＝∠GAF，AF平分∠BAG， ∴∠CAE＝∠DAF＝∠GAF， ∴90°﹣∠CAE＝90°﹣∠DAF， ∴∠CEF＝∠CFE； 【探究延伸】解：∠M+∠CFE＝90°．理由如下： ∵C，A，G三点共线，AE，AN分别为∠CAB，∠BAG的平分线， ∴∠EAN＝90°． ∴∠MAE＝90°， ∴∠M+∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠M+∠CFE＝90°． 【考点评析】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角性质，利用角平分线的性质是解题的关键． 重点难点考点讲练21:直角三角形中的锐角平分线模型 【例题精讲】（2024春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　8　 ； （2）①当P在BC上时，CP的长为 　3t﹣17　 （用含t的代数式表示），t的取值范围是 　　 ； ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　或　 ． 【思路点拨】（1）由勾股定理可得； （2）①根据点P的运动路径及速度可表示出CP，根据P在BC上，可得t的取值范围； ②分两种情况讨论． 【规范解答】解：（1）由勾股定理得，AB8， 故答案为：8； （2）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17， ∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17， ∵AC≤3t≤AC+BC， ∴t， 故答案为：3t﹣17，t； ②当点P在∠BCA 的角平分线上时，如图所示，过点P作PE⊥AC于E， ， ∴∠PEA＝∠PEC＝90°， ∵CP平分∠BCA， ∴∠BCP＝∠ECP， ∵∠PEC＝∠B＝90°，CP＝CP， ∴△BCP≌△ECP（AAS）， ∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2， 设AP＝x，则BP＝8﹣x， 由勾股定理得，AP2＝EP2+EA2， ∴x2＝（8﹣x）2+22， 解得：x， ∴AP，即40﹣3t， 解得：t， 点P与点C重合时，点P在∠BCA的平分线上， 此时t， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，关键是注意分类讨论． 【训练1】（2023春•高新区校级期中）已知a、b、c是△ABC 的三条边长，且（b2﹣c2）+（2ab﹣2ac）＝0． （1）利用因式分解判断△ABC的形状，并证明你的结论． （2）若a＝6，b＝5，求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）由题可知，（b2﹣c2）+（2ab﹣2ac）＝0，即（b﹣c）（b+c+2a）＝0，而a、b、c是△ABC 的三条边长，因此b+c+2a＞0，b﹣c＝0，即b＝c，即可得出答案； （2）过点A作△ABC底边BC上的高AD，可得BD＝DCBC＝3，在RT△ADB中，由勾股定理得：AD，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）△ABC是等腰三角形． 理由如下： ∵（b2﹣c2）+（2ab﹣2ac）＝0， ∴（b﹣c）（b+c+2a）＝0， ∵a、b、c是△ABC 的三条边长， ∴b+c+2a＞0， ∴b﹣c＝0，即b＝c， ∴△ABC是等腰三角形． （2）如图，过点A作△ABC底边BC上的高AD， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝3， 在RT△ADB中， 由勾股定理得：AD4， ∴△ABC的面积为：4×6＝12． 【考点评析】本题考查的是解直角三角形，勾股定理的逆定理和因式分解的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 重点难点考点讲练22:勾股定理之图形折叠模型 【例题精讲】（2024春•旅顺口区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF．当△CEF为直角三角形时，CE的长是 　5或2　 ． 【思路点拨】当△CEF为直角三角形时，需要分类讨论：分∠CFE＝90°与∠CEF＝90°两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：当∠CFE为90°时，A，F，C三点共线， 设BE长为x，则CE＝8﹣x， 由翻折可得EF＝BE＝x，AF＝AB＝6， 由勾股定理的AC10， ∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4， ∵∠CFE＝∠B＝90°， ∴EF2+FC2＝EC2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CE＝8﹣3＝5． 当∠CEF为90°时，四边形ABEF为正方形， ∴BE＝AB＝6， ∴CE＝8﹣6＝2． 故答案为：5或2． 【考点评析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【训练1】（2022春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　） A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【思路点拨】注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【规范解答】解：①如图1，当点E在线段DC上时， ∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°， ∴B，D′，E三点共线， ∵S△ABEAB×ADBE×AD′， ∴BE＝AB＝5， ∵BD′4， ∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1； ②如图2，当点E在DC的延长线上时， ∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， ∴BD′＝4， 设CE＝x，则： D′E＝DE＝x+5， ∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1， ∵CE2+BC2＝BE2， ∴x2+32＝（x+1）2， 解得：x＝4， ∴DE＝CD+DE＝5+4＝9， 综上，DE的值为1或9． 故选：C． 【考点评析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏． 重点难点考点讲练23:勾股定理之赵爽弦图模型 【例题精讲】（2024春•潢川县期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 【思路点拨】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出． 【规范解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方， ∴直角三角形①中较短的直角边长5cm， ∵直角三角形①中较长的直角边长12cm， ∴直角三角形 ①的面积（cm2）， 故选：C． 【考点评析】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点． 【训练1】（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2． 【思路点拨】由题意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEFab，再根据S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论． 【规范解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形， ∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEFab， ∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF， ∴（a+b）2＝c2+4ab， ∴a2+2ab+b2＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2． 【考点评析】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键． 【训练2】（2023春•卫滨区校级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为 　98　 cm2． 【思路点拨】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积． 【规范解答】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d， 则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2， 又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2， ∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）． 即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2． 故答案为：98． 【考点评析】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键． 重点难点考点讲练24:勾股定理之大树折断模型 【例题精讲】（2024春•连江县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？ 【思路点拨】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【规范解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2， 即x2﹣（x﹣3）2＝82， 解得x， 答：绳索长为尺． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【训练1】（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．15m C．18m D．20m 【思路点拨】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【规范解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ∴原来树的高度为：13（m）， ∴这棵树原来的高度＝5+13＝18（m）． 即：这棵大树在折断前的高度为18m． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 【训练2】（2021春•滨海新区期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，求这棵树在折断前（不包括树根）长度． 【思路点拨】根据勾股定理可求出折断部分的长度，加上没有折断的长度，即为树在断前的长度． 【规范解答】解：由图形知， 折断部分的长度为： 即这棵树在折断前的高度为10+6＝16米． 【考点评析】本题简单的考查了勾股定理在解直角三角形中的应用． 重点难点考点讲练25:勾股定理之风吹荷花模型 【例题精讲】（2024春•斗门区校级期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【思路点拨】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【规范解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 【训练1】（2022春•五华区校级期中）印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 请用学过的数学知识回答这个问题． 【思路点拨】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出． 【规范解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，AC的长度为2， 根据勾股定理得： 在Rt△ABC中，有： x2+22＝（x+0.5）2， x＝3.75， 即湖水深3.75尺． 【考点评析】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解． 【训练2】（2023春•北京期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度． 【思路点拨】根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可． 【规范解答】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理， 得：（x+0.5）2＝x2+22， 解之得：x＝3.75， 答：湖水的深度3.75尺． 【考点评析】考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．熟练运用勾股定理列方程求解． 重点难点考点讲练26:勾股定理之蚂蚁行程模型 【例题精讲】（2024春•黔东南州期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 【思路点拨】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则AD＝105（cm）． 又因为CD＝AB＝12cm， 所以AC（cm）． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的计算，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 【训练1】（2021春•个旧市校级期中）有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 　15　 厘米（π取3）． 【思路点拨】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程． 【规范解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即3π＝9，矩形的宽是圆柱的高12． 根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，即15厘米． 【考点评析】求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 【训练2】（2019春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（3+2） cm B． cm C． cm D． cm 【思路点拨】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【规范解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和6， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段． 重点难点考点讲练27:勾股定理之垂美四边形模型 【例题精讲】（2023春•番禺区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 　③④　 （填序号）； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC，AB＝3． ①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由； ②求GE的长． 【思路点拨】（1）（1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）根据勾股定理解答即可； （3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，证明△GAB≌△CAE（SAS），进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论便可求得结果． ②由（2）得出CG2+BE2＝CB2+GE2，根据勾股定理可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形． 故答案为：③④． （2）证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， 又∠AEC+∠AOE＝90°， ∴∠ABG+∠AOE＝90°， 即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形； ②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC，AB＝3， ∴BC2，CGAC，BEAB＝3， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB224， ∴GE＝2． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【训练1】（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则 ①求证：△AGB≌△ACE ②GE＝　　 ． 【思路点拨】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可； 性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 问题解决：①连接CG，BE，由∠CAG＝∠BAE＝90°知∠GAB＝∠CAE，结合AG＝AC与AB＝AE即可得证； ②由△GAB≌△CAE得出∠ABG＝∠AEC，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【规范解答】解：概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； 性质探究：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下： 如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 问题解决：①连接CG，BE，如图2所示： ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△AGB和△ACE中， ∵， ∴△AGB≌△ACE（SAS）； ②∵△AGB≌△ACE， ∴∠ABG＝∠AEC， 又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝2，AB＝5， ∴BC，CG＝2，BE＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37， ∴GE； 故答案为：． 【考点评析】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【训练2】（2023春•孝南区期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形． ①若，则它的面积为 　　 ； ②若AB＝c，BC＝d，CD＝a，DA＝b，探究a、b、c、d的数量关系． （2）如图2，已知D、E分别是△ABC中边BC、AC的中点，AD⊥BE，AC＝6，BC＝8，请运用②中的结论，直接写出AB的长为 　　 ． 【思路点拨】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解； （2）由三角形的中位线定理可得BD＝DC＝4，AE＝EC＝3，，由②的结论，列出方程可求解． 【规范解答】解：（1）①∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， ∴， 故答案为：； ②∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2， 在Rt△AOD中，AO2+DO2＝AD2， 在Rt△COB中，CO2+BO2＝CB2， 在Rt△COD中，CO2+DO2＝CD2， ∴AO2+BO2+CO2+DO2＝CD2+AB2，AO2+DO2+CO2+BO2＝CB2+AD2， ∴CD2+AB2＝CB2+AD2， 即：c2+a2＝b2+d2； （2）如图，连接DE， ∵D、E分别是△ABC中边BC、AC的中点，AC＝6，BC＝8， ∴BD＝DC＝4，AE＝EC＝3，， ∵AD⊥BE， ∴四边形ABDE是垂美四边形， ∴AB2+DE2＝BD2+AE2， ∴， ∴或AB（舍去）， 故答案为：． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理等知识，理解垂美四边形的定义并运用是解题的关键． 1．（2025•河北模拟）如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【思路点拨】将CD向下平移一格，再向左平移格，得到GF，连接GB，利用勾股定理及其逆定理，证明∠BFG＝90°，即可由平行线的性质求得∠BEC＝∠BFG＝90°，从而求得∠BED． 【规范解答】解：如图，平移CD至FG处，则F，G均在正方形格点上，连接GB， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： BF2＝5，GF2＝5，BG2＝10， ∴BF2+GF2＝BG2， ∴∠BFG＝90°， 由条件可知CD∥GF， ∴∠BEC＝∠BFG＝90°， ∴∠BED＝90°． 故选：C． 【考点评析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是解题的关键． 2．（2024秋•临平区期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架AB与CD交于点O，OD＝OB．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面MN与地面水平线l平行，BD＝2AC，∠CAO＝60°，BD＝28cm，那么折叠后椅子比完全打开时高（　　）cm． A．42 B．2121 C． D． 【思路点拨】过点C作CE⊥l于点E，先判定两个三角形是等边三角形继而求出线段CD和DE的长，利用勾股定理求出CE长，利用DC﹣CE计算出高度差即可． 【规范解答】解：如图所示，过点C作CE⊥l于点E， ∵∠CAO＝60°，AC∥BD， ∴∠OBD＝∠CAO＝60°，∵OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形，则OD＝OB＝BD＝28cm， ∴∠BOD＝∠CDB＝60°， ∴∠AOC＝∠BOD＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∵BD＝2AC，BD＝28cm， ∴AC＝CO＝14cm， ∴CD＝CO+OD＝14+28＝42（cm）， ∵∠ACO＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∴DECD＝21， ∴CE21， ∴DC﹣CE＝42﹣21． 故选：D． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2024秋•兴隆县期末）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 【思路点拨】连接AD，CD，先证明△ABC≌△ADC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE＝DE． 【规范解答】解：连接AD，CD， 由题意得，CB＝CD，AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AE是∠DAB的角平分线， 又∵AB＝AD， ∴BE＝DE， 故选：D． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题关键． 4．（2025•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝8，D为平面内一点且满足AD＝1，E为BD的中点，则BE的取值范围是 　　 ． 【思路点拨】取AB的中点F，连接EF，根据题意得出点E在以点F为圆心，为半径的圆上，据此可解决问题． 【规范解答】解：取AB的中点F，连接EF， ∵点E为BD的中点，点F为AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF， ∴点E在以点F为圆心，为半径的圆上． 则当点E在点M处时，BE取的最大值；当点E在点N处时，BE取的最小值． 又∵AB＝8， ∴BM，BN， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，能根据题意得出点E在以点F为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 5．（2025春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝10，CJ＝8，则四边形AJKL的面积是 　320　 ． 【思路点拨】作DM⊥CI交CI的延长线于点M，作FN⊥CI于点N，依次证明△CDM≌△ACJ（AAS），△CNF≌△BJC，△DIM≌△FIN（AAS），△ACB≌△DCF（SAS），设CM＝AJ＝x，根据全等三角形的性质表示出相关线段的长度，最后用勾股定理解Rt△INF求出x的值，即可求解． 【规范解答】解：过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝10，CJ＝8， 作DM⊥CI交CI的延长线于点M，作FN⊥CI于点N， ∵DM⊥CI，CJ⊥AB， ∴∠DMC＝∠CJA＝90°， ∴∠DCA＝90°，CA＝CD， ∴∠DCM+∠ACJ＝90°， ∵∠DCM+∠CDM＝90°， ∴∠CDM＝∠ACJ， 在△CDM和△ACJ中， ， ∴△CDM≌△ACJ（AAS）， ∴DM＝CJ＝8，CM＝AJ； 同理△CNF≌△BJC， ∴CN＝BJ，NF＝CJ＝8， ∴DM＝FN， 在△DIM和△FIN中， ， ∴△DIM≌△FIN（AAS）， ∴，； 在△ACB和△DCF中， ， ∴△ACB≌△DCF（SAS）， ∴DF＝AB； 设CM＝AJ＝x，则NI＝MI＝CM﹣CI＝x﹣10， ∴BJ＝CN＝CI﹣NI＝10﹣（x﹣10）＝20﹣x， ∴AB＝AJ+BJ＝x+（20﹣x）＝20， ∴DF＝AB＝20， ∴， NI2+NF2＝FI2， ∴（x﹣10）2+82＝102， ∴x＝16， ∴AJ＝16， ∵AL＝AB＝20， ∴四边形AJKL的面积＝AJ•AL＝16×20＝320， 故答案为：320． 【考点评析】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（2024秋•内乡县期末）如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 　16cm2　 ． 【思路点拨】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为，然后根据勾股定理可知BC2+AC2＝AB2＝42＝16，进而可以求得图中阴影部分的面积． 【规范解答】解：由已知可得， 阴影部分的面积为， ∵∠ACB＝90°，AB＝4cm， ∴BC2+AC2＝AB2＝42＝16， ∴ ＝16， 故答案为：16cm2． 【考点评析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2025春•南昌县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线，交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求∠PDE的度数． （2）若AC＝6，BC＝8，EB＝4.5，求线段PA的长． 【思路点拨】（1）由∠C＝90°得∠A+∠B＝90°，由等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得∠ADP+∠BED＝∠A+∠B＝90°，进而即可求解； （2）连接PE，由已知可得CE＝3.5，ED＝EB＝4.5，设PA＝PD＝x，则CP＝6﹣x，由勾股定理可得CP2+CE2＝PD2+ED2，代入计算即可求解． 【规范解答】解：（1）由条件可知∠A+∠B＝90°，∠A＝∠ADP， ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠BDE， ∴∠ADP+∠BDE＝∠A+∠B＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣（∠ADP+∠BDE）＝180°﹣90°＝90°； （2）连接PE， ∵BC＝8，EB＝4.5， ∴CE＝BC﹣EB＝8﹣4.5＝3.5，ED＝EB＝4.5， 设PA＝PD＝x，则CP＝6﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴（6﹣x）2+3.52＝x2+4.52， 解得， ∴． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2024秋•贵州期末）如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． （1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数； （2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数； （3）三边的长均为无理数． 【思路点拨】（1）根据题目要求画三边长为2，2，2的三角形； （2）画三边长为，和2的三角形； （3）画三边长为，和2的三角形． 【规范解答】解：（1）如图所示：AB＝AC＝2，则AB＝2； （2）如图所示：AC＝BC，则AB＝2； （3）如图所示：AC＝BC，则AB＝2． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理，关键是正确找出符合要求的三角形三边长． 9．（2024秋•承德县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论； （3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC， ∴∠BAD60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图1， 当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图2， 当DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图3， 当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． 10．（2024春•武侯区期末）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　a2+b2+2m2　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　　 ； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　m　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【思路点拨】（1）利用勾股定理根据AC在直角三角形ACD中，BC在直角三角形BCD中分别得到AC2和BC2用a，b，m表示的式子，相加即可得到AC2+BC2的值；根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到m用a，b表示的式子；易得Rt△ABC的斜边上的中线大于CD或与CD重合，可得与m的大小关系； （2）根据Rt△ABC的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出Rt△ABC的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含m的式子表示，即可得到m的最大值； （3）设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m．根据（1）中得到的结论：，那么a+b≥2，进而可得所有虚线的和为2x+4y，根据2x+4y≥2，整理可得所有虚线和的最小值． 【规范解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m（取正值）． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴m． 故答案为：a2+b2+2m2，，m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m． ∴m的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m． ∵面积为32平方米， ∴xy＝32． 由（1）得：， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥32． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 【考点评析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$