精品解析：天津市南开区南开大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

6学科网列组卷网 南开大学附中24-25学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分） 1.下列选项正确的是() A.(sinl0°)=cosl0 B () c.[(2x+1)(2x-1)]=8x D.(e*)=e* 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等常见函数的求导公式以及求导法则和复合函数的求导法则，一一判断各选项即可 【详解】由于sinl0为常数，故(sinl10）=0,故A错误： 元您对=10.放B精民 而[(2x+(2x-1=(4x-ly=8x,故C正确： 而(e）=-e*,故D错误 A.{12,3} B.{2,3,4} c{3,4,8} D.{2,4,8y 【答案】B 【解析】 第1页/共21页 6学科网命组卷网 【分析】根据集合A求出集合B,再求出A∩B,最后根据补集的定义求出 C(40B) 【详解】已知B={x|x3∈A,集合A={L,2,3,4,8} 当x3=1时，两边同时立方可得x=13=1: 当x3=2时，两边同时立方可得x=23=8: 1 当x3=3时，两边同时立方可得x=33=27: 当x3=4时，两边同时立方可得x=43=64: 当x3=8时，两边同时立方可得x=83=512 B={1,8,27,64,512} ,A∩B=L,8} 所以 所以 因为A=L23,4,8},所以C(1nB=2,34号 故选：B. 3.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个 服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有() A.25种 B.150种 C.300种 D.50种 【答案】B 【解析】 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， CG-15种 若按2人，2人，1人来分有A2 若按3人，1人，1人来分 C=10 种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有 A3=6 种， 第2页/共21页 命学科网命组卷网 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有： (15+10)×6=150种， 故选：B. 2 1 4“0<m<2”是“方程mm2-4表示焦点在x轴上的双曲线”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 x2,y2 s1 【分析】求“方程mm-4表示焦点在x轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结 论 t 2 m>0 【详解】“方程m十m-4引表示焦点在x拍上的双曲线”等价于m-4<0, 十 即0<m<2, x2.y2 所以“0<m<2”是“方程m十m-4表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件 故选：C 5.设随机变量X-B(2,p),YB(4,p),若P(x=0)-g则D(Y)=() 4 2 4 8 A.3 B.3 C.9 D.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量X-B2,p)和P(X=0)=号。写出概率的表示式，得到关于P的方程，解出D 的值，再根据Y~B(4,P）, 由二项分布的方差公式求得结果 第3页/共21页 6学科网 命组卷网 【详解】因为随机变量X~B(2,P) 所以Px=0)=C-p}=4 9 5 解得P=3或P3(金) 所y4引 所D-=4×兮1--8 故选：D 6.用数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为() A.60 B.30 C.36 D.21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为0,2,4，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0,2,4，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有4×3=12种， ②当个位数为2或4时，有2×3×3=18种综上，有30种. 故选：B. 7.若 ax 的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中x2的系数是( A.32 B.64 C.80 D.16 第4页/共21页 6学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求m,(,再根据二项式定理运算求解即可 【详解】因为 二项式系数之和为32， 则2”=32，解得n=5,日 1 因为r+文) 展开式各项系数和为243， 令x=1,代入可得(a+1)5=243=35,解得a=2 用=欧2x+ 则该=项式最开式的项为=C(2产{（=2”.C,re0L,2345. 令5-3r=2,解得r=1, 则展开式中的系数为 24.C5=16×5=80 故选：C 8已装清足闭-2()m,期周值为) √3 2 B.2 c.-2 D. 【答案】D 【解析】 【详#1因为=2(6)m,则了()=2r周。 第5页/共21页 6学科网6组卷网 .)-2r)号-2r目片.wr)月 故选：D 9.公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊5人以并列第一的得分在选拔中脱颖 而出.现在人事部、财务部与科研部要分别选择1人担任部门总监，其余2人随机分别调到2个部门中担任 项目经理，设事件A一（甲、乙两人不在同一部门}，事件B={甲担任财务部部门总监），则 (AB)=( 2 2 1 A.3 B.5 c.6 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用排列、组合及古典概率公式，求出P(B),P(4B) 再利用条件概率公式，即 可求解. 【详解】由题知P(B)- AA-1(B)-CCACCA-I A3A35, AA 6, 1 P(AB)= P(AB)）-6_5 所以 P(B)16, 5 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10.已知随机变量X~N(5,o),且P(X<3)=0.3,则P(3≤X≤7)= 2 【答案】0.4拙5 【解析】 第6页/共21页 6学科网6组卷网 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可 【详解1根据正态曲线的对称性，Y~N(5,0)时。 若P(X<3)=0.3,则PX>7)=P(X<3)=03, 于是P3≤X≤7)=1-PX3)-Px)7)=0.4 故答案为：0.4 z=1-i 11.若z+1 ，则z=一 【答案】-1-i 【解析】 【分析】设z=a+bi,利用复数的四则运算和复数相等的条件求解即可 a+bi =1-i 【详解】设z=a+bi,a,b∈R,则由题意a+bi+1 所以a+bi=(a+1+bi(1-i)=a+1+b-(a+1-b)i a=a+b+1 a=-1 所以1b=-(a+1-b),解得1b=-1: 所以z=-1-i, 故答案为：-1-i 12已知丽数f()=-cosx,x 「πT 2’2,则f(x)的最小值为 √5π 【答案】212 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可 第7页/共21页 6学科网命组卷网 【详解】因为少= [= y>0,函数单调递增， 所以 V3π 所以函数在 2’2 的最小值分别为-212 5π 故答案为： 212 13.3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 【答案】360 【解析】 【分析】由捆绑法、插空法即可求解 【详解】当恰好2名女生相邻时， AACC=216种排法， 当3名女生都不相邻时，有 A3A4-144 种排法， 则共有216+144=360种排法 故答案为：360. 14.已知 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 【答案】2 【解析】 【分析】先算出”，再写出通项公式，确定x的次数为整数即可 第8页/共21页 6学科网命组卷网 的展开式有n+1项，因为仅有第5项的二项式系数最大所以n=8 -c旷(y-g 5.16=-1 5,16=4 当r=2时，66 ,当r=8时，66，符合题意 所以展开式中有理项的个数为2 故答案为：2 15若函数f()=e-a2-x 两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 【答案】 (ogj 【解析】 【分析】函数f()=c-am-x有两个不同的极值点，可得'()=c-2ar- 有两个变号零点：令 h()=e-2-1,讨论a≤0，a>0两种情况，结合函数的单调性与最值可求实数a的取值范围 【详解】因为函数f()=c-m-X有两个不同的极值点。 所以得f()=e-2r-l有两个变号零点 令h()=e-2r-l,定义域为R,则h()=e-2a 当a≤0时，H()>0恒成立，h()在R上单调递增，不会有两个零点，合去： 当a>0时，令h()>0,得x>n2a,令N()<0 得x<ln2a, 所以h(t)在（w,h2a)上单调递减，在（血2a,+o）上单调递增。 故h(在x=n2a处取得极小值，也是最小值。 第9页/共21页 6学科网 命组卷网 当x趋向于负无穷大时， 闲是别I正无好大，当的于正无穷大时，M卷于正无穷大 h(x)=e-2ar-l有2个变号零点， 所以h(lh2a)0.即2a-2aln2a-1<0 令8(a)=2a-2aln2a-l,a>0,则8'(a-2-2h2a-2=-2h2a 令8'a)>0,得0a 下2令g@<0,用3 2 则在0,2)上单调递增， 上 1 故g(a)=2a-2alh2a-1在a=2处取得极大值， 数2a-2h2a-109车为〔o时G* 故答案为： 2*oj 三、解答题（共5小题，每小题15分，共75分） 16.已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台 设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X. (1)求X的分布列： (2)求E(X)和D(X), (3)求计算机网络不会断掉的概率. 【答案】(1) X的分布列如下 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 第10页/共21页 6学科网组卷网 (2)E(X)=2.4.D(X)=0.48 (3)0.992 【解析】 【分析】(1)X的可能取值为0,1,2,3，结合二项分布的概率即可求解： (2)根据二项分布的期望和方差公式计算即可； (3)要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，结合(1)及对立事件求解 即可 【小问1详解】 由题意得X的可能取值为0,1,2,3，且X~B(30,8). P(X=0)=C×0.8°×(1-0.8)°=0.008 P(X=1)=C×0.8×1-0.8)2=0.096 P(X=2)=C×0.82×(1-0.8)=0.384 P(X=3)=C×0.83×(1-0.8)°=0.512 所以X的分布列如下 X 0 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 【小问2详解】 因为X~B(30,8),所以E(X)=3x0.8=24,D(X)=3x0.8x-0.8)=048 【小问3详解】 要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即X≥1， 因此所求概率为P(X≥)=1-P(X<)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992 第11页/共21页 可学科网命组卷网 17.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SB⊥底面ABCD,BC⊥CD, AD//BC SB=CD=BC=2 AD=4 ,点M是棱SC的中点. B (1)求证：BM⊥平面SCD: (2)求直线SA与平面SCD所成角的正弦值： (3)求平面SAB与平面SCD夹角的大小. 【答案】(I)证明：因为侧棱SB⊥底面ABCD,CDC底面ABCD,所以SB⊥CD, 又因为BC⊥CD.SBNBC=BSB,BC 平面S8C,所以CDL平面SBC, 又BMC平面SBC,所以CD⊥BM, 又因为SB=BC=2,点M是棱SC的中点.所以BM⊥SC, 又SCnCD=CSC,CD C平面SCD,所以BML平面SCD. 6 (2)3 (3)60° 【解析】 第12页/供21页 6学科网命组卷网 【分析】(1)首先证明CD⊥平面SBC,即可得到CD⊥BM,再由BM⊥SC,即可得证： (2)连接BD,即可证明AB⊥BD,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得： (3)首先证明BD⊥平面SAB,即可得到平面SAB的一个法向量，再由空间向量法计算可得 【小问1详解】 略。 【小问2详解】 连接BD,由题意可利BD2=BC+CD,可符BD=2W5,取AD的中点么， 连接BB,则BE1D,则BE=2,AE=2,所以MB=V2+2=22 所4B+BD=AD,所以4B⊥BD 以BA所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，BS所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B 则4aa0以0a0c20na2v20吵-51aa92 所以=(2W20,-2. 设直线SA与平面SCD所成角为a, 第13页/供21页 6学科网命组卷网 sin a =cos SA,BM SA.BM -2-2V6 SA.BM V8+4V23, 6 即直线SA与平面SCD所成角的正弦值为3· 【小问3详解】 由(2)可知AB⊥BD,又SB⊥BD,SBOAB=B,SB,ABC平面SAB,所以BD⊥平面SAB 所以平面SAB的-个法向量为BD=(0,2V2,0） 设平面SAB与平面SCD的夹角为B, 则cos=csBD,BM BD·BM 2 1 BD.BM 12W2xV22, 又0°≤0≤90°，所以0=60° 即平面SAB与平面SCD夹角的大小为60°， 18已知函数f(x)=alr-(2a+1)x+2 （当a=-1时，求（四在点f0》处的切线方程： (2)若a>0,试讨论f(0)的单调性。 【答案】(1)2x-y=0 (②当0<a<2时.西数f(内的年调道精区同为Q)2切）」 1 单调递减区间为42：当= 2 时，臣数问的单阿隆区同为Q。当0>方，通酸f的竿调指区同先 0、 a,+co) 2 第14页/供21页 6学科网列组卷网 5阿为后 【解析】 【分析】)根据在点，)处的切线方程为’-少=∫（七x-x)即可求解： ②)由题意有f)=2r-x-a 根据a的范围分类讨论即可· 【小问1详解】 当a=-l时，f(x)=-lnx+x+x2 f(x)=-1+1+2x k=f(0=2,0=2,所以切点为2) 切线方程’-2=2(x-)即2x-y=0」 【小问2详解】 f的定义减为(0，切），了()2x-x-a 当0<a 2时，由f(>0可得x<a或>2：由f()<0可得a<x< 2, 所以屋数f闪角华运指x有为@侵口，牛定减肉为o》. 当-用，了20恒底意承效因的半建带送同为0+国)， 当91 0>2时，由f(x)>0可得x<2或x>a:由f()<0可得2 <x<a 第15页/供21页 6学科网命组卷网 时道华到是R同人o》a四r网区同〔j】 x 19.已知椭圆G:。+存-1(a>b>0)的离心率为2，且过点2 其中O为坐标原点， ()求椭圆S的方程： (2)过椭圆的右顶点作直线与抛物线G:少=2 相交于A,B两点： ①求证：OA⊥OB: ②设射线O4,OB分别与椭因C相交于点M,N,求O到直线MN的距离 x2 y2 =1 【答案】(1)43 (2) ① + -=1 由椭圆C1方程为43 可得：该椭圆的右顶点为(2,0) 设A(,乃)，B(,) 当直线4B的斜率为0时，直线4B与抛物线C只有一个交点，不满足慰章 当直线A 的斜率不为0时，设直线1B 的方程为 x=my+2 y2=2x 联立方程组 x=my+2:整理得y2-2m-4=0: 第16页/供21页 命学科网命组卷网 △=4m2+16>0 则 为方程 的两不等根，有片+=2m y1,2 y2-2my-4=0 乃y2=-4 因为0A=(x,y,0B=(x,2) 所以0A0B=x5+= 2+,=4 22 16-4=0 故OA⊥OB 2V21 ②7 【解析】 【分析】(1)先根据椭圆的离心率得到a,b之间的关系3a2=4b2；再根据椭圆过点”2， 代入椭圆方 程即可求出 a2=4 ，进而得出椭圆的标准方程 (2)①先根据椭圆的方程得出右顶点的坐标(（2,0) 根据己知条件分折设出4(：，X),B(x,少)及直线 AB的方程x=m心y+2,再联立直线AB和抛物线方程，利用韦达定理得出片，少的关系：最后根据平面 向量的数量积公式得出OA:OB=0,即证得OALOB ②法一：先设出M(:,)N(及直线MN为x=四+1，联立直线MN和椭圆G的方程，利用韦 达定理得出，4之间的关系；再根据OM.0N=0得出7？=12(？+)，最后根据点到直线距离公式即 1 可求解.法二：先设直线OA:y=(k>O),直线 OB:y=- k；再联立方程组得出 第17页/共21页 学科网 命组卷网 2V5 23k N 2√3k -2V3 V3+4k2’V3+4k2 、V3k2+4’V3k2+4 根据两点间距离公式得出MN OMON: 最后根据三角形等面积可即可求解. 【小问1详解】 a2-b21 由椭圆C的离心率为2，可得：a24,整理得：3a2=4b2, 则椭圆G:之+ x2.4y2 存的方程可化为a+30=1 3 代入点2得a2=4, 则椭圆C的方程为43· 【小问2详解】 ①略 ②法一：设M(,N(x),直线MW为x=y+1 x=ny+t 由联立方程组 之+上-，整理得： 4+31 (3m2+4）y2+6n0+312-12=0*), △=36n27-12(3n2+4)(t-4>0 -6nt 由 为方程*的两不等实数根，得为+4= 3n2+4 3t2-12 y3,y4 yy= 3n2+4 由①知OA⊥OB, 则OM1ON,有OM.ON=0 第18页/供21页 命学科网命组卷网 因为OM=(3,),0N=(xy4)】 所以x,+⅓=（侧+4+）+⅓y4=(n2+l)yy4+(+a)+2=0 整理得： gw4r”22-0 3n2+4 3n2+4 则有7r=12(n+1) 厕根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为1=。 M-12Vn2+122 Vn+1√7Vn2+17 法二：不妨设A位于x轴的上方，则点M在第一象限，点N在第四象限 设直线OA:y=ax(k>O),则直线 B:y=-Ix y=kx 和椭圆得方程4+3=1：解得以 2W5 2/3k 联立直线 OA C V3+4k2’3+4k2 23k -2V3 同理可得V V3k2+4’V3k2+4 则MW=2V5 1 1 V3+4k2 V3k2+4 气3+4k2'V3k2+4 √万1+k2） =25 V3+4k2V3k2+4 OM=1+k_ 5 V3+4k2’, ON=1+ 23 V3k2+4, 第19页/供21页 6学科网6组卷网 则根据三角形等面积可得： 2W5V1+k225V1+k2 d=OM JON3+4 V3k2+4_2W21 点到直线 的距离为： MN 23;万(1+k2) 7 0 MN V3+4k2V3k2+4 20数列a}满足：4+3a,+5a,++(2n-l)a.=3+(n-1)-3 (1)求数列a,}的通项公式 2an 7 (2设。a,-4-,Z为数列.}的前n项和，若工。<㎡-4m+2恒成立，求实数m的取 值范围。 【答案】(1)a,=3”,neN (2)m≥3或m≤1 【解析】 【分析】（山）根铅，心的关系，即可作莞求解， 11 (2)利用裂项相消法求解。=23一，根据单调性可符。<2，进面根据 71 m2-4m+ 22求解即 可 【小问1详解】 令m=g=3 又4+3a,+5a,++(2n-0a.=3+(n-)-3(n2）0 a+3a,+5a,+…+(2n-3)a=3+(n-2)-3(n22）② 由0-@得到(2n-)a,=(n-)3-(n-2）-3”=(2m-）-3 第20页/供21页 命学科网命组卷网 即：a.=3”(n≥2) 经检验，n=l4=3也成立，枚数列a.的通项公式a.=3,n∈N 【小问2详解】 2a 2.3" 11 6a.-a-可g-i03-可3-13可 11,11 1111 T.=6+6++b。=3-3-十32-13…+3”-13-】23m-1 十…+ 11 1 因为23一是单调递附数列.且又<2 若gc㎡2-4m+7 7、1 m2-4m+ 2恒成立，则 22,解得m≥3或m≤1， 实数m的取值范围为m之3或m≤1， 第21页/供21页 南开大学附中24-25学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 姓名： 班级： 考号： 一、单选题(共9小题，每小题5分，共45分) 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 4. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设随机变量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 7. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 8. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 10. 已知随机变量，且，则_____. 11. 若 ，则 _____. 12. 已知函数，，则的最小值为________________. 13. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 14. 已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________． 15. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_______． 三、解答题(共5小题，每小题15分，共75分) 16. 已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． （1）求的分布列； （2）求和； （3）求计算机网络不会断掉的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线SA与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 20. 数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $