精品解析：天津市南开区南开大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

南开大学附中24-25学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 姓名： 班级： 考号： 一、单选题(共9小题，每小题5分，共45分) 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【详解】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合求出集合，再求出，最后根据补集的定义求出. 【详解】已知，集合. 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得. 所以. 所以.  因为，，所以.  故选：B. 3. 在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 【答案】B 【解析】 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 4. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论. 【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件. 故选：C. 5. 设随机变量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果． 【详解】因为随机变量， 所以， 解得或（舍） ， 所以， 所以. 故选：D． 6. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 7. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 8. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，令，可得出关于方程，解之即可. 【详解】因为，则， 所以，，解得. 故选：D. 9. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用排列、组合及古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式，即可求解. 【详解】由题知，， 所以， 故选：C. 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 10. 已知随机变量，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 11. 若 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数的四则运算和复数相等的条件求解即可. 【详解】设，则由题意， 所以， 所以，解得， 所以， 故答案为： 12. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 13. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 【答案】360 【解析】 【分析】由捆绑法、插空法即可求解. 【详解】当恰好2名女生相邻时，有种排法， 当3名女生都不相邻时，有种排法， 则共有种排法. 故答案为：360. 14. 已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可 【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以 当时,,当时,,符合题意 所以展开式中有理项个数为2 故答案为：2 15. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个不同的极值点，可得有两个变号零点. 令，讨论，两种情况，结合函数的单调性与最值可求实数a的取值范围. 【详解】因为函数有两个不同的极值点， 所以得有两个变号零点. 令，定义域为，则. 当时，恒成立，在上单调递增，不会有两个零点，舍去； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最 小值， 当趋向于负无穷大时，趋向于正无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 有2个变号零点， 所以，即. 令，则 令，得令，得 则g(a)在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值.又， 故的解集为 故答案为： 三、解答题(共5小题，每小题15分，共75分) 16. 已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． （1）求的分布列； （2）求和； （3）求计算机网络不会断掉的概率． 【答案】（1）分布列见解析 （2）， （3）0.992 【解析】 【分析】（1）的可能取值为0，1，2，3，结合二项分布的概率即可求解； （2）根据二项分布的期望和方差公式计算即可； （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，结合（1）及对立事件求解即可． 【小问1详解】 由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 【小问2详解】 因为，所以，． 【小问3详解】 要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线SA与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）连接，即可证明，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，即可得到平面的一个法向量，再由空间向量法计算可得. 小问1详解】 因为侧棱底面ABCD，底面ABCD，所以， 又因为，，平面SBC，所以平面， 又平面SBC，所以， 又因为，点M是棱SC的中点．所以， 又，平面SCD，所以平面SCD． 【小问2详解】 连接，由题意可得，可得，取AD的中点E， 连接BE，则，则，，所以， 所以，所以， 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 由（1）可得平面，所以平面的一个法向量为面， 设直线SA与平面所成角为， ， 即直线SA与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知，又，，SB，平面，所以平面． 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 又，所以 即平面与平面夹角的大小为． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 【答案】（1） （2）①证明见解析;② 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆的离心率得到之间的关系；再根据椭圆过点，代入椭圆方程即可求出，进而得出椭圆的标准方程. （2）①先根据椭圆的方程得出右顶点的坐标，根据已知条件分析设出及直线的方程；再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得出的关系；最后根据平面向量的数量积公式得出，即证得OA⊥OB. ②法一：先设出及直线为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出之间的关系；再根据得出；最后根据点到直线距离公式即可求解.法二：先设直线，直线；再联立方程组得出，，根据两点间距离公式得出、、；最后根据三角形等面积可即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，可得：，整理得：， 则椭圆的方程可化为. 代入点得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为. ①设， 当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意. 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则为方程的两不等根，有． 因为, 所以， 故． ②法一：设，直线为. 由联立方程组，整理得：（*）， 由为方程*的两不等实数根，得. 由①知， 则，有. 因为， 所以， 整理得：， 则有. 则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为. 法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限 设直线，则直线 联立直线和椭圆得方程，解得. 同理可得 则 ， ， ， 则根据三角形等面积可得： 点到直线的距离为：. 20. 数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【小问1详解】 令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 【小问2详解】 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开大学附中24-25学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 姓名： 班级： 考号： 一、单选题(共9小题，每小题5分，共45分) 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 4. “”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设随机变量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 7. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A 32 B. 64 C. 80 D. 16 8. 已知函数满足，则值为（ ） A. B. C. D. 9. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 10. 已知随机变量，且，则_____. 11. 若 ，则 _____. 12. 已知函数，，则最小值为________________. 13. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 14. 已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________． 15. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_______． 三、解答题(共5小题，每小题15分，共75分) 16. 已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． （1）求的分布列； （2）求和； （3）求计算机网络不会断掉的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线SA与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 20. 数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$