第10章 复数 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

XYZ[%\]^ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ４（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）× ３（ｃｏｓ １５０° ＋ ｉｓｉｎ １５０°） ＝ （　 ） Ａ． ６槡３ ＋ ６ｉ Ｂ． ６槡３ － ６ｉ Ｃ． － ６槡３ ＋ ６ｉ Ｄ． － ６槡３ － ６ｉ ２． ｃｏｓ π６ ＋ ｉｓｉｎ π( )６ × ｃｏｓ π３ ＋ ｉｓｉｎ π( )３ ＝ （　 ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ｉ Ｄ． － ｉ ３． ２ ÷ ２（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）＝ （　 ） Ａ． １２ ＋ 槡３ ２ ｉ Ｂ． １ ２ － 槡３ ２ ｉ Ｃ．槡３２ ＋ １ ２ ｉ Ｄ． 槡３ ２ － １ ２ ｉ ４．把复数３ －槡３ｉ对应向量绕原点Ｏ按顺时针方 向旋转２π３ ，所得向量对应的复数为 （　 ） Ａ． ２槡３ Ｂ． － ２槡３ｉ Ｃ． － ３ －槡３ｉ Ｄ． ３ －槡３ｉ ５．计算１２ ｃｏｓ ７π３ ＋ ｉｓｉｎ ７π( )３ [ (÷ ６ ｃｏｓ ３π２ ＋ ｉｓｉｎ ３π ) ]２ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１０                         ］ 章末知识梳理 +,w€ —复数的概念及几何意义— —复数的概念— —复数的分类 —复数相等 —复数的几何意义— —复数与复平面内的点一一对应 —复数的向量表示 —复数的运算— —复数的加法法则— —（ａ ＋ ｂｉ）＋（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ ＋ ｃ）＋（ｂ ＋ ｄ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数加法的几何意义 —复数的减法法则— —（ａ ＋ ｂｉ）－（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ － ｃ）＋（ｂ － ｄ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数减法的几何意义 —复数的乘法法则—（ａ ＋ ｂｉ）（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａｃ － ｂｄ）＋（ａｄ ＋ ｂｃ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数的除法法则—ａ ＋ ｂｉｃ ＋ ｄｉ ＝ ａｃ ＋ ｂｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ ｂｃ － ａｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ｉ（ｃ ＋ ｄｉ≠０，ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数的三角形式及运算— —复数的三角形式：ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ） —复数三角形式的乘除法— —ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２［ｃｏｓ（θ１ ＋ θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ ＋ θ２）］ —ｚｎ ＝ ｒｎ［ｃｏｓ（ｎθ）＋ ｉｓｉｎ（ｎθ）］ —ｚ１ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２ ［ｃｏｓ（θ１ － θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ － θ２）］ $($ ‚ƒ+,„… 　 　 １．复数的概念 　 　 （１）虚数单位ｉ；（２）复数的代数形式ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）；（３）复数的实部、虚部，虚数与纯 虚数． 　 　 ２．复数集 复数ａ ＋ｂｉ （ａ，ｂ∈Ｒ） 实数（ｂ ＝０）有理数 整数{分数 无理数（无限不循环小数{ ） 虚数（ｂ≠０）纯虚数（ａ ＝０）非纯虚数（ａ≠０{          ） 　 　 ３．复数的几何意义 　 　 （１）用点Ｚ（ａ，ｂ）表示复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈ Ｒ），用向量→ＯＺ表示复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），Ｚ 称为ｚ在复平面上的对应点，复数与复平面上的 点一一对应（坐标原点对应实数０）； 　 　 （２）任何一个复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）一一 对应着复平面内一个点Ｚ（ａ，ｂ），也一一对应着 一个从原点出发的向量→ＯＺ． 　 　 ４．复数的四则运算 　 　 若两个复数ｚ１ ＝ ａ１ ＋ ｂ１ ｉ，ｚ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ｉ（ａ１，ｂ１， ａ２，ｂ２∈Ｒ），则 　 　 （１）加法：ｚ１ ＋ ｚ２ ＝（ａ１ ＋ ａ２）＋（ｂ１ ＋ ｂ２）ｉ； 　 　 （２）减法：ｚ１ － ｚ２ ＝（ａ１ － ａ２）＋（ｂ１ － ｂ２）ｉ； 　 　 （３）乘法：ｚ１ ｚ２ ＝ （ａ１ａ２ － ｂ１ｂ２）＋ （ａ１ｂ２ ＋ ａ２ｂ１）ｉ； 　 　 （４）除法：ｚ１ｚ２ ＝ （ａ１ａ２ ＋ ｂ１ｂ２）＋（ａ２ｂ１ － ａ１ｂ２）ｉ ａ２２ ＋ ｂ ２ ２ 　 　 ＝ ａ１ａ２ ＋ ｂ１ｂ２ ａ２２ ＋ ｂ ２ ２ ＋ ａ２ｂ１ － ａ１ｂ２ ａ２２ ＋ ｂ ２ ２ ｉ（ｚ２≠０）； 　 　 （５）实数四则运算的交换律、结合律、分配 律都适合于复数的运算； 　 　 （６）特殊复数的运算： 　 　 （１ ± ｉ）２ ＝ ±２ｉ；若ω ＝ － １２ ± 槡３ ２ ｉ，则ω ３ ＝１，１ ＋ ω ＋ω２ ＝０． 　 　 （７）ｉｎ（ｎ为正整数）的周期性运算： 　 　 ｉ４ｎ ＋１ ＝ ｉ，ｉ４ｎ ＋２ ＝ －１，ｉ４ｎ ＋３ ＝ － ｉ，ｉ４ｎ ＝１（ｎ∈Ｎ）． 　 　 ５．共轭复数与复数的模 　 　 （１）若ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则珋ｚ ＝ ａ － ｂｉ，ｚ ＋珋ｚ 为实数，ｚ －珋ｚ为纯虚数（ｂ≠０）； 　 　 （２）复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的模｜ ｚ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２，且ｚ·珋ｚ ＝ ｜ ｚ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ． ６．复数的三角形式及运算 　 　 （１）对于复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），有 ａ ＝ ｒｃｏｓ θ， ｂ ＝ ｒｓｉｎ θ{ ，所以ａ ＋ ｂｉ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ），其中ｒ 为复数的模，θ为辐角，任一复数都可化为三角 形式．其结构特征为ｒ≥０，同一个角θ，ｃｏｓ θ在 前，加号连接． 　 　 （２）复数三角形式的乘、除运算 　 　 设ｚ１ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１），ｚ２ ＝ ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２）． 　 　 乘法：ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２［ｃｏｓ（θ１ ＋ θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ ＋ θ２）］，乘方：ｚｎ１ ＝ ｒｎ１［ｃｏｓ（ｎθ１）＋ ｉｓｉｎ（ｎθ１）］， 　 　 除法：ｚ１ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２ ［ｃｏｓ（θ１ － θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ － θ２）］                                                            ． $(# †C‡ˆ‰Š ●‡:<%Á3ŽP‘ 　 　 复数常设为ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），ｚ∈Ｒｂ ＝ ０；ｚ为虚数ｂ≠０；ｚ为纯 虚数ａ ＝ ０且ｂ≠０． １．当实数ａ为何值时，ｚ ＝ ａ２ －２ａ ＋（ａ２ －３ａ ＋２）ｉ． （１）为实数？（２）为纯虚数？ （３）对应的点在第一象限内？ （４）复数ｚ对应的点在直线ｘ － ｙ ＝ ０上？ 　 　 ［分析］　 根据题设条件构建方程（组）或不等式（组）求解即可． 　 　 ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．已知复数ｚ ＝ ｌｇ（ｍ２ － ２ｍ － ２）＋（ｍ２ ＋ ３ｍ ＋ ２）ｉ，根据以下条件分别求实 数ｍ的值或范围． （１）ｚ是纯虚数； （２）ｚ对应的点在复平面的第二象限． 归纳提升： zffgŽÀ -F”n”}Cfxd ŽÀ-bR–— （ KF ÀnÀn¡Àn¶Q ŽÀn»¼ŽÀnŽÀ- v ） -éch\ŽÀ¶Q -{tš›}ŽÀۘ¨ ©"FÀۘ-Hwh_ ñ×-ÑÒN^gtR  F”¡”òóbCˆh $(% ●‡:E%ŽP¨@©H¦§ 　 　 代数形式的复数加、减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘 法，除法类比根式的分母有理化将分母“实数化”． ２． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　（１）（２０２４·烟台高一检测）若ｚ（１ ＋ ｉ）＝ １ － ５ｉ，则ｚ ＝ （　 　 ） Ａ． － ２ － ３ｉ Ｂ． － ２ ＋ ３ｉ Ｃ． ３ － ３ｉ Ｄ． ３ ＋ ３ｉ （２）（多选题）下列有关复数的说法中，正确的是 （　 　 ） Ａ． ｉ９ ＝ ｉ Ｂ．复数ｚ ＝ ３ － ２ｉ的虚部为２ｉ Ｃ．若ｚ ＝（１ － ｉ）２，则复平面内ｚ对应的点位于第二象限 Ｄ．复数ｚ为实数的充要条件是ｚ ＝ ｚ ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．已知复数ｚ ＝ ５１ － ２ｉ ＋ ２ ＋ ｉ，ｉ为虚数单位． （１）求｜ ｚ ｜和ｚ； 　 （２）若复数ｚ是关于ｘ的方程ｘ２ ＋ ｍｘ ＋ ｎ ＝ ０的一个根，求实数ｍ，ｎ 的值． 归纳提升：进行复数代 数运算的策略 （１） ŽÀãÀ;?-R m-Ë(Yޗ}£O RmYÆÇlm ． !ŽÀ-¾¿Rm“ pFÀ*-$b?¾¿ Rm （ A¥*“b ）． 8ŽÀ-Ö­Rm}Ž ÀRm-ô0 ， ®Ö Rm*t C ｉ -Ò- +, ， ¢4 （ａ ＋ ｂｉ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂｉ － ｂ２ ¡ （ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２； ® ­Rm* ， Rj} ‹4×FÀ©Œ （ 4 !n4×*ÖI4×- »¼ŽÀ ）， aNt  C¢4 （ａ ＋ ｂｉ）（ａ － ｂｉ） ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ¡ （ａ ＋ ｂ）（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ｂ２ ． （２） ŽÀ-ÁYRm* ¿bÀ©> ｉ -õI ^“*“b ， P¿ ｉ - õI`^“*“b ， 4 5A¥¦W ， ót C Ê ｉ -Ò®ÕÐõ©- ;? ． （３） «OŽÀ¶Q ， W FmŽÀۘ-FÀ © ． $(& ●‡:>%ŽPžJŸ 　 　 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）与复平面内的点Ｚ（ａ，ｂ）一一对应，与以原点 为起点的向量→ＯＺ一一对应． ｜ ｚ１ － ｚ２ ｜则是复平面内复数ｚ１，ｚ２对应的点Ｚ１， Ｚ２之间的距离． ３．已知复数ｚ满足｜ ｚ ＋ ２ － ２ｉ ｜ ＝ １，求｜ ｚ － ３ － ２ｉ ｜的最小值． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．设ｍ∈Ｒ，复数ｚ ＝ ３ｍ２ － ５ｍ ＋ ２ ＋（１ － ｍ）ｉ，讨论ｚ在复平面内对应点所 在的象限． ●‡:n%ŽP>?@©H¦§ 　 　 复数ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ）即为复数的三角形式，其特点是：模非负、角相 同、余弦前、加号连，缺任一条件都不是三角形式，其中θ为辐角．用复数的三 角形式进行乘法、除法仍得复数的三角形式，即模数相乘（除）辐角相加 （减）． ４．已知复数ｚ１ ＝ １２ － 槡３ ２ ｉ，ｚ２ ＝ ｃｏｓ ３０° － ｉｓｉｎ ３０°，珋ｚ２是ｚ２的共轭复数，且 １ ｚ ＝ ｚ１ 珋ｚ２，求复数ｚ的三角形式与代数形式． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ４．设ｚ ＋ ４ｚ ＝ ２．求 １ ｚ２ 的三角形式． 请同学们认真完成考案（二） 归纳提升：１． ŽÀ-/ WÓԍ ： ŽÀ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ） WIOŽ 8</-0 Ｚ（ａ，ｂ） ½ ÓÔ ． a“Û˜Wîï ŽÀ-F”¡”£± ²-š› ， G¯d$° （ ¥ ） oPQ? （ ¥ ） _d ． ２． ŽÀ-´ÌÓÔ ： I 0"&0-´ÌÓÔ -ŽÀQpé-¸02 £-ŽÀ ；́ Ì8a÷ ， a´ÌÓÔ-ŽÀP Ö ， ó8aé÷&0n ¸0 2 £ - Ž À t ¹Ö ． ３． ŽÀ-¾¿-/W Cˆ ： F,„}8ÇÁ 3;Y]:0; Y ． ˆ¿-/WCˆ M ｜ ｚ － ｚ１ ｜ÓԎ8< „\0 Ｚ ¡ Ｚ１ ÝÍ- rs ． ４． ŽÀ;?-Ë(ÍÎ （１）｜ ｚ － ｚ１ ｜ ＝ ｒ ÓԎ À®Ž8</2£-0 -ÍÎ}I ｚ１ 2£- 0" à Ì ， á â " ｒ -à ； （２）｜ ｚ － ｚ１ ｜ ＝ ｜ ｚ － ｚ２ ｜Ó ÔIŽÀ ｚ１，ｚ２ ®Ž8 </-2£0"ö0- 6ü-;Ÿ846 ． 归纳提升： \.ŽÀ ｚ１Vｚ２ ¶ÖNV45 Ql¡ ｚ１Vｚ２ 2£-´ Ì →ＯＺ１V →ＯＺ２V]÷Ê ´Ì →ＯＺ１ ÷0 Ｏ B N@$´î¨0 θ２（K ‰ θ２ ø０V—tÊ →ＯＺ１ ÷0 Ｏ ?N@$´ î¨0 ｜ θ２ ｜），ƒÊé - v Ö "  ½ - ｒ２ ùVXÿ´Ì →ＯＺ V →ＯＺ ÓÔ - Ž À — } = ｚ１ ｚ２ ． $(' 章末知识梳理 的点的轨迹是以C(-2,2)为圆心，半径r=1的圆， 而1：-3-2i1-z-(3+2i)1的几何意义是：复数：对应的 例1：(1)zeR→a2-3a+2=0,解得a=1或a=2 点与点A(32)的距离. ra-2a=0, fa=0或a=2, 由圆的知识可知：-3-2i的最小值为|AC- (2):为纯虚数， la2-3m+2≠0. la≠1且a≠2. 故a=0. 又1MC1=√(3+2)2+(2-2)=5， (3):对应的点在第一象限， 所以z-3-2i1的最小值为5-1=4. 则0-2a>0 所以<0，或a>2, 方法三：la-3-2i1=1(z+2-2i)-51≥11z+2-2i|-151|= 1a2-3a+2>0 la<l,或a>2, 11-5引=4，所以1：-3-2i川的最小值为4. 所以a<0或a>2. 对点训练 所以a的取值范围是(-元，0)U(2,+）. 3.由题意得，复数：在复平面内对应的点为(3m2-5m+2,1-m), (4)依题设(a2-2a)-(2-3a+2)=0,所以a=2. 令m)=3m2-5m+2=(3m-2)(m-1),①当1-m>0,即m 对点训练 1.(1)由=g(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数. <1时若m<号，则m)>0,所以(3m-5m+2,1-m)位 可得(m-2m-2)=0 即巴-2m-2所以m=3. 于第一象限： lm2+3m+2≠0、 m2+3m+2≠0， 若号<m<1,则m)<0,所以(3m2-5m+2,1-m)在第二 lg(m2-2m-2)<0, (2)根据题意得 m2+3m+2>0, 象限。 ②当1-m<0,即m>1时Jf代m)>0,所以(3m2-5m+2.1- 0<m2-2m-2<1, 由此得 即1+5<m<3或-1<m<1- m)位于第四象限 lm2+3m+2>0, 综上所述，：在复平面内对应的点可能在第一、第二和第四 例2：1)B(2)AD()张题意，=1 象限 (1-5i0(1-.-4-6i。-2-31,所以=-2+3i (1+i)(1-i) 2 2-2i=cos(-60)+isin(-60）,5=cs300 (2)”=41=i,故A正确： +isin30°. 复数：=3-2i的虚部为-2，故B错误； =55=[eos(-60）+iain(-60)]·(ems30°+isin z=(1-i)2=12-2i+=-2i,所以-2i, 30)=us(-30°)+isin(-30°）. 则复平面内：对应的点(0,2)位于虚轴上，故C错误； 若复数：为实数，则：=，设a=a+i(a,beR), 六2=cos(-30°)+isin(-30°】 若：=：.即a+i=a-i,所以b=0,则复数：为实数 =cos30°+isin309 故复数：为实数的充要条件是：=：，故D正确， 对点训练 ←号+2.即复数：的三角形式为cs30P+n30°，代数 5 5(1+2i) 2.(10:=122*2+i02201+2+2+i=1+2i+2+i 形式为宁 3+3i,所以1：l=√3+3=32，=3-31 对点训练 (2)因为复数：是关于x的方程x2+mx+=0的一个根， 4.由：+4=2，得2-2.+4=0.：=1±3元 所以(3+3i)2+m(3+3i)+n=0,即(3m+n)+(3m+18)i= 0所以/3m+18=0 若=1+3i=2(os号+iin） 13m+n=0, 即m=-6,n=18。 例3：方法一：设：=x+i(x,yeR), 则1x+i+2-2i1=1,即1(x+2)+(y-2)il=1. 4m要+n (x+2)2+(y-2)2=1. ={(-）+(- ∴z-3-2i=√（x-3)2+(-2) =√(x-3)+1-(x+2)=-10x+6, 若=-=2(-号）+in(-号】 由(y-2)2=1-(x+2)2≥0，得x2+4x+3≤0. .-3≤x≤-1,16≤-10x+6≤36. -(引（新子m》 ∴.4≤/-10x+6≤6. ·当x=-1时，：-3-2i的最小值为4 故子的三角形式为士[(-)+m(-】或 方法二：由复数及其模的儿何意义知： 满足1：+2-2il=1,即1：-(-2+2i)1=1的复数：所对应： 4(m牙+n) 194