11.2 平面的基本事实与推论(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

因为Ｓ侧＝ ６π，设母线长为ｌ，则π（１ ＋ ２）ｌ ＝ ６π， 所以ｌ ＝ ２，所以高ｈ ＝ ｌ２ －（Ｒ － ｒ）槡 ２ 槡＝ ３， 所以Ｖ ＝ １３ π × （１ ２ ＋ １ × ２ ＋ ２２） 槡× ３ ＝ 槡７ ３３ π． １１． ２　 平面的基本事实与推论 必备知识　 探新知 知识点１　 Ａ∈ｌ　 Ａｌ　 Ａ∈α　 Ａα　 ｌα　 ｌα　 对应练习 １． Ａ　 由题图可知平面α，β相交于直线ｍ，直线ｎ在平面α内， 两直线ｍ，ｎ交于点Ａ，所以用符号语言可表示为α∩β ＝ ｍ， ｎα，ｍ∩ｎ ＝ Ａ． 知识点２　 １．有且只有　 两个点　 这个平面内　 ｌα　 公共直 线　 ２．经过一条直线和这条直线外一点　 经过两条相交直线　 经过两条平行直线 对应练习 ２． Ｄ　 根据基本事实３判定点Ｃ和点Ｄ既在平面β内又在平面 γ内，故在β与γ的交线上．故选Ｄ． ３． １或３　 当三条直线共点时可确定三个或一个平面，当三条直 线不共点时可确定一个平面． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）点Ｐ∈直线ＡＢ； 　 　 （２）点Ｃ直线ＡＢ；　 　 （３）点Ｍ∈平面ＡＣ； 　 　 （４）点Ａ１平面ＡＣ； 　 　 （５）直线ＡＢ∩直线ＢＣ ＝点Ｂ； 　 　 （６）直线ＡＢ平面ＡＣ； 　 　 （７）平面Ａ１Ｂ∩平面ＡＣ ＝直线ＡＢ． 对点训练 １．（１）ｌα　 （２）Ａ∈ｌ 　 　 例２：方法一：∵ ＡＢ∩α ＝ Ｐ，∴ Ｐ∈ＡＢ，Ｐ∈平面α． 　 　 又ＡＢ平面ＡＢＣ，∴ Ｐ∈平面ＡＢＣ． 　 　 ∴由基本事实３可知： 　 　 点Ｐ在平面ＡＢＣ与平面α的交线上， 　 　 同理可证Ｑ、Ｒ也在平面ＡＢＣ与平面α的交线上． 　 　 ∴ Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 　 　 方法二：∵ ＡＰ∩ＡＲ ＝ Ａ， 　 　 ∴直线ＡＰ与直线ＡＲ确定平面ＡＰＲ． 　 　 又∵ ＡＢ∩α ＝ Ｐ，ＡＣ∩α ＝ Ｒ， 　 　 ∴平面ＡＰＲ∩平面α ＝ ＰＲ． 　 　 ∵ Ｂ∈面ＡＰＲ，Ｃ∈面ＡＰＲ，∴ ＢＣ面ＡＰＲ． 　 　 又∵ Ｑ∈面ＡＰＲ，Ｑ∈α， 　 　 ∴ Ｑ∈ＰＲ． ∴ Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 对点训练 ２．如图所示，连接Ａ１Ｂ，ＣＤ１ ．显然Ｂ∈平面 Ａ１ＢＣＤ１，Ｄ１∈平面Ａ１ＢＣＤ１ ． ∴ ＢＤ１平 面Ａ１ＢＣＤ１ ． 同理ＢＤ１平面ＡＢＣ１Ｄ１，∴平面ＡＢＣ１Ｄ１ ∩平面Ａ１ＢＣＤ１ ＝ ＢＤ１ ． ∵ Ａ１Ｃ与平面ＡＢＣ１Ｄ１的公共点是Ｑ， ∴ Ｑ∈平面ＡＢＣ１Ｄ１ ． 又∵ Ａ１Ｃ平面Ａ１ＢＣＤ１，∴ Ｑ∈平面Ａ１ＢＣＤ１ ． ∴ Ｑ∈ＢＤ１，即Ｂ，Ｑ，Ｄ１三点共线． 　 　 例３：［证明］　 如图所示．由已知 ａ∥ｂ，所以过ａ，ｂ有且只有一个平面 α．设ａ∩ｌ ＝Ａ，ｂ∩ｌ ＝ Ｂ，∴ Ａ∈α，Ｂ∈α， 且Ａ∈ｌ，Ｂ∈ｌ，∴ ｌα．即过ａ，ｂ，ｌ有且 只有一个平面． 对点训练 ３．（１）Ｄ　 （２）１　 （１）在Ａ图中，分别连接ＰＳ，ＱＲ（图略）， 易证ＰＳ∥ＱＲ， ∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｂ图中，过Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ可作一正六边形，如图 所示，∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｃ图中，分别连接ＰＱ，ＲＳ（图略），易证 ＰＱ∥ＲＳ，∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｄ图中，连接ＰＳ，ＲＱ（图略），易知ＰＳ与ＲＱ 不相交也不平行， ∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点不共面．故选Ｄ． （２）①正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点 必共面； ②不正确，共面不具有传递性； ③不正确，如空间四边形． 　 　 例４：［证明］（１）因为ＢＧＧＣ ＝ ＤＨＨＣ ＝ １２， 所以ＧＨ∥ＢＤ． 因为Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的中点，所以ＥＦ∥ＢＤ， 所以ＥＦ∥ＧＨ． 所以Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｇ四点共面． （２）因为Ｇ，Ｈ不是ＢＣ，ＣＤ的中点， 所以ＥＦ∥ＧＨ，且ＥＦ≠ＧＨ， 所以ＥＧ与ＦＨ必相交，设交点为Ｍ， 因为ＥＧ平面ＡＢＣ，ＨＦ平面ＡＣＤ，所以Ｍ∈平面ＡＢＣ， 且Ｍ∈平面ＡＣＤ，因为平面ＡＢＣ∩平面ＡＣＤ ＝ ＡＣ， 所以Ｍ∈ＡＣ， 所以ＥＧ与ＨＦ的交点在直线ＡＣ上． 对点训练 ４．［证明］　 ∵ ＣＥ∩Ｄ１Ｆ ＝ Ｇ， ∴ Ｇ∈ＣＥ，Ｇ∈Ｄ１Ｆ． 又∵ Ｄ１Ｆ平面ＡＤＤ１Ａ１，ＣＥ平面ＡＢＣＤ， ∴ Ｇ∈平面ＡＤＤ１Ａ１，Ｇ∈平面ＡＢＣＤ，即Ｇ为平面ＡＤＤ１Ａ１ 和平 面ＡＢＣＤ的公共点． 又平面ＡＤＤ１Ａ１∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ， ∴ Ｇ∈ＡＤ． ∴ ＣＥ，Ｄ１Ｆ，ＤＡ三线共点． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ∵直线ａ平面α，直线ｂ平面α，Ｍ∈ａ，Ｎ∈ｂ，∴ Ｍ∈平 面α，Ｎ∈平面α． ∵ Ｍ∈ｌ，Ｎ∈ｌ，∴ ｌα．故选Ａ． ２． Ｄ　 经过两条相交直线有且只有一个平面，Ａ错误；经过两条 平行直线有且只有一个平面，Ｂ错误；经过直线与直线外一点 有且只有一个平面，Ｃ错误；过共线的三点，有无数个平面，Ｄ 正确．故选Ｄ． ３． Ｄ　 当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若 四点共面，可确定１个平面，若四点不共面，可确定４个平面， 所以空间中四点可确定的平面有１个或４个或无数个                                                                      ． —２０２— ４． Ｃ　 因为α∩β ＝ ｌ，ＡＢ∩ｌ ＝Ｃ，所以Ｃ∈β，Ｃ∈ＡＢ，所以ＡＢ∩β ＝Ｃ． ５．等边三角形或矩形或等腰梯形　 点Ｑ在棱ＤＤ１ 上移动，当点 Ｑ与点Ｄ１重合时截面为等边三角形ＡＢ１Ｄ１，如图（１）所示；当 点Ｑ与点Ｄ重合时，截面为矩形ＡＢ１Ｃ１Ｄ，如图（２）所示；当点 Ｑ不与点Ｄ，Ｄ１ 重合时，截面为等腰梯形ＡＱＲＢ１，如图（３） 所示． １１． ３　 空间中的平行关系 １１． ３． １　 平行直线与异面直线 必备知识　 探新知 知识点１　 １．（１）有且只有一条　 （２）互相平行　 传递性　 ｂ∥ｃ ２．对应平行　 相同 对应练习 １． Ｂ　 因为ＡＢ∥ＰＱ，ＢＣ∥ＱＲ， 所以∠ＰＱＲ与∠ＡＢＣ相等或互补． 因为∠ＡＢＣ ＝ ３０°，所以∠ＰＱＲ ＝ ３０°或１５０°． ２． ３　 因为四边形ＡＢＢ′Ａ′，ＡＤＤ′Ａ′均为长方形，所以ＡＡ′∥ＢＢ′， ＡＡ′∥ＤＤ′．又四边形ＢＣＣ′Ｂ′为长方形，所以ＢＢ′∥ＣＣ′，所以 ＡＡ′∥ＣＣ′．故与ＡＡ′平行的棱共有３条，分别是ＢＢ′，ＣＣ′，ＤＤ′． 知识点２　 １．既不平行也不相交　 ３．不经过交点 对应练习 ３．（１）× 　 （２）× 　 （３）× 　 （４）√ ［提示］　 （１）没有公共点的两条直线是平行直线或异面 直线． （２）若直线ａ和ｂ共面，则由题意可知ａ∥ｂ；若ａ和ｂ不共面， 则由题意可知ａ与ｂ是异面直线． （３）若ａ，ｂ是异面直线，ａ，ｃ是异面直线，那么ｂ，ｃ可以平行， 可以相交，可以异面． （４）由异面直线的概念可知这个说法正确． 知识点３　 不共面　 顶点的４个字母　 相邻顶点间　 不相邻 对应练习 ４． Ｄ　 在△ＡＢＤ中可得ＥＨ∥ＢＤ，ＥＨ ＝ １２ ＢＤ，在△ＣＢＤ中可得 ＦＧ∥ＢＤ，ＦＧ ＝ ２３ ＢＤ，所以ＥＨ，ＦＧ平行且不相等，所以四边形 ＥＦＧＨ是梯形． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：平行　 连接ＢＤ，如图， 　 　 ∵ ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ，∴ ＥＨ∥ＢＤ， 　 　 又∵ ＣＦＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ，∴ ＦＧ∥ＢＤ，∴ ＥＨ∥ＦＧ． 对点训练 １．因为Ｇ，Ｈ分别为ＦＡ，ＦＤ的中点， 所以ＧＨ∥ＡＤ，ＧＨ ＝ １２ ＡＤ． 又ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ ＝ １２ ＡＤ， 所以ＢＣ∥ＧＨ，ＢＣ ＝ ＧＨ， 所以四边形ＢＣＨＧ是平行四边形． 　 　 例２：［证明］　 在正方形ＡＤＤ１Ａ１中，Ｍ，Ｍ１分别为ＡＤ，Ａ１Ｄ１ 的中点，∴ Ａ１Ｍ１瓛ＡＭ，∴四边形ＡＭＭ１Ａ１是平行四边形， 　 　 ∴ Ａ１Ａ瓛Ｍ１Ｍ．又∵ Ａ１Ａ瓛Ｂ１Ｂ，∴ Ｍ１Ｍ瓛Ｂ１Ｂ， 　 　 ∴四边形ＢＢ１Ｍ１Ｍ为平行四边形，∴ Ｂ１Ｍ１∥ＢＭ． 　 　 同理可得四边形ＣＣ１Ｍ１Ｍ为平行四边形，∴ Ｃ１Ｍ１∥ＣＭ． 　 　 由平面几何知识可知，∠ＢＭＣ和∠Ｂ１Ｍ１Ｃ１都是锐角． 　 　 ∴ ∠ＢＭＣ ＝∠Ｂ１Ｍ１Ｃ１ ． 对点训练 ２．△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ　 由题意知，Ｅ，Ｆ分别为原长方形纸片ＡＢＣＤ 中ＡＤ，ＢＣ的中点，ＥＦ与ＤＣ，ＡＢ分别平行且相等，∴四边形 ＥＦＣＤ和四边形ＥＦＢＡ均为平行四边形，∴ ＥＤ瓚ＦＣ，ＥＡ瓚ＦＢ 且方向相同，∴ ∠ＡＥＤ ＝∠ＢＦＣ， ∴ △ＡＤＥ≌△ＢＣＦ． 　 　 例３：（２）（４）　 （１）中ＨＧ∥ＭＮ，（３）中ＧＭ∥ＨＮ且ＧＭ≠ ＨＮ，所以直线ＨＧ与ＭＮ必相交． 对点训练 ３．平行　 异面　 相交　 异面　 （１）在正方体ＡＣ１ 中，因为Ａ１Ｄ１ 瓚ＢＣ，所以四边形Ａ１ＢＣＤ１为平行四边形，所以Ａ１Ｂ∥Ｄ１Ｃ． （２）因为Ｂ∈平面ＢＣＣ１Ｂ１，Ｂ１Ｃ平面ＢＣＣ１Ｂ１，ＢＢ１Ｃ，又Ａ１ 平面ＢＣＣ１Ｂ１，由异面直线的判定可知Ａ１Ｂ与Ｂ１Ｃ异面． （３）因为Ｄ１Ｄ∩Ｄ１Ｃ ＝ Ｄ１，所以直线Ｄ１Ｄ与直线Ｄ１Ｃ相交． （４）由异面直线的判定可知ＡＢ与Ｂ１Ｃ异面． 　 　 例４：６０°或１２０° 　 　 ［解析］　 因为角α，β的两边分别平行， 　 　 所以α，β相等或互补， 　 　 又α ＝ ６０°，所以β ＝ ６０°或１２０°． 对点训练 ４． Ｂ　 ②④是正确的． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 对于Ａ，若ＧＨ∥ＭＮ，可得Ｇ，Ｈ，Ｍ，Ｎ四点共面，则直线 ＭＧ，ＨＮ共面，这与ＭＧ，ＨＮ异面矛盾，所以Ａ中的两直线不平 行；由异面直线的定义可得Ｂ，Ｃ中的两直线ＧＨ，ＭＮ为异面 直线；对于Ｄ，由Ｎ，Ｈ为中点，可得ＮＨ∥ＭＧ，且ＮＨ ＝ ＭＧ，则 四边形ＭＧＨＮ为平行四边形，故ＧＨ∥ＭＮ．故选Ｄ． ２． Ｂ　 如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＡ１ 与ＢＣ是异面直线，又ＡＡ１∥ＢＢ１，ＡＡ１∥ＤＤ１， 显然ＢＢ１∩ＢＣ ＝ Ｂ，ＤＤ１与ＢＣ是异面直线，故 选Ｂ． ３． Ａ　 把正方体的平面展开图还原到原来的正 方体如图所示， ＡＢ⊥ＥＦ，ＥＦ与ＭＮ是异面直线，ＭＮ⊥ＣＤ，只有①②正确． ４．相交　 直线Ａ１Ｂ与直线外一点Ｅ确定的平面为Ａ１ＢＣＤ１，ＥＦ 平面Ａ１ＢＣＤ１，且两直线不平行，故两直线相交                                                                      ． —２０３— 〉 /CD1 ４．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为１，则球的体积为 （　 ） Ａ． ８π３ 　 　 　 　 　 Ｂ． ８槡２π ３ 　 　 　 　 　 Ｃ． ８槡２π　 　 　 　 　 Ｄ． ３２π ３ XYZ[%\]^ １．充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一 个飞艇，若要它的半径扩大为原来的４倍，那 么它的体积应增大到原来的 （　 　 ） Ａ． ４倍　 　 Ｂ． ８倍 Ｃ． ６４倍　 　 Ｄ． １６倍 ２．在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三 条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱 锥后，剩下的几何体的体积是 （　 　 ） Ａ． ２３ Ｂ． ７ ６ Ｃ． ４５ Ｄ． ５ ６ ３．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是４π， 那么圆柱的体积等于 （　 　 ） Ａ． π　 　 　 Ｂ． ２π　 　 　 Ｃ． ４π　 　 　 Ｄ． ８π ４．如图，四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的底面 ＡＢＣＤ为平行四边形，ＣＥ ＝ ２ＥＰ， 若三棱锥Ｐ － ＥＢＤ的体积为Ｖ１， 三棱锥Ｐ － ＡＢＤ的体积为Ｖ２，则 Ｖ１ Ｖ２ 的值为　 　 　 　 ． ５．圆台上、下底面面积分别是π，４π，侧面积是 ６π，这个圆台的体积是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１６                        ］ ##"% 平面的基本事实与推论 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实 与推论． ２．会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的 位置关系 １．通过平面画法的学习，培养直观想 象的数学核心素养． ２．借助平面的基本事实及推论，培养 逻辑推理的数学核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 点、线、面之间的位置关系 　 　 一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点Ａ在直线ｌ上 　 　 　 　 　 点Ａ在直线ｌ外 　 　 　 　 　 点Ａ在平面α内 　 　 　 　 　 点Ａ在平面α外 　 　 　 　 　 　 直线ｌ在平面α内 　 　 　 　 　 直线ｌ在平面α外 　 　 　 　 　 直线ｌ，ｍ相交于点Ａ ｌ∩ｍ ＝ Ａ 平面α，β相交于直线ｌ α∩β ＝ ｌ 　 　 提醒： t CZÄ.[-Cˆ ． K0¡Ÿ6->#RSíkO‹“Œo‹Œ，Ÿ6¡8<- >#RSíkO‹Œo‹Œ． $+& ●/012 １．如图所示，用符号语言可表示为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． α∩β ＝ ｍ，ｎα，ｍ∩ｎ ＝ Ａ Ｂ． α∩β ＝ ｍ，ｎ∈α，ｍ∩ｎ ＝ Ａ Ｃ． α∩β ＝ ｍ，ｎα，Ａｍ，Ａｎ Ｄ． α∩β ＝ ｍ，ｎ∈α，Ａ∈ｍ，Ａ∈ｎ 知识点２　 平面的基本事实与推论 　 　 １．平面的基本事实 基本事实 内容 图形 符号 作用 基 本 事 实 １ 经过不在一条直线上 的三个点，　 　 　 　 　 一个平面 Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线存 在唯一的平面α使Ａ，Ｂ， Ｃ∈α 一是确定平面；二是证明 点、线共面问题；三是判断 两个平面重合的依据 基 本 事 实 ２ 如果一条直线上的　 　 　 　 　 在一个平面 内，那么这条直线 在　 　 　 　 　 　 Ａ∈ｌ，Ｂ∈ｌ，且Ａ∈α，Ｂ∈α  　 　 　 　 　 既可判定直线和点是否在 平面内，又能说明平面是 无限延展的 基 本 事 实 ３ 如果两个不重合的平 面有一个公共点，那 么它们有且只有一条 过该点的　 　 　 　 　 Ｐ∈α且Ｐ∈βα∩β ＝ ｌ， 且Ｐ∈ｌ ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 　 　 ２．利用基本事实１和基本事实２，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 　 　 推论１ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，有且只有一个平面． 　 　 推论２ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，有且只有一个平面． 　 　 推论３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，有且只有一个平面． ●/012 ２．如图，平面α∩平面β ＝ ｌ，Ａ，Ｂ∈α，Ｃ∈β，Ｃｌ，直线ＡＢ∩ｌ ＝ Ｄ，过Ａ，Ｂ，Ｃ三点确 定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过 （　 　 ） Ａ．点Ａ Ｂ．点Ｂ Ｃ．点Ｃ，但不过点Ｄ Ｄ．点Ｃ和点Ｄ ３．三条直线两两相交，可确定平面的个数是　 　 　 　 个． 3456%789 ●:;<%>ÓÔÕP”_Ö` １．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． （１）点Ｐ与直线ＡＢ； （２）点Ｃ与直线ＡＢ； $+' 　 （３）点Ｍ与平面ＡＣ； （４）点Ａ１与平面ＡＣ； （５）直线ＡＢ与直线ＢＣ； （６）直线ＡＢ与平面ＡＣ； （７）平面Ａ１Ｂ与平面ＡＣ． ［归纳提升］ 　 　 提醒： vwZÄ.[o\ñ.[Q¶£-J;NVt CF6]6 -¢5 ． 〉 /CD1 １．（１）用集合语言表示直线ｌ在α内，　 　 　 　 　 ； （２）点Ａ在直线ｌ上用符号语言表示为　 　 　 　 　 ． ●:;E%C¡×f: ２．已知△ＡＢＣ在平面α外，ＡＢ∩α ＝ Ｐ，ＡＣ∩α ＝ Ｒ， ＢＣ∩α ＝ Ｑ，如图．求证：Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 　 　 ［分析］　 （１）Ｐ、Ｑ、Ｒ三点分别在哪几个平面上？ 　 　 （２）在两个相交平面上的点，有什么特点？ ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．如图所示，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，设线段Ａ１Ｃ与 平面ＡＢＣ１Ｄ１的公共点是Ｑ，求证：Ｂ，Ｑ，Ｄ１三点共线． 归纳提升：三种语言的 转换方法 O\ñ.[nZÄ.[ ÓÔ^.J;NV‡ ]^ÿ>J;b/.8 <n/šŸ6•¶¬Ý Í->#RSKWV_ kO\ñ.[ÓÔVƒ OZÄ.[ÓÔ ． 归纳提升： 0»6-5 Ä$u5Ä$0»6 GH«OË(`F ３ V ¦\¶«8<«6-c ^+VG¯5Ä045 ®\.8</V5Ä0 ®¶«8<-«6„V òWEai*\0fg ^šŸ6V]÷5Äi j0ò®i„ ． $+( ●:;>%סAf: ３．已知直线ａ∥ｂ，直线ｌ与ａ，ｂ都相交，求证：过ａ，ｂ，ｌ有且只有一个 平面． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．（１）已知四个选项中的图形棱长都相等，且Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的是 （　 ） （２）给出以下四个结论： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若直线ａ，ｂ共面，直线ａ，ｃ共面，则直线ｂ，ｃ共面； ③依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确结论的个数是　 　 　 　 ． ●:;n%סCf: ４．如图所示，在空间四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的中点，Ｇ，Ｈ 分别在ＢＣ，ＣＤ上，且ＢＧＧＣ ＝ ＤＨＨＣ ＝ １２，求证： 　 　 （１）Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｇ四点共面； 　 　 （２）ＥＧ与ＨＦ的交点在直线ＡＣ上． ［归纳提升］ 归纳提升：在证明多线 共面时，可用下面的两 种方法来证明： È １ Ébэuˆ” 4Ÿ6fg^.8<V ƒ5ÄijŸ6®’. 8</ ． È ２ É*^u¦5 Ä^Ïðƒ®^.8< /Vƒ5Ä`^Ïðƒ ®`^.8</V]÷ 5Ē\.8<­AV ¦5X1bðƒ®*^ .8</ ． 归纳提升：证明线共点 问题的方法 （１） $ １ uWÊi* ^šI"45¯iì\ šŸ6-\.8<-« 6V]÷ƒ5\šŸ6 -«0®aŸ6„h （２） $ ２ u+i* ^šŸ6õIÎ\.8 <-«6V5Ä9«6 ¡`\šŸ645«p \0Vƒ50­AVØ ÙX:6»0h $+) 〉 /CD1 ４．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，设Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ为ＡＡ１的中点，且ＣＥ∩Ｄ１Ｆ ＝ Ｇ，求证： ＣＥ，Ｄ１Ｆ，ＤＡ三线共点． XYZ[%\]^ １．如果直线ａ平面α，直线ｂ平面α，Ｍ∈ａ， Ｎ∈ｂ，且Ｍ∈ｌ，Ｎ∈ｌ，那么 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｌα Ｂ． ｌα Ｃ． ｌ∩α ＝Ｍ Ｄ． ｌ∩α ＝ Ｎ ２．下列条件不能确定一个平面的是 （　 ） Ａ．两条相交直线 Ｂ．两条平行直线 Ｃ．直线与直线外一点 Ｄ．共线的三点 ３．空间中四点可确定的平面个数有 （　 　 ） Ａ． １个 Ｂ． ３个 Ｃ． ４个 Ｄ． １个或４个或无数个 ４．设平面α与平面β交于直线ｌ，Ａ∈α，Ｂ∈α，且 直线ＡＢ∩ｌ ＝ Ｃ，则直线ＡＢ∩β ＝ 　 　 　 　 ． ５．正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｑ是棱ＤＤ１上 的动点，则过Ａ，Ｑ，Ｂ１三点的截面的形状可能 为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１７                   ］ ##"& 空间中的平行关系 １１． ３． １　 平行直线与异面直线 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．了解空间中两条直线的位置关系． ２．理解空间平行线的传递性，会证等角定理． ３．理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形． １．借助两直线平行的判定与性质，提 升逻辑推理的核心素养． ２．通过等角定理的学习，培养直观想 象的核心素养． $+*