11.2 平面的基本事实与推论（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.2平面的基本事实与推论 课程标准 素养解读 从直观认识的基础上论证点、线、面之 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论. 间的位置关系，发展培养学生的空间 2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系。 想象素养与逻辑推理素养， 课前。预习学案 [情境引入] 点A在平面内 ·A 我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠 在做桌面时，也要求它是平的，并且用直尺在桌面 点A在平面外 上任意移动来判断所做桌面是否平. 问题判断一个面是否是平面的依据是什么？ 直线（在平面内 直线1在平面外 [知识梳理] [知识点一]平面的概念 (I)几何里所说的“平面(plane)”就是从一些物体中 抽象出来的，无厚薄，无大小，是无限延展的一个几何 ?思考1.一望无际的海平面是平面吗？ 概念 (2)平面通常用 表示，当平面水平放置时，常 把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时， 常把平行四边形的一边画成竖向.也可以用其它的平 2.直线1在平面α外，则1与a一定没有公共点吗？ 面图形来表示，如三角形、梯形等. (3)常把一个希腊字母如a,3或y等写在表示平面的 平行四边形的一个角上来表示平面.如图(1)所示，表 示平面a.如图(2)所示，表示平面a、平面3也可以用 [知识点三]平面的基本性质 表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个 (1)基本事实1 顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图(1) ①文字语言：过 的三个点，有且只有一 所示中的平面a,也可以表示为平面ABCD、平面AC 个平面 或者平面BD. ②符号语言：A、B、C三点不共线→存在唯一的a使 D ③图形语言： ·B (1) (2) aA··C [知识点二]点、直线、平面之间的位置关系及语言 (2)基本事实2 表达 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 内，那么这条直线在这个平面内。 ②符号语言： ,且A∈a,B∈a→ 点A在直线上 A∈I ③图形语言： 点A在直线外 A氏U ·56· 第十一章立体几何初步 (3)基本事实3 [预习自测] ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点， 1.下列说法正确的是 那么它们有且只有一条过该点的 A.三点确定一个平面 ②符号语言：Pa,且P∈B→a∩B=l,且P 1. B.四边形一定是平面图形 ③图形语言： C.梯形一定是平面图形 D.平面α和平面3有不在同一条直线上的三个 交点 2.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是( (4)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有 一个平面 3.在下列命题中，不是基本事实的是 推论1亦可说成：直线及其外一点 个平面 A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面. C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面. 直线上所有的点都在此平面内 2思考3.以下条件能确定一个平面吗？ D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 (1)一条直线以及直线外一点； 4.如图所示，点A 平面ABC: (2)两条相交直线： 点A 平面BCD:BD (3)两条平行线. 平面ABD;BD 平面 ABC;平面ABC∩平面ACD= =BC. 5.证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一 个平面内. 已知：如图AB∩AC=A,AB∩BC =B,AC∩BC=C 4.由基本事实3知，两个不重合的平面的所有公共 求证：直线AB,BC,AC共面. 点都在哪里呢？利用基本事实3可证明什么问 题呢？ 课堂。互动学亲 题型一 对平面概念的理解 [尝试解答] [例1]现有下列命题：①书桌面是平面；②8个平面 规律方法 重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面 对平面概念的理解要类比“平面几何中的直线”， 的长是50m,宽是20m;④平面是绝对平的、无厚 与表示平面的实物区分开. 度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命 总结平面的特征：①平整；②无厚度；③无边界（大 题的个数为 小) A.1 B.2 ◇[变式训练] C.3 D.4 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. 汇思路点拔]依平面的概念判断： (1)平面的形状是平行四边形； (2)矩形可以表示平面： ·57· 数学B版·必修第四册 (3)平面ABCD的面积为10cm2; 题型目 点、线共面问题 (4)4个平面重叠起来比3个平面重叠起来厚， [例3]如图，已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C.求证：a,b,c,l共面 [思路点拔丁本题中直线较多，分别呈现“平行、 相交”的位置关系，由基本事实可知，它们都能确 定一个平面，所以证明不同平面重合即可： [尝试解答] 题型二点、直线、平面之间的位置关系的符萼表示 [例2]用符号语言表示下列语句，并画出图形 (1)三个平面a,3,y相交于一点P,且平面a与平面 3相交于PA,平面a与平面y相交于PB,平面3与 规律方法 平面y相交于PC; 点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平 (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC 面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2 与平面ADC相交于AC. 及其推论.解决该类问题通常有三种方法：(1)纳 汇思路点拨]依据条件，适当确定其中的某一个 入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他 平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于 元素也在该平面内；(2)辅助平面法（平面重合 固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分 法)，先由有关的点、线确定平面a,再由其余元素 用虚线表示 、 确定平面B,最后证明平面a,3重合：(3)反证法. [尝试解答] ◇[变式训练] 3.已知四条直线两两相交，且不共点.求证：这四条直 线在同一平面内. 规律方法 点与直线（或平面）的关系为元素与集合的关系， 用“∈”或任表示点与直线（或平面）的关系；直线 与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能 用“二”，或“中”表示 ◇[变式训练] 题型四 点共线、线共点 2.用符号表示下列语句，并画出相应的图形， [例4](1)如图所示，已知E,F,G,H分别是正方体 (1)点A在平面a外，点B在平面a内，直线l经过 ABCD-AB1C,D,的棱AB,BC,CC1,C,D,的中 点A,B; 点.求证：FE,HG,DC三线共点. (2)平面a和3的交线是直线a,直线b经过a内不 [思路点拨]可先证明两条直线相交于一点，再 在直线a上的点P且经过3内不在直线a上的 证明该交点也在另外一条直线上， 点Q. D [尝试解答] 58 第十一章立体几何初步 (2)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，设线段 题型五 两平面的交线问题 AC与平面ABC1D1交于点Q,求证：B,Q,D,三 [例5]如图所示的正方体ABCD一 点共线. ABC1D1中，E,F分别为CC1和 D AA1的中点，画出平面BED,F和平 B 面ABCD的交线， [思路点拨]找这两个平面的两个公共点即可， [尝试解答] 汇思路点拨]先证两点的连线是某两个平面的交 线，再证第三个点也是这两个平面的公共点， [尝试解答] 规律方法 规律方法 点共线与线共点的证明方法 两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画 1.点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即 出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公 两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在 共点即可， 两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可 ◇[变式训练] 选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点 5.如图正方体ABCD-A1B,C1D 也在其上 中，M,N,P分别是AB,AD1, 2.三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作 BB,的中点.画出过M,N,P的 为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然 平面与平面A,B,C1D,的交线以 后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可 及与平面BB,CC的交线. 先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证 明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点 重合，从而得三线共点 ⊙[变式训练] 4.已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线满足 AB∩a=P,BC∩a=Q,AC∩a=R,如图所示，求 证：P,Q,R三点共线. ·59· 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 1.已知点A,直线a,平面a,以下表述正确的个数是 4.如图，已知D,E是△ABC的边 AC,BC上的点，平面a经过D,E ①A∈a,ata→Aa;②A∈a,a∈a→A∈a;③At 两点，若直线AB与平面a的交点a a,aCa→Ata;④A∈a,aCa→ACa. 是P,则点P与直线DE的位置关 系是 A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知A∈l,B∈l,C∈l,D氏l(如图)，求证：直线 2.下列命题中正确的是 AD,BD,CD共面 A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若A,B,C,D既在平面a内，又在平面3内，则 平面a和平面3重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 3.若直线1与平面a相交于点O,A,B∈l,C,D∈a, 且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 11.3空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 课程标准 素养解读 1.了解空间中两条直线的位置关系 借助实物理解异面直线的概念，进行两条直线 2.理解空间平行线的传递性，会证等角定理 平行的判断，培养学生的直观想象素养与逻辑 3.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 推理素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 1.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直 [知识点一]平行直线 线平行吗？ 1.平行直线 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已 知直线平行. (2)平行线的传递性 2.同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平 分别平行，那么这两个角相等或互补.空间中是否 行.这一性质称为空间平行线的传递性。 有类似规律？ 符号表述a/c a∥b →b∥c. 2.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分 别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. ·60·[例4][解](1)如图所示，作出轴 截面，则等腰三角形SAB内接于 圆O,而圆O1内切于△SAB. 设圆0的丰径为R,则有号R3= 10 0 972π，∴.R=9,.SE=2R=18. .SD=16,.ED=2. D 连接AE,又SE是圆O的直径， ∴.SA⊥AE, .SA2=SD×SE=16×18=288,SA=12√2. AB⊥SD,D为AB中点， .AD2=SD·DE=16×2=32,AD=4√2. ∴.S图维侧=π×ADXSA=π×4√2×12√2=96π. (2)设内切球的半径为r,即圆O1的半径为r, △SAB的周长为2×(12V2+4√2)=32√2， ∴X32E-宁×8x16,得r=4 故圆锥内切球的体积V魏=73_256 4 3元 变式训练 4.解析：过正方体对角面作截面如图所 A' 示，设半球的半径为R,因为正方体的 棱长为，6，所以CC=6,0C=×5 2 0 =. 在Rt△CCO中，由勾股定理，得 CC2+OC=OC2,即（√6）2+（√3）2=R2,所以R=3. 故V=分×专R=18 答案：18元 5.B[如图所示，设O1,O分别为上、A1 ：01 下底面的中心，连接OO,则球心 B O2为O01的中点，连接AO并延 0, 长交BC于D点，连接AO2. AD=9,A0=号AD=9。 31 3a, 00=A0=2+2 B 2,故接球的表面积S=:×司02=子 3a2.] 随堂步步夯实 1.C[设球的半径为r,则圆锥的底面半径是3r,设圆锥的 高为A,别号=子3rh,解得片=青r,所以圆维的 高与底面半径之比为易】 2.D[设上、下底面半径为r',r,母线长为l, r2=元， r'=1, 则{xr2=4x, .{r=2, (x(r'+r)·l=6π，（l=2. 圆台的高h=√2-(r-r)z=√5， V题台=子(+·4际+4xw5-7Bx,] 1 3.解析：设该铁球的半径为r,则由题意得 号xX=元X102×号解得户=5=5 .这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm2) 答案：100x 1 参考答案 4.解析：水面高度上升r,则圆柱体积增加xR2·r, 恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此得号=xR g-2 答案2 5.解：截面EB1CF将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台 AEF-A1B1C1,另一部分是一个不规则几何体，故可以 用棱柱的体积减去棱台的体积求得。 设被柱的底面积为S,高为A,则△AEF的面积为S, 令V=Vr-AaC=子A·(+S+)=是AS,剩 余的不规则几何体的体积为 V,=V-V=AS-是AS=品AS,所以两部分的依积之比 为V1:V2=7:5. 11.2平面的基本事实与推论 课前预习学案 情境引入 提示如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个 面内，那么这个面就是平面. 知识梳理 知识点一、(2)平行四边形 知识点二、A∈aA庄a ICa 1中a 「思考 1.「提示1不是，平面是无限延展的. 2.[提示]不一定.当1与a相交时，1在a外，但有一个 公共点 知识点三、(1)不在一条直线上A、B、C∈a(2)A∈1B ∈l1Ca(3)公共直线∈∈(4)确定相交平行 [思考] 3.[提示]根据基本事实2，易知以上三个条件都能确定一 个平面.此三个结论可作为“基本事实2”的三个推论，在 推理证明中可直接运用. 4.[提示]都在交线上，可证明多点共线问题. 预习自测 1.C[不共线的三，点可以确定一个平面，排除A;四边形可 以是空间四边形，排除B;根据基本事实3可以知道D不 正确，故选C. 2.D 3.A[选项A是面面平行的性质定理，是由基本事实推证 出来的，而基本事实是不需要证明的，故选A.] 4.∈庄C丈AC平面ABC 平面BCD 5.证明：已知点A,B,C不在同一条直线上。 由基本事实1，知过A,B,C三，点可以确定一个平面a. 则A∈a,B∈a.由基本事实2，知ABCa. 同理可证AC二a,BCCa. .直线AB,BC,CA共面 课堂互动学案 [例1][解析]A[由平面的概念和特征知，平面是平 滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确.其余的 命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不 正确.故选A.门] 数学B版·必修第四册 变式训练 1.解： 题号 结论及理由 (1) 错误.因为平面是无限延展的， 正确.除了用平行四边形表示平面外，有时也用 (2) 矩形、圆等表示平面 (3) 错误.平面是不可度量的，无大小，无面积。 (4) 错误.平面不可度量，无厚薄. [例2][解](1)符号语言表示a∩8∩Y=P,a∩3=PA,a ∩y=PB,3∩Y=PC,图形表示如图(1). 图(1) 图(2) (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC=BD,平面 ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图(2). 变式训练 2.解：(1)A庄a,B∈a,A∈l,B∈1.大致图形如图(1). (1) (2) (2)a∩B=a,P庄a,Qta,P∈a,Q∈B,P∈b,Q∈b.大致图 形如图(2). [例3][证明]a∥b,∴a,b确定一个平面a. l∩a=A,l∩b=B,∴.A∈a,B∈a. 又A∈l,B∈l,.lCa. :b∥c, ∴.b,c确定一个平面B. 同理可证lC3. 于是bCa,lCa,bC3,lCB,即a∩3=b,a∩B=l. 又b与1不重合∴.a与3重合，.a,b,c,l共面. 变式训练 3.证明：依题意，已知a,b,c,d四条直线两两相交，且不共 点，求证：a,b,c,d四线共面. ①若a,b,c三线共，点于O, 如图所示： Od,∴经过d与点O有且 AB d 仅有一个平面a(推论1). A,B,C分别是d与a,b,c的 交点， ∴A,B,C三点在平面a内. 由基本事实2知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d共面. ②若a,b,c,d无三线共点，如图所示： CN B DE a b a ·11 a∩b=A,∴.经过a,b有且仅有一个平面a(推论2)， B,C∈a,由基本事实2知cCa. 同理，dCa,从而有a,b,c,d共面 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在 同一平面内 [例4](1)[证明]如图所示，连接C1B,GF,HE,由题意 知HC1∥EB,且HC1=EB,∴.四边形HCBE是平行四 边形，.HE∥CB. 又CG=GC,CF=BF, GF∥CB,且GF=2CB .GF∥HE,且GF≠HE,.HG与 EF相交.设交点为K, ∴.K∈HG,HGC平面D1C1CD, ∴.K∈平面D1CCD. ,K∈EF,EFC平面ABCD,K∈平面ABCD, ,平面D1C1CD∩平面ABCD=DC,.K∈DC, ∴.EF,HG,DC三线共点. (2)[证明]如图，连接A1B,CD1, D BD1,显然B∈平面A1BCD1,D1∈ 平面A1BCD1, .BD1C平面A1BCD 同理，BD1C平面ABC1D1, .平面ABCD1∩平面ABCD1= BD1.A1C∩平面ABC1D1=Q, A .Q∈平面ABC1D. 又：A1CC平面A1BCD1,.Q∈平面A1BCD1. .Q在平面A1BCD1与平面ABCD1的交线上，即Q∈ BD1,B,Q,D1三点共线. 变式训练 4.证明：法一：AB∩a=P, ∴.P∈AB,P∈平面a. 又ABC平面ABC,'.P∈平面ABC. 由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面a的交线 上，同理可证Q,R也在平面ABC与平面a的交线上. P,Q,R三点共线. 法二：，AP∩AR=A, ∴.直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩a=P,AC∩a=R, ∴.平面APR∩平面a=PR. B∈平面APR,C∈平面APR,.BCC平面APR. Q∈BC,.Q∈平面APR,又Q∈a,.Q∈PR, P,Q,R三点共线 [例5][解]在平面AA1D1D内，连接D1F并延长. D D1F与AD不平行，D1F与DA必相交于一点，设为 P,则P∈FD1,P∈DA. 又FD1C平面BED1F, ∴.P∈平面BED1F, 又DAC平面ABCD,∴.P∈平面ABCD. ∴.P为平面BED1F与平面ABCD的公共，点 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴.连接PB,则PB即为平面BED1F与平面ABCD的 交线 变式训练 5.解：设M,N,P三点确定的平面为a, 则a与平面AA1BB交于MP. 连接MP并延长交A1B1的延长线于一，点，设为R,连接 NR,则NR为平面a与平面A1B1CD1的交线. 设RN∩B1C1=Q,则PQ是a与平面BB1C1C的交线，如 下图所示. ◇ M 4 随堂步步夯实 1.A[①不正确，如a∩a=A;②不正 ·Aa 确，，“α∈α”表述错误；③不正确，如 图所示，A庄a,aCa,但A∈a;④不正确，“ACa”表述 错误.] 2.B[共线的三，点不能确定一个平面，故A错；两个平面有 公共点，这两个平面可以是相交的，故C错：四边都相等 的四边形可以是空间四边形.] 3.解析：AC∥BD,∴.AC,BD确定一个平面3（推论3）， ∴.a∩3=CD,ABC8,又O∈AB,.O∈3，又O∈a,.O∈ CD,即O,C,D三点共线 答案：共线 4.解析：因为P∈AB,ABC平面ABC,所以P∈平面ABC, 又P∈a,平面ABC∩平面a=DE,所以P∈直线DE. 答案：P∈直线DE 5.证明：因为D任1，所以D和1可确定一平面，设为a. 因为A∈l,所以A∈a.又D∈a,所以AD寸a.同理BDa, CDa,所以AD,BD,CD都在平面a内，即它们共面. 11.3空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 课前预习学案 情境引入 1.提示不一定.这两条直线可能相交、平行或异面. 2.提示有.观察图形有∠AOB=∠A'OB'. B 知识梳理 知识点三、不共面顶点的4个字母相邻顶点间不 相邻 [思考] 1.[提示]可用于证明空间中两条直线平行，也可用于作 空间中直线的平行线. 2.[提示]观察两个角在空间中张口的相对方向，当方向 相同时，两角相等：当方向相反时，两角互补. 3.[提示]相等. 预习自测 1.D[由等角定理可知，3为60°或120°.] 2.B[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相 等，所以这两个三角形相似.] ·1 参考答案 3.B[如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那 么这两个角相等或互补，所以①为假命题：如果一个角的 两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小 关系是不确定的，所以③为假命题：②④是真命题.] 4.解析：在△ABC中，，AE:EB=AF:FC, .EF∥BC. 又BC∥B1C,.EF∥B1C1. 答案：平行 课堂互动学案 [例1][证明](1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA的中点， 所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=2AC, 所以EF∥HG,EF=HG, 所以四边形EFGH是平行四边形. (2)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB, BC,CD,DA的中点， 所以EH∥BD,EH=号BD, 因为EF=名AC,AC=BD,所以EH=ER 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是 菱形 变式训练 1.证明：如图.取BB1的中点G,连接 GC,GE. F为CC1的中点，∴.BG LC F, .四边形BGC1F为平行四边形， .BF LGC. 又：EGLA1B1,A1B14D1C1,.EGLD1C1, ∴.四边形EGC1D1为平行四边形，.ED1LGC1 :.BF LED. [例2][证明]如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中， 取AB的中点M,则BF=AM=AB连接MP MB,F1C..BF∥A1M, ∴.四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM. F1,M分别为C1D1,A1B1的中点，∴F1MLCB1. C1B1LCB,∴.F1MLCB, .四边形FMBC为平行四边形， ∴.BM∥F1C. 又BM∥AF,AF∥F1C. 取A1D1的中点N, 连接E1C,ND. 同理得A1E∥CE1. ∴∠EA1F与∠ECF1的两边分别对应平行，且两边方 向对应相反， .∠EA1F=∠ECF· 变式训练 2.证明：如图，连接EE1. A E1,E分别为A1D1,AD的中点， ..A EZAE, ∴.四边形AEEA为平行四边形，