11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

XYZ[%\]^ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列结论中：①等腰梯形的纸片可以卷成一个 没有两底的圆台；②一个圆台存在两条母线的 延长线不相交于一点；③过圆台的任何两条母 线的截面都是等腰梯形．其中错误的结论个 数为 （　 　 ） Ａ． ０　 　 　 Ｂ． １　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 Ｄ． ３ ２．下面几何体的截面一定是圆面的是（　 　 ） Ａ．圆台　 Ｂ．球 Ｃ．圆柱　 Ｄ．棱柱 ３．已知某圆锥的表面积是１４π，其侧面展开图是 顶角为π３的扇形，则该圆锥的侧面积为（　 ） Ａ． π Ｂ． ２π Ｃ． ６π Ｄ． １２π ４．正方体的内切球与外接球的表面积之比 为　 　 　 　 ． ５．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面 积是Ｑ，则此圆柱的底面半径为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                        ］ １１． １． ６　 祖 ! 原理与几何体的体积 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖 ! 原理，将空间问题转化为平面问题． ２．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的 实际问题． １．通过学习柱体、锥体、台体和球的体 积公式，培养数学运算核心素养． ２．借助组合体的体积，提升直观想象 的核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 祖 ! 原理 　 　 １．内容：幂势既同，则积不容异． 　 　 ２．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个 截面的　 　 　 　 　 总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． 　 　 ３．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积　 　 　 　 　 ． $*! ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．如图所示，扇形ＡＯＢ的半径为３，圆心角为９０°，若扇形ＡＯＢ绕ＯＢ所在直线旋转一 周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规 则几何体的体积为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３π Ｂ． ６π Ｃ． ９π Ｄ． ２７π 知识点２　 柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积（Ｖ） 柱体 棱柱 　 　 　 　 　 　 　 　 圆柱 　 　 　 　 　 　 　 　 锥体 棱锥 　 　 　 　 　 　 　 　 圆锥 　 　 　 　 　 　 　 　 台体 棱台 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 圆台 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 球 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 其中Ｓ１，Ｓ２分别表示上、下底面的面积，ｈ表示高，ｒ１和ｒ２分别表示上、下底面的半径，Ｒ表示球 的半径． 　 　 提醒： 球的截面问题的解题技巧 （１） bRý-R<ۘ ， HQl¯ýÌ-R<à ， +ۘ¨©"8<*à-ۘ ． （２） d˜Nt Cøùýáâ Ｒ， R<àáâ ｒ， ýÌÿR<-rs ｄ …Õ-Ÿ0:0; ， ¦ Ｒ２ ＝ ｄ２ ＋ ｒ２ ． [ /012 ２．圆锥的母线长为５，底面半径为３，则其体积为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １５π　 　 Ｂ． ３０π Ｃ． １２π　 　 Ｄ． ３６π ３．正四棱锥的底面边长和高都是４，则该四棱锥的体积为　 　 　 　 ，它的外接球的表面积 为　 　 　 　 ． $+$ 3456%789 ●:;<%ÛPB 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 ６ ｃｍ，高为３ ｃｍ，下面是正六棱柱，其底面边长为 ４ ｃｍ，高为２ ｃｍ，现从中间挖去一个直径为２ ｃｍ 的圆柱，求此几何体的体积． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正 方体和圆柱的体积之比． ●:;E%âB ２．如图，三棱台ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，ＡＢＡ１Ｂ１ ＝ １２， 求三棱锥Ａ１ － ＡＢＣ，三棱锥Ｂ － Ａ１Ｂ１Ｃ，三棱锥 Ｃ － Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积之比． 　 　 ［思路探究］　 ＡＢＡ１Ｂ１ ＝１２→Ｓ△ＡＢＣＳ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ →计算ＶＡ１ －ＡＢＣ →计算ＶＣ －Ａ１Ｂ１Ｃ１ →计算ＶＢ －Ａ１Ｂ１Ｃ ［归纳提升］ 归纳提升：柱体体积问 题的处理方法 _dûVV=ۘ -Rj}k£Oúû oàû-gˆfg'< ]±húû-±}\. 8Ç'<Í-rsVi *^.8<„-B^0 ÿ`^.<-rsô¶ QVô}±hàû-± }i×6ªh'Vۘ *tkCf£O‹' <Œ‹±Œ-gˆÉ_ d¶Rðƒh 归纳提升：求几何体体 积的常用方法 >? ŸßãÑ>?_d Q= ™KÁ<V-BW ^.<ôWII" '<VísEO' <=]±ô9_- ;?¦W WV +/WVWÕ9_ d-/WVVKú üWÕúûV:ú ûWÕÁúûQ 4X +/WV4XÕ9 _d-/”4V4 5_V= $+# 〉 /CD1 ２．如图，已知ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是棱长为ａ的正方体，Ｅ 为ＡＡ１的中点，Ｆ为ＣＣ１上一点，求三棱锥Ａ１ －Ｄ１ＥＦ的 体积． ●:;>%ãPB ３．已知圆台的高为３，在轴截面中，母线ＡＡ１与底面圆直径ＡＢ的夹角 为６０°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．正四棱台的上、下底面的边长分别为２，４，侧棱长为２，则其体积为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． ２０ ＋ １２槡３ Ｂ． ２８槡２ Ｃ． ５６３ Ｄ． ２８槡２ ３ ●:;n%êPB 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　４．（１）球的体积是３２π３ ，则此球的表面积是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １２π Ｂ． １６π Ｃ． １６π３ Ｄ． ６４π ３ （２）一平面截一球得到直径为２槡５ ｃｍ的圆面，球心到这个平面的 距离是２ ｃｍ，则该球的体积是 （　 ） Ａ． １２π ｃｍ３ Ｂ． ３６π ｃｍ３ Ｃ． ６４槡６π ｃｍ３ Ｄ． １０８π ｃｍ３ （３）一球与棱长为２的正方体的各个面相切，则该球的体积为 　 　 　 　 　 ． 归纳提升： _!V-V =Rj}_l„n~' <-<=]!V-±h t C{4ROú!/ -Ÿ0M;oà!-¨ R<Y_¶RÌÝÍ- RSh $+% 〉 /CD1 ４．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为１，则球的体积为 （　 ） Ａ． ８π３ 　 　 　 　 　 Ｂ． ８槡２π ３ 　 　 　 　 　 Ｃ． ８槡２π　 　 　 　 　 Ｄ． ３２π ３ XYZ[%\]^ １．充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一 个飞艇，若要它的半径扩大为原来的４倍，那 么它的体积应增大到原来的 （　 　 ） Ａ． ４倍　 　 Ｂ． ８倍 Ｃ． ６４倍　 　 Ｄ． １６倍 ２．在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三 条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱 锥后，剩下的几何体的体积是 （　 　 ） Ａ． ２３ Ｂ． ７ ６ Ｃ． ４５ Ｄ． ５ ６ ３．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是４π， 那么圆柱的体积等于 （　 　 ） Ａ． π　 　 　 Ｂ． ２π　 　 　 Ｃ． ４π　 　 　 Ｄ． ８π ４．如图，四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的底面 ＡＢＣＤ为平行四边形，ＣＥ ＝ ２ＥＰ， 若三棱锥Ｐ － ＥＢＤ的体积为Ｖ１， 三棱锥Ｐ － ＡＢＤ的体积为Ｖ２，则 Ｖ１ Ｖ２ 的值为　 　 　 　 ． ５．圆台上、下底面面积分别是π，４π，侧面积是 ６π，这个圆台的体积是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１６                        ］ ##"% 平面的基本事实与推论 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实 与推论． ２．会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的 位置关系 １．通过平面画法的学习，培养直观想 象的数学核心素养． ２．借助平面的基本事实及推论，培养 逻辑推理的数学核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 点、线、面之间的位置关系 　 　 一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点Ａ在直线ｌ上 　 　 　 　 　 点Ａ在直线ｌ外 　 　 　 　 　 点Ａ在平面α内 　 　 　 　 　 点Ａ在平面α外 　 　 　 　 　 　 直线ｌ在平面α内 　 　 　 　 　 直线ｌ在平面α外 　 　 　 　 　 直线ｌ，ｍ相交于点Ａ ｌ∩ｍ ＝ Ａ 平面α，β相交于直线ｌ α∩β ＝ ｌ 　 　 提醒： t CZÄ.[-Cˆ ． K0¡Ÿ6->#RSíkO‹“Œo‹Œ，Ÿ6¡8<- >#RSíkO‹Œo‹Œ． $+& 对点训练 ２．（１）以ＡＢ边为轴旋转所得旋转体是圆台．如下图①所示． （２）以ＢＣ边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆 柱，上部为圆锥．如下图②所示． （３）以ＣＤ边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆 锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如下图③所示． （４）以ＡＤ边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上 部挖去一个圆锥．如下图④所示． 　 　 例３：（１）圆台的轴截面是等腰梯形ＡＢＣＤ （如图所示）． 由已知可得Ｏ１Ａ ＝ ２ ｃｍ，ＯＢ ＝ ５ ｃｍ． 　 　 又由题意知，腰长为１２ ｃｍ，所以高ＡＭ ＝ １２２ －（５ － ２）槡 ２ 槡＝ ３ １５（ｃｍ）． 　 　 （２）如图所示，延长ＢＡ，ＯＯ１，ＣＤ，交于点Ｓ， 　 　 设截得此圆台的圆锥的母线长为ｌ， 　 　 则由△ＳＡＯ１∽△ＳＢＯ，可得ｌ － １２ｌ ＝ ２ ５ ，解得ｌ ＝ ２０ ｃｍ． 　 　 即截得此圆台的圆锥的母线长为２０ ｃｍ． 对点训练 ３．设圆锥的底面半径为Ｒ，圆柱的底面半径为ｒ，则由三角形 相似， 得Ｒ － ｒＲ ＝ 槡 ３ ４２ － ２槡 ２ ，即１ － ｒ２ ＝ １ ２ ，解得ｒ ＝ １．即圆柱的底面 半径为１． 　 　 例４：Ｃ　 设球的半径为Ｒ，△ＡＢＣ外 接圆的半径为ｒ． 　 　 如图，Ｏ为球心，Ｏ′是△ＡＢＣ的外 心，则ＯＯ′⊥平面ＡＢＣ． 　 　 连接ＣＯ′并延长，交ＡＢ于点Ｄ． 　 　 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｃｏｓ∠ＣＡＢ ＝ １３ ，则 　 　 ｓｉｎ∠ＣＡＢ ＝ 槡２ ２３ ． 　 　 在△ＡＢＣ中，由正弦定理得 ６ｓｉｎ∠ＣＡＢ ＝ ２ｒ，ｒ ＝ 槡９ ２ ４ ， 　 　 由题意可知ｒ ＝槡３２ Ｒ，所以Ｒ ＝ 槡 ３ ６ ２ ，所以球面面积为 ４πＲ２ ＝ ５４π． 对点训练 ４． Ｂ　 设两球半径分别为Ｒ１，Ｒ２，且Ｒ１ ＞ Ｒ２，则４π（Ｒ２１ － Ｒ２２）＝ ４８π，２π（Ｒ１ ＋ Ｒ２）＝ １２π，所以Ｒ１ － Ｒ２ ＝ ２． 　 　 例５：正方体的表面积为４ × ４ × ６ ＝ ９６（ｃｍ２）， 　 　 圆柱的侧面积为π × ２ × ４ ＝ ８π（ｃｍ２）， 　 　 圆柱的两个底面积和为２π ｃｍ２， 　 　 则挖洞后几何体的表面积为９６ ＋ ８π － ２π ＝ （９６ ＋ ６π） （ｃｍ２）． 对点训练 ５．由题意，知Ｓ１ ＝ ２π·２ａ·槡３ａ ＋ ２π·（２ａ）２ ＝（槡４ ３ ＋ ８）πａ２， Ｓ２ ＝ Ｓ１ ＋ πａ·（２ａ）－ πａ２ ＝（槡４ ３ ＋ ９）πａ２ ．故Ｓ１Ｓ２ ＝（槡４ ３ ＋ ８）（槡４ ３ ＋ ９）． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 一个扇环可以卷成一个没有两底的圆台，故①错误；圆台 的任何母线的延长线都相交于一点，故②错误；容易判断③ 正确． ２． Ｂ　 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的 几何体只有球． ３． Ｄ　 设圆锥的底面半径为ｒ，母线长为ｌ，则圆锥的侧面展开图 的弧长为２πｒ，则由ｌ·π３ ＝ ２πｒ，得ｌ ＝ ６ｒ． 因为圆锥的表面积是１４π，所以πｒ２ ＋ πｒ·６ｒ ＝ １４π，解得ｒ２ ＝ ２，所以圆锥的侧面积Ｓ ＝ ６πｒ２ ＝ １２π．故选Ｄ． ４． １３　 设正方体的棱长为ａ，则其内切球的半径为１２ ａ，外接 球的半径为槡３２ ａ，所以内切球与外接球的表面积之比为 ４π １２( )ａ ２ ４π 槡３ ２( )ａ ２ ＝ １ ３ ． ５．槡Ｑ２ 　 设圆柱底面半径为ｒ，母线为ｌ， 则由题意得２ｒ ＝ ｌ， ２ｒ·ｌ ＝ Ｑ{ ，解得ｒ ＝槡Ｑ２ ． 所以此圆柱的底面半径为槡Ｑ２ ． １１． １． ６　 祖 ! 原理与几何体的体积 必备知识　 探新知 知识点１　 ２．面积　 ３．相等 对应练习 １． Ｃ　 扇形ＡＯＢ绕ＯＢ所在直线旋转一周，阴影部分的体积为半个 球减去一个圆锥．球的半径为３，圆锥的底面半径为３，高为３，所 以Ｖ ＝ １２ × ４ ３ ×π ×３ ３ － １３ ×π ×３ ２ ×３ ＝１８π －９π ＝９π． 知识点２　 Ｖ ＝ Ｓｈ　 Ｖ ＝ πｒ２ｈ　 Ｖ ＝ １３ Ｓｈ　 Ｖ ＝ １ ３ πｒ ２ｈ Ｖ ＝ １３ ｈ（Ｓ１ ＋ Ｓ１Ｓ槡２ ＋ Ｓ２）　 Ｖ ＝ １ ３ πｈ（ｒ ２ １ ＋ ｒ１ ｒ２ ＋ ｒ ２ ２） Ｖ ＝ ４３ πＲ ３ 对应练习 ２． Ｃ　 圆锥的高ｈ ＝ ５２ － ３槡 ２ ＝ ４，故Ｖ ＝ １３ π × ３２ × ４ ＝ １２π．                                                                      —２００— ３． ６４３ 　 ３６π　 如图，由题设知：ＰＨ ＝ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ＣＤ ＝ ＡＤ ＝ ４， 所以正四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的体积为１３ ＰＨ·ＡＢ·ＡＤ ＝ ６４ ３ ； 若Ｏ为外接球的球心，则Ｏ必在直线ＰＨ上，设外接球半径为 Ｒ，而ＯＢ２ ＝ ＯＨ２ ＋ ＨＢ２， 所以Ｒ２ ＝（４ － Ｒ）２ ＋ ８，可得Ｒ ＝ ３，所以外接球的表面积为 ４πＲ２ ＝ ３６π． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：Ｖ六棱柱＝槡３４ × ４ ２ 槡× ６ × ２ ＝ ４８ ３（ｃｍ３）， 　 　 Ｖ圆柱＝ π·３２ × ３ ＝ ２７π（ｃｍ３），Ｖ挖去圆柱＝ π·１２ ×（３ ＋ ２）＝ ５π（ｃｍ３）， 　 　 所以此几何体的体积： 　 　 Ｖ ＝ Ｖ六棱柱＋ Ｖ圆柱－ Ｖ挖去圆柱＝（ 槡４８ ３ ＋ ２２π）（ｃｍ３）． 对点训练 １．设正方体棱长为ａ，圆柱高为ｈ，底面半径为ｒ，则 有ａ ２ ＝ πｒ２，① ２πｒｈ ＝ ４ａ２，{ ② 由①得ｒ ＝槡ππ ａ，由②得πｒｈ ＝ ２ａ ２，所以Ｖ圆柱＝ πｒ２ｈ ＝ ２槡ππ ａ ３， 所以Ｖ正方体Ｖ圆柱＝ ａ３ ２槡ππ ａ( )３ ＝槡π２ １ ＝槡π２． 　 　 例２：设棱台的高为ｈ，Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ，因为ＡＢＡ１Ｂ１ ＝ １２， 则Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ ＝４Ｓ．所以ＶＡ１ － ＡＢＣ ＝ １３ Ｓ△ＡＢＣ·ｈ ＝ １ ３ Ｓｈ，ＶＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ ＝ １ ３ Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１·ｈ ＝ ４ ３ Ｓｈ． 又Ｖ台＝ １３ ｈ（Ｓ ＋ ４Ｓ ＋ ２Ｓ）＝ ７ ３ Ｓｈ，所以ＶＢ － Ａ１Ｂ１Ｃ ＝ Ｖ台－ ＶＡ１ － ＡＢＣ － ＶＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ ＝ ７３ Ｓｈ － Ｓｈ ３ － ４Ｓｈ ３ ＝ ２ ３ Ｓｈ，所以三棱锥Ａ１ － ＡＢＣ，Ｂ － Ａ１Ｂ１Ｃ，Ｃ － Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积比为１２４． 对点训练 ２．由ＶＡ１ － Ｄ１ＥＦ ＝ ＶＦ － Ａ１Ｄ１Ｅ，因为Ｓ△Ａ１Ｄ１Ｅ ＝ １２ ＥＡ１·Ａ１Ｄ１ ＝ １ ４ ａ ２， 又三棱锥Ｆ － Ａ１Ｄ１Ｅ的高为ＣＤ ＝ ａ，所以ＶＦ － Ａ１Ｄ１Ｅ ＝ １３ × ａ × １ ４ ａ ２ ＝ １１２ａ ３ ． ＶＡ１ － Ｄ１ＥＦ ＝ １ １２ａ ３ ． 　 　 例３：如图所示，作轴截面Ａ１ＡＢＢ１， 设圆台的上、下底面半径和母线长分别 为ｒ，Ｒ，ｌ，高为ｈ． 　 　 作Ａ１Ｄ⊥ＡＢ于点Ｄ，则Ａ１Ｄ ＝ ３． 　 　 又∵ ∠Ａ１ＡＢ ＝ ６０°， ∴ ＡＤ ＝ Ａ１Ｄ ｔａｎ ６０°， 　 　 即Ｒ － ｒ ＝ ３ 槡３ ，∴ Ｒ － ｒ 槡＝ ３． 又∵ ∠ＢＡ１Ａ ＝ ９０°，∴ ∠ＢＡ１Ｄ ＝ ６０°． 　 　 ∴ ＢＤ ＝ Ａ１Ｄ·ｔａｎ ６０°，即Ｒ ＋ ｒ 槡＝ ３ × ３， 　 　 ∴ Ｒ ＋ ｒ 槡＝ ３ ３，∴ Ｒ 槡＝ ２ ３，ｒ 槡＝ ３，而ｈ ＝ ３， 　 　 ∴ Ｖ圆台＝ １ ３ πｈ（Ｒ ２ ＋ Ｒｒ ＋ ｒ２） 　 　 ＝ １３ π × ３ ×［（槡２ ３） ２ 槡槡＋ ２ ３ × ３ ＋（槡３）２］＝ ２１π． 　 　 所以圆台的体积为２１π． 对点训练 ３． Ｄ　 作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图． 因为该四棱台上下底面边长分别为２，４，侧棱长为２，所以该 棱台的高ｈ ＝ ２２ －（槡槡２ ２ － ２）槡 ２ 槡＝ ２，下底面面积Ｓ１ ＝ １６，上 底面面积Ｓ２ ＝ ４，所以该棱台的体积Ｖ ＝ １３ ｈ（Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＋ Ｓ１Ｓ槡２）＝ １３ 槡× ２ ×（ 槡１６ ＋ ４ ＋ ６４）＝ 槡 ２８ ２ ３ ． 　 　 例４：（１）Ｂ　 （２）Ｂ　 （３）４π３ 　 （１）设球的半径为Ｒ，则由已知 得４３ πＲ ３ ＝３２π３ ，解得Ｒ ＝２．故球的表面积Ｓ表＝４πＲ ２ ＝１６π． 　 　 （２）设球心为Ｏ，截面圆心为Ｏ１，连接ＯＯ１， 则ＯＯ１垂直于截面圆Ｏ１，如图所示． 　 　 在Ｒｔ△ＯＯ１Ａ中，Ｏ１Ａ 槡＝ ５ ｃｍ，ＯＯ１ ＝ ２ ｃｍ， 　 　 ∴球的半径Ｒ ＝ＯＡ ＝ ２２ ＋（槡５）槡 ２ ＝３（ｃｍ）， 　 　 ∴球的体积Ｖ ＝ ４３ × π × ３ ３ ＝ ３６π（ｃｍ３）． 　 　 （３）由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为１， 其体积为４π３ ． 对点训练 ４． Ｂ　 用一平面去截球所得截面的面积为π，则截面圆的半径为 １．已知球心到该截面的距离为１，则球的半径ｒ 槡＝ ２，∴球的体 积为４３ πｒ ３ ＝ 槡８ ２π３ ．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 设气球原来半径为Ｒ，则现在半径为４Ｒ，此时体积Ｖ ＝ ４ ３ π（４Ｒ） ３ ＝ ６４ × ４πＲ ３ ３ ． ２． Ｄ　 截去的每个小三棱锥的体积为１２ × １ ２ × １ ２ × １ ２ × １ ３ ＝ １ ３ × ( )１２ ４ ，则剩余部分体积Ｖ ＝ １ － １３ × ( )１２ ４ × ８ ＝ １ － １６ ＝ ５６ ． ３． Ｂ　 设轴截面正方形的边长为ａ， 由题意知Ｓ侧＝ πａ·ａ ＝ πａ２ ． 又因为Ｓ侧＝ ４π，所以ａ ＝ ２．所以Ｖ圆柱＝ π × ２ ＝ ２π． ４． １３ 　 设四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的高为ｈ，底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ， 则Ｖ２ ＝ ＶＰ － ＡＢＤ ＝ １３ × １ ２ Ｓｈ ＝ １ ６ Ｓｈ． 因为ＣＥ ＝ ２ＥＰ，所以ＥＰ ＝ １３ ＰＣ， 所以Ｖ１ ＝ ＶＰ － ＥＢＤ ＝ ＶＥ － ＰＢＤ ＝ １３ ＶＣ － ＰＢＤ ＝ １ ３ ＶＰ － ＢＣＤ ＝ １ ３ × １ ６ Ｓｈ ＝ １１８Ｓｈ，所以 Ｖ１ Ｖ２ ＝ １ １８Ｓｈ １ ６ Ｓｈ ＝ １３ ． ５． 槡７ ３３ π　 上底面半径ｒ ＝ １，下底面半径Ｒ ＝ ２                                                                       ． —２０１— 因为Ｓ侧＝ ６π，设母线长为ｌ，则π（１ ＋ ２）ｌ ＝ ６π， 所以ｌ ＝ ２，所以高ｈ ＝ ｌ２ －（Ｒ － ｒ）槡 ２ 槡＝ ３， 所以Ｖ ＝ １３ π × （１ ２ ＋ １ × ２ ＋ ２２） 槡× ３ ＝ 槡７ ３３ π． １１． ２　 平面的基本事实与推论 必备知识　 探新知 知识点１　 Ａ∈ｌ　 Ａｌ　 Ａ∈α　 Ａα　 ｌα　 ｌα　 对应练习 １． Ａ　 由题图可知平面α，β相交于直线ｍ，直线ｎ在平面α内， 两直线ｍ，ｎ交于点Ａ，所以用符号语言可表示为α∩β ＝ ｍ， ｎα，ｍ∩ｎ ＝ Ａ． 知识点２　 １．有且只有　 两个点　 这个平面内　 ｌα　 公共直 线　 ２．经过一条直线和这条直线外一点　 经过两条相交直线　 经过两条平行直线 对应练习 ２． Ｄ　 根据基本事实３判定点Ｃ和点Ｄ既在平面β内又在平面 γ内，故在β与γ的交线上．故选Ｄ． ３． １或３　 当三条直线共点时可确定三个或一个平面，当三条直 线不共点时可确定一个平面． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）点Ｐ∈直线ＡＢ； 　 　 （２）点Ｃ直线ＡＢ；　 　 （３）点Ｍ∈平面ＡＣ； 　 　 （４）点Ａ１平面ＡＣ； 　 　 （５）直线ＡＢ∩直线ＢＣ ＝点Ｂ； 　 　 （６）直线ＡＢ平面ＡＣ； 　 　 （７）平面Ａ１Ｂ∩平面ＡＣ ＝直线ＡＢ． 对点训练 １．（１）ｌα　 （２）Ａ∈ｌ 　 　 例２：方法一：∵ ＡＢ∩α ＝ Ｐ，∴ Ｐ∈ＡＢ，Ｐ∈平面α． 　 　 又ＡＢ平面ＡＢＣ，∴ Ｐ∈平面ＡＢＣ． 　 　 ∴由基本事实３可知： 　 　 点Ｐ在平面ＡＢＣ与平面α的交线上， 　 　 同理可证Ｑ、Ｒ也在平面ＡＢＣ与平面α的交线上． 　 　 ∴ Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 　 　 方法二：∵ ＡＰ∩ＡＲ ＝ Ａ， 　 　 ∴直线ＡＰ与直线ＡＲ确定平面ＡＰＲ． 　 　 又∵ ＡＢ∩α ＝ Ｐ，ＡＣ∩α ＝ Ｒ， 　 　 ∴平面ＡＰＲ∩平面α ＝ ＰＲ． 　 　 ∵ Ｂ∈面ＡＰＲ，Ｃ∈面ＡＰＲ，∴ ＢＣ面ＡＰＲ． 　 　 又∵ Ｑ∈面ＡＰＲ，Ｑ∈α， 　 　 ∴ Ｑ∈ＰＲ． ∴ Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 对点训练 ２．如图所示，连接Ａ１Ｂ，ＣＤ１ ．显然Ｂ∈平面 Ａ１ＢＣＤ１，Ｄ１∈平面Ａ１ＢＣＤ１ ． ∴ ＢＤ１平 面Ａ１ＢＣＤ１ ． 同理ＢＤ１平面ＡＢＣ１Ｄ１，∴平面ＡＢＣ１Ｄ１ ∩平面Ａ１ＢＣＤ１ ＝ ＢＤ１ ． ∵ Ａ１Ｃ与平面ＡＢＣ１Ｄ１的公共点是Ｑ， ∴ Ｑ∈平面ＡＢＣ１Ｄ１ ． 又∵ Ａ１Ｃ平面Ａ１ＢＣＤ１，∴ Ｑ∈平面Ａ１ＢＣＤ１ ． ∴ Ｑ∈ＢＤ１，即Ｂ，Ｑ，Ｄ１三点共线． 　 　 例３：［证明］　 如图所示．由已知 ａ∥ｂ，所以过ａ，ｂ有且只有一个平面 α．设ａ∩ｌ ＝Ａ，ｂ∩ｌ ＝ Ｂ，∴ Ａ∈α，Ｂ∈α， 且Ａ∈ｌ，Ｂ∈ｌ，∴ ｌα．即过ａ，ｂ，ｌ有且 只有一个平面． 对点训练 ３．（１）Ｄ　 （２）１　 （１）在Ａ图中，分别连接ＰＳ，ＱＲ（图略）， 易证ＰＳ∥ＱＲ， ∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｂ图中，过Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ可作一正六边形，如图 所示，∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｃ图中，分别连接ＰＱ，ＲＳ（图略），易证 ＰＱ∥ＲＳ，∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｄ图中，连接ＰＳ，ＲＱ（图略），易知ＰＳ与ＲＱ 不相交也不平行， ∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点不共面．故选Ｄ． （２）①正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点 必共面； ②不正确，共面不具有传递性； ③不正确，如空间四边形． 　 　 例４：［证明］（１）因为ＢＧＧＣ ＝ ＤＨＨＣ ＝ １２， 所以ＧＨ∥ＢＤ． 因为Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的中点，所以ＥＦ∥ＢＤ， 所以ＥＦ∥ＧＨ． 所以Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｇ四点共面． （２）因为Ｇ，Ｈ不是ＢＣ，ＣＤ的中点， 所以ＥＦ∥ＧＨ，且ＥＦ≠ＧＨ， 所以ＥＧ与ＦＨ必相交，设交点为Ｍ， 因为ＥＧ平面ＡＢＣ，ＨＦ平面ＡＣＤ，所以Ｍ∈平面ＡＢＣ， 且Ｍ∈平面ＡＣＤ，因为平面ＡＢＣ∩平面ＡＣＤ ＝ ＡＣ， 所以Ｍ∈ＡＣ， 所以ＥＧ与ＨＦ的交点在直线ＡＣ上． 对点训练 ４．［证明］　 ∵ ＣＥ∩Ｄ１Ｆ ＝ Ｇ， ∴ Ｇ∈ＣＥ，Ｇ∈Ｄ１Ｆ． 又∵ Ｄ１Ｆ平面ＡＤＤ１Ａ１，ＣＥ平面ＡＢＣＤ， ∴ Ｇ∈平面ＡＤＤ１Ａ１，Ｇ∈平面ＡＢＣＤ，即Ｇ为平面ＡＤＤ１Ａ１ 和平 面ＡＢＣＤ的公共点． 又平面ＡＤＤ１Ａ１∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ， ∴ Ｇ∈ＡＤ． ∴ ＣＥ，Ｄ１Ｆ，ＤＡ三线共点． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ∵直线ａ平面α，直线ｂ平面α，Ｍ∈ａ，Ｎ∈ｂ，∴ Ｍ∈平 面α，Ｎ∈平面α． ∵ Ｍ∈ｌ，Ｎ∈ｌ，∴ ｌα．故选Ａ． ２． Ｄ　 经过两条相交直线有且只有一个平面，Ａ错误；经过两条 平行直线有且只有一个平面，Ｂ错误；经过直线与直线外一点 有且只有一个平面，Ｃ错误；过共线的三点，有无数个平面，Ｄ 正确．故选Ｄ． ３． Ｄ　 当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若 四点共面，可确定１个平面，若四点不共面，可确定４个平面， 所以空间中四点可确定的平面有１个或４个或无数个                                                                      ． —２０２—