11.1.5 旋转体(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

〉 /CD1 ４．（多选题）观察下面的四个几何体，其中判断正确的是 （　 ） Ａ．（１）是棱台 Ｂ．（２）是棱柱 Ｃ．（３）是棱锥 Ｄ．（４）不是棱柱 XYZ[%\]^ １．对于棱锥，下列叙述正确的是 （　 ） Ａ．四棱锥共有四条棱 Ｂ．五棱锥共有五个面 Ｃ．六棱锥的顶点有六个 Ｄ．任何棱锥都只有一个底面 ２．（多选题）棱台具备的特点是 （　 　 ） Ａ．两底面相似 Ｂ．侧面都是梯形 Ｃ．侧棱都平行 Ｄ．侧棱延长后都交于一点 ３．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为４ 和１６，侧棱长为１０，则该棱台的侧面积为（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ８０ Ｂ． ２４０ Ｃ． ３２０ Ｄ． ６４０ ４．已知正四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的所有棱长都相等， 高为槡２，则该正四棱锥的表面积为　 　 　 　 ． ５．一个正三棱锥的底面边长为６，侧棱长为４，那 么这个正三棱锥的高是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                         ］ １１． １． ５　 旋转体 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． ２．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特 征，并能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构． １．通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的 学习，培养直观想象的数学核心素养． ２．借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的 数学核心素养． $*& )*+,%-.+ 知识点１　 圆柱、圆锥、圆台的有关概念 名 称 定义 图示 有关概念 圆 柱 以　 　 　 　 所在直线为旋转 轴，将矩形旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体 圆 锥 以　 　 　 　 　 　 　 所在直线 为旋转轴，将直角三角形旋 转一周而形成的曲面所围成 的几何体 圆 台 以　 　 　 　 　 　 　 　 　 所在 直线为旋转轴，将直角梯形 旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体 旋 转 体 圆柱、圆锥、圆台的形成方式 构成的几何体都是旋转体 轴：旋转轴 高：在轴上的边（或它的 长度） 底面：垂直于轴的边旋 转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边 旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么 位置，不垂直于轴的边 轴截面：通过轴的平面 所得到的截面通常简称 为轴截面． ［思考］ ●/012 １．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的 母线． （　 　 ） （２）圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点． （　 　 ） （３）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． （　 　 ） （４）圆台的高就是相应母线的长． （　 　 ） 思考：等边三角形绕其 一边的中线所在直线旋 转半周形成的面所围成 的几何体是什么几 何体？ 提示： àü $*' 知识点２　 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 Ｓ圆柱＝ 　 　 　 　 　 　（其中ｒ为底面半径，ｌ为侧面母线长） 圆锥 Ｓ圆锥＝ 　 　 　 　 　 　 　（其中ｒ为底面半径，ｌ为侧面母线长） 圆台 Ｓ圆台＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　（其中ｒ′为上底面半径，ｒ为下底面半径，ｌ为侧面母线长）　 　 ●/012 ２．圆台的上、下底面半径和高的比为１４４，母线长为１０，则圆台的侧面积为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ８１π Ｂ． １００π Ｃ． １４π Ｄ． １６９π ３．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 （　 ） Ａ． １ ＋ ２π２π Ｂ． １ ＋ ４π４π Ｃ． １ ＋ ２π π Ｄ． １ ＋ ４π２π 知识点３　 球 定义 以半圆的　 　 　 　 　 　 所在直线为旋转轴，半圆面旋转　 　 　 　 　 形成的旋转体称为球体，简称球 有关概念半圆的　 　 　 　 　 称为球的球心；半圆的　 　 　 　 　 称为球的半径；半圆的　 　 　 　 　 称为球的直径 图形 表示法 球常用表示　 　 　 　 　 的字母表示，如上图中的球记作球　 　 　 　 　 表面积 Ｓ ＝ 　 　 　 　 　 　 （Ｒ为球的半径） ●/012 ４．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（　 ） Ａ． ３１６ Ｂ． ９ １６ Ｃ． ３ ８ Ｄ． ９ ３２ $*( 3456%789 ●:;<%çÖP܀ÝÞ １．（多选题）下列命题中正确的是 （　 　 ） Ａ．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角 形，圆台的轴截面是等腰梯形 Ｂ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 Ｃ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 Ｄ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 　 　 ［分析］　 依据旋转体及其相关概念逐项判断． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．下列几种说法： ①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线 都可以构成直角三角形； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线； ③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中面积最大的一个． 其中说法正确的是　 　 　 　 ． ●:;E%è­éuP܀ÝÞ ２．如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何 体组成的？ ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．已知ＡＢ是直角梯形ＡＢＣＤ中与底边垂直的一腰，如右 图．分别以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ为轴旋转，试说明所得几何体 的结构特征． 归纳提升：判断旋转体 形状的步骤 （１） Äfh （２） fg8<J;*+ 3 （ GH}6ü ） ¡î ¨¨->#RSh （３） Hwàûnàün à!ný-gˆ]^Ï å•½fg;–h 归纳提升：旋转体的形状 判断技巧 （１） Žî¨V;–-R j}¨-fgVõ}ˆ 8<J;÷NšŸ6î ¨1XV*^.8<J ;÷P*-¨î¨V1 X- î ¨ V ^ ¼ } P *-h （２） ®î¨¯°*ÿ>8 <J;-+31;Õ- ÍÎV£«O6ÍZå knVoOòPûQl 8<J;-vw½4œ î¨V-;– ． $*) ●:;>%çÖOP˧ ３．一个圆台的母线长为１２ ｃｍ，两底面面积分别为４π ｃｍ２和２５π ｃｍ２ ． （１）求圆台的高； （２）将圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长． 　 　 ［分析］　 作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．如图，在底面半径为２，母线长为４的圆锥中内接一个高为 槡３的圆柱，求圆柱的底面半径． ●:;n%êPëAABHßAB˧ ４．已知过球面上三点Ａ，Ｂ，Ｃ的截面到球心的距离等于球半径的一 半，且ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ６，ＡＢ ＝ ４，则球面面积为 （　 ） Ａ． ４２π Ｂ． ４８π Ｃ． ５４π Ｄ． ６０π ［分析］　 设出球的半径、截面圆的半径，通过已知条件求出球的半 径，再代入公式计算球面面积． ［归纳提升］ 归纳提升：与圆锥有关 的截面问题的解决策略 _dbRàü-Ë (Ì-ۘNV^¼ Qlàü-¨R<VX ÿ^Qž:0;VÆÙ WXÿŸ0:0;V+ ۘ¨©"bRŸ0: 0;-ۘÆÇ_dh GH®_àü-±n× 6ªn'<à-á⪠QۘNVô}G¯F i¨R<V©S_dh TUÝ8—}+6ÍÛ ˜¨©"8<ۘ½ d%h 归纳提升：球的截面 性质 ý-R<}à<VR< -áâ‘poQpý- áâ ． ·R<-àÌ} ýÌNVR<-áâQ pý-áâViìR< -áâ‘pý-áâ ． ýÌÿR<-rsV ŠVR<áâV‘V• ｒ ＝ Ｒ２ － ｄ槡 ２Vi* Ｒ "ý-áâV ｒ "R< -áâV ｄ "ýÌÿR <-rsh $** 〉 /CD1 ４．两个球的表面积之差为４８π，它们的大圆周长之和为１２π，则这两个球的半径之差为 （　 ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ●QRST%=žPßAB½ìí˜îAlm ５．如图所示的几何体是一个棱长为４ ｃｍ的正方体，若在其中一个面的中心位 置上挖一个直径为２ ｃｍ、深为４ ｃｍ的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表 面积． 　 　 ［错解］　 正方体的表面积为４ × ４ × ６ ＝ ９６（ｃｍ２）， 　 　 圆柱的两个底面积和为２π ｃｍ２， 　 　 所以挖洞后几何体的表面积为（９６ － ２π）（ｃｍ２）． 　 　 ［错因分析］　 上述解法考虑不全面，仅用正方体的表面积减去圆柱的两个底面面积，却漏掉圆 柱的侧面积而致误．该几何体是一个组合体，其表面积为正方体的表面积加上圆柱的侧面积减去圆柱 的两个底面积． 　 　 ［正解］　 　 　 ［误区警示］　 求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式，而应先分析该几何 体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解． 〉 /CD1 ５．如图所示，从底面半径为２ａ，高为槡３ａ的圆柱中，挖去一个底面半径为ａ且与 圆柱等高的圆锥，求原圆柱的表面积Ｓ１ 与挖去圆锥后的几何体的表面积Ｓ２ 之比． $*+ XYZ[%\]^ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列结论中：①等腰梯形的纸片可以卷成一个 没有两底的圆台；②一个圆台存在两条母线的 延长线不相交于一点；③过圆台的任何两条母 线的截面都是等腰梯形．其中错误的结论个 数为 （　 　 ） Ａ． ０　 　 　 Ｂ． １　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 Ｄ． ３ ２．下面几何体的截面一定是圆面的是（　 　 ） Ａ．圆台　 Ｂ．球 Ｃ．圆柱　 Ｄ．棱柱 ３．已知某圆锥的表面积是１４π，其侧面展开图是 顶角为π３的扇形，则该圆锥的侧面积为（　 ） Ａ． π Ｂ． ２π Ｃ． ６π Ｄ． １２π ４．正方体的内切球与外接球的表面积之比 为　 　 　 　 ． ５．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面 积是Ｑ，则此圆柱的底面半径为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                        ］ １１． １． ６　 祖 ! 原理与几何体的体积 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖 ! 原理，将空间问题转化为平面问题． ２．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的 实际问题． １．通过学习柱体、锥体、台体和球的体 积公式，培养数学运算核心素养． ２．借助组合体的体积，提升直观想象 的核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 祖 ! 原理 　 　 １．内容：幂势既同，则积不容异． 　 　 ２．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个 截面的　 　 　 　 　 总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． 　 　 ３．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积　 　 　 　 　 ． $*! 　 　 连接Ｏ′Ｏ，Ｅ′Ｅ，ＯＢ，Ｏ′Ｂ′，Ｏ′Ｅ′，ＯＥ， 　 　 则四边形ＯＢＢ′Ｏ′，ＯＥＥ′Ｏ′都是直角梯形， 且ＯＯ′ ＝ １７ ｃｍ． 　 　 在正方形ＡＢＣＤ中，ＢＣ ＝ １６ ｃｍ，则ＯＢ ＝ 槡８ ２ ｃｍ，ＯＥ ＝ ８ ｃｍ，在正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，Ｂ′Ｃ′ ＝ ４ ｃｍ，则Ｏ′Ｂ′ 槡＝ ２ ２ ｃｍ，Ｏ′Ｅ′ ＝ ２ ｃｍ． 　 　 在直角梯形Ｏ′ＯＢＢ′中， 　 　 ＢＢ′＝ ＯＯ′２ ＋（ＯＢ －Ｏ′Ｂ′）槡 ２ ＝ １７２ ＋（槡槡８ ２ －２ ２）槡 ２ ＝ １９（ｃｍ）． 　 　 在直角梯形Ｏ′ＯＥＥ′中，ＥＥ′ ＝ ＯＯ′２ ＋（ＯＥ －Ｏ′Ｅ′）槡 ２ 　 　 ＝ １７２ ＋（８ － ２）槡 ２ 槡＝ ５ １３（ｃｍ）． 　 　 故这个棱台的侧棱长为１９ ｃｍ，斜高为槡５ １３ ｃｍ． 对点训练 ３． Ａ　 由正四棱台，下底面是边长为６ ｄｍ的正方形，上底面是边 长为２ ｄｍ的正方形，高为４ ｄｍ，四棱台的侧面均为等腰梯形， 则其斜高为４２ ＋ １２ ×（６ － ２[ ]）槡 ２ 槡＝ ２ ５（ｄｍ），所以“斗”的 所有侧面的面积之和为Ｓ１ ＝ ４ × １２ （６ ＋ ２） 槡 槡× ２ ５ ＝ ３２ ５ （ｄｍ２），上底面的面积为Ｓ２ ＝ ４ ｄｍ２，所以Ｓ１Ｓ２ 槡＝ ８ ５． 　 　 例４：①③④⑤　 ①正确，因为该几何体有六个面，属于六 面体． 　 　 ②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点． 　 　 ③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一 个四棱柱． 　 　 ④⑤都正确，如图甲、乙所示． 对点训练 ４． ＢＣ　 （１）不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；（２）是 棱柱；（３）是棱锥；（４）是棱柱．故选ＢＣ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 对于Ａ，四棱锥共有八条棱，故Ａ错误；对于Ｂ，五棱锥共 有六个面，故Ｂ错误；对于Ｃ，六棱锥的顶点有七个，故Ｃ错 误；对于Ｄ，根据棱锥的定义，Ｄ正确．故选Ｄ． ２． ＡＢＤ　 由棱台的定义和结构特征，Ｃ为棱台不具备的特点． ３． Ｂ　 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为４和 １６，腰长为１０的等腰梯形，等腰梯形的高为１０２ － １６ － ４( )２槡 ２ ＝ ８，∴等腰梯形的面积Ｓ′ ＝ １２ ×（４ ＋ １６）× ８ ＝ ８０， ∴棱台的侧面积Ｓ ＝ ３Ｓ′ ＝ ３ × ８０ ＝ ２４０．故选Ｂ． ４． 槡４ ＋ ４ ３ 　 设正四棱锥的棱长为２ａ，由题得（槡３ａ）２ ＝ ａ２ ＋ （槡２）２，得ａ ＝ １．故该四棱锥的棱长为２，则表面积为２ × ２ ＋ 槡３ ４ × ２ ２ 槡× ４ ＝ ４ ＋ ４ ３． ５． ２　 如图，正三棱锥Ｓ － ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ的中点，则ＣＤ ＝ ＢＣ２ － ＢＤ槡 ２ 槡＝ ３ ３，设Ｏ为三角形ＡＢＣ的重心，则ＳＯ⊥底面 ＡＢＣ，又ＣＯ ＝ ２３ ＣＤ 槡＝ ２ ３， 所以ＳＯ ＝ ＳＣ２ － ＣＯ槡 ２ ＝ ２，即这个正三棱锥的高是２． １１． １． ５　 旋转体 必备知识　 探新知 知识点１　 矩形的一边　 直角三角形一直角边　 直角梯形垂直 于底边的腰 对应练习 １．（１）× 　 （２）√　 （３）× 　 （４）× ［提示］（１）圆柱的母线与轴是平行的． （２）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分是圆台，由此可知此说法正确． （３）用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个 圆台． （４）圆台的高是指两个底面之间的距离． 知识点２　 ２πｒ（ｒ ＋ ｌ）　 πｒ（ｒ ＋ ｌ）　 π（ｒ′２ ＋ ｒ２ ＋ ｒ′ｌ ＋ ｒｌ） 对应练习 ２． Ｂ　 因为圆台的上、下底面半径和高的比为１４４，母线长为 １０，设圆台上底面的半径为ｒ，则下底面半径和高分别为４ｒ和４ｒ， 由１００ ＝（４ｒ）２ ＋（４ｒ － ｒ）２得ｒ ＝２，故圆台的侧面积等于π（ｒ ＋４ｒ） ×１０ ＝１００ π．故选Ｂ． ３． Ａ　 设圆柱的底面半径为ｒ，高为ｈ，则由题设知ｈ ＝ ２πｒ， ∴ Ｓ表＝ ２πｒ ２ ＋ ２πｒ·ｈ ＝ ２πｒ２（１ ＋ ２π）．又Ｓ侧＝ ｈ２ ＝ ４π２ ｒ２， ∴ Ｓ表 Ｓ侧 ＝ １ ＋ ２π２π ． 知识点３　 直径　 一周　 圆心　 半径　 直径　 球心　 Ｏ　 ４πＲ２ 对应练习 ４． Ａ　 设球的半径为Ｒ，所得的截面为圆Ｍ，圆Ｍ的半径为ｒ．由 题意可知，Ｒ２ ＝ １４ Ｒ ２ ＋ ｒ２，∴ ３４ Ｒ ２ ＝ ｒ２ ． ∴ Ｓ球＝ ４πＲ ２，截面圆Ｍ的面积为πｒ２ ＝ ３４ πＲ ２， 则所得截面的面积与球的表面积的比为 ３ ４ πＲ ２ ４πＲ２ ＝ ３１６ ．故选Ａ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：ＡＣ　 Ａ正确；没有说明这两个平行截面与底面的位置 关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误 的． Ｂ错误；Ｃ正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线． Ｄ错 误．故选ＡＣ． 对点训练 １．①②③　 由圆锥的定义及母线的性质知①②正确，圆柱的轴 截面过上下底的直径，所以是过母线的截面中面积最大的 一个． 　 　 例２：如图所示，由一个圆锥Ｏ４Ｏ５，一个圆柱Ｏ３Ｏ４及一个圆 台Ｏ１Ｏ３中挖去圆锥Ｏ１Ｏ２组成的．                                                                       —１９９— 对点训练 ２．（１）以ＡＢ边为轴旋转所得旋转体是圆台．如下图①所示． （２）以ＢＣ边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆 柱，上部为圆锥．如下图②所示． （３）以ＣＤ边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆 锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如下图③所示． （４）以ＡＤ边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上 部挖去一个圆锥．如下图④所示． 　 　 例３：（１）圆台的轴截面是等腰梯形ＡＢＣＤ （如图所示）． 由已知可得Ｏ１Ａ ＝ ２ ｃｍ，ＯＢ ＝ ５ ｃｍ． 　 　 又由题意知，腰长为１２ ｃｍ，所以高ＡＭ ＝ １２２ －（５ － ２）槡 ２ 槡＝ ３ １５（ｃｍ）． 　 　 （２）如图所示，延长ＢＡ，ＯＯ１，ＣＤ，交于点Ｓ， 　 　 设截得此圆台的圆锥的母线长为ｌ， 　 　 则由△ＳＡＯ１∽△ＳＢＯ，可得ｌ － １２ｌ ＝ ２ ５ ，解得ｌ ＝ ２０ ｃｍ． 　 　 即截得此圆台的圆锥的母线长为２０ ｃｍ． 对点训练 ３．设圆锥的底面半径为Ｒ，圆柱的底面半径为ｒ，则由三角形 相似， 得Ｒ － ｒＲ ＝ 槡 ３ ４２ － ２槡 ２ ，即１ － ｒ２ ＝ １ ２ ，解得ｒ ＝ １．即圆柱的底面 半径为１． 　 　 例４：Ｃ　 设球的半径为Ｒ，△ＡＢＣ外 接圆的半径为ｒ． 　 　 如图，Ｏ为球心，Ｏ′是△ＡＢＣ的外 心，则ＯＯ′⊥平面ＡＢＣ． 　 　 连接ＣＯ′并延长，交ＡＢ于点Ｄ． 　 　 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｃｏｓ∠ＣＡＢ ＝ １３ ，则 　 　 ｓｉｎ∠ＣＡＢ ＝ 槡２ ２３ ． 　 　 在△ＡＢＣ中，由正弦定理得 ６ｓｉｎ∠ＣＡＢ ＝ ２ｒ，ｒ ＝ 槡９ ２ ４ ， 　 　 由题意可知ｒ ＝槡３２ Ｒ，所以Ｒ ＝ 槡 ３ ６ ２ ，所以球面面积为 ４πＲ２ ＝ ５４π． 对点训练 ４． Ｂ　 设两球半径分别为Ｒ１，Ｒ２，且Ｒ１ ＞ Ｒ２，则４π（Ｒ２１ － Ｒ２２）＝ ４８π，２π（Ｒ１ ＋ Ｒ２）＝ １２π，所以Ｒ１ － Ｒ２ ＝ ２． 　 　 例５：正方体的表面积为４ × ４ × ６ ＝ ９６（ｃｍ２）， 　 　 圆柱的侧面积为π × ２ × ４ ＝ ８π（ｃｍ２）， 　 　 圆柱的两个底面积和为２π ｃｍ２， 　 　 则挖洞后几何体的表面积为９６ ＋ ８π － ２π ＝ （９６ ＋ ６π） （ｃｍ２）． 对点训练 ５．由题意，知Ｓ１ ＝ ２π·２ａ·槡３ａ ＋ ２π·（２ａ）２ ＝（槡４ ３ ＋ ８）πａ２， Ｓ２ ＝ Ｓ１ ＋ πａ·（２ａ）－ πａ２ ＝（槡４ ３ ＋ ９）πａ２ ．故Ｓ１Ｓ２ ＝（槡４ ３ ＋ ８）（槡４ ３ ＋ ９）． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 一个扇环可以卷成一个没有两底的圆台，故①错误；圆台 的任何母线的延长线都相交于一点，故②错误；容易判断③ 正确． ２． Ｂ　 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的 几何体只有球． ３． Ｄ　 设圆锥的底面半径为ｒ，母线长为ｌ，则圆锥的侧面展开图 的弧长为２πｒ，则由ｌ·π３ ＝ ２πｒ，得ｌ ＝ ６ｒ． 因为圆锥的表面积是１４π，所以πｒ２ ＋ πｒ·６ｒ ＝ １４π，解得ｒ２ ＝ ２，所以圆锥的侧面积Ｓ ＝ ６πｒ２ ＝ １２π．故选Ｄ． ４． １３　 设正方体的棱长为ａ，则其内切球的半径为１２ ａ，外接 球的半径为槡３２ ａ，所以内切球与外接球的表面积之比为 ４π １２( )ａ ２ ４π 槡３ ２( )ａ ２ ＝ １ ３ ． ５．槡Ｑ２ 　 设圆柱底面半径为ｒ，母线为ｌ， 则由题意得２ｒ ＝ ｌ， ２ｒ·ｌ ＝ Ｑ{ ，解得ｒ ＝槡Ｑ２ ． 所以此圆柱的底面半径为槡Ｑ２ ． １１． １． ６　 祖 ! 原理与几何体的体积 必备知识　 探新知 知识点１　 ２．面积　 ３．相等 对应练习 １． Ｃ　 扇形ＡＯＢ绕ＯＢ所在直线旋转一周，阴影部分的体积为半个 球减去一个圆锥．球的半径为３，圆锥的底面半径为３，高为３，所 以Ｖ ＝ １２ × ４ ３ ×π ×３ ３ － １３ ×π ×３ ２ ×３ ＝１８π －９π ＝９π． 知识点２　 Ｖ ＝ Ｓｈ　 Ｖ ＝ πｒ２ｈ　 Ｖ ＝ １３ Ｓｈ　 Ｖ ＝ １ ３ πｒ ２ｈ Ｖ ＝ １３ ｈ（Ｓ１ ＋ Ｓ１Ｓ槡２ ＋ Ｓ２）　 Ｖ ＝ １ ３ πｈ（ｒ ２ １ ＋ ｒ１ ｒ２ ＋ ｒ ２ ２） Ｖ ＝ ４３ πＲ ３ 对应练习 ２． Ｃ　 圆锥的高ｈ ＝ ５２ － ３槡 ２ ＝ ４，故Ｖ ＝ １３ π × ３２ × ４ ＝ １２π．                                                                      —２００—