11.1.3 多面体与棱柱(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

（２）平面ＡＢＣＤ与平面ＥＦＧＨ的距离为１２ ＡＡ１ ＝ １ ２ × ４ ＝ ２． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 因为点Ｑ（元素）在直线ｂ（集合）上，所以Ｑ∈ｂ．又因为直 线ｂ（集合）在平面β（集合）内，所以ｂβ．所以Ｑ∈ｂβ． ２． Ａ　 如图，三棱锥Ａ － ＢＣＤ中六条棱所在直线成异面直线的有 ＡＢ与ＣＤ，ＡＣ与ＢＤ，ＡＤ与ＢＣ，共３对，故选Ａ． ３． Ｂ　 由已知条件知直线ａ与平面α相交，则平面α内的直线与 ａ可能相交，也可能异面． ４． Ｂ　 若异面直线ｍ，ｎ垂直，则符合要求的平面有一个，否则不 存在． ５． ２　 ３　 直线ＢＣ到平面ＡＤＤ１Ａ１的距离为ＡＢ ＝ ２，平面ＡＢＢ１Ａ１ 与平面ＣＤＤ１Ｃ１之间的距离为ＡＤ ＝ ３． １１． １． ３　 多面体与棱柱 必备知识　 探新知 知识点１　 １．平面多边形　 多边形　 公共边　 同一面　 不在同 一个面上　 ２．面积之和 对应练习 １． Ｃ　 钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形， 所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形， 故不能近似看成多面体． ２． Ｂ　 所求八面体的表面积是两个底面边长为 １，高为槡２２的四棱锥的侧面积之和． 如图，四棱锥的侧棱长 ｌ ＝ 槡２( )２ ２ ＋ １ ２ ＋ １槡 ２( )２槡 ２ ＝ １． ∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积Ｓ ＝ ８ × １２ 槡× １ × １ × ｓｉｎ ６０° ＝ ２ ３．故选Ｂ． 知识点２　 １．互相平行　 平行四边形　 ２．底面　 上底面　 下底 面　 侧面　 侧棱　 ４．垂线　 ５．正棱柱　 ６．平行四边形　 垂直 对应练习 ３．（１）√　 （２）× 　 （３）× 　 （４）× ［提示］　 （１）棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平 移形成的空间几何体． （２）棱柱的侧面都是平行四边形，底面也有可能是平行四 边形． （３）棱柱两底面全等，但不一定是正多边形． （４）有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直． ４． Ｃ　 底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一 定是长方体，故Ａ错误；因为平行的两个面不一 定是平行四边形，故有两个面平行，其余四个面 都是平行四边形的四棱柱不一定是平行六面 体，故Ｂ错误；根据棱柱的结构特征可知，Ｃ正 确；如图所示的几何体，有两个面平行，其余各 面都是四边形，但不是棱柱，故Ｄ错误．故选Ｃ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）ＣＤ　 （２）见解析　 （１）Ａ错误，棱柱的底面不一定 是平行四边形． Ｂ错误，棱柱的底面可以是三角形． Ｃ正确，由棱 柱的定义易知． Ｄ正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个 棱柱，所以说法正确的选项是ＣＤ． 　 　 （２）截面ＢＣＦＥ右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． 　 　 它是三棱柱ＢＥＢ′－ＣＦＣ′，其中△ＢＥＢ′和△ＣＦＣ′是底面，ＥＦ，Ｂ′Ｃ′，ＢＣ 是侧棱． 　 　 截面ＢＣＦＥ左侧部分也是棱柱，它是四棱柱ＡＢＥＡ′ － ＤＣＦＤ′，其中四边形ＡＢＥＡ′和四边形ＤＣＦＤ′是底面，Ａ′Ｄ′，ＥＦ， ＢＣ，ＡＤ为侧棱． 对点训练 １． Ｃ　 棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两 个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．观察 图形，满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共３个．故选Ｃ． 　 　 例２：如图所示，设正六棱柱的底面边长为 ａ，侧棱长为ｈ，易知ＣＦ′是正六棱柱的一条最长 的体对角线，即ＣＦ′ ＝１３． 　 　 因为ＣＦ ＝ ２ａ，ＦＦ′ ＝ ｈ， 　 　 所以ＣＦ′ ＝ ＣＦ２ ＋ＦＦ′槡 ２ ＝ ４ａ２ ＋ｈ槡 ２ ＝１３．① 　 　 因为正六棱柱的侧面积为１８０， 　 　 所以Ｓ侧＝ ６ａ·ｈ ＝ １８０． ② 　 　 联立①②解得ａ ＝ ６，ｈ{ ＝ ５ 或ａ ＝ ５ ２ ， ｈ ＝ １２{ ． 　 　 当ａ ＝ ６，ｈ ＝ ５时，２Ｓ底＝ ６ ×槡３４ ａ ２ 槡× ２ ＝ １０８ ３． 　 　 所以Ｓ全 槡＝ １８０ ＋ １０８ ３． 　 　 当ａ ＝ ５２ ，ｈ ＝ １２时，２Ｓ底＝ ６ ×槡 ３ ４ ａ ２ × ２ ＝ 槡７５ ３４ ， 　 　 所以Ｓ全＝ １８０ ＋ 槡７５ ３４ ． 对点训练 ２．（１）Ｂ　 （２）Ｃ　 （１）原来正方体的表面积为Ｓ１ ＝ ６ａ２，切割成 ２７个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为１３ ａ，表面积 为６ × １３( )ａ ２ ＝ ２３ ａ ２，总表面积Ｓ２ ＝ ２７ × ２３ ａ ２ ＝ １８ａ２，所以增 加的表面积为Ｓ２ － Ｓ１ ＝ １２ａ２ ． （２）如图，由已知条件可知，侧面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ和侧面ＡＡ１Ｃ１Ｃ为平行四边 形，侧面ＢＢ１Ｃ１Ｃ为矩形． 在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ａ， ∴ ＢＣ 槡＝ ２ａ，∴ Ｓ矩形ＢＣＣ１Ｂ１ 槡＝ ２ａ·ｂ 槡＝ ２ａｂ． ∵∠ＡＡ１Ｂ１ ＝∠ＡＡ１Ｃ１ ＝６０°，ＡＢ ＝ＡＣ ＝ａ， ∴点Ｂ到直线ＡＡ１的距离为ａｓｉｎ ６０° ＝槡３２ ａ． ∴ Ｓ四边形ＡＡ１Ｃ１Ｃ ＝ Ｓ四边形ＡＡ１Ｂ１Ｂ ＝ 槡３ ２ ａｂ， ∴ Ｓ侧＝ ２ ×槡３２ ａｂ 槡＋ ２ａｂ ＝（槡槡３ ＋ ２）ａｂ． 　 　 例３：（１）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为４，长为３ × ３ ＝ ９的矩形，所以对角线的长为４２ ＋ ９槡 ２ 槡＝ ９７． （２）将该三棱柱的侧面沿棱ＢＢ１展开，如图所示． 设ＰＣ的长为ｘ，则ＭＰ２ ＝ＭＡ２ ＋（ＡＣ ＋ ｘ）２ ． 因为ＭＰ 槡＝ ２９，ＭＡ ＝ ２， ＡＣ ＝ ３， 所以ｘ ＝ ２（负值舍去），即ＰＣ 的长为２． 又因为ＮＣ∥ＡＭ，所以ＰＣＰＡ ＝ ＮＣ ＭＡ，即 ２ ５ ＝ ＮＣ ２ ， 所以ＮＣ ＝ ４５                                                                       ． —１９７— 对点训练 ３． １３　 方法一：将正三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的侧面沿侧棱ＡＡ１ 展 开，其侧面展开图的示意图如图１所示，取ＭＮ（ＡＡ１）的中点 Ｅ，最短路线为２ＡＥ ＝ ２ （２ × ３）２ ＋ ( )５２槡 ２ ＝ １３（ｃｍ）． 方法二：我们将“绕行两周”看作将正三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 侧面展开两次，得到展开图的示意图如图２所示，连接ＡＭ，则 ＡＭ就是最短路线，ＡＭ ＝ （６ × ２）２ ＋ ５槡 ２ ＝ １３（ｃｍ）． 　 　 例４：否 对点训练 ４． Ｄ　 根据棱柱的定义进行判定知，这４个图都满足． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故Ａ错；直平行六 面体的底面不一定是矩形，故Ｂ错；Ｃ正确；底面是正方形的 四棱柱不一定是直四棱柱，故Ｄ错． ２． Ｄ　 由已知得底面边长为１，侧棱长为槡６ － ２ ＝ ２． 所以Ｓ侧＝ １ × ２ × ４ ＝ ８． ３． Ｃ　 由题图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头” 相对，“心形”和“星星”相对． 由题图②可得，小正方体从题图②所示的位置翻到第６格时 正面朝上的图案是 ４． ５　 ６　 ９　 面数最少的棱柱是三棱柱，有５个面，６个顶点，９条棱． ５．槡２９　 设长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１从顶点Ｂ出发的三条棱长分 别为ａ，ｂ，ｃ，且ａｂ ＝１２，ａｃ ＝６，ｂｃ ＝８，则ａ ＝３，ｂ ＝４，ｃ ＝２，所以长方 体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中线段ＢＤ１的长为３２ ＋４２ ＋２槡 ２ 槡＝ ２９． １１． １． ４　 棱锥与棱台 必备知识　 探新知 知识点１　 １．多边形　 三角形　 多边形　 三角形面　 公共边　 公共顶点　 垂线　 ２．正多边形　 垂直于 对应练习 １． Ｄ　 每个面都可作为底面，有４个． ２． Ｂ　 根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边 形，故Ｂ错误． 知识点２　 １．平行于棱锥底面　 截面　 底面　 垂线 对应练习 ３．（１）√　 （２）× 　 （３）× ［提示］　 （１）依据棱台的定义可知：由平行于底面的平面截 棱锥所得的平面与底面之间的部分是棱台． （２）只有用一平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体， 才能一个是棱锥，一个是棱台． （３）未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不 一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几 何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底 面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面 是梯形，但它不是棱台． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）０　 （２）①②③　 （１）①错误．棱 锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都 是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围 成的多面体称为棱锥．而“其余各面都是三角 形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶 点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示 的几何体不是棱锥，理由是△ＡＤＥ和△ＢＣＦ 无公共顶点． 　 　 ②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形， 不一定是等边三角形． 　 　 ③错误．由已知条件知，此三棱锥 的三个侧面未必全等，所以不一定是正 三棱锥．如图所示的三棱锥中有ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＢＤ ＝ ＢＣ ＝ ＣＤ，满足底面△ＢＣＤ为 等边三角形，三个侧面△ＡＢＤ，△ＡＢＣ， △ＡＣＤ都是等腰三角形，但ＡＣ长度不 一定，三个侧面不一定全等． 　 　 （２）①正确，棱台的侧面都是梯形． 　 　 ②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只 能是三角形． 　 　 ③正确，由四个面围成的封闭图形只能 是三棱锥． 　 　 ④错误，如图所示四棱锥被平面截成的 两部分都是棱锥． 对点训练 １． Ａ　 由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故① 错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③ ④错误． 　 　 例２：因为正六棱锥的底面周长为２４， 所以正六棱锥的底面边长为４． 在正六棱锥Ｓ － ＡＢＣＤＥＦ中，ＳＢ ＝ ＳＣ，Ｈ为ＢＣ中点，所以 ＳＨ⊥ＢＣ． 因为Ｏ是正六边形ＡＢＣＤＥＦ的中心， 所以ＳＯ为正六棱锥的高． （１）在Ｒｔ△ＳＯＨ中，ＯＨ ＝ ＢＣｓｉｎ ６０° ＝槡３２ ＢＣ 槡＝ ２ ３，又∠ＳＨＯ ＝ ６０°，所以ＳＯ ＝ ＯＨ·ｔａｎ ６０° ＝ ６． （２）在Ｒｔ△ＳＯＨ中，ＳＨ ＝ ＳＯ２ ＋ ＯＨ槡 ２ 槡＝ ４ ３． （３）在Ｒｔ△ＳＨＢ中，ＳＨ 槡＝ ４ ３，ＢＨ ＝ ２， 所以ＳＢ ＝ ＳＨ２ ＋ ＢＨ槡 ２ 槡＝ ２ １３． 故该正六棱锥的高为６，斜高为槡４ ３，侧棱长为槡２ １３． 对点训练 ２．（１）Ａ　 （２）Ｂ　 （１）因为底面正三角形的高为槡３２ ａ，其重心 到顶点距离为槡３２ ａ × ２ ３ ＝ 槡３ ３ ａ，且正三棱锥高为槡 ６ ６ ａ，所以 利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为 槡６ ６( )ａ ２ ＋ 槡３ ３( )ａ槡 ２ ＝槡２２ ａ．斜高为 槡 ２ ２( )ａ ２ － １２( )ａ槡 ２ ＝ ａ ２ ．所以此正三棱锥侧面积Ｓ ＝ ３ × １ ２ ａ × １ ２ ａ ＝ ３ ４ ａ ２ ．故选Ａ． （２）由题得，该正四棱锥的斜高为（槡３）２ ＋ １槡 ２ ＝ ２， 所以该正四棱锥的表面积为２２ ＋ ４ × １２ × ２ × ２ ＝ １２．故选Ｂ． 　 　 例３：设棱台两底面的中心分别是Ｏ′和Ｏ，Ｂ′Ｃ′，ＢＣ的中点 分别是Ｅ′，Ｅ                                                                      ， —１９８— XYZ[%\]^ １．若点Ｑ在直线ｂ上，ｂ在平面β内，则Ｑ，ｂ，β 之间的关系可记作 （　 　 ） Ａ． Ｑ∈ｂ∈β　 Ｂ． Ｑ∈ｂβ Ｃ． Ｑｂβ　 Ｄ． Ｑｂ∈β ２．三棱锥Ａ － ＢＣＤ的六条棱所在直线成异面直 线的有 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３对 Ｂ． ４对 Ｃ． ５对 Ｄ． ６对 ３．若直线ａ不平行于平面α且ａα，则下列结 论成立的是 （　 ） Ａ．平面α内的所有直线与ａ异面 Ｂ．平面α内不存在与ａ平行的直线 Ｃ．平面α内存在唯一的直线与ａ平行 Ｄ．平面α内的直线与ａ都相交 ４．已知直线ｍ，ｎ是异面直线，则过直线ｎ且与直 线ｍ垂直的平面 （　 ） Ａ．有且只有一个 Ｂ．至多一个 Ｃ．有一个或无数个 Ｄ．不存在 ５．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ ＝ ２，ＡＤ ＝ ３， ＡＡ１ ＝ ５，则直线ＢＣ到平面ＡＤＤ１Ａ１ 的距离为 　 　 　 　 ，平面ＡＢＢ１Ａ１与平面ＣＤＤ１Ｃ１之间的 距离为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１２                    ］ １１． １． ３　 多面体与棱柱 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类． ２．认识和把握棱柱的几何结构特征． ３．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，进 行简单计算，会求表面积． １．通过多面体的定义与分类学习，培 养数学抽象的核心素养． ２．借助棱柱结构特征的学习，培养直 观想象的数学核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 多面体 　 　 １．多面体的概念 名称 多面体 定义由若干个　 　 　 　 　 　 所围成的封闭几何体 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个　 　 　 　 　 　 ． 棱：相邻两个面的　 　 　 　 　 　 ． 顶点：棱与棱的公共点． 面对角线：连接　 　 　 　 　 　 上两个顶点的线段，除去多面体的棱． 体对角线：连接　 　 　 　 　 　 的两个顶点的线段． 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部）． 　 　 ２．表面积（或全面积）：多面体所有面的　 　 　 　 　 　 ． $)' 　 　 ３．凸多面体的概念 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的 同一侧，则称这样的多面体为凸多面体． 特别说明：我们所说的多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多 面体． ［思考１］　 ［思考２］ 　 　 拓展： LMz$<V&0À Ｖ n<À Ｆ núÀ Ｅ Ýͱ²RSu Ｖ ; Ｆ － Ｅ ＝ ２ h ●/012 １．下列实物不能近似看成多面体的是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．钻石　 　 Ｂ．粉笔盒 Ｃ．篮球　 　 Ｄ．金字塔 ２．若正方体的棱长为槡２，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的 表面积为 （　 ） Ａ．槡２３ Ｂ． ２槡３ Ｃ．槡３ Ｄ．槡 ２ ６ 知识点２　 棱柱 　 　 １．定义 有两个面　 　 　 　 　 ，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面 都是　 　 　 　 　 　 ，这样的多面体称为棱柱． ２．图示及相关概念 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的　 　 　 　 　 （底面水平放置时，分别称为　 　 　 　 　 、　 　 　 　 　 ）， 其他各面称为棱柱的　 　 　 　 　 ，两个侧面的公共边称 为棱柱的　 　 　 　 　 　 ． ３．棱柱的表示方法 棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用它的体对角线来表示，如上 图所示的棱柱可表示为棱柱ＡＢＣＤＥＦ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′Ｆ′，此棱柱也可表示为 棱柱ＡＤ′． ４．棱柱的高与侧面 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的　 　 　 　 　 　 所 得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为 棱柱的侧面积． ５．棱柱的分类 棱柱 按侧棱 与底面 关系 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：{ 侧棱不垂直于底面的棱柱 按底面的形状：三棱柱、四棱柱、        五棱柱等 特别地，底面是正多边形的直棱柱称为　 　 　 　 　 ． 思考１：长方体、正方 体是多面体吗？ 提示： }hª$V}ˆ ６ .<;ÒÕ-Vz$ V}ˆ ６ .z$;ÒÕ -Vϱ²$<V- gˆh 思考２：最简单的多面体 由几个面所围成？ 提示：４ .h $)( 　 　 ６．平行六面体与直平行六面体 底面是　 　 　 　 　 　 的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面　 　 　 　 　 的平行六面体称为直 平行六面体． ●/012 ３．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）棱柱可以看作由平面图形平移得到． （　 　 ） （２）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形． （　 　 ） （３）棱柱的两底面是全等的正多边形． （　 　 ） （４）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱． （　 　 ） ４．下列说法正确的是 （　 ） Ａ．底面是矩形的四棱柱是长方体 Ｂ．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱是平行六面体 Ｃ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 Ｄ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 3456%789 ●:;<%ÚÛP܀ÝÞ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是 （　 ） Ａ．所有的面都是平行四边形 Ｂ．每一个面都不会是三角形 Ｃ．两底面平行，并且各侧棱也平行 Ｄ．被平面截成的两部分可以都是棱柱 （２）如图所示为长方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，当用平 面ＢＣＦＥ把这个长方体分成两部分后，各部分形 成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理 由；如果是，指出底面及侧棱． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．下列几何体中是棱柱的有 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个　 　 Ｄ． ４个 归纳提升：棱柱结构的 辨析方法 （１） =gˆuŽg^. /WV}P}úû-R j}úû-gˆh !õ‹<ŒV¦ÿ>’ .$<V}db\.¬ ¶8Ç-<Viì+< ô}Á3;h 8õ‹6ŒV¦ÿ>ã ¶?\.Á3;->» 3}d8Çh （２） ˜#™uG¯˜# ™VK¡H'/WVo F@vwnJAQPB AVCDE­h $)) ●:;E%ÚÛPßAB ２．已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是１３，侧面积是１８０，求正 六棱柱的全面积． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．（１）将一个棱长为ａ的正方体，切成２７个全等的小正方体，则表面积增 加了 （　 ） Ａ． ６ａ２ Ｂ． １２ａ２ Ｃ． １８ａ２ Ｄ． ２４ａ２ （２）在三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ａ，∠ＡＡ１Ｂ１ ＝ ∠ＡＡ１Ｃ１ ＝ ６０°，∠ＢＢ１Ｃ１ ＝ ９０°，侧棱长为ｂ，则其侧面积为 （　 ） Ａ． ３槡３４ ａｂ Ｂ．槡 ３ ＋ ２ ２ ａｂ Ｃ．（槡３ ＋槡２）ａｂ Ｄ． ２槡３ ＋槡２２ ａｂ ●:;>%ÚÛßAàPdá{|f: ３．（２０２４·东营高一检测）如图所示，在正三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ ＝３，ＡＡ１ ＝ ４，Ｍ为ＡＡ１的中点，Ｐ是ＢＣ上 的一点，且由Ｐ沿棱柱侧面经过棱ＣＣ１到Ｍ的最短路 线为槡２９．设这条最短路线与ＣＣ１的交点为Ｎ，求： （１）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （２）ＰＣ和ＮＣ的长． ［归纳提升］ 归纳提升： _Ÿúû- F<=]Ó<=-$ Ÿúû-F<LÙJô }<;Vd%iF<= ۘNVís_l¶£ '<Óªè±VƒãÑ F<=lm>?¦W_ dh2piÓ<=V® F<=-ËG„¾„\ .'<<=¦Wh 归纳提升： _õ©/WV Ó<„\0ÍÐ\rs -…† a“Û˜^¼+ïVJ ; （ oi^”4 ） LÙ" 8< ， ‰ïV/Wۘ8 <© ． iË(…†} ： （１） +ïVJ;LÙ" 8<J; ； （２） ®8<J;„³l ÓÔÐ\rs-6ü ； （３） lma6ü-ª ． $)* 〉 /CD1 ３．（２０２４·河南洛阳模拟）如图所示，已知正三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的底面边长为２ ｃｍ，高为 ５ ｃｍ．一质点自Ａ点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达Ａ１点的最短路线长为　 　 　 ｃｍ． ●QRST ４．有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定 是棱柱？ 　 　 ［错解］　 是 　 　 ［错因分析］　 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各 种空间几何体概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断，如满足题目条件的几何体不一定是棱 柱，如图所示的几何体满足题中条件，但都不是棱柱． 　 　 ［正解］　 〉 /CD1 ４．下面多面体中，是棱柱的共有 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １个　 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 XYZ[%\]^ １．下列说法中正确的是 （　 　 ） Ａ．直四棱柱是直平行六面体 Ｂ．直平行六面体是长方体 Ｃ．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 Ｄ．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 ２．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 槡２，体对角线长为槡６，则这个棱柱的侧面积是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２　 　 Ｂ． ４ Ｃ． ６　 　 Ｄ． ８ ３．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将 小正方体从如图②所示的位置依次翻到第１ 格、第２格、第３格、第４格、第５格、第６格，这 时小正方体正面朝上的图案是 （　 　 ） ４．一个棱柱至少有　 　 　 　 个面；面数最少的棱 柱有　 　 　 　 个顶点，有　 　 　 　 条棱． ５．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别 为１２，６，８，则长方体的对角线长为　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１３                         ］ $)+