专题06 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）

专题06解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【题型2 解二元一次方程组-巧用换元法】 【题型3 已知方程组的解，求相关字母的值】 【题型4遮挡问题】 【题型5相同的解】 【题型6错解】 【题型7 二元一次方程组新定义问题】 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 1.（2022八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组； 2.（2024七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）用加减消元法解下列方程组： (1)； (2)． 3．解方程组：． 4．解方程组： (1)； (2)． 5．解下列方程组： (1)； (2)． 6．解下列方程组： (1)； (2)； (3)． 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 7．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 8．阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即③ 把方程①代入③得： ， 所代入①得， ∴方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组， (2)已知满足方程组，求的值． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 10．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 11．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 12．解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 13．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： (1)； (2)． 【题型4遮挡问题】 14．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 15．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（   ） A．5，2 B．，2 C．8， D．5，4 16．已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 17．已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【题型5 已知方程组的解，求相关字母的值】 18.若和都是方程的解，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 19．若方程组的解x、y 的值相等，则a的值为（   ） A．2 B．4 C． D．1 20．若方程组的解x，y满足，则k的值为（    ） A． B． C． D． 21．若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 22．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，求a的值． 23．已知二元一次方程组的解也为关于x、y的方程的一个解，求a的值． 24．方程组的解也是方程二元一次方程的解，求m的值 25．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求m的值及原方程组的解． 【题型5相同的解】 26．已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 27．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 28．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 29．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 30．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值 【题型6错解】 31．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（　　） A． B． C． D． 32．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 33．已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 34．乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 35．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 36．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 37．一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 38．【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 39．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 40．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【题型2 解二元一次方程组-巧用换元法】 【题型3 已知方程组的解，求相关字母的值】 【题型4遮挡问题】 【题型5相同的解】 【题型6错解】 【题型7 二元一次方程组新定义问题】 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 1.（2022八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组； 【答案】 【分析】根据二元一次方程的代入消元法求解即可． 【详解】解：， 把①代入②得： ， 解得：， 把代入①得： ， ∴原方程组的解为：； 【点睛】此题考查了二元一次方程的解法，解题的关键是熟悉代入消元法． 2.（2024七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）用加减消元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 因此该方程组的解为：； （2）解：， ，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 因此该方程组的解为：． 【点睛】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 3．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出解即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解： 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴这个方程组的解为． 4．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解题的关键． （1）把①代入②消去，即可求解； （2）由①②消去，即可求解； 【详解】（1）解： 把①代入②，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴原方程组的解为； （2） ①②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 5．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组，掌握加减消元法、代入消元法是解决本题的关键． （1）利用代入消元法求解即可得出答案； （2）利用加减消元法求解即可得出答案． 【详解】（1）解： 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得， 该方程组的解为； （2）解： ①②，得， 解得． 把代入②，得， 解得． 该方程组的解为． 6．解下列方程组： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是关键． （1）运用代入消元法计算即可； （2）运用加减消元法计算即可； （3）运用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解： 将②式变形得， ∴， ①③得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （3）解：， ①式去分母得，， ②式去分母，整理得，， ∴， ③④得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 7．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 8．阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出的值即可． 【详解】（1）解：将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：由①得：， ， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：，即． 9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即③ 把方程①代入③得： ， 所代入①得， ∴方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组， (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组等知识． （1）将方程②变形：即③把方程①代入③得：，可得，再代入①求出即可； （2）①②得到，，可得即可． 解题的关键是学会用整体代入法解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：， ， 把代入①得， 方程组的解为； （2）解：①②得到，， ． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 10．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：设，则方程化为：， 即， 解得； （3）解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． 11．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【答案】(1) (2)两人共需要付元 【分析】（1）根据材料提示，设，，解关于的二元一次方程组，求出的值，再代入，，即可求解； （2）根据题意中的数量关系列方程组，再运用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份，位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元， ∴， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴， ∴（元）， ∴两人共需要付元． 【点睛】本题主要考查换元法解复杂的二元一次方程组，理解题目中换元法，掌握解方程的计算方法是解题的关键． 12．解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法进行计算即可得； （2）设，，原方程可化为，进行计算得， 则,用代入消元法进行计算即可得． 【详解】（1）解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得： 解得，， 则方程组的解为 ． （2）解： 设，， 原方程可化为， 即， ②-①得，， 把代入②得，， ∴， ∴, ∴原方程组的解为 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，整体换元法． 13．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设，，则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得，即， 解得； （2）解：， 设，，则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得，即， 解得． 【题型4遮挡问题】 14．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义．先把代入求y的值，然后直接求解即可． 【详解】解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 15．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（   ） A．5，2 B．，2 C．8， D．5，4 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，把代入，求得的值，进而求出●的值，即可得到答案． 【详解】解：把代入，可得 ， 解得 ， 把，代入可得 ， 则“●”“★”表示的数分别为8，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键． 16．已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 17．已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 【题型5 已知方程组的解，求相关字母的值】 18.若和都是方程的解，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程的解的意义；根据方程的解可得，再解方程组即可． 【详解】解：和都是方程的解， ， 解得：， 故选：． 19．若方程组的解x、y 的值相等，则a的值为（   ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，先把代入②，可得，再代入①，再解方程即可． 【详解】解：∵方程组的解x、y 的值相等， ∴把代入②得：， 把代入①得：， ∴， 解得：， 故选A 20．若方程组的解x，y满足，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法求出方程组的解，然后代入题中式子求出k即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 21．若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据与互为相反数得到，代入方程组中计算即可求出的值． 【详解】解：由与互为相反数，得到，即， 代入方程组得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，正确得到并利用代入消元法求解是解题的关键． 22．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的应用（已知二元一次方程组的解的情况求参数），相反数的应用等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 由“与互为相反数”可得，即，将其代入方程组，得，解方程组即可求出a的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 即：， 代入方程组，得： ， 由得：， 把代入，得：， 解得：． 23．已知二元一次方程组的解也为关于x、y的方程的一个解，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解出二元一次方程组中的、，然后代入即可求解． 【详解】解： ，得： ∴， 将代入②得：， ∴方程组的解为， 代入，得： 解得：． 24．方程组的解也是方程二元一次方程的解，求m的值 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数，求出方程组的解，把解代入中，求出m的值即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：． 故． 25．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求m的值及原方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的值，先求出方程组的解，然后把解代入中，求出的值，进而求出原方程组的解即可． 【详解】解：解方程组可得 又∵， ∴， ∴， 把代入，得， 综上：，原方程组的解为 【题型5相同的解】 26．已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ∴这两个方程组的解为：； （2）把代入中可得：， 化简得：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴． 27．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，乘方，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； （1）根据题意，可得，计算求解即可； （2）根据题意，将代入，即可求解和的值，进而求解； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 得， 将代入①，可得， 解得：， 则这个方程组的解为； （2）解：当时， 联立，可得：； 解得：； 则； 28．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的应用（方程组相同解问题），代数式求值等知识点，熟练掌握方程组相同解问题是解题的关键：利用同解方程组确定字母取值的方法：先将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于、的二元一次方程组，进而确定、的值． （1）将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，解之，即可求出这两个方程组的解； （2）把这两个方程组的解代入含字母、的两个方程并联立，解之，即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】（1）解：关于x，y的方程组与的解相同， 由题意得， 解得：， 这两个方程组的解为； （2）解：把代入，得： ， 解得：， ． 29．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 30．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解法，根据两方程组的解相同，可由已知的两方程构成新方程组，求出方程组的解，然后可求出，再代入即可，解题关键是明确同解方程组的每个方程的解都相同，然后可构成新方程组求解，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， ∵， 得：， 把代入①得：， ∴， 代入方程组，得， 解得， 故． 【题型6错解】 31．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组解的定义，无论c是对是错，甲和乙求出的解均为的解．将和分别代入，组成方程组，从而得出a的值．将甲的正确解代入，从而得出c的值． 【详解】解：将和分别代入，得 ， 解得， 把代入，得 ， 所以． 故选：A． 【点睛】本题需要对二元一次方程组的解和二元一次方程的解的定义有一个深刻的认识，知道不定方程有无数个解． 32．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，首先将甲的解代入②，乙的解代入①求出a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解即可． 【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的， 解得， , 解得， 乙看错了方程②中的，解得， , 解得， 原方程组为， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 33．已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的解的问题，解决本题的关键是整体思想的运用．首先把可得：，再根据，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ． 34．乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于、的一元一次方程求得、的值．把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵由题意，把代入②， 得， 解得：， 把代入①， 得， 解得：， ∴ ． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 35．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：，且，， 即 解得 ． 故选B． 36．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 37．一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需14元 (3)4 【分析】（1）得：，，再得：，进而即可求解； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，由题意：买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得①，②，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，； （2）设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元， 由题意得：， 得：， 即购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需14元； （3）∵， ∴①，②， ②－①得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算，找准等量关系，列出方程组是解题的关键． 38．【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 【答案】(1)， (2)丙种钢条长米 (3)3 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； （3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米； （3）将，代入，得： ， ，得：； ∴． 39．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得：， ∵， ∴， 解得：． （2）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解等知识点，根据新定义列出二元一次方程组、利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 40．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2)m (3) 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得： 方程组的解为， ∴由方程组得方程组， ∴方程组的解满足， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$