专题07 二元一次方程组的实际应用（十大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）

专题07 二元一次方程组的实际应用（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 【变式1-1】现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【答案】恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设需要甲型钢板块，乙型钢板块， 根据题意，得， 解得 答：恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块． 【变式1-2】工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 【变式1-3】某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【变式2-1】小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 【变式2-2】某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？ 【答案】（1）A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元；（2）9种 【分析】（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据总价=单价×数量，结合销售人员呈现的两次销售记录中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件，根据“购进A型实验器材的数量不多于B型实验器材的数量的2倍，且总费用不超过2000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出采购方案的个数． 【详解】解：（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元． （2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件， 依题意得：， 解得：25≤m≤， 又∵m为整数， ∴m可以取25，26，27，28，29，30，31，32，33， ∴共有9种采购方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式2-3】为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 【答案】（1）m=2.4，n=3.2；（2）小明家月份最多能用水55吨 【分析】（1）根据题意，当用水20吨，交水费60元；用水25吨，交水费79元，据此列方程组求解； （2）先求出小明家月份的用水量范围，再根据月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， 即m的值为2.4，n的值为3.2； （2）由（1）得m＝2.4，n＝3.2， 当用水量为30吨时，水费为：20×2.4＋10×3.2＋30×0.6＝98（元）， 2%×11650＝233（元）， ∵233＞98， ∴小明家月份用水量超过30吨． 可设小明家月份用水x吨， 由题意得98＋（2×2.4＋0.6）（x−30）≤233， 解得x≤55， 答：小明家月份最多能用水55吨． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，根据水的收费标准，列方程和不等式求解． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 【变式3-1】两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 【变式3-2】如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【答案】(1) (2)的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 【详解】（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 【变式3-3】一列快车长，慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为，求两车的平均速度各是多少？ 【答案】快车，慢车的平均速度分别为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键． 设快车，慢车的平均速度分别为、，根据“若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为，”建立二元一次方程组并求解即可得出答案． 【详解】解：设快车，慢车的平均速度分别为、， 根据题意列方程组：， 解得， 故快车，慢车的平均速度分别为，． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 (2)单独请乙组需要的费用少 (3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； （2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； （3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 【变式4-1】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 【变式4-2】2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 【变式4-3】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子 (2)4天 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用． （1）设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子，甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天．这份粽子订单为袋，据此列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子， 根据题意，得 解得 答：甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子． （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天． 根据题意，得， 解得． 答：甲组需要加工4天． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，求竖式和横式的纸盒各做了多少个？ 【答案】竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个， 由题意得，， 解得， 答：竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个． 【变式5-1】用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 【答案】(1)每块地砖的长与宽分别为和 (2)所拼成的矩形地面的周长是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是解题的关键． （1）设每块地砖的长与宽分别为，根据图中关系可得，解方程组即可； （2）由矩形周长公式求解． 【详解】（1）解：设每块地砖的长与宽分别为， 由题意得：， 解得：， ∴每块地砖的长与宽分别为和； （2）解：所拼成的矩形地面的周长， 答：所拼成的矩形地面的周长是． 【变式5-2】如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 【变式5-3】“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨 (2)该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车型恰好一次运完吨货物，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论； 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， ∴或， ∴该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车． 选择方案所需租车费用：（元）； 选择方案所需租车费用：（元）． ∵， ∴最少租车费是元． 答：该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【答案】(1)型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元 (2)共有3种采购方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程． （1）设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元，根据两次采购A、B两种实验器材的金额列出方程组求解即可； （2）设购买种器材台，种器材台，根据预算为600元，列出方程，再结合为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元， 依题意，得， 解得， 答：型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元； （2）解：设购买种器材台，种器材台． 由题意，得， 为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 答：共有3种采购方案． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 【答案】(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨 (2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，再根据表格信息建立方程组解题，进一步的计算即可； （2）设用中型货车辆，小型货车辆，可得，即．再求解方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨， 根据题意，得 解得 （吨）． 答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是吨． （2）解：设用中型货车辆，小型货车辆， 则，即． ∵为正整数， ∴或或； 方案一：中型货车8辆，小型货车2辆， 费用：（元）； 方案二：中型货车5辆，小型货车6辆， 费用：（元）； 方案三：中型货车2辆，小型货车10辆， 费用：（元）． ， 方案一运输费用最少． 即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元． 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 A B C 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择． 【答案】有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台 【分析】此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，结合等量关系：单价×数量=总价．列方程组求解． 分三种情况进行计算：一是购买，A的单价×数量+B的单价×数量；二是购买，A的单价×数量+C的单价×数量；三是购买，B的单价×数量+C的单价×数量．求出三种情况的解就可以求出结论． 【详解】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑： (1)只购进A型电脑和B型电脑， 则 解得 (不符合题意，舍去) (2)只购进A型电脑和C型电脑， 则，解得， (3)只购进B型电脑和C型电脑， 则解得 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【答案】甲数是24，乙数是12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y， 根据题意，得 解得 答：甲数是24，乙数是12． 【变式7-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数字之和相等； ②外圆两直径上的四个数字之和相等； 则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ． 【答案】 【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可． 【详解】解：设外圆空白数字为x，内圆空白数据为y， 根据题意得：； 整理得：，解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是解答本题的关键． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数如果设这个两位数的个位数字为，十位数字为，那么列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于数字问题的二元一次方程组的应用，设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为，对调后的两位数为，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：． 故答案为：． 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件 (2)服装店比按标价出售少收入1210元 【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用． （1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件， 根据题意，得 解得 答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件． （2）（元）． 答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元． 【变式8-1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)该商场可获利1200元 (3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论； （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 答：m的值为80，n的值为60． （2）依题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1200元． （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个， 依题意得：， 又∵a，b均为正整数，b为3的倍数， ∴或． 答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个． 【变式8-2】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为9200元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元； (2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利3600元． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，由题意：甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据所用资金恰好为9200元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 答：甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元； （2）解：设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 则， ∴（元）， 答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利3600元． 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例9】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为人，物品价格为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物价保持不变，由此列式即可求解． 【详解】解：每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，设合伙人数为人，物品价格为元，由物价保持不变， ∴， 故选：． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设绳长为x尺，木长为y尺，根据题意可得方程组为 故选：C 【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设有客房间，客人人，根据每一间客房住7人，则有7人无房可住；每一间客房住9人，则就空出一间客房，再建立方程组解题即可. 【详解】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ． 如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ． 根据题意可列方程组， 故选D． 【变式9-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据题意得：， 故选：． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【答案】(1) (2)1；1 (3) (4)； (5)，见解析 【分析】（1）根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案． （2）根据互为共轭二元一次方程的定义得出，即可求出a、b的值； （3）把，和，代入求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元一次方程的定义得出答案； （4）分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可． （5）根据解得特征和呈现的规律得出结论即可． 本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、共轭方程组的定义是正确解答的前提． 【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1； （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为； 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，． （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为， ． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（  ） A．5场 B．7场 C．9场 D．11场 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可． 【详解】解：设这支球队胜了场，平了场，则 ， 解得， 所以球队胜了9场． 故选：C． 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）“洛阳三月花如锦，多少工夫织得成．”五一期间，小丽前往洛阳游玩，她计划返程时候购买团扇赠送好友，在游玩的途中小丽已经了解到了一些信息． 信息1：甲、乙两种团扇的进货单价和为11元； 信息2：甲种团扇的零售单价比其进货单价多2元，乙种团扇的零售单价比进货单价的2倍少4元； 信息3：按零售单价购买甲种团扇3把和乙种团扇2把共付37元． 甲、乙两种团扇的进货单价分别是 ． 【答案】5元、6元 【分析】设甲种团扇的进货单价是x元/件，乙种团扇的进货单价是y元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲种团扇的进货单价是元，乙种团扇的进货单价是元， 由题意得， 解得， 故答案为：5元、6元． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．某服装厂给出服装的价格表如下： 购买服装的套数 91及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？ (2)在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)人，人 (2)两个年级一起买套 【分析】（1）设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有人，人，由“七，八年级共92人参加合唱比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知，，，则七，八年级学生每套服装的价格分别为50元，60元，根据题意得，解方程组即可求出七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛； （2）由题意可知，七年级，八年级分别有42人、40人参加合唱比赛，分以下三种情况计算费用：①单独买，费用为：（元）；②一起买，费用为：（元）；③两个年级一起买91套，费用为：（元）；然后比较三种情况的费用大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有人，人， 由“七，八年级共92人参加合唱比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知：，， 则七，八年级学生每套服装的价格分别为50元，60元， 根据题意得：， 解得：， 答：七，八年级参加合唱比赛的学生分别有52人、40人； （2）解：由题意可知，七年级，八年级分别有42人、40人参加合唱比赛， ①单独买，费用为：（元）； ②一起买，费用为：（元）； ③两个年级一起买91套，费用为：（元）； ， 两个年级一起买91套最省钱． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程组或算式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二元一次方程组的实际应用（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【变式1-1】现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【变式1-2】工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【变式1-3】某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【变式2-1】小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【变式2-2】某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？ 【变式2-3】为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【变式3-1】两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【变式3-2】如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【变式3-3】一列快车长，慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为，求两车的平均速度各是多少？ 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【变式4-1】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【变式4-2】2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【变式4-3】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，求竖式和横式的纸盒各做了多少个？ 【变式5-1】用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 【变式5-2】如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【变式5-3】“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 A B C 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【变式7-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数字之和相等； ②外圆两直径上的四个数字之和相等； 则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数如果设这个两位数的个位数字为，十位数字为，那么列方程组是 ． 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【变式8-1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【变式8-2】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为9200元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例9】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为人，物品价格为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（  ） A．5场 B．7场 C．9场 D．11场 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）“洛阳三月花如锦，多少工夫织得成．”五一期间，小丽前往洛阳游玩，她计划返程时候购买团扇赠送好友，在游玩的途中小丽已经了解到了一些信息． 信息1：甲、乙两种团扇的进货单价和为11元； 信息2：甲种团扇的零售单价比其进货单价多2元，乙种团扇的零售单价比进货单价的2倍少4元； 信息3：按零售单价购买甲种团扇3把和乙种团扇2把共付37元． 甲、乙两种团扇的进货单价分别是 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．某服装厂给出服装的价格表如下： 购买服装的套数 91及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？ (2)在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$