清单03 条件概率与事件的独立性（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）高二数学下学期人教B版

清单03 条件概率与事件的独立性 清单01 条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 清单02 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 清单03 贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 清单04 相互独立事件 ①相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． ②判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【考点题型一】条件概率的计算（） 【例1】某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 【变式1-2】已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 10 个， 现从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 . 则第二次取出白球的概率为 ；已知第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为 . 【变式1-4】某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【考点题型二】条件概率的性质及应用（） 【例2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】若，，，则 ． 【考点题型三】乘法公式的应用（） 【例3】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸个球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 【变式3-2】（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 【变式3-4】某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 【考点题型四】全概率公式的应用（） 【例4】某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占55%，25%，20%，各厂的产品的次品率分别为2%，4%，5%．现从中任取一件，则取到的是次品的概率是 ． 【变式4-2】某中学举办知识竞赛，题库中共有1000道试题，其中有500道A类题，300道B类题，200道C类题．根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试题的概率分别为．若该同学从题库中随机选一道试题作答，则他答对的概率是 ． 【变式4-3】小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ． 【变式4-4】把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【考点题型五】贝叶斯公式的应用（） 【例5】托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式5-4】某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为 ；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为 . 【考点题型六】相互独立事件的概率（） 【例6】已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 【变式6-1】甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【变式6-2】如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． (1)求甲积2分的概率； (2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 【考点题型七】相互独立事件的判断（） 【例7】（多选）若事件互斥，事件中的事件满足，则（    ） A．事件独立 B．事件独立 C．若事件对立，则事件独立 D．若事件不对立，则事件不独立 【变式7-1】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【变式7-2】已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 【变式7-3】（多选）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 【变式7-4】（多选）从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（   ） A．A与B是互斥事件 B．事件A与B相互独立 C．B与C是互斥但不对立事件 D．事件A与C相互独立 【考点题型八】独立事件的实际应用（） 【例8】某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他在科目考试第一次合格的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率． 【变式8-1】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【变式8-2】某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【变式8-3】甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 【变式8-4】在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求丙连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 条件概率与事件的独立性 清单01 条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 清单02 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 清单03 贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 清单04 相互独立事件 ①相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． ②判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【考点题型一】条件概率的计算（） 【例1】某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为，第二次答对，其概率为， 第三次答对，概率为， 记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，则，， 由条件概率公式可得. 故选：B． 【变式1-1】围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 【答案】 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件，“从中取出2粒都是白子”为事件， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件，则，且事件与互斥． 所以， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为． 故所求概率为． 故答案为： 【变式1-2】已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令事件为“该运动员没有全部命中”， 令事件“恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知所求概率为， 故选：B. 【变式1-3】袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 10 个， 现从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 . 则第二次取出白球的概率为 ；已知第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为 . 【答案】 /0.6 【详解】设袋中黑球的个数为，则白球个数为， 因为从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 ， 所以取出的球全为黑球的概率为，可得， 解得或（舍去）， 所以袋中有4个黑球，6个白球， 记事件“第二次取出白球”，则， 记事件“第一次取出黑球”，则， 所以，即第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为， 故答案为：； 【变式1-4】某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 【考点题型二】条件概率的性质及应用（） 【例2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 【变式2-1】A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 【变式2-2】一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，， 由条件概率公式得，则, 故选：B． 【变式2-3】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，，所以，. 因为与为互斥事件，所以， 所以 ， 所以， 故，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，， 所以，故D错误. 故选:AB. 【变式2-4】若，，，则 ． 【答案】/ 【详解】∵，∴． 又， ∴，解得， 故选： 【考点题型三】乘法公式的应用（） 【例3】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B. 由题意，知，，所以， 所以两次都取到红球的概率为. 故选：C. 【变式3-1】在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸个球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 则， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有个球，其中个红球，个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以. 【变式3-2】（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABD 【详解】设在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，在班内任选一个学生，该学生是团员． 则由已知，， 所以，所以，故C正确． 故选：ABD. 【变式3-3】某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 【答案】 【详解】我们设用表示选到的教师是数学教师，用表示选到的是女教师， 则，，而设女数学教师被选到的概率是， 由条件概率公式得． 故答案为： 【变式3-4】某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 【答案】 【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 则，，， 由，故， 则，则， 故， 而，即，故， 则. 故答案为： 【考点题型四】全概率公式的应用（） 【例4】某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是随机选择一袋，所以选择第一袋和第二袋的概率均为. 第一袋中有名男生和名女生的报表，从10份报表中随机抽取份的组合数. 从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为. 所以从第一袋中抽到一男一女报表的概率为. 第二袋中有名男生和名女生的报表，从12份报表中随机抽取份的组合数为. 从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为. 所以从第二袋中抽到一男一女报表的概率为. 设事件表示“恰好抽到男生和女生报表各份”，事件表示“选择第一袋”，事件表示“选择第二袋”. 根据全概率公式，其中，，，可得： 恰好抽到男生和女生报表各份的概率为. 故选：D. 【变式4-1】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占55%，25%，20%，各厂的产品的次品率分别为2%，4%，5%．现从中任取一件，则取到的是次品的概率是 ． 【答案】 【详解】设表示“取到一件次品”，表示“取到的产品由甲乙丙三厂生产的，其中”， 则， 且, 由全概率公式，可得 , 即取到的是次品的概率是. 故答案为：. 【变式4-2】某中学举办知识竞赛，题库中共有1000道试题，其中有500道A类题，300道B类题，200道C类题．根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试题的概率分别为．若该同学从题库中随机选一道试题作答，则他答对的概率是 ． 【答案】/0.68 【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ． 【答案】/ 【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件， 由题意可知：，，且， 由全概率公式可知：， 即，代入， 可解得， 所以. 故答案为：. 【变式4-4】把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 【考点题型五】贝叶斯公式的应用（） 【例5】托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则，，， 所以， 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为， 故选：C． 【变式5-1】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 【变式5-2】某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，， 依题意，，，，则， 由有：， 因为，所以 ， 所以. 故选：B. 【变式5-3】若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 【变式5-4】某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为 ；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为 . 【答案】 / 【详解】设事件为小明母亲参加活动，设事件为小明父亲参加活动， 由题意可得, 所以， 因为， 所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为. 故答案为：； 【考点题型六】相互独立事件的概率（） 【例6】已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 【答案】A 【详解】由题意可得所求事件的概率为． 故选：A． 【变式6-1】甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 【变式6-2】如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B 【变式6-3】甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 【变式6-4】某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． (1)求甲积2分的概率； (2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件“甲限时滚铁环过关”， 事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （2）设事件“乙限时滚铁环过关”， 事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． 又与相互独立， 所以两人的积分之和为4分的概率， 所以两人的积分之和不超过3分的概率为． 【考点题型七】相互独立事件的判断（） 【例7】（多选）若事件互斥，事件中的事件满足，则（    ） A．事件独立 B．事件独立 C．若事件对立，则事件独立 D．若事件不对立，则事件不独立 【答案】ACD 【详解】由，所以，所以独立，A选项正确； 事件互斥，不能判断事件是否独立，B选项错误； 由条件可得，当事件对立时，，所以事件独立，C选项正确； 当事件不对立时，， 所以，，所以事件不独立，D选项正确；. 故选：ACD. 【变式7-1】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【答案】C 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数是2，第二枚的点数是1， 所以事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B不正确； 因为，， ，， 又因为，所以事件与相互独立，故选项C正确； 显然事件与不相等，故选项D不正确. 故选：C 【变式7-2】已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】A 【详解】对于A，若，则,故A错误， 对于B，若与互斥，则,故B正确， 对于C, ,结合，故，故事件与相互独立，C正确， 对于D, 若与相互独立，则,D正确， 故选：A 【变式7-3】（多选）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B正确； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：ABC. 【变式7-4】（多选）从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（   ） A．A与B是互斥事件 B．事件A与B相互独立 C．B与C是互斥但不对立事件 D．事件A与C相互独立 【答案】BD 【详解】对于选项A，事件为“第一次取出的数字为”，事件为“第二次取出的数字为奇数”. 第一次取到并不影响第二次取到奇数，这两个事件是可以同时发生的，比如第一次取，第二次取或或. 所以与不是互斥事件，A选项错误.   对于选项B，，因为从这个数字中第一次取到的概率是. ，第二次取到奇数（、、）的概率是. ，即第一次取且第二次取奇数的概率. 因为，满足相互独立事件的条件. 所以事件与相互独立，B选项正确.   对于选项C，事件为“第二次取出的数字为奇数”，事件为“两次取出的数字之和等于”. 当第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到时，与是可以同时发生的. 所以与不是互斥事件，C选项错误.   对于选项D，，，两次取数之和等于的情况有、、、、、共种，总情况有种. ，而，满足. 所以事件与相互独立，D选项正确.   故选：BD. 【考点题型八】独立事件的实际应用（） 【例8】某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他在科目考试第一次合格的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）科目考试合格的概率为， 则他在科目考试第一次合格的概率为. （2）他考试的次数为2且获得证书的概率为， 他考试的次数为3且获得证书的概率为， 他考试的次数为4且获得证书的概率为， 所以他可获得证书的概率为. 【变式8-1】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 【变式8-2】某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【变式8-3】甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 【答案】(1) (2)甲获得最终胜利的可能性大． 【详解】（1）由题意可得，即，则. 又，故，解得 （2）由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率， 所以甲得4分或6分的概率. 故乙得4分或6分的概率为， 因为，所以甲获得最终胜利的可能性大． 【变式8-4】在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求丙连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)乙，理由见解析 【详解】（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 而甲､丙连胜四场的概率为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 需要进行第五场比赛的概率. （3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输， 记事件：甲赢，记事件乙赢， 则甲赢的基本事件包括：､ ， 甲赢的概率为. 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是. 所以乙赢的概率为. 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大. 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$