清单05 随机变量的均值与方差（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）高二数学下学期人教B版

清单05 随机变量的均值与方差 清单01 均值 1.离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2.均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 清单02 方差 1.离散型随机变量的方差 我们称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 2.均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 清单03 常见分布的均值和方差 若离散型随机变量服从二项分布，即，则， 若离散型随机变量服从超几何分布，即，则 【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望) （） 【例1】为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望． 【变式1-1】若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 【变式1-2】离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【变式1-3】甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 【变式1-4】现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本. (1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率； (2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望. 【考点题型二】均值性质的应用（） 【例2】已知随机变量的分布列为 0 1 2 (1)求的值； (2)求； (3)若，求. 【变式2-1】已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则 ； . 【变式2-4】国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有“喜”“迎”“国”“庆”的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出“迎”“迎”“国”“庆”，则），若则中一等奖，则中二等奖，则中三等奖，时没有奖励.商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券. (1)求某位顾客中一等奖的概率； (2)若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望. 【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差（） 【例3】盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-1】离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知随机变量的概率分布列如下表，则 ，若，则 . 2 3 4 【变式3-3】已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【变式3-4】某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员． (1)求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率； (2)设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差． 【考点题型四】方差性质的应用（） 【例4】已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 【变式4-2】若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（多选）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【考点题型五】方差的期望表示（） 【例5】已知随机变量X，Y的分布列如下： X 1 0 Y 2 P 0.5 0.5 P 0.5 0.5 则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 【变式5-2】若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【变式5-3】随机变量的分布列如下表，则 . 0 1 2 0.4 0.2 【变式5-4】某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【考点题型六】二项分布的均值与方差（） 【例6】已知随机变量，若，则 . 【变式6-1】若，且，则等于（    ） A．4 B．2.4 C．0.96 D．0.24 【变式6-2】随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望． 【考点题型七】超几何分布的均值与方差（） 【例7】某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【变式7-1】（多选）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】袋子中装有5个白球和3个红球，现从袋子中不放回地摸取4个球，取到1个白球得2分，取到1个红球得1分，设摸球所得分数之和为随机变量． (1)求摸球得分不低于6分的概率； (2)求摸球所得分数之和的方差． 【变式7-4】已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【考点题型八】利用均值与方差进行决策（） 【例8】从2024年开始，新高考数学试卷中为了提高试卷考点的覆盖面和提高试卷的区分度，对多项选择题的命题进行了改革.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的.每一道题考生全部选对得6分，选项中有错误得0分，对而不全得部分分.对而不全得部分分的规则如下：若多选题中有2个选项正确，则只选对1个得3分；若多选题中有3个选项正确，则只选对1个得2分，只选对2个得4分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得6分的概率为，求的值； (2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【变式8-1】杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元． (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 【变式8-2】某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： (1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； (3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案． 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折． 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案． 【变式8-3】某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关. 该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场. (1)设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求； (2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望； (3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个. 已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？ 【变式8-4】某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 随机变量的均值与方差 清单01 均值 1.离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2.均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 清单02 方差 1.离散型随机变量的方差 我们称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 2.均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 清单03 常见分布的均值和方差 若离散型随机变量服从二项分布，即，则， 若离散型随机变量服从超几何分布，即，则 【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望) （） 【例1】为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，答案见解析 【详解】（1）根据数据可得，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆， 所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率． （2）根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有4辆，9人的共有14辆， 所有乘车人数为7人的概率为，乘车人数为8人的概率为，乘车人数为9人的概率为. 的所有可能取值为：14，15，16，17，18 ，， ，， ． 的分布列如下： 14 15 16 17 18 . 【变式1-1】若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 【答案】B 【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得， 又由，解得. 故选：B. 【变式1-2】离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由已知， ， 即，① 又，即，② 由①②，得，，所以． 故选：D. 【变式1-3】甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【详解】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢， 或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为. （2）由题意可知，的可能取值有、、， 若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，， 若，则第二、三局均为丙赢，所以，， 若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局， 所以，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 【变式1-4】现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本. (1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率； (2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【详解】（1）记事件：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻， 则. （2）的可能取值为， ， ， ， ∴的分布列为 2 3 4 ∴. 【考点题型二】均值性质的应用（） 【例2】已知随机变量的分布列为 0 1 2 (1)求的值； (2)求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，由分布列得，解得， 所以的值为. （2）由（1）得. （3）法一：因为， 所以. 法二：因为，所以的分布列如下： 所以. 【变式2-1】已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设， 所以. 故选：C 【变式2-2】已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以， 解得或（舍去）, 故选：D 【变式2-3】已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则 ； . 【答案】 2.8 10.4 【详解】, . 故答案为：2.8；10.4. 【变式2-4】国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有“喜”“迎”“国”“庆”的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出“迎”“迎”“国”“庆”，则），若则中一等奖，则中二等奖，则中三等奖，时没有奖励.商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券. (1)求某位顾客中一等奖的概率； (2)若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）由题意设获一等奖的概率为P，则； （2）设一次抽奖所获奖励为Y，则Y的可能取值为20，10，5，0， ∴， ， ， 所以Y的分布列为： Y 20 10 5 0 P ∴， 因为两次抽奖相互独立， 所以. 【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差（） 【例3】盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 【变式3-1】离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 【变式3-2】已知随机变量的概率分布列如下表，则 ，若，则 . 2 3 4 【答案】 3 / 【详解】由随机变量分布列的性质，得， 所以， ， 解得，代入，得. 故答案为：3；. 【变式3-3】已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题可得，因为，所以， 因为，即，化简得， 则 ， 当时，此时有最小值为1（舍去）， 即的取值范围为． 故答案为： 【变式3-4】某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员． (1)求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率； (2)设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为. （2）由题意，的可能取值为，则 ，，， 所以的分布列为 则， 所以. 【考点题型四】方差性质的应用（） 【例4】已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由，得，则； 由，得，因此. 故选：C 【变式4-1】已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 【答案】B 【详解】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或. 故选：B. 【变式4-2】若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式4-3】（多选）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB选项，由分布列的性质，可得①， 因为，所以②， 联立①②解得，，A正确，B错误； CD选项，因为， 所以，，C错误，D正确. 故选：AD 【变式4-4】某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析；，； (2)，. 【详解】（1）依题意，的所有可能值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望， 方差. （2）依题意，每次抽奖的收益， 所以期望, 方差. 【考点题型五】方差的期望表示（） 【例5】已知随机变量X，Y的分布列如下： X 1 0 Y 2 P 0.5 0.5 P 0.5 0.5 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，，. 故选：D. 【变式5-1】已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 【答案】 0.1/ 0.2/ 【详解】由，得，因此； 依题意，，， 因此， 则当时，取得最大值. 故答案为：0.1；0.2 【变式5-2】若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【答案】1 【详解】，， ，， ， 当时，. 故答案为：1 【变式5-3】随机变量的分布列如下表，则 . 0 1 2 0.4 0.2 【答案】20 【详解】由，所以，， 故答案为：20 【变式5-4】某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为1，2，3，4. ；； ；. ∴的分布列为 1 2 3 4 （2）的期望：， 又， ∴方差. 【考点题型六】二项分布的均值与方差（） 【例6】已知随机变量，若，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式6-1】若，且，则等于（    ） A．4 B．2.4 C．0.96 D．0.24 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：B 【变式6-2】随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 【变式6-3】“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 【变式6-4】旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；. 【详解】（1）甲、乙、丙分别从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法有种选法， 其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法有种选法， 所以甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； （2）甲选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 同理可得乙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 丙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 由已知的可能取值有，，，， 且， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 所以的期望. 【考点题型七】超几何分布的均值与方差（） 【例7】某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【答案】(1)70 (2)分布列见详解； 【详解】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为， 则数学组共有人，其中女生的人数为. （2）因为前排就座的物理组5人中男生有人，女生有人， 可知抽到女生的人数为的可能取值有：0，1，2，则有： ， 可得女生人数的分布列为 0 1 2 所以女生人数的期望. 【变式7-1】（多选）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 【变式7-2】（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，均服从于超几何分布，且，， ，， 对选项A：，，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：ACD. 【变式7-3】袋子中装有5个白球和3个红球，现从袋子中不放回地摸取4个球，取到1个白球得2分，取到1个红球得1分，设摸球所得分数之和为随机变量． (1)求摸球得分不低于6分的概率； (2)求摸球所得分数之和的方差． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当摸球得分不低于6分时，摸球的情况有2白2红、3白1红、4白三种，所以得分不低于6分的概率为. （2）的可能取值为， 且，       ， ，         ， 所以所得分数之和的期望为， 所以所得分数之和的方差为． 【变式7-4】已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 【考点题型八】利用均值与方差进行决策（） 【例8】从2024年开始，新高考数学试卷中为了提高试卷考点的覆盖面和提高试卷的区分度，对多项选择题的命题进行了改革.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的.每一道题考生全部选对得6分，选项中有错误得0分，对而不全得部分分.对而不全得部分分的规则如下：若多选题中有2个选项正确，则只选对1个得3分；若多选题中有3个选项正确，则只选对1个得2分，只选对2个得4分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得6分的概率为，求的值； (2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【答案】(1)； (2)答案见解析 【详解】（1）根据题意可知，不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件， “有3个选项正确”为事件， “小明该题得6分”为事件B， 则，解得； （2）若小明选择方案①， 记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为： ，故， 若小明选择方案②， 记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为： ， ， 故， 若小明选择方案③， 记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为： . 故， ， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案①. 【变式8-1】杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元． (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 【答案】(1) (2)小明应该选择方案一 【详解】（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为， 则分为有空盒和无空盒两种情况，． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为． 的可能取值为80，110． 则， ． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为． 依题意，的可能取值为70，100，130， 则， ， ． 所以． 因为． 所以小明应该选择方案一． 【变式8-2】某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： (1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； (3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案． 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折． 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案． 【答案】(1)元 (2) (3)应选择第二种促销方案 【详解】（1）因为样本数据的平均数为： ， 所以预估2024年2月份健身客户人均消费的金额为元. （2）健身卫士中健身达人所占比例为， 所以抽取的人中健身达人有人， 记“抽到的2人中至少1人为健身达人”为事件， 所以. （3）若选方案一，只需付款元； 若选方案二，设付款金额为元，则可取， 且， ， ， ， 所以元， 因为， 所以应选择第二种促销方案. 【变式8-3】某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关. 该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场. (1)设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求； (2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望； (3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个. 已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？ 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3)答案见解析. 【详解】（1）依题意，， ， 所以. （2）依题意，的可能值为， ，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. （3）若选方案一，则企业每月支出质检员工资共9000元； 若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计， 若，则. 所以当且时，选方案一；当且时，选方案二. 【变式8-4】某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)0.4； (2)分布列见解析； (3)应选. 【详解】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$