清单06 等差数列与等比数列（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单06 等差数列与等比数列 清单01 等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 清单02 等差数列的前项和 1．等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 清单03 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使若，，成等比数列，则 那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 清单04 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【考点题型一】等差数列基本量的计算（） 【例1】已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知等差数列，公差为，，前项和为，记集合，若中有2个元素，则，的关系可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，公差不为0，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在等差数列中，前项之和为，最后项之和为，前项之和是，则项数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】设为首项不为0的等差数列的前项和，若，则 ． 【考点题型二】等差数列通项与前n项和性质（） 【例2】若数列是等差数列，是的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2-1】等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【变式2-2】已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则 ． 【变式2-3】若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C．-10 D． 【考点题型三】等差数列的前n项和最值问题（） 【例3】已知是数列的前项和，若是等差数列，且，. (1)求的值； (2)为何值时，的值最小？ 【变式3-1】已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差 B． C． D． 【变式3-3】是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 . 【变式3-4】已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【考点题型四】含绝对值的等差数列求和（） 【例4】已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【变式4-1】已知数列的前项和为，则（   ） A． B．时，的最大值为17 C． D． 【变式4-2】已知数列满足为的前项和，则 . 【变式4-3】已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【变式4-4】已知数列满足，它的前项和为，且. (1)求数列的前n项和的最小值. (2)求数列的前项和为. 【考点题型五】等比数列的基本量计算（） 【例5】已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式5-1】已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【变式5-2】数列为等比数列，且，设为其前项和，，则 ． 【变式5-3】已知公比为的等比数列的前和为，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-4】设为等比数列的前项和，已知，则公比 【考点题型六】等比数列通项与前n项和性质（） 【例6】设公比小于零的等比数列的前项和为，，且，则（   ） A．243 B．216 C．81 D．27 【变式6-1】等比数列{ an }满足a5 = 2，，则（   ） A．22 B．20 C．12 D．10 【变式6-2】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【变式6-3】已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．54 C．49 D．42 【变式6-4】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【考点题型七】等差数列与等比数列的证明（） 【例7】已知数列满足，． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【变式7-1】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，（且）．求证：数列是等差数列，并求的通项公式． 【变式7-2】已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，，求的前n项和． 【变式7-3】已知数列的各项均为正实数，，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列的前项和的最小值. 【变式7-4】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【考点题型八】等差数列与等比数列的实际应用（） 【例8】现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第圈多种（，）株，则第8圈栽种花卉（   ） A．57株 B．56株 C．55株 D．54株 【变式8-1】某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【变式8-2】《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【变式8-3】生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日． 【变式8-4】2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是 （，） 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 等差数列与等比数列 清单01 等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 清单02 等差数列的前项和 1．等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 清单03 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使若，，成等比数列，则 那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 清单04 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【考点题型一】等差数列基本量的计算（） 【例1】已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则，A不是； 对于B，设等差数列的公差为，，B不是； 对于D，，则，D不是； 对于C，，而值不确定， 因此不确定，C是. 故选：C 【变式1-1】已知等差数列，公差为，，前项和为，记集合，若中有2个元素，则，的关系可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则， 由中有2个元素，得关于的方程有不小于2的整数解， 而，则，方程中系数为2，的系数是正整数， 选项A符合要求，选项BCD不符合要求. 故选：A 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，公差不为0，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得  ①，   ②， 当时，，得，不合题意， 故，同理，， ①②得，即， 得，得， 代入，得. 故选：A. 【变式1-3】在等差数列中，前项之和为，最后项之和为，前项之和是，则项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记数列的前项和为， 因为， 上述两个等式相加可得， 由等差数列的性质可得，可得， 由等差数列的求和公式可得，解得. 故选：B. 【变式1-4】设为首项不为0的等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】2 【详解】设等差数列的公差为， 由得，所以， 所以． 故答案为： 【考点题型二】等差数列通项与前n项和性质（） 【例2】若数列是等差数列，是的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】数列是等差数列，，则； 当，数列是等差数列，则，不一定满足； 则是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-1】等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 【变式2-2】已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则 ． 【答案】4 【详解】由题意知， 由， 所以， 故答案为：4 【变式2-3】若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或． 设方程的两个根为、，方程的两个根为、， 由韦达定理可得，， 不妨设，，且，则必有， 所以，，，故数列、、、的公差为， 所以，， 由韦达定理可得，，因此. 故选：C. 【变式2-4】在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C．-10 D． 【答案】D 【详解】根据等差数列前项和性质，可得成等差数列， 所以，即，解得． 故选：D. 【考点题型三】等差数列的前n项和最值问题（） 【例3】已知是数列的前项和，若是等差数列，且，. (1)求的值； (2)为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2)当或时，取得最小值20. 【详解】（1）设的公差为， 则，， 又，故，解得， 所以， 故； （2）由题意得， 故， 所以， 因为，所以当或时，取得最小值，最小值为. 【变式3-1】已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 【变式3-2】已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差 B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，由于，故，因此，A正确， ，B错误， ，C错误， 由于，故，故是中最大的先，故，D正确， 故选：AD 【变式3-3】是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 . 【答案】9或10 【详解】数列为等差数列，∵， ∴，∴， ∴， 因为且，所以 ，为二次函数，开口方向向下， 所以当时，取得最大值，又因为, ∴ 或10时，取得最大值. 故答案为：9或10 【变式3-4】已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 【考点题型四】含绝对值的等差数列求和（） 【例4】已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 【变式4-1】已知数列的前项和为，则（   ） A． B．时，的最大值为17 C． D． 【答案】ACD 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时， ， 又也满足上式，，A正确； 令，，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 【变式4-2】已知数列满足为的前项和，则 . 【答案】104 【详解】，令，得， 又，所以当时，，当时，. 当时，； 当时， 综上所述， 所以. 故答案为：104. 【变式4-3】已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 【变式4-4】已知数列满足，它的前项和为，且. (1)求数列的前n项和的最小值. (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由可知是等差数列， 又因为，， 则有， 解得，， 所以的前n项和，， 由二次函数性质可知当时，取最小值为， 所以数列的前n项和的最小值为. （2）由（1）知， 则当时，，当时，， 当时，， 当时，，， 综上，. 【考点题型五】等比数列的基本量计算（） 【例5】已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列公式可得：， 所以， 故选：A. 【变式5-1】已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 【变式5-2】数列为等比数列，且，设为其前项和，，则 ． 【答案】 【详解】由题等比数列的公比为且， 所以，可得， 由，则， 故. 故答案为： 【变式5-3】已知公比为的等比数列的前和为，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】公比为的等比数列中，因为，， 所以，所以，所以，所以，， 当时，； 当时，； 所以. 故选：C. 【变式5-4】设为等比数列的前项和，已知，则公比 【答案】2 【详解】由，得，则， 等比数列的公比， 所以. 故答案为：2 【考点题型六】等比数列通项与前n项和性质（） 【例6】设公比小于零的等比数列的前项和为，，且，则（   ） A．243 B．216 C．81 D．27 【答案】A 【详解】设数列的公比为，因为，且，所以，否则， 所以，，成等比数列且公比为，即， 即，解得或， 当时，由，，成等比数列，其公比为，舍去 所以，所以， 所以. 故选：A 【变式6-1】等比数列{ an }满足a5 = 2，，则（   ） A．22 B．20 C．12 D．10 【答案】A 【详解】等比数列{ an }满足a5 = 2，所以， 则 ， 所以. 故选：A 【变式6-2】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【变式6-3】已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．54 C．49 D．42 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，则， 所以. 故选：C. 【变式6-4】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【详解】由题意及等比数列前n项和的性质，得，，成等比数列， 则，即，解得或（舍）. 故选：A 【考点题型七】等差数列与等比数列的证明（） 【例7】已知数列满足，． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）数列中，，，则，， 所以数列是以为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，，则，， 所以数列的前项和. 【变式7-1】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，（且）．求证：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】证明见解析， 【详解】， ， ∴当时，， ∴当时，， 又， ， ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列， ． ∴当时， ， 也满足上式， ∴数列的通项公式为． 【变式7-2】已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 即，即， 故数列是等差数列，其首项为，公差为1， 则，解得； （2）由可得， 则. 【变式7-3】已知数列的各项均为正实数，，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列的前项和的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵，∴，其中， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， ∴， ∵，∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，数列为递增数列， ∴当时，有最小值，最小值为. 【变式7-4】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 【考点题型八】等差数列与等比数列的实际应用（） 【例8】现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第圈多种（，）株，则第8圈栽种花卉（   ） A．57株 B．56株 C．55株 D．54株 【答案】A 【详解】设第圈栽种花卉株，则，（，）， 又，，则，，，，， 所以 . 故选：A 【变式8-1】某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 【变式8-2】《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 【变式8-3】生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日． 【答案】 25 8或13 【详解】对于空①，连续打卡5天的总积分 连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此类推. 这实际上是一个首项为1、公差为2的等差数列. 前5天的总积分为： 对于空②，确定未打卡的日期 若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列， 且首项为1，公差为2，第天所得积分为． 假设他连续打卡天，第天中断了，则他所得积分之和为： ，化简得， 解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日． 故答案为：25；8或13 【变式8-4】2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是 （，） 【答案】 【详解】设对折次时，纸的厚度为毫米，每次对折厚度变为原来的倍， 由题意知是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 令， 即，所以，即， 解得：， 所以至少对折的次数是， 故答案为：42. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$