2025年中考数学二轮专题圆的训练：证明切线与求圆的半径问题

2025年中考数学二轮专题圆的训练： 证明切线与求圆的半径问题 1．如图，点B在以AC为直径的⊙O上，点D在AC的延长线上，连接AB，BC，BD，∠CBD＝∠BAD． （1）求证：DB是⊙O的切线； （2）点F是DB延长线上一点，过点F作FE⊥AD于点E，若，CD＝2，求⊙O的半径． 2．如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若PA＝4，PC＝BC，求⊙O的半径． 3．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作 DE∥AB交AC延长线于点E． （1）求证：DE为⊙O切线： （2）若AC＝4，，求⊙O的半径长． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE． （1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线． （2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF． （1）求证：DF为半圆O的切线； （2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长． 6．如图，AB为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为点B，点D为⊙O上一点，连接CD并延长交BA的延长线于点E，CD＝CB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AE＝2，DE＝4，求⊙O的半径长． 7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC是直径，AB＝BD，过点B作BE⊥DE交DC的延长线于点E． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若，BE＝3，求⊙O的半径． 8．如图，⊙O与△ABC的AC边相交于点C，与AB相切于点D、与BC边交于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BD＝2，AC＝3，求⊙O的半径长． 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，，且AF⊥CD，垂足为点E． （1）求证：直线CE是⊙O的切线； （2）若AE＝3，ED，求⊙O的半径． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF． （1）求证：DF为半圆O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，CF＝2，求半圆O的半径长． 12．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，交BC于点D，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O切线； （2）若DE＝0.6cm，AD＝0.8cm，那么⊙O的半径长为　 　 ． 13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，延长AD到F，连接BF，且BF＝BE． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BF＝2，EF＝4，求⊙O的半径． 14．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求BC的长和⊙O的半径． 15．如图，已知CD为⊙O的直径，AC⊥CD，弦DE∥OA，直线AE，CD相交于点B． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）当AC＝2，BE＝4时，求⊙O的半径． 16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点D作DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，CF＝CD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若，求⊙O半径的长． 17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径． 18．如图，在△ABC中，O为AB上一点，以点O为圆心，OB为半径作半圆，与BC相切于点B，过点A作AD⊥CO交CO的延长线于点D，且∠AOD＝∠CAD． （1）求证：AC是半⊙O的切线； （2）若CO＝AO，BC＝4，求半⊙O的半径． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是⊙O的切线； （2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径； 20．直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CG＝2，DE＝8，求⊙O的半径． 参考答案 1．（1）证明：连接OB． ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，∠BAD+∠OCB＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BAD+∠OBC＝90°， ∵∠CBD＝∠BAD， ∴∠CBD+∠OBC＝90°， 即∠OBD＝90°， ∵OB是半径， ∴DB是⊙O的切线． （2）解：∵EF⊥AD， ∴∠DEF＝90°， ∵∠OBD＝∠FED＝90°，∠D＝∠D， ∴△DOB∽△DFE， ∴， ∴， 即5OB＝4OD． 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，OD＝r+2， ∴5r＝4（r+2）， 解得 r＝8， ∴⊙O的半径为8． 2．（1）证明：连接OC，则OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝∠OBC， ∴∠ACP＝∠OCB， ∴∠OCP＝∠OCA+∠ACP＝∠OCA+∠OCB＝∠ACB＝90°， ∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC， ∴PC与⊙O相切． （2）解：∵PC＝BC， ∴∠P＝∠B， ∵∠ACP＝∠B， ∴∠ACP＝∠P， ∴CA＝PA＝4， ∵∠OCP＝90°， ∴∠ACO+∠ACP＝90°，∠AOC+∠P＝90°， ∴∠ACO＝∠AOC， ∴CA＝OA＝OC＝4． 3．（1）证明：连接OD，过点D作DF⊥AC于点F，如图： ∵点D为半圆AB的中点， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）解：由（1）可知：OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°， ∴∠ACD∠AOD＝45°， ∵DF⊥AC， ∴△DCF为等腰直角三角形， ∴DF＝CF， 在Rt△DCF中，DF＝CF，， 由勾股定理得：DF2+CF2＝CD2， 即：， ∴CF＝DF＝1， ∵AC＝4， ∴AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3， 在Rt△ADF中，AF＝3，DF＝1， 由勾股定理得：， 在Rt△AOD中，OA＝OD，， 由勾股定理得：OA2+OD2＝AD2， 即：， ∴， ∴⊙O的半径为． 4．（1）证明：连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DBC+∠BDC＝90°， ∵CE＝BC， ∴∠DBC＝∠BEC， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∵∠ODE＝∠BDC ∴∠OED＝∠BDC， ∴∠OED+∠BEC＝90°， 即∠OEC＝90°， ∴OE⊥CE， ∵OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：∵BC＝CE， ∴CE＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2， ∵∠OEC＝90°， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴r2+42＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3． 5．（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠A， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°， ∴∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是半圆O的切线． （2）解：连接OF，设半圆O的半径长为r， ∵AC＝6，BC＝4，CF＝1， ∴DF＝BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r， ∵∠ODF＝∠C＝90°， ∴OD2+DF2＝OC2+CF2＝OF2， ∴r2+32＝（6﹣r）2+12，解得r， ∴半圆O的半径长是． 6．（1）证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B， ∴CB⊥AB， ∴∠B＝90°， ∵CD＝CB，OD＝OB， ∴CD2+OD2＝CB2+OB2＝OC2， ∴△ODC是直角三角形，且∠ODC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵∠ODE＝∠B＝90°， ∴DE2+OD2＝OE2， ∵AE＝2，DE＝4，OD＝OA， ∴42+OA2＝（2+OA）2， 解得OA＝3， ∴⊙O的半径长为3． 7．（1）证明：如图，连接BO并延长交AD于点H，连接OD， ∵AB＝BD，OA＝OD， ∴BO垂直平分AD， ∴∠BHD＝90°， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵BE⊥DE， ∴∠E＝90°， ∴四边形BEDH为矩形， ∴∠OBE＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴BE为⊙O的切线； （2）解：在Rt△BDE中， ∵，BE＝3， ∴， ∵四边形BEDH为矩形， ∴DH＝BE＝3，， 设⊙O的半径为r， 则，OD＝r， 在Rt△ODH中，， 解得， 即⊙O的半径为． 8．（1）证明：连接OD， ∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE， ∵DE∥OA， ∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴∠ADO＝90°， 在△AOD和△AOC中， ， ∴△AOD≌△AOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵AB、AC是⊙O的切线， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°，AD＝AC＝3， ∵BD＝2， ∴AB＝5，BC4， ∵∠B＝∠B， ∴△OBD∽△ABC， ∴， ∴， ∴OB， ∴OC＝BC﹣OB＝4， 故⊙O的半径长为． 9．解：（1）如图，连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠5＝90°． ∵CE＝BC， ∴∠1＝∠2． ∵OE＝OD， ∴∠3＝∠4． 又∵∠4＝∠5， ∴∠3＝∠5， ∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°， ∴OE⊥CE． ∵OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． （2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2， BC＝CE＝4． 设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2， 在Rt△OEC中，∠OEC＝90°， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴r2+42＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3． 10．（1）证明：连接OD，如图， ∵， ∴∠FAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠ADO＝∠FAD， ∴OD∥AE， ∵AE⊥DC， ∴OD⊥CE， ∴直线CE是⊙O的切线； （2）解：连接BD． ∵AE＝3，ED， ∴AD2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AED＝∠ADB， ∵∠EAD＝∠DAB， ∴△EAD∽△DAB， ∴， ∴， ∴AB＝4， ∴⊙O的半径为2． 11．（1）证明：连接OD，如图1， ∵BF＝DF， ∴∠B＝∠BDF， ∵∠C＝90°， ∴∠OAD+∠B＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA+∠BDF＝90°， ∴∠ODF＝90°，∵OD是圆O的半径， ∴DF是半圆O的切线； （2）解：连接OF，OD，如图2， 设圆的半径为r，则OD＝OE＝r， ∵AC＝8，BC＝6，CF＝2， ∴OC＝8﹣r，DF＝BF＝6﹣2＝4， ∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2， ∴r2+42＝（8﹣r）2+22， ∴r． 故圆的半径为． 12．（1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠C＝∠ODB， ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝90°， 即OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∵DE＝0.6cm，AD＝0.8cm， ∴AE1（cm）， ∴OAAE＝0.5（cm）． 即⊙O的半径长为0.5cm． 故答案为：0.5cm． 13．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵BF＝BE， ∴∠F＝∠BEF， ∵∠BEF＝∠AEC， ∴∠F＝∠AEC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴∠F+∠BAF＝∠AEC+∠CAE＝90°， ∴∠ABF＝180°﹣（∠F+∠BAF）＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB， ∴BF是⊙O的切线． （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BF＝BE＝2，EF＝4，BD⊥EF于点D， ∴DF＝DEEF＝2， ∵∠BDF＝∠ABF＝90°， ∴BD4， ∴tanF2， ∴AB＝2BF， ∴OBAB2BF＝BF＝2， ∴⊙O的半径长为2． 14．（1）证明：连接OC并延长交⊙O于点M，连接MD， 则：∠M＝∠A，∠CDM＝90°， ∴∠M+∠MCD＝90°， ∵∠BAC＝∠BCD， ∴∠M＝∠BCD， ∴∠BCD+∠MCD＝90°， ∴∠OCB＝90°， ∴OC⊥BC， ∵OC是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD． ∴，即BC2＝AB•BD； ∵，D为AB中点， ∴， ∴BC2＝AB•BD＝16， ∴BC＝4． 过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF， ∵在Rt△AED中，． ∵， ∴DE＝1． ∴． ∵△BAC∽△BCD， ∴． 设CD＝x，则，CE＝CD﹣DE＝x﹣1． ∵AC2＝CE2+AE2， ∴， 解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去）． ∴CD＝2，， ∵， ∴∠AFC＝∠ADC， ∵CF为⊙O的直径， ∴∠CAF＝90°， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 15．（1）证明：连接OE，则OE＝OD＝OC， ∴∠OED＝∠ODE， ∵DE∥OA， ∴∠OED＝∠AOE，∠ODE＝∠AOC， ∴∠AOE＝∠AOC， 在△AOE和△AOC中， ， ∴△AOE≌△AOC（SAS）， ∵AC⊥CD， ∴∠OEA＝∠C＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且AE⊥OE， ∴直线AE是⊙O的切线． （2）解：由（1）得∠C＝90°，△AOE≌△AOC， ∴AE＝AC＝2， ∵BE＝4， ∴AB＝AE+BE＝2+4＝6， ∴BC4， ∵∠OEB＝90°， ∴tanB， ∴OEBE4， ∴⊙O的半径长为． 16． （1）证明：连接OC，则OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵CD⊥AB于点E， ∴∠BEC＝90°， ∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点， ∴CH⊥DF， ∵CF＝CD， ∴∠FCH＝∠DCH， ∴∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF是⊙O的切线． （2）解：∵AB⊥CD， ∴∠OEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE， ∵CD＝CF＝8， ∴CECD8＝4， ∵tan∠DCB， ∴BECE4＝2， ∵OE2+CE2＝OC2，OE＝OB﹣2＝OC﹣2， ∴（OC﹣2）2+42＝OC2， 解得OC＝5， ∴⊙O半径的长是5． 17．（1）证明：连接OD， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， ∴∠COD＝2∠CAB＝90°， ∵DE∥CF， ∴∠COD+∠EDO＝180°， ∴∠EDO＝90° ∴DE为⊙O的切线； （2）解：过点C作CH⊥AB于点H， ∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4， ∴CH＝AH2， ∵tan∠CFD2， ∴FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2+FH2， ∴， ∵tan∠CFD2， ∴OD． 故⊙O的半径为． 18．（1）证明：（1）过点O作OF⊥AC于点F，如图， ∵以点O为圆心，OB为半径作半圆，与BC相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠BCO+∠BOC＝90°． ∵AD⊥CO， ∴∠OAD+∠AOD＝90°， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠BCO＝∠OAD． ∵∠AOD＝∠CAD，∠AOD＝∠OCA+∠OAC，∠CAD＝∠OAD+∠OAC， ∴∠OCA＝∠OAD， ∴∠BCO＝∠OCA， ∵OB⊥BC，OF⊥AC， ∴OB＝OF， ∴圆心O到直线AC的距离等于⊙O的半径， ∴AC是半⊙O的切线； （2）解：∵CO＝AO， ∴∠OCA＝∠OAC． 由（1）知：∠BCO＝∠OAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD， ∵∠D＝90°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OAD＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD＝30°， ∴∠BCO＝30°． 在Rt△CBO中， ∵tan∠BCO， ∴OB＝BC． ∴半⊙O的半径为． 19．解：（1）连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD， ∴DH是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r， ∵EF＝EA， ∴∠EFA＝∠EAF， ∵OD∥EC， ∴∠FOD＝∠EAF， 则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD， ∴DF＝OD＝r， ∴DE＝DF+EF＝r+2， ∴BD＝CD＝DE＝r+2， 在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB， ∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE， ∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形， ∴BF＝BD＝r+2， ∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2， ∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E， ∴△BFD∽△EFA， ∴， 即 解得：r1＝1，r2＝1（舍）， 综上所述，⊙O的半径为1． 20．（1）证明：连接FO， ∵OF＝OC， ∴∠OFC＝∠OCF． ∵CF平分∠ACE， ∴∠FCG＝∠FCE． ∴∠OFC＝∠FCG． ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EDG＝90°， 又∵FG∥ED， ∴∠FGC＝180°﹣∠EDG＝90°， ∴∠GFC+∠FCG＝90° ∴∠GFC+∠OFC＝90°， 即∠GFO＝90°， ∴OF⊥GF， 又∵OF是⊙O半径， ∴FG与⊙O相切． （2）解：延长FO，与ED交于点H， 由（1）可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°， ∴四边形FGDH是矩形． ∴FH⊥ED， ∴HE＝HDDE＝4， ∵四边形FGDH是矩形， ∴FG＝HD＝4， 设OH＝x， ∵CO＝EO， ∴CD＝2OH＝2x， ∴FH＝DG＝2+2x， ∴OF＝2+x， ∴CE＝4+2x， ∵CE2＝CD2+DE2， ∴（4+2x）2＝（2x）2+82， ∴x＝3， ∴⊙O的半径为5． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/31 14:16:58；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$