精品解析：安徽省合肥市第七中学2024-2025学年高二下学期单元练习一数学试卷

合肥七中2024-2025学年度第二学期高二单元练习一数学试卷 命题人：张冠楚 李桢 审题人：葛旻 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BC选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设，， 由复合函数求导法可得，D错. 故选：D. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导可求得，由此可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴，解得， ∴，故 故选：D. 3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的图象，可得时，；时，；时，，由此可得函数的单调性，则答案可求. 【详解】解：函数的图象如图所示， ∴时，；时，；时，. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， ∴有极小值. 故选：B. 4. 已知曲线在点处切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再根据切线与已知直线垂直得到切线斜率，进而列出方程求解切点的横坐标. 【详解】已知，对求导可得. 直线斜率为. 所以满足，即. 可得，得到，解得或. 又因为，所以舍去，得到. 故选：B. 5. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用通项公式表示并化简出已知等式，即可求解结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 即， 所以. 故选：C 6. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，由，可得，则直线与函数的图象有三个公共点，利用导数分析函数的单调性和极值，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】当时，无零点，所以. 由，可得，令，其中， 因为函数有三个零点， 所以直线与函数的图象有三个公共点， ，由，可得或，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 如下图所示： 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有三个公共点， 即有三个零点， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 第二类，三条边用种颜色， 由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色， 先涂有种方法，再涂，，有种方法， 共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故选：B． 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数的取值范围． 【详解】令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为，当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，，因为，， 当直线过点时，则，解得； 当直线过点时，则，解得，且， 结合图象可得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有种 B. 有空盒子的方法共有种 C. 恰有个盒子不放球的方法共有种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确， 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起， 再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AC. 10. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果. 【详解】由得，则，即， 设，由得， 由得， 即函数在单调递增，在单调递减， 即当时，函数取得极小值， 故选：AD. 11. 对于一元三次函数（）图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ） A. 点没有“伴随割点” B. 若点的“伴随割点”为点，则 C. 若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 D. 若的图象与轴的交点分别为，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由得点为一元三次函数的对称中心，再探究曲线在其上任意点P处的切线与曲线公共点只有一个时的解即可判断；对于B，联立曲线方程和在处的切线方程即可求解；对于C，根据点的“伴随割点”为点且两者关于原点对称，结合B选项，求出再代入即可求解判断；对于D，由题意建立曲线三点式且求出，再结合选项B推出，接着构造函数得是一条直线和点，，均在的图象上即可判断. 【详解】对于A选项，由题 ， 又 ， 所以， 故点是一元三次函数的对称中心， 设是曲线（）上任意一点， 则曲线在点P处的切线斜率为， 则切线方程为， 即， 与联立，消去得， 整理得一元三次方程， 则切线与曲线有唯一的公共点一元三次方程有三个相等实数根 ， 所以点P在曲线上， 且该点处切线与的图象无其他交点，故A正确； 对于B选项，因为，故在处的切线为： ， 联立与切线方程并整理得， 由于“伴随割点”的横坐标， 因此，故B正确； 对于C选项，设点的“伴随割点”为点，且两者关于原点对称， 则，又根据B选项， 于是，故C错误； 对于D选项，由于是的图象与轴的交点， 可设， 根据系数的对应关系知， 又由，，分别是，，的“伴随割点”，结合B选项知，. 三式相加得， 于是设 ， 则的图象为一条直线， 又有，，， 即点，，均在的图象上，，，三点共线，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：证明的图象与轴的交点的“伴随割点”，，三点共线的关键是构造函数得是一条直线和点，，均在的图象上. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2=96，a3=16，则S4的值为__________． 【答案】120 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等比数列的求和公式即可直接求解． 【详解】解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q>0， 因为a1+a2=96， 所以， 又a3=a1q2=16， 所以，整理可得：6q2-q-1=0，解得，或（舍去）， 所以a1=64， 所以． 故答案为：120． 13. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】可先对函数求导，再根据函数极值点的性质，结合二次函数的图象与性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 根对求导可得：. 函数在上有且仅有一个极值点，等价于在上有且仅有一个变号根，即在上有且仅有一个变号根. 令， 则在上有且仅有一个变号根等价于. 则，即.可得不等式的解集为. 当时，，的根为和， 其中在内，满足有且仅有一个极值点的条件. 当时，，的根为和， 和不在内，不满足有且仅有一个极值点的条件. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用间接法，对三组人数进行分类讨论，除去甲乙两人在一组的情形，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】利用间接法：将这名大学生分成三组，每组的人数分别为、、或、、或、、，分以下几种情况讨论： 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙所在的一组有人或人， 此时，不同的安排方案种数为. 综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的安排方案种数为种. 故答案为：. 四、解答题（共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【小问1详解】 从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法， 再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法， 【小问2详解】 先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. 【小问3详解】 先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种， 【小问4详解】 甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）求曲线在上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值与导数的关系可得出，求出、的值，再结合导数与函数极值的关系检验即可； （2）分析函数在区间上的单调性，并求出其极大值、极小值以及端点函数值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 因为，则， 因为函数在处取得极值，则， 解得或， 当，时，则恒成立， 此时，函数在上为增函数，不合乎题意； 当，时，， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 此时，函数在处取得极小值，合乎题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 故当时，函数的最大值为，最小值为. 17. 已知正项数列前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式； （2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 当时，由，即，解得：， 所以，则数列为首项为，公差为的等差数列； 所以，则， 当时，， 当时，满足条件， 所以的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 故， 即 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，分与，讨论函数单调区间，在时，根据根的判别式进行分类讨论，最终求出函数的单调区间； （2）参变分离，得到，构造，，求导后，构造，，求导利用隐零点，同构等方法求出，得到实数k的取值范围. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， 当时，恒成立，故， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时， 令， 当，即时，恒成立，故， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当，即时， 此时设的两根为，， 两根均大于0，且， 令得：或， 令得：， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上：当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由于的定义域为， 可只需考虑时，不等式恒成立， 即，化简得：， 令，， 则， 令，， 在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，， 故存在，使得， 即， 设，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，即，， 当时，，， 当时，，， 故时，单调递增，时，单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值， 故， 故，所以实数k的取值范围是 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 19. 设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． （1）若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； （2）已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； （3）已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过二次求导再分离参数即可得到答案； （2）转化为证明，再设，代入即可； （3）设，分和讨论即可. 【小问1详解】 ， 因为函数是定义在上的凹函数， 所以在上单调递减， 设，则恒成立， 所以，，所以． 【小问2详解】 要证， 即证， 因为函数是凹函数， 所以，且， 有， 令，则， 所以， 因此上述不等式得证． 【小问3详解】 对于，都有， 因为，所以， 设，则． ①当时，因为，则，则 ，则单调递减，所以， 因此满足题意． ②当时，令，所以， 所以当时，单调递增， 所以，从而，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行合理地分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥七中2024-2025学年度第二学期高二单元练习一数学试卷 命题人：张冠楚 李桢 审题人：葛旻 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数导函数为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 1或 5. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（ ）种 A. B. C. D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 现有个编号为盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有种 B. 有空盒子的方法共有种 C. 恰有个盒子不放球的方法共有种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 10. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 11. 对于一元三次函数（）图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ） A. 点没有“伴随割点” B. 若点的“伴随割点”为点，则 C. 若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 D. 若图象与轴的交点分别为，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2=96，a3=16，则S4的值为__________． 13. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是______. 14. 党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有______种.（用数字作答） 四、解答题（共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）求曲线在上的最大值和最小值； 17. 已知正项数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列前项和． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 19. 设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． （1）若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； （2）已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； （3）已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$