湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

华中科技大学附属中学 高二3月月考数学试卷 华科附中2023级高二年级下学期三月月考 数 学 试 题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某校高二年级6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 4．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为．已知，若=，，则b的值可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5. 数列满足，且对任意的都有，则下列表述不正确的是（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 数列的第项为5050 6. “四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ） A. 26 B. 28 C. 29 D. 30 7. 已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x +1 ，其中e为自然对数的底数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. -2025 B. -4050 C. 2025 D. 4050 8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”就是其对称中心。已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（    ） A． B．方程有三个根 C．若关于的方程在区间上有两解，则或 D．若函数在区间上有最大值，则 11. 下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法。(用数字作答) 13. 已知数列：1，1+2，1+2+4，1+2+4+8，，依此类推。记数列的前项和为，则 =_____。 14．汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，记至少移动的次数为，例如：，则H（3）= ，H（n）= 。 4、 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 15. （本小题满分13分） 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中系数最大的项。 16.（本小题满分15分） 若函数. （1）若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y= -4x+m，求实数a，m的值； （2）已知，（e为自然对数函数的底数），若f(x)在区间上的最小值为，求实数的值。 17. （本小题满分15分） 东湖高新区为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．    (1)求出关于的函数解析式； (2)当角取何值时，健身广场的面积最大？其最大面积是多少？ 18．（本小题满分17分） 设是等差数列，数列的前项和为，满足2Sn+3=3bn，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围。 19. （本小题满分17分） 已知函数. （1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）当时，讨论方程的根的个数. （3）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华中科技大学附属中学 高二3月月考数学试卷 华科附中2023级高二年级下学期三月月考 数 学 试 题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某校高二年级6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据分步乘法即可. 【详解】对于每个班来说有7种选择，则根据分步乘法有种安排方法， 故选：D. 2. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，进而求解. 【详解】，，所以， 所以. 故选：D 3. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果. 【详解】，， 在点处的切线方程为：， 令得：， . 故选：D. 4．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为．已知，若=，，则b的值可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被4除余3．故选A. 5. 数列满足，且对任意的都有，则下列表述不正确的是（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 数列的第项为5050 【答案】C 【解析】【详解】因为，所以， 又，当时，所以 ， 也满足，故对任意，. 所以数列的第项为，故A正确，D正确； 所以， 所以数列的前项和为，故B正确，C错误．故选：C. 6. “四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ） A. 26 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意列出不同情况，再利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】满足的自然数有四组， 分别是：；；；； 那么有序数组有：个. 故选：C 7. 已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x +1 ，其中e为自然对数的底数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. -2025 B. -4050 C. 2025 D. 4050 【答案】A 【详解】令g(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x ，则的定义域为，又为奇函数，　g′(x)＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2＝x2≥0，∴g(x)在R上是增函数.， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：A 8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解. 【详解】即， 所以，则，所以， 因为，所以， 所以， ， 由得，此时单调递增， 由得或，此时单调递减， 所以时，取得极大值为， 当时，取得极小值， 又因为，，，且时，， 解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得： 则，解得， 所以时，的解集中恰有两个整数， 故实数的取值范围是 故选：C 【点睛】关键点点睛：的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围，属于难题. 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”就是其对称中心。已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（    ） A． B．方程有三个根 C．若关于的方程在区间上有两解，则或 D．若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可. 【详解】对于三次函数，则，， 若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点）， 令，则，所以， 依题意的极大值点和极小值点分别为，且有， 所以的对称中心为， 对于A，由，可得，， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 则的图象如下所示：      由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确； 对于C，又，若关于的方程在区间上有两解， 即与在区间上有两个交点，则，故C错误； 对于D，由， 若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确. 故选：ABD 11. 下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】 【分析】对①构造函数，，利用其单调性即可判断；对②和④分别利用正切函数和余弦函数单调即可比较大小，对③利用函数，的单调性即可. 【详解】【详解】对A，令，则 ， 当e 时，，此时在（0，e）上单调递增， 当e时，，此时在（e，）上单调递减， 所以，，所以，故A正确； 对B，设，，则， 再令，则，， 则在上恒成立，则在上单调递减， 则，则在上恒成立，则在上单调递减， 因为，则，则成立，故B不正确； 对C，由时，所以，令， 当时，，此时在上单调递减， 当 时，，此时在上单调递增， 所以，所以，当时取等号， 所以 ，即， 又，所以，所以，故C正确 对D，令，，， ，则在上恒成立， 则，即，故D正确； 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法。(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可. 【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案, 则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种, 所以一共有种分派方案. 故答案为:. 13. 已知数列：1，1+2，1+2+4，1+2+4+8，，依此类推。记数列的前项和为，则 =_____。 【答案】2n+1-n-2 14．汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，记至少移动的次数为，例如：，则H（3）= ，H（n）= 。 【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次： 若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次； 若有3个圆盘，则移动情况如下： ，共7次，故； 由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则, 所以，而，故为等比数列， 故即. 4、 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 15. （本小题满分13分） 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中系数最大的项。 【答案】(1)证明见解析 (2)第二项和第三项 【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出，然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾. ②假设第r+1项系数最大，根据和，解出的范围，进而可求解. 【详解】（1）证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，， （舍）或. 二项展开式中第项，令， 所以展开式中没有常数项得证. （2）由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得， 又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项 16.（本小题满分15分） 若函数. （1）若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y= -4x+m，求实数a，m的值； （2）已知，（e为自然对数函数的底数），若f(x)在区间上的最小值为，求实数的值。 【详解】（1） ，又，所以． （2）. 当时，.当时，， 所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 于是，解得. 【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题. 17. （本小题满分15分） 东湖高新区为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．    (1)求出关于的函数解析式； (2)当角取何值时，健身广场的面积最大？其最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）借助三角函数将矩形的长与宽，三角形的底与高表示出来，利用面积公式求解面积再相加即可. （2）借助导数研究函数的单调性，求出的最大值，进而得到的最大值即可. 【详解】（1）由已知得， 等腰底边上的高为， 而， ， ，得到. （2）设，则， 令，由，可得，令，可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则时，有， 故，即时，健康广场的面积最大，最大值为. 18．（本小题满分17分） 设是等差数列，数列的前项和为，满足2Sn+3=3bn，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围。 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1），． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 19. （本小题满分17分） 已知函数. （1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）当时，讨论方程的根的个数. （3）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）；（2）.（3）满足条件的两点不存在 【解析】 【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围； （2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零点个数，由此可得出结论. 【详解】（1），定义域为， 由题意知对任意的恒成立， 即，，故. 因此，实数的取值范围是； （2），即，设， 则， 当时，，函数在上单调递增， ，，故函数有唯一零点； 当时，， 令，得或；令，得. 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为， 设，则恒成立， 故函数单调递增，故， 故函数在上无零点. ，， 故函数在上有唯一零点. 综上所述，当时，方程有且仅有一个根. 【小问3详解】 由题意得，斜率 ，, 由得，，即，即 令，不妨设，则，记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件的两点不存在. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$