热点必刷题04 二次函数综合压轴题解答题24题（6类题型54题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

热点必刷题04 二次函数综合压轴题解答题24题 题型一：二次函数与线段周长问题 1 题型二：二次函数与面积问题 17 题型三：二次函数与角度问题 64 题型四：二次函数与特殊三角形问题 103 题型五：二次函数与特殊四边形问题 121 题型六：二次函数与相似三角形问题 149 题型一：二次函数与线段周长问题 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 2．（2023·上海杨浦·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式； （2）令，确定，设点，，则)，根据题意得出一元二次方程求解即可； （3）由（2）得：，确定，利用待定系数法确定直线的解析式分别为：，，再由等腰三角形的判定和性质及一次函数的性质确定点F的坐标，即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线，得 将点代入抛物线，得 ∴抛物线的解析式为：； ∴， ∴顶点的坐标为； （2）解：令得， ∴或 ∴， 设点，，则)，如图所示：    ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）由（2）得：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式分别为：，， 将点代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式分别为：，，    ∴直线与y轴的交点分别为， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F到直线的距离相等，且点F在y轴上， ∴点F为的角平分线及高线，即直线与y轴的交点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数确定函数解析式，线段相等问题及一次函数的性质，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 3．（2023·上海崇明·二模）如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，求m的取值范围； (3)对称轴与直线交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）先求出点M的坐标，进而求出在中，当时，y的值即可得到答案； （3）如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T，证明四边形是平行四边形，推出；再证明，推出此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，设，则，求出，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，解方程即可；如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：抛物线的顶点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 在抛物线对称轴左侧的图象上， ， 将代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 如图，过点作轴于点，交于点，则， 直线，当时，， ， 点与点关于直线对称， ， 抛物线向上平移个单位，点落在内， ，解得， 的取值范围是得； （3）解：如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T， ∵轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合， 设，则， 在中，当时，， ∴， 由平行四边形对角线中点坐标相同可知， 解得或（舍去）， ∴； 如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，二次函数图象的平移等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（2023·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，连接，试问点B关于直线对称的点E是否恰好落在直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点B关于直线对称的点E恰好落在直线上，理由见解析 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可求出直线的解析式为．设点P的坐标为，则，进而可求出，．最后由，可列出关于t的等式，解出t的值，再舍去不合题意的值，即可求出P点坐标； （3）连接，与直线交于点F．根据题意可得出D点和B点坐标，进而可求出直线直线的解析式为，直线的解析式为．设点E的坐标为，由轴对称的性质可得出．再根据点F在直线上，即可求出，即得出，最后即可确定点E是否恰好落在直线上． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． ∵点P是直线上方抛物线上一点， ∴设点P的坐标为，则， ∴， ． ∵， ∴， 解得： ． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点E恰好落在直线上，理由如下： 如图，连接，与直线交于点F． 根据抛物线解析式可知其对称轴为直线， ∴，． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． 设点E的坐标为， ∵点B关于直线对称的点为点E， ∴． ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． ∵对于，当时，， ∴点B关于直线对称的点E恰好落在直线上． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，两点的距离公式等知识，为中考压轴题．正确求出二次函数解析式是解题关键． 题型二：二次函数与面积问题 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3)，， 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式，根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； （3）解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 6．（2023·上海奉贤·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE． ①如果，求四边形的面积； ②如果点E在直线上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①，②或． 【分析】（1）根据对称性求出点B坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）①根据，求出直线解析式，根据平移性质求出点E的坐标，再求四边形面积即可；②根据点E在直线上，求出点E的坐标，利用，得出，求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），点C的坐标为， 根据对称性可知点B坐标为，代入得， ， 解得，， 抛物线解析式为． （2）①解：抛物线的对称轴为直线， 所以顶点A的坐标为，与y轴交于点D的坐标为， 设的解析式为，把A，C代入得， ， 解得， 的解析式为，   因为，点D的坐标为， 所以的解析式为， 将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E， 所以点E的纵坐标为，代入， 解得，，点E的坐标为， 设与x轴交于点G，则点G的坐标为，同时G也是平移后抛物线与x轴的交点， ， ， 四边形的面积为； ②设的解析式为，把D，C代入得， ， 解得， 的解析式为， 点E的纵坐标为，代入， 解得，，点E的坐标为， 当时，， 因为点E的坐标为，点D的坐标为， 所以， 点Q在平移后抛物线的对称轴上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和二次函数平移，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式，根据平移求出平移后的二次函数的顶点坐标． 7．（2023·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3) 【分析】（1）把代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出对称轴； （2）先求出，再根据，推出，则点C和点D关于抛物线对称轴对称，由此利用二次函数的对称形求解即可； （3）设抛物线顶点为M，由（1）可知，则P、M都在直线上，即可得到，即，如图所示，过点A作于N，则，证明，得到，进而求出，得到，由此求出，则． 【详解】（1）解：把代入到中得：， ∴， ∴抛物线表达式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C和点D关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴；    （3）解：设抛物线顶点为M， 由（1）可知， ∵， ∴P、M都在直线上， ∴，即， 如图所示，过点A作于N，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求二次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； (3)若轴交于点E，若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式； （2）如下图，过点C作于点H，先求出点M，N的坐标，从而求得，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解； （3）先证，得，，进而得，利用面积求得，设点E的坐标为，则点，进而有方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式； （2）解：如下图，过点C作于点H，    在抛物线中，令，则， 解得，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设直线为：， ∵过和， ∴， 解得：， ∴直线为：， 令，则，解得， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设点E的坐标为点E的坐标为，则点， ∵轴， ∴， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴点E的坐标为或．    【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键． 9．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； （2）解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 10．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴点， 设点， 设直线的解析式为， 由点、F的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， ①当时，则点F在的中垂线上， 则，即， 解得：(舍去)或5， 则； ②过点D作轴，作，过点F作轴，则，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由得，， ∵的面积是面积的3倍， 则 则∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：(舍去)或4， 当时， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键． 11．（2024·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； ②延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：，   直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ， 和等高， ； ②存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：   ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． 12．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形可能是矩形或者菱形，证明四边形是正方形，即可解答； （3）设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；证明，根据，得到，求出，由点C与点P关于x轴对称，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线得，即可求出结果． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为 （2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形可能是矩形或者菱形， 如图，当四边形是矩形时，， ， ， 四边形是正方形， 点纵坐标为6， 当时，代入， 解得：， 根据题意得：    ， ， 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形； 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：； （3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H； 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C与点P关于x轴对称，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得，即， ， 解得（负值舍去）， 则， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与三角形相似问题，正方形的判定与性质，中心对成图形与轴对称图形的定义，二次函数面积问题、解一元二次方程等知识，属于中考题型． 13．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 14．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 16．（2023·上海长宁·三模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 【分析】（1）把、代入即可得到答案； （2）①先求出的解析式，的解析式，再表示，，结合，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）①由（1）知， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 把直线向上平移个单位，得到：， 当时，，当时，， ∴， 设直线交于点，过点作轴，交于点，设， 同法可得：的解析式为， 则：， 的解析式为， 当时，， ∴点E， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，等腰三角线的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型三：二次函数与角度问题 17．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为． (1)试求这个抛物线的表达式； (2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求； (3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点、，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意作出图形，如图，过点作轴交于点，得出，，进而根据正切的定义即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，求得直线的解析式，设，根据勾股定理求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点、，代入，得 解得： ∴这个抛物线的表达式为； （2）解：∵, 则点， 令，解得：，则, ∴轴， 如图，过点作轴交于点， 则， ∴，， 在中，； （3）解：如图所示， 连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴， 即 ∵,，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 设过点,的直线解析式为， 则 解得： ∴直线的解析式为, 设点， ∵ ∴ 解得：或 ∵点在线段上 ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，角度问题，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键． 18．（2023·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为． ①如果，且新抛物线的顶点在的内部，求的取值范围； ②如果新抛物线经过原点，且，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)①的取值范围是；② 【分析】（1）根据抛物线经过点和点，待定系数法求解析式即可求解； （2）①新抛物线的顶点为，，由得出，待定系数法求解析式得直线的解析式：，根据题意，当时，，新抛物线的顶点在的内部，得出，继而即可求解； ②新抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，由新抛物线经过原点，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点和点， ∴，∴ ∴抛物线的表达式 （2）①新抛物线的顶点为， ∵， ∴ ∵、， 设直线的解析式为， 则 解得： ∴直线的解析式： 当时，，新抛物线的顶点在的内部， ∴ ∴的取值范围是 ②∵新抛物线的顶点为， ∴ ∵新抛物线经过原点， ∴，即 可知点在第一象限， 作于点，则，， ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，平移问题，角度问题，正切的定义，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 19．（2023·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P为抛物线上一点，且在x轴下方，连接当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当平分时，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)抛物线向下平移了个单位 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，如图1，过点P作轴于点D，连接可证得，建立方程求解即可得出答案； （3）如图2，连接过点P作交于点E，过点E作于点F，可证得（AAS），得出：，，即，再利用待定系数法求得直线的解析式为再求得，即可求得抛物线平移的距离． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点和点 ∴ 解得：， ∴该抛物线的表达式为， 当时，， ∴； （2） 设，如图1，过点P作轴于点D，连接则 又 ∵， ∴ ∴，即 解得：（舍去），， 当时， ∴； （3） 如图2，连接过点P作交于点E，过点E作于点F， 由（2）知： ， ∴，，， ∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q， ∴D、P、Q在同一条直线上， 平分 ， 又， 是等腰直角三角形， （AAS）， ，， ， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∵， ∴抛物线向下平移了个单位． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 20．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 21．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可． （2） 过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可． （3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 证明，根据相似三角形的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且， ∴， 解得， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）过点作于点，交右侧的的延长线于点， ∵， ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴ ∴， 设的解析式为，的解析式为 ∴， 解得 ∴的解析式为，的解析式为， ∴， 解得， 故； （3）∵，点, 设抛物线向左平移了个单位，则点， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，直线的表达式为：， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键． 22．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识． （1）点C的坐标为，得到在中，，得到，点A的坐标为，得到，解得； （2）①点B的坐标为，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点为，得到在直线上，得到，解方程即可得到答案；②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，证明，求出直线的解析式为，得到，得到，证明，在中，,设，则则，得到，由得到，则，得到，则点H的坐标是，求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立得到求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 在中，， ∴ ∴点A的坐标为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴； （2）①当时，，解得或， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点P的坐标为； ②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N， ∵，， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得，     ∴直线的解析式为， ∴， ∵，且点D在抛物线对称轴直线上， ∴， ∵ ∴， 在中，, 设，则则， ∴， ∵， ∴，则 ∴， 则点H的坐标是，即， 设直线的解析式为， 则     解得，     ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得到 解得，（不合题意，舍去） 当时， ∴ 24．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则点在上，点D′代入的解析式，即可求解； （3）分情况讨论：当时，列出方程，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线， ∴， 作点D关于直线的对称点，交于点T，    ∵平分， ∴由轴对称的性质可得：， 过点D作x轴的平行线交于点H，连接， ∵，， ∴， 则， 则为等腰直角三角形， 由轴对称的性质可得：为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形，则点在上， 设点， 当，则， ∴， ∴， ∴点， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的表达， 将点代入上式得：， 解得：， 则点； （3）设点， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点，而， ∴，， ， 当时， 则， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； 当或时， 则或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：， 综上，抛物线的表达式为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键． 26．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 题型四：二次函数与特殊三角形问题 27．（2023·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 28．（2024·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． (1)当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式； (2)抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系； (3)以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）是等腰直角三角形，当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线，得出，，然后待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据（1）的方法求得，待定系数法求解析式，进而得出； （3）根据在上得出，根据（2）的结论得出，即，与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点，得出，则，求得，在中勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，是等腰直角三角形， 当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线， 如图所示，过点作轴于点， ∴ ∴， 将代入 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且， ∴是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴ 代入 ∴ 即， ∵抛物线的顶点在第一象限，则 ∴； （3）∵在上 ∴，即， 由（2）可得，即， ∴抛物线解析式为 ∵与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点， 当时，，则，当时，，则， ∴，则是等腰直角三角形，， ∵是等腰直角三角形，则， ∴， 延长交于点，则，连接，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 30．（2024·上海静安·三模）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）求出点，得到，则，则，求出，求出a、b的值，即可得到答案； （3）分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解；当时，抛物线经过点、，把、代入得， 解得 ∴， ∵ ∴顶点 （2）∵抛物线经过点、，点为抛物线顶点． ∴， 把代入得到， 把代入中 得到 即， ， ， ∴，   （3）由题意可知， 仅有和两种情况， 由（2）可知，， 设直线的解析式为，把代入得到，， ∴， ∴， 当时，，解得， ①时，，      ，， （负舍） ②， ，， （负舍） 综上所述，或 31．（2023·上海徐汇·二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、． (1)求抛物线的顶点M的坐标； (2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 【答案】(1)，顶点坐标为：． (2)点E的坐标为； (3)直线的函数表达式为． 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）先求解抛物线与x轴交于，， 可得，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， 求解， 由翻折得， 再利用三角函数可得答案； （3）连接， 证明为等边三角形， 证明， 可得， 设与x轴相交于点K， 可得点K的坐标为．再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与x轴交于点B、． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴顶点坐标为：． （2）如图，令， 解得：，， ∵抛物线与x轴交于，， ∴，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， ∴点F的坐标为，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）连接， ∵， ， 则为等边三角形， ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， 设与x轴相交于点K， ∴． ∴点K的坐标为． 设直线的函数表达式为， 则 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键． 32．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 33．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②． 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为，得到新抛物线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，推出直线与直线重合，得到，由题意得到，利用勾股定理列式计算求得，据此即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，根据被y轴平分，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为， ∵， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵顶点落在线段的延长线上， ∴直线与直线重合， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ， ， 即， 解得， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当时，， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵，且被y轴平分， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴原抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型五：二次函数与特殊四边形问题 34．（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】(1) (2)点P的坐标是 (3) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，由点P是的外接圆的圆心得到点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是．设点P坐标为，由，求出，即可得到点P的坐标； （3）先说明点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，解得（负值已舍），得到点M坐标是，点N坐标是，利用两点间距离公式即可得到线段的长． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵点P是的外接圆的圆心． ∴点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上． ∴点P横坐标是． 设点P坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴．点P的坐标是． （3）∵点O是中点，即O是平行四边形对角线交点， 又∵四边形是平行四边形， ∴点，N关于原点对称． 设点M的横坐标为m（）， 则点M坐标是，点N坐标是， 把点坐标代入， 得， 解得（负值已舍）， 当时，， ∴点M坐标是，点N坐标是， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． 35．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点作于点，则，得到，即可求解； （3）由题意得，是菱形的对角线，则由中点坐标公式和，列出方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，则，即点， 由一次函数的表达式知，，即点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得：或，即点， 过点作于点， 由点、的坐标知，，， 则，     ∴， 则； （3）解：设点且，点， 由题意得，是菱形的对角线，则由中点坐标公式和得： ， 解得：， 则点的坐标为：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点问题、一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数的解析式、菱形的性质、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 36．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线的“不动点”的坐标； ②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线开口向上，顶点的坐标为 (2)①与；②新抛物线的表达式为 【分析】（1）由，故该抛物线开口向上，将抛物线的解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标； （2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，解出方程即可求解； ②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为，与轴的交点为，由四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线开口向上， 又 ∵， ∴顶点的坐标为． ∴这条抛物线开口向上，顶点的坐标为． （2）①设抛物线“不动点”坐标为， ∴， 解得：，， ∴抛物线的“不动点”的坐标为与； ②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形， ∴，与不平行， ∵新抛物线顶点为“不动点”，则设点， ∴新抛物线的对称轴为：，与轴的交点， 又∵点，点， ∴， ∴， ∴新抛物线是由抛物线向左平移个单位得到的，表达式为：． ∴新抛物线的表达式为． 【点睛】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键． 37．（2023·上海浦东新·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）连接，求出，再求出直线的表达式为：，根据抛物线的对称轴为直线，求出，根据两点之间的距离公式得出，即，最后根据求解即可． （3）求出，设点，点，求出中点坐标：，中点坐标：，根据平行四边形对角线互相平分得出，求出，得出点Q的坐标，即可得出平移后的表达式． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的表达式为：； （2）解：连接， 把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴把代入得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵平移后的抛物线顶点Q在原抛物线上， ∴设点， ∵点E在y轴上， ∴设点， ∵， ∴中点坐标：，中点坐标：， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：． ∴， ∴平移后的函数表达式为：， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的特征，解直角三角形的方法． 38．（2022·上海·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； (3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，设直线与交于点，分别用含的式子表示出的坐标，利用直线将四边形的面积平分，得到列式求解即可； （3）分，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、、三点， 设：， 则：， 解得：， ∴， ∴对称轴为：； （2）解：∵， 当时：； ∴， ∴， ∵、、 ∴，，， ∵直线与线段交于点，且平分四边形的面积， ∴直线与线段相交，设交点为， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， 即：， ∴，即：， 解得：； （3）解：①当时，点在线段上，此时：； ②当时，设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 当时，， ∴ ③当时，设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 当时，， ∴ 综上：点、、、为顶点的四边形是梯形时，的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 39．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质， （1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可； （2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题； （3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为， 当，代入，得， ， 抛物线表达式为， 抛物线的“轮换抛物线”为表达式为； （2）解：抛物线：， 当时，，即与y轴交点为， 抛物线：的“轮换抛物线”为， 抛物线表达式为， 同理抛物线与y轴交点为， 抛物线对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的对称轴与直线交点， 点在点的上方， ， 解得：， ， 四边形为平行四边形， ，即， 解得：， ； （3）解：由（2）知 ：，：，，，，， 点在抛物线上， 即， 如图， 点关于对称， ， 又平行于y轴， ， ， 和相似， 有两种可能： 情形1：， ， ，， ， 解得：（符合题意）； 情形2：， ， ，， ， 解得：（符合题意）或（符合题意）， 综上，当与相似时，的值为或或． 40．（2022·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4． (1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标； (3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小． 【答案】(1)；D（1，4）； (2)E（0，3）； (3)． 【分析】（1）先求出抛物线对称轴，再根据AB= 4求出点B坐标，再代入函数关系式求出m的值，再求出顶点坐标； （2）连接DG交EF于点Q，先证明四边形DEGF是菱形，设E（n，-n2+ 2n + 3）， 再根据四边形DEGF是正方形得到EQ = DQ，据此求出n的值，得到点E的坐标； （3）连接AC，过点H作HM⊥x轴于M，先求出AC的长，得到∠ABC = 45°，求出直线AC与直线BD的函数关系式，再联立方程组求出点H的坐标，再求出AH的长，得到，从而证得，可得结果． 【详解】（1）∵抛物线为的对称轴为直线，AB= 4， ∴A（-1，0），B（3，0）， ∴把B（3，0）代入得， 9m-6m +3 = 0， 解得：m=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x +3； ∵抛物线为， ∴顶点D（1，4）； （2）如图1，连接DG交EF于点Q， ∵D（1，4），D与G关于EF对称， ∴EF垂直平分DG， ∴DE = EC，DF = FG， ∵EF//c轴，DG⊥x轴，点E、F关于直线DG对称， ∴DE = DF，线段DG在抛物线的对称轴上， ∴DE = DF= FG = EG， ∴四边形DEGF是菱形； 设E（n，-n2+ 2n + 3）， ∴EQ = 1-n，DQ =4-（-n2 + 2n + 3）=n2- 2n+1， 又∵四边形DEGF是正方形， ∴EQ = DQ， 即， 解得n = 0或n = 1（舍去）， ∴．E（0，3）； （3）如图2，连接AC，过点H作HM⊥x轴于M， ∵抛物线为y =-x2 + 2x + 3， ∴C（0，3）， ∵A（-1，0），B（3，0）， ∴AO = 1，AB = 4，OC = 3，OB = 3， ∴ ∴OB = OC， ∴∠ABC = 45°， 设直线AC的解析式为y=rx +3（r≠ 0）， 则0=-r+ 3， ∴r = 3， ∴直线AC的解析式为y= 3x+3， 设直线BD的解析式为y =ka +b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线BD的解析式为y=-2x +6， 解方程组， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质及判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想的运用是解题的关键． 41．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型六：二次函数与相似三角形问题 42．（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （３）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，是公共角， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 43．（2022·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 【答案】(1) (2)相离,见解析 (3)P 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据题意求得的坐标，计算的半径以及的长，即可判断⊙A和⊙C的位置关系； （3）根据抛物线的性质，以及的位置可得当且仅当时，△BAC与△AOC相似，分情况讨论，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列出比例式，根据的坐标可得，联立解方程求得，的值，进而求得抛物线解析式，即可求得顶点的坐标 【详解】（1）解：∵A（3，0），B的坐标为（﹣5，0），代入y＝﹣x2+2bx+c 解得 ∴抛物线的解析式为： （2）由，令，解得，即 的半径为,的半径为 ⊙A和⊙C的位置关系；相离 （3）解： ，对称轴为 在抛物线上，则 令，即 解得 点A在点B的右侧 , ∵△BAC与△AOC相似，而是直角三角形， 又在轴上，在轴上，且在轴负半轴， ∴当且仅当时，△BAC与△AOC相似 ①当时， 则或 解得或无解 ②当时， 则或 以上两个方程都无解 综上所述， 当时， 抛物线解析式为，此时顶点坐标为 当时，，不合题意，舍去 综上所述，顶点P坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合，圆与圆的位置关系，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 44．（2022·上海崇明·二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物的解析式； (2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度： (3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)N的坐标是 【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可； （2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可； （3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可． 【详解】（1）由题意得： 解得：   ∴所求的抛物线的解析式是： （2）由题意得：， ∴直线BC的解析式为： ∴， ∴ 设，则 当以C、E、F为顶点的三角形与相似时， ①若，则， ∴或 （舍去） ∴ ②若，则， ∴或 （舍去） ∴ （3） ∵是由沿直线CE翻折而得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则 ∵， 解得：或 （舍去）    ∴ ∴ ∴N的坐标是 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解． 45．（2023·上海徐汇·一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）将，代入，即可求解． （2）设，过点D作x轴垂线交于点N，可证明，则，将D点代入抛物线解析式得，求得或． （3）分当和时，两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，， ∴． （2）解：设， 如图，过点D作x轴垂线交于点N， ∵， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得或， ∴或． （3）解：∵， ∴是直角三角形，且， ∵以点B、Q、C为顶点的三角形与相似， ∴也是直角三角形， 显然， 当时，此时，如图， ∵抛物线的对称轴为， ∴点C的横坐标为1， ∴点P的坐标为； 当时，此时，如图，设与x轴交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点C的横坐标为， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 46．（2023·上海浦东新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为：或． 【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可； （2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案； （3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当，则，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 设抛物线为，把代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，，即， ∴． （3）如图，过作于， ∵，，， ∴，，，， ∴，则， ∴，而， ∴， 而， ∴， ∴， 当和相似时，显然与对称轴没有交点， ∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角， 当时， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上：P的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键． 47．（2023·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 【答案】(1)，点 (2)①点 ，，②点， 【分析】（1）把代入，求出，求出抛物线的对称轴，在用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标． （2）①设，证明，得到，利用勾股定理得出，，的长，列方程求，可求的坐标． ②连接，求出，的纵坐标为，在代入二次函数解析式求横坐标． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ， 解得， ，抛物线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）①如图，设，    ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， （不合题意舍去），． 点的坐标为，； ②连接．    ，， ， ， 直线垂直平分， ，， ． ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ，不合题意舍去．． 所以点的坐标为，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和应用，待定系数法求一次函式的解析式，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，关键是二次函数和三角形知识的综合运用． 48．（2023·上海浦东新·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程即可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； （3）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 49．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 50．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键. （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可；②过点作轴于点，则，代入就计算即可. 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图，过点作轴于点， 则， 即， 解得： (不合题意的值已舍去)． 51．（2023·上海青浦·一模）已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)求的余弦值； (3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；顶点的坐标为 (2)的余弦值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线经过，两点列出的二元一次方程组，求出的值即可，再将抛物线解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标； （2）令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，先分别求出的长，再根据等面积法求出的长，再用勾股定理求出的长，即可求出的值； （3）与相似，分和,利用相似三角形的性质以及股股定理知识点求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线解析式为：， ， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，抛物线对称轴为直线， 令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，如图， ，，， ， ， ， ， ， 在Rt中， ； （3）解：，和相似， 当时，如图所示， 此时MN平行x轴， ，， 点在抛物线上， 当时，， 的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，， 点坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将点的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为：， 设坐标为，代入上述解析式中得：, ； 当 时，如图所示， ， 。 ， ， 设坐标为， ， 或， 在第二象限， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数值的定义，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类讨论思想解决问题，此题有一定难度． 52．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 53．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)已知点坐标，点为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，以为圆心，为半径画圆交轴于，两点（在左侧），求弦长； (3)在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据题意，可设该抛物线解析为，将点代入并求得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，连接，设，易得，再根据垂径定理以及勾股定理可得求解即可； （3）设，则，由，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可设该抛物线解析为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析为； （2）如下图，过点作轴于点，连接， 设，则有， ∵， ∴， ∵以为圆心，为半径画圆交轴于，两点， ∴， ∵轴， ∴， ∴； （3）如下图， 由（2）可知，， ∵，， ∴，， 设，则， 若， 则有，即， 解得（舍去），， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，结合题意正确作出图形，并熟练运用相关知识是解题关键． 54．（2025·上海·模拟预测）抛物线与轴交于点，顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出抛物线与轴交点； (2)抛物线与轴交于点，，且点在点左侧．点在抛物线上且满足．点是射线上的一动点，连接，． ⅰ．求当最小时直线的解析式； ⅱ．若与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)i：；ii：点的坐标为或 【分析】（1）根据题意可设抛物线的顶点式为，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，令，求出值，可得到抛物线与轴交点； （2）ⅰ．作关于直线的对称点，连接，，由，，可推出，根据对称的性质可得轴，得到，由对称得， 则，当、、三点共线时，最小，连接，过点作，交的延长线于点，设，则，推出，，证明，根据相似三角形的性质得到关于的等式，可求出点的坐标，最后利用待定系数法可求直线的解析式；ⅱ．由勾股定理的逆定理可得，分别求出直线、、的解析式，分两种情况：①当时，，②当时，，求出直线的解析式，再与直线的解析式联立，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式为，将点得： ， 解得：， 求抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，， 该抛物线与轴交点为，； （2）ⅰ．作关于直线的对称点，连接，， ，， ， ， ，即轴， ，， ， ， 由对称得：， ，当、、三点共线时，最小， 连接，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； ⅱ．，，， ，，， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 与相似，， 分两种情况： ①当时，， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得： 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； ②当时， , ， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：, 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，线段最短问题，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题04 二次函数综合压轴题解答题24题 题型一：二次函数与线段周长问题 1 题型二：二次函数与面积问题 5 题型三：二次函数与角度问题 16 题型四：二次函数与特殊三角形问题 26 题型五：二次函数与特殊四边形问题 30 题型六：二次函数与相似三角形问题 38 题型一：二次函数与线段周长问题 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 2．（2023·上海杨浦·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 3．（2023·上海崇明·二模）如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，求m的取值范围； (3)对称轴与直线交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当时，求点Q的坐标． 4．（2023·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，连接，试问点B关于直线对称的点E是否恰好落在直线上？请说明理由． 题型二：二次函数与面积问题 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 6．（2023·上海奉贤·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE． ①如果，求四边形的面积； ②如果点E在直线上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点Q的坐标． 7．（2023·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 8．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； (3)若轴交于点E，若，求点E的坐标． 9．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 10．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 11．（2024·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 13．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 14．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 15．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 16．（2023·上海长宁·三模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 题型三：二次函数与角度问题 17．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为． (1)试求这个抛物线的表达式； (2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求； (3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标． 18．（2023·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为． ①如果，且新抛物线的顶点在的内部，求的取值范围； ②如果新抛物线经过原点，且，求点的坐标． 19．（2023·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P为抛物线上一点，且在x轴下方，连接当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当平分时，求抛物线平移的距离． 20．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 21．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 22．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 23．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 24．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 25．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 26．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 题型四：二次函数与特殊三角形问题 27．（2023·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 28．（2024·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． (1)当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式； (2)抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系； (3)以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长． 29．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 30．（2024·上海静安·三模）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 31．（2023·上海徐汇·二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、． (1)求抛物线的顶点M的坐标； (2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 32．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 33．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 题型五：二次函数与特殊四边形问题 34．（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 35．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 36．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线的“不动点”的坐标； ②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式． 37．（2023·上海浦东新·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 38．（2022·上海·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； (3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 39．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 40．（2022·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4． (1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标； (3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小． 41．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 题型六：二次函数与相似三角形问题 42．（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 43．（2022·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 44．（2022·上海崇明·二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物的解析式； (2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度： (3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标． 45．（2023·上海徐汇·一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 46．（2023·上海浦东新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 47．（2023·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 48．（2023·上海浦东新·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 49．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 50．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 51．（2023·上海青浦·一模）已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)求的余弦值； (3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标． 52．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 53．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)已知点坐标，点为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，以为圆心，为半径画圆交轴于，两点（在左侧），求弦长； (3)在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 54．（2025·上海·模拟预测）抛物线与轴交于点，顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出抛物线与轴交点； (2)抛物线与轴交于点，，且点在点左侧．点在抛物线上且满足．点是射线上的一动点，连接，． ⅰ．求当最小时直线的解析式； ⅱ．若与相似，求点的坐标． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$