猜押01 上海高考1～6题（填空题）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押01 上海高考1~6题（填空题） 考点 3年考题 考情分析 集合 2022年~2024年 考查方向集合相等，集合的包含关系判断及应用，交集、补集及其运算连考三年。 不等式 2022年~2024年 考查方向分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式 函数 2022年~2024年 考查函数值域和二倍角三角函数，三角函数周期性和两角和与差三角函数，分段函数、函数奇偶性 数列 2023年 2023年考查等比数列的前n项和 平面向量 2023年、2024年 考查平面向量的数量积运算和平面向量的坐标运算 二项式定理 2022年~2024年 考查二项式系数和及通项公式、二项式定理的应用 题型一 集合 1．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 2．（2024·上海·一模）已知集合，则 ． 3．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 4．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 5．（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 6．（2024·上海·模拟预测）设全集，集合，则 ． 7．（2024·上海浦东新·三模）已知全集，集合，则 . 8．（2023·上海闵行·三模）已知，则 . 9．（2023·上海嘉定·三模）已知集合，集合，若，则 . 10．（2023·上海杨浦·模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数 . 11．（2023·上海黄浦·三模）已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为 ． 12．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 13．（2023·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 14．（2023·上海普陀·一模）设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为 . 15．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 16．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 17．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 18．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 19．（2023·上海徐汇·三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 . 20．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 题型二 不等式 1．（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 2．（2024·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 3．（2024·上海·模拟预测）已知则不等式的解集为 ． 4．（2024·上海闵行·一模）不等式的解集为 ． 5．（2024·上海闵行·一模）已知正实数、满足，则的最小值为 ． 6．（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 7．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 8．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 9．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 10．（2024·上海·模拟预测）已知，求的的取值范围 . 11．（2024·上海静安·一模）若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 . 12．（2024·上海长宁·二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要 平方米铁皮 13．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 14．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 15．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 16．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 17．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 18．（2024·上海普陀·一模）设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是 . 19．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 20．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 题型三：函数 1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 2．（2024·上海奉贤·三模）若，则 ．（结果用的代数式表示） 3．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ． 4．（2024·上海·模拟预测）已知则 ． 5．（2024·上海·模拟预测）已知，，且是奇函数，则 ． 6．（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ． 7．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 ． 8．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 9．（2024·上海虹口·一模）已知，则的解集是 ． 10．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 11．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 12．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 题型四 数列 1．（2024·上海·一模）等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 ． 2．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 3．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 4．（2024·上海崇明·二模）若等差数列的首项，前5项和，则 ． 5．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 6．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 . 7．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 8．（2025·上海·模拟预测）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ． 9．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    10．（2024·上海宝山·二模）某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    11．（2024·上海·三模）已知数列的通项公式为，数列满足，则 12．（2024·上海普陀·二模）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则 . 13．（2024·上海·三模）已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ． 15．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 16．（2024·上海·三模）已知数列共有5项，且满足：①，；②；③，．则满足条件的数列共有 个 17．（2024·上海·模拟预测），任意，满足，求有序数列有 对. 18．（2024·上海普陀·模拟预测）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则 . 19．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 20．（2024·上海黄浦·二模）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 . 21．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 22．（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 23．（2024·上海·模拟预测）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 24．（2024·上海·三模）设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 题型五 平面向量 1．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 2．（2024·上海青浦·二模）已知向量，，则 ． 3．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 4．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    5．（2024·上海奉贤·三模）中，，若在上的投影为．则 ． 6．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 7．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 9．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 10．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 11．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 12．（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 题型六 二项式定理 1．（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ． 2．（2024·上海崇明·二模）若的二项式展开式中的系数为10，则 ． 3．（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 . 4．（2024·上海·三模）若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ． 5．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 6．（2024·上海徐汇·一模）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 7．（2024·上海黄浦·二模）若的展开式中的系数是，则实数 . 8．（2024·上海·三模）若，则 9．（2024·上海浦东新·三模）若，则的值为 . 10．（2024·上海·模拟预测）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 11．（2024·上海青浦·一模）的展开式中， 项的系数为 . 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押01 上海高考1~6题（填空题） 考点 3年考题 考情分析 集合 2022年~2024年 考查方向集合相等，集合的包含关系判断及应用，交集、补集及其运算连考三年。 不等式 2022年~2024年 考查方向分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式 函数 2022年~2024年 考查函数值域和二倍角三角函数，三角函数周期性和两角和与差三角函数，分段函数、函数奇偶性 数列 2023年 2023年考查等比数列的前n项和 平面向量 2023年、2024年 考查平面向量的数量积运算和平面向量的坐标运算 二项式定理 2022年~2024年 考查二项式系数和及通项公式、二项式定理的应用 题型一 集合 1．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 2．（2024·上海·一模）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合，则. 故答案为： 3．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 4．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 5．（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【答案】; 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 6．（2024·上海·模拟预测）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 7．（2024·上海浦东新·三模）已知全集，集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，然后结合集合的补集运算即可求解. 【详解】,， 则. 故答案为：. 8．（2023·上海闵行·三模）已知，则 . 【答案】3 【分析】由二次方程的根只有一个，则，且根为1，代入即可求解. 【详解】因为，所以二次方程有两个相等的实数根， 则①， 且方程的根为1，所以②， 联立①②解得： 所以 故答案为：. 9．（2023·上海嘉定·三模）已知集合，集合，若，则 . 【答案】 【分析】由交集定义分类讨论可得答案. 【详解】因为集合，，则，所以或， 则或或， 当时，集合，集合，此时，符合题意； 当时，集合，集合，此时，不合题意； 当时，集合，集合，此时，不合题意； 所以. 故答案为： 10．（2023·上海杨浦·模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数 . 【答案】1 【分析】依题意可得，解得，再检验即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： 11．（2023·上海黄浦·三模）已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为 ． 【答案】存在不满足性质p. 【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果. 【详解】陈述句是全称量词命题，故其否定形式是： 存在不满足性质p. 故答案为：存在不满足性质p. 12．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充要 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性：因为， 所以共面， 又因为为两个不同的平面，， 所以， 所以，故充分性成立； 必要性：因为，所以， 又因为，所以，故必要性成立， 所以是的充要条件. 故答案为：充要. 13．（2023·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 14．（2023·上海普陀·一模）设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】，则，解得， 若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素， 因为为正实数，则，， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 15．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 16．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 【答案】（或,答案不唯一） 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【详解】，，成等差数列， 则，即，解得或， 故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或． 故答案为：（或,答案不唯一） 17．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 18．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 19．（2023·上海徐汇·三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 . 【答案】643 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答. 【详解】，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图：    观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法； 当与图像有两个公共点时，相应的有种取法； 当与图像有三个公共点时，相应的有种取法， 直线与函数图象的交点个数可能的取值如下： ， 对应的函数个数为， . 所以集合中元素之和为643. 故答案为：643 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 20．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 题型二 不等式 1．（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】解含绝对值的不等式可得解集. 【详解】由. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 2．（2024·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 3．（2024·上海·模拟预测）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 4．（2024·上海闵行·一模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可. 【详解】不等式等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（2024·上海闵行·一模）已知正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】正实数、满足，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 6．（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论去绝对值求解. 【详解】由， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为. 所以实数的的取值范围为. 故答案为：. 7．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 8．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 9．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 10．（2024·上海·模拟预测）已知，求的的取值范围 . 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 11．（2024·上海静安·一模）若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 . 【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式） 【分析】根据给定的信息，取正数，作差变形推导即可得解. 【详解】取正数，则，当且仅当时取等号， 因此，即， 于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”. 显然，取. 故答案为： 12．（2024·上海长宁·二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要 平方米铁皮 【答案】 【分析】由柱体的体积公式可得，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可. 【详解】设圆柱形容器的底面半径为，高为， 所以圆柱形容器的体积为，所以， 所以圆柱形容器的表面积为：, 当且仅当，又，即时等号成立， 故至少需要平方米铁皮. 故答案为：. 13．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 14．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 15．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 【答案】8 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 16．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 17．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 18．（2024·上海普陀·一模）设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，结合已知条件分析得出，由绝对值三角不等式分析得出，令，分析其奇偶性，可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，令，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，其中，则恒成立， 所以函数在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示：    由结合图可知，，由，可得， 对任意的，， 所以，故，即， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即，即， 令，其中，则， 则不满足， 则， 所以函数为偶函数， 所以当时，由可得，可得， 令，其中，则函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，则, 由题意可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，如下图所示：    所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析函数的单调性以及得出，然后再求解不等式整数解的个数时，利用图象能够清晰地将不等关系利用图形的形式呈现得更为具体、直观. 19．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 20．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，即，设为方程的两个根，且，分、两种情况进行讨论，从而可得以及实数a的取值范围，则的范围可求. 【详解】作出函数的图像，如图所示，    有，， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 由于，则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最大值为， 当时，，此时， 即； 故答案为：. 题型三：函数 1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 2．（2024·上海奉贤·三模）若，则 ．（结果用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质化简即可. 【详解】. 故答案为：. 3．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 4．（2024·上海·模拟预测）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 5．（2024·上海·模拟预测）已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求参数. 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 6．（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 ． 【答案】6 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 8．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 9．（2024·上海虹口·一模）已知，则的解集是 ． 【答案】 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 10．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案. 【详解】若，即时，，可得； 若，即时，，可得，不符合前提； 综上，的取值范围为. 故答案为： 11．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 12．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值. 【详解】令，则由题意为奇函数， 所以当时，， 此时， 故，所以. 故答案为：. 题型四 数列 1．（2024·上海·一模）等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得. 【详解】依题意，，或， 则，或， 所以首项的取值范围为. 故答案为： 2．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 3．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和的概念计算即可得解. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：4 4．（2024·上海崇明·二模）若等差数列的首项，前5项和，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为等差数列的首项，前5项和， 由等差数列的求和公式，可得，解得. 故答案为：. 5．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 【答案】 【分析】利用给定条件，求出等比数列的公比，再写出通项公式. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，得， 则，解得， 所以. 故答案为： 6．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出方程求得，得到且，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】由等差数列的公差为2，前项和为，若， 可得，解得， 所以，且， 因为，即，整理得，解得， 因为，所以使得成立的的最大值为. 故答案为：. 7．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 【答案】210 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 8．（2025·上海·模拟预测）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ． 【答案】 【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 9．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    【答案】134 【分析】由题设信息，第一层有根，共有层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解. 【详解】设第一层有根，共有层，则， ，显然和中一个奇数一个偶数， 则或或，即或或， 显然每增加一层高度增加厘米， 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米，超过米， 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根. 故答案为：134 10．（2024·上海宝山·二模）某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    【答案】 【分析】依题意，，，得到是以为首项，以为公差的等差数列，求出与比较得到答案. 【详解】因为在中， ，，    所以，， 故， 故是以为首项，以为公差的等差数列， 故， 而，， 故. 所以至少需要次才能将整个警戒区域扫描完毕. 故答案为：. 11．（2024·上海·三模）已知数列的通项公式为，数列满足，则 【答案】/ 【分析】由已知可得，计算即可. 【详解】因为，， 所以， ， . 故答案为：. 12．（2024·上海普陀·二模）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则 . 【答案】7 【分析】根据数列递推式求出的通项，从而可得，进而可得，根据，即可求出． 【详解】当，故， 当时，，故， 因为，故，所以，则， 当时，， 设数列，易知， 必有1024，512，256，128，64，32，8,这7个数前面的系数为1，其余系数都是0， 故． 故答案为：7． 13．（2024·上海·三模）已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 【答案】4 【分析】根据向量法，当时，与渐近线平行，且在轴的投影为2，渐近线倾斜角为，则，即可求出. 【详解】作出示意图如图所示： 当时，与渐近线平行，在轴的投影为2， 不妨取渐近线，令其倾斜角为，则， 所以，所以. 故答案为：4. 14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ． 【答案】 【分析】先求出新数列的公差，再结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】等差数列2，6，10，…，202中，公差；等差数列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍数为， 所以新数列的公差，首项，所以， 令，解得，故新数列共有项， 所以新数列的各项之和为， 故答案为： 15．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 16．（2024·上海·三模）已知数列共有5项，且满足：①，；②；③，．则满足条件的数列共有 个 【答案】80 【分析】根据，得到，进而得到、、可能的取值，再分类讨论的值即可. 【详解】因为，， 所以，又， 所以，，， 所以，，， 又因为，，， 所以， ， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 时，有种选法，有种选法，一共有种选法， 所以满足条件的数列共有个. 故答案为：80. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数、数列、计数原理综合，综合性很强，关键在于找到、、所要满足的条件，再找到合适的角度进行分类讨论. 17．（2024·上海·模拟预测），任意，满足，求有序数列有 对. 【答案】48 【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案. 18．（2024·上海普陀·模拟预测）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则 . 【答案】 【分析】根据导数可得为单调递增函数，根据零点存在性定理找到方程的实数根的取值范围，代入，即可得出通项公式，由等差数列求和公式即可求出答案. 【详解】令，则，函数单调递增， 因为，故方程存在唯一的实数根， 又时, ， 所以， 因此可得：，所以， 因为，其中表示不超过实数的最大整数， 所以， 结合等差数列求和公式可得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据零点存在性定理找到方程的实数根取值范围，得到，再由题意得到. 19．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 20．（2024·上海黄浦·二模）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 . 【答案】21 【分析】不妨设数列的公差大于零，不妨取，则，设，再分和两种情况讨论，可得出的值，再讨论，即可求出，即可得解. 【详解】不妨设数列的公差大于零， 由于，得， 且时，，时，， 不妨取，则， 设， 若，则，此时式子取不了最大值； 若，则， 又时，， 因为，此时式子取不了最大值； 因此这就说明必成立. 若，则， 这也就说明不成立，因此， 所以. 故答案为：. 21．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 22．（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】144 【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足，， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列的个数为， 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：144 【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键. 23．（2024·上海·模拟预测）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 24．（2024·上海·三模）设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由正弦函数的性质确定t的可能取值，按照t的取值分类讨论，即可求解. 【详解】由函数的性质可得，若原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列， 可得或， 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最大值点， 所以，所以，该方程无解； 同理当时，也不合题意； 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最零点， 所以，所以； 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列，确定t的可能取值； （2）按照t的取值分类讨论，根据正弦函数的图象与性质，结合区间长度的关系得出满足的条件； （3）解方程组即可求解. 题型五 平面向量 1．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 2．（2024·上海青浦·二模）已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可. 【详解】由向量的夹角公式得，又因为， 所以. 故答案为：. 3．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 【答案】4 【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可. 【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 故答案为：4. 4．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    【答案】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（2024·上海奉贤·三模）中，，若在上的投影为．则 ． 【答案】 【分析】作，根据题意，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点， 因为向量在上的投影为，可得，所以， 又因为，则. 故答案为：.    6．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 7．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得向量、是夹角等于的单位向量，因此给出点、的坐标，设，将表示为关于的三角函数表达式，利用辅助角与正弦函数的图象与性质，算出的最大值，进而求出实数的取值范围． 【详解】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 8．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 9．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 10．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 11．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）． 12．（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可. 【详解】设方程表示的区域为， 用代换方程不变，可知区域关于y轴对称； 用代换方程不变，可知区域关于x轴对称； 当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示， 取， 可知区域为正方形及其内部， 设，点均在区域内， 因为，，即，， 可知点在线段上， 又因为，记为过点的线段的长度的最大值， 若求，不妨假设点在正方形的边界上， 若，即， 可知的最大值为的最小值， 取的中点分别为，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：1.根据题意分析集合表示的平面区域； 2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义. 题型六 二项式定理 1．（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以， 则. 故答案为：40 2．（2024·上海崇明·二模）若的二项式展开式中的系数为10，则 ． 【答案】1 【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得. 【详解】由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得. 故答案为：1. 3．（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 . 【答案】45 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得， 即含项的系数为45. 故答案为：45 4．（2024·上海·三模）若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得，可求得，可求项的系数. 【详解】的展开式为， 因为二项展开式中第项与第项的系数相等， 所以，所以， 令，解得， 所以该展开式中的系数为. 故答案为：6. 5．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】5 【分析】写出展开式的通项，令的指数为即可； 【详解】由题意可知：，令，所以常数项为. 故答案为： 6．（2024·上海徐汇·一模）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 【答案】5 【分析】令，解出即可. 【详解】因为，且各项系数和为32， 令，则，解得， 所以正整数的值为5. 故答案为：5. 7．（2024·上海黄浦·二模）若的展开式中的系数是，则实数 . 【答案】 【分析】根据通项公式得到，求出，从而得到方程，求出. 【详解】通项公式为， 令，解得， 故，解得. 故答案为： 8．（2024·上海·三模）若，则 【答案】 【分析】直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果． 【详解】根据的展开式，，1，2，，； 当时，； 当时，， 令时，， 所以， 故． 故答案为：． 9．（2024·上海浦东新·三模）若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】根据题意，， 令，得， 令，得， 所以. 故答案为：. 10．（2024·上海·模拟预测）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】10 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 11．（2024·上海青浦·一模）的展开式中， 项的系数为 . 【答案】 【分析】写出展开式的通项，利用通项求出项的系数. 【详解】展开式的通项为，， 所以含的项为，即项的系数为. 故答案为： 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$