第二章 相交线与平行线 压轴题练习 2024-2025学年 北师大版 数学 七年级下册

第二章 相交线与平行线 压轴题练习 2024-2025学年 北师大版 数学 七年级下册 一．试题（共20小题） 1．综合与实践：【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝∠DAC 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180° ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，在图2的情况下求∠B﹣∠C的度数； 【拓展探究】（3）如图3所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC＝36°，在图3的情况下求∠BEC的度数． 2．（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP； （2）变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数． 3．实践与探究 学习了平行线后，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：①﹣②﹣③﹣④． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕PQ与直线AB的位置关系是 　 　 ；如图④，∠1＝∠2＝　 　 °，则AB与CD的位置关系为 　 　 ，依据是 　 　 ． （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从PD开始绕点P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时针旋转至QB后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是1°/秒、3°/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如图⑤的位置，用含t的式子表示∠DPN＝　 　 ； （3）在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达PC之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？请直接写出结果． 4．在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动． （1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 　 　 （不用证明）； （2）如图②，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°．若∠1＝2∠2，求∠1的度数； （3）在图①的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．求∠MFN的度数． 5．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°． （1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　 ． （2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧． ①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　 ． ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 6．【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． （1）【知识初探】 如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G． ①若∠AEF＝40°，求∠A′GC的度数． ②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝　 　 （用含α的式子表示）． （2）【类比再探】 如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？说明理由． （3）【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点C′作AB的平行线MN，直接写出∠A′GC和∠B′C′N的数量关系． 7．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 9．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　 　 ． （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE． （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 10．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　 　 °； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 11．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 12．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）观察与思考：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为　 　 ，不必说明理由； （2）猜想与证明：如图2，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）拓展与应用：如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N，已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°．利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为　 　 度，∠A比∠F大　 　 度． 13．AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）如图1，求证：∠EPG＝∠BEP+∠PGD； （2）如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE＝110°，∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°．求∠BEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由． 14．如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF． （1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE； （2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系． 15．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　 　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 16．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 17．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　 　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 18．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN． （1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）； （2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由． 19．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 20．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G． （1）若∠AMN＝70°，则∠MNG＝　 　 ； （2）求证：EM∥NG； （3）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG＝∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数． 第二章 相交线与平行线 压轴题练习 2024-2025学年 北师大版 数学 七年级下册 参考答案与试题解析 一．试题（共20小题） 1．综合与实践：【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝∠DAC 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180° ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，在图2的情况下求∠B﹣∠C的度数； 【拓展探究】（3）如图3所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC＝36°，在图3的情况下求∠BEC的度数． 【答案】（1）∠EAB，180°； （2）100°； （3）108°． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，根据平行线的性质得出∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角的定义得出∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，于是得出∠B+∠BAC+∠C＝180°； （2）过点E作EF∥AB，于是有EF∥AB∥CD，根据平行线的性质得出∠FEC＝∠C，∠B+∠BEF＝180°，结合已知∠BEC＝80°，即可求出∠B﹣∠C的度数； （3）过点E作EM∥AB，于是有EN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出∠MEC＝∠DCE，根据角平分线的定义设∠ECG＝∠DCG＝α，则∠MEC＝∠DCE＝2α，再求出∠BFH＝36°+α，于是得出∠ABF＝36°+α，根据角平分线的定义得出∠ABE＝2∠ABF＝72°+2α，最后根据∠BEC＝∠BEM+∠MEC即可求出∠BEC的度数． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 故答案为：∠EAB，180°； （2）如图2，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴∠FEC＝∠C， ∵AB∥EF， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵∠BEC＝80°， ∴∠FEC+∠BEF＝80°， ∴∠C+180°﹣∠B＝80°， ∴∠B﹣∠C＝180°﹣80°＝100°； （3）如图3，过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MEC＝∠DCE， ∵CG平分∠DCE， ∴∠ECG＝∠DCG， 设∠ECG＝∠DCG＝α， 则∠DCE＝2α， ∴∠MEC＝2α， ∵AB∥CD，FH∥AB， ∴CD∥FH， ∴∠HFC＝∠DCG＝α， ∵∠BFC＝36°， ∴∠BFH＝∠BFC+∠HFC＝36°+α， ∵FH∥AB， ∴∠ABF＝∠BFH＝36°+α， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABF＝2（36°+α）＝72°+2α， ∵EM∥AB， ∴∠ABE+∠BEM＝180°， ∴∠BEM＝180°﹣∠ABE＝180°﹣（72°+2α）＝108°﹣2α， ∴∠BEC＝∠BEM+∠MEC＝108°﹣2α+2α＝108°． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP； （2）变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠AGP+∠GPH+∠CHP＝360°，理由见解答； （3）∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP，理由见解答； （4）∠GQH＝α． 【分析】（1）先作出辅助线，然后利用两直线平行，内错角相等可得：∠AGP＝∠GPE和∠CHP＝∠HPE，即可证出结论； （2）先作出辅助线，然后利用两直线平行，同旁内角互补可得出：∠AGP+∠GPF＝180°和∠FPH+∠CHP＝180°，而∠GPH＝∠GPF+∠FPH，即可得：； （3）根据题意作出辅助线，然后利用两直线平行，内错角相等可得：∠AGP＝∠MPG和∠CHP＝∠MPH，根据图象可知：∠GPH＝∠MPG﹣∠MPH，即可得：∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP； （4）先作出辅助线，根据平行线的性质可推出：∠NPG＝∠PGB，∠OQG＝∠QGB，∠NPH＝∠PHD，∠OQH＝∠QHD，然后推出∠GPH＝∠PHD﹣∠PGB，∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB，再根据角平线的定义可得出：∠QGB＝∠PGB，∠QHD＝∠PHD，即可求出∠GQH＝∠GPH＝α． 【解答】解：（1）如图所示：过点P作PE∥AB， ∴∠AGP＝∠GPE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠CHP＝∠HPE， ∵∠GPH＝∠GPE+∠HPE， ∴∠GPH＝∠AGP+∠CHP； （2）∠AGP+∠GPH+∠CHP＝360°，理由如下： 如图所示：过点P作PF∥AB， ∴∠AGP+∠GPF＝180°， ∵AB∥CD， ∴PF∥CD， ∴∠FPH+∠CHP＝180°， ∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP＝360°， ∵∠GPH＝∠GPF+∠FPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠CHP＝360°； （3）∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP，理由如下： 如图所示：过点P作PM∥AB， ∴∠AGP＝∠MPG， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CHP＝∠MPH， ∵∠GPH＝∠MPG﹣∠MPH， ∴∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP； （4）如图所示：过点P作PN∥AB，过点Q作OQ∥AB， ∴∠NPG＝∠PGB，∠OQG＝∠QGB， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD，OQ∥CD， ∴∠NPH＝∠PHD，∠OQH＝∠QHD， ∵∠GPH＝∠NPH﹣∠NPG，∠GQH＝∠OQH﹣∠OQD， ∴∠GPH＝∠PHD﹣∠PGB，∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB， ∵∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q， ∴∠QGB＝∠PGB，∠QHD＝∠PHD， ∴∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB＝∠PHD﹣∠PGB＝（∠PHD﹣∠PGB）＝∠GPH， ∴∠GQH＝α． 【点评】本题考查了平行线性质的综合应用，解题关键所示在于：一是辅助线做法，二是根据不同图形利用不同的性质去解决问题． 3．实践与探究 学习了平行线后，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：①﹣②﹣③﹣④． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕PQ与直线AB的位置关系是 　垂直　 ；如图④，∠1＝∠2＝　90　 °，则AB与CD的位置关系为 　平行　 ，依据是 　内错角相等，两直线平行（或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行）　 ． （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从PD开始绕点P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时针旋转至QB后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是1°/秒、3°/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如图⑤的位置，用含t的式子表示∠DPN＝　（20+t）°　 ； （3）在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达PC之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？请直接写出结果． 【答案】（1）垂直；90；平行；依据是内错角相等，两直线平行（或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行）； （2）（20+t）°； （3）当t为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】（1）根据折叠性质即平行线判定即可得到本题答案； （2）先求出灯P转动20秒后度数为20×1＝20°，继而得出本题答案； （3）设灯P转动t秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【解答】解：（1）如图， ， ∵折叠， ∴直线AB折叠重合为两个角，平线为180°， ∴∠AQP＝90°，即AQ⊥PQ， ∴PQ与直线AB的位置关系是：垂直， 如图： ， ∵如图③所示：CD⊥EF， ∴∠CPQ＝90°， ∴∠1＝∠2＝90°， ∴AB∥CD， 因此依据为：内错角相等，两直线平行， 故答案为：垂直；90；平行；内错角相等，两直线平行； （2）∵灯P、灯Q转动的速度分别是1°/秒、3°/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动， ∴灯P转动20秒后度数为20×1＝20°， 又∵当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如图⑤的位置， ∴此时灯P再次转动了t•1＝t°， ∴∠DPN＝（20+t）°， 故答案为：（20+t）°； （3）设灯P转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0≤t≤90时，如图， ， ∵AB∥CD， ∴∠DPN＝∠PNA， ∵QH∥PN， ∴∠HQA＝∠PNA， ∴3t＝1×（20+t），解得：t＝10， ②当90＜t≤160时，如图， ， ∵AB∥CD， ∴∠DPN+∠PNB＝180°， ∴3t﹣180°+1×（20+t）＝180°，解得：t＝85， 综上所述：当t为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 【点评】此题主要考查了翻折变换、一元一次方程的应用、平行线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 4．在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动． （1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 　∠AEF+∠FGC＝90°　 （不用证明）； （2）如图②，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°．若∠1＝2∠2，求∠1的度数； （3）在图①的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．求∠MFN的度数． 【答案】（1）∠AEF+∠FGC＝90°； （2）∠1＝80°； （3）∠MFN＝75°． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AEG+∠EGC＝180°，等腰直角三角形的性质得到∠FEG+∠FGE＝90°，由此即可求解； （2）根据题意得到∠1+∠4＝180°﹣∠FGE＝120°，由平行线的性质，对顶角相等得到∠2＝∠4，由此得到∠1+∠4＝2∠4+∠4＝120°，解得，则∠1＝80°，由此即可求解； （3）根据题意得到∠EFG＝∠1+∠2+∠3＝90°，∠PFQ＝∠3+∠4+∠5＝60°，设∠3＝x，则∠1+∠2＝90°﹣x，∠4+∠5＝60°﹣x，根据角平分线的定义得到，，由∠MFN＝∠2+∠3+∠4，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠GEC＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠FGE+∠FGC＝180°， ∵△EFG是等腰直角三角形， ∴∠FEG+∠FGE＝90°， ∴∠AEF+∠FGC＝180°﹣（∠FEG+∠FGE）＝180°﹣90°＝90°， 故答案为：∠AEF+∠FGC＝90°； （2）如图所示， ∵小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上， ∴∠FGE＝60°， ∴∠1+∠4＝180°﹣∠FGE＝180°﹣60°＝120°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠4， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝∠4， ∵∠1＝2∠2， ∴∠1＝2∠4， ∴∠1+∠4＝2∠4+∠4＝120°， 解得∠4＝40°， ∴∠1＝120°﹣40°＝80°； （3）如图所示， 根据（1）可知∠EFG＝90°，即∠EFG＝∠1+∠2+∠3＝90°， 已知小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝∠3+∠4+∠5＝60°， 设∠3＝x，则∠1+∠2＝90°﹣x，∠4+∠5＝60°﹣x， 由题意得∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∴，， ∵∠MFN＝∠2+∠3+∠4， ∴． 【点评】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，平行线的性质求角的关系，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 5．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°． （1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　∠EPF＝∠AEP+∠PFC　 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°　 ． （2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧． ①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　150°　 ． ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解； （2）设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β，∠Q＝α+β，∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），即可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB， 则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP， 故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC； 同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°， 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°， 由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°， 而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°， 故α+β＝150°＝∠EQF， 故答案为150°； ②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， 设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β， 则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β）， ∠Q＝α+β， 即：∠EPF+2∠EQF＝360°； ③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β）， ∠Q2018＝（）2018（α+β）， 故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 6．【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． （1）【知识初探】 如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G． ①若∠AEF＝40°，求∠A′GC的度数． ②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝　180°﹣2α　 （用含α的式子表示）． （2）【类比再探】 如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？说明理由． （3）【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点C′作AB的平行线MN，直接写出∠A′GC和∠B′C′N的数量关系． 【答案】（1）①∠A′GC＝100°； ②∠A′GC＝180°﹣2α； （2）EF∥GH，理由见解析． （3）∠A′GC﹣∠B′C′N＝90°． 【分析】（1）①由题意得∠A′EF＝∠AEF＝40°，则∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝80°，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG＝80°，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得∠A′EF＝∠AEF＝α，则∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝α+α＝2α，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG＝2α，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG，推出∠C′GH＝∠A′EF，即可得出EF∥GH． （3）根据MN∥AB，AB∥CD，得出DC∥MN，根据平行线的性质得出∠A′GC＝∠A′C′N，根据∠A′C′N﹣∠B′C′N＝∠EC′B′＝90°，可以得出结论． 【解答】解：（1）①由题意得：∠A′EF＝∠AEF＝40°， ∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝40°+40°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG＝80°， ∴∠A′GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣80°＝100°； ②由题意得：∠A′EF＝∠AEF＝α， ∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝α+α＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG＝2α， ∴∠A′GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣2α， 故答案为：180°﹣2α； （2）EF∥GH，理由如下： 由题意得：，， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG， ∴∠C′GH＝∠A′EF， ∴EF∥GH． （3）∠A′GC﹣∠B′C′N＝90°，理由如下： ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴DC∥MN， ∴∠A′GC＝∠A′C′N， ∵∠A′C′N﹣∠B′C′N＝∠EC′B′＝90°， ∴∠A′GC﹣∠B′C′N＝90°． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． 7．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH； （2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝150°． 【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG＝180°， ∠3+∠4+∠EGH＝180°， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∴EF∥GH； （2）β＝2α﹣180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB， ∴∠2＝∠MEB， ∴∠MEG＝2∠2， 同理可得，∠MGE＝2∠3， 在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°， ∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE） ＝180°﹣（2∠2+2∠3） ＝180°﹣2（∠2+∠3） ＝180°﹣2（180°﹣α） ＝2α﹣180°； （3）90°+m或150°． 理由如下：①当n＝3时，如图所示： ∵∠BEG＝∠1＝m， ∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m， ∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m， ∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°， 则∠GHK＝120°， 则∠GHC＝30°， 由△GCH内角和，得γ＝90°+m． ②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如图所示： 根据三角形外角定义，得 ∠G＝γ﹣60°， 由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ∠G＝γ﹣60°＝90°， 则γ＝150°． 综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． 8．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　∠AHE＝∠FAH+∠KEH　 ． （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE． （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）∠AHE＝∠FAH+∠KEH． （2）∠AHE＝75°． （3）当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据∠BEF＝∠BAK，分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，可得∠BEF的度数，则问题可解； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，②当KH∥EG时，③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KE∥NG时，⑤当HE∥NG时． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠KEH＝∠AFH， ∵∠AHE是△AHF的外角， ∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH， ∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH． 故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH； （2）∵AB∥CD， ∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC， ∵， ∴∠BAK＝2∠BEF， ∵∠BEC＝2∠BEF， ∴∠BAK＝∠BEC， ∴∠BAK＝∠ABE， ∴AK平分∠BAG， ∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE， ∵AG⊥BE， ∴∠AGB＝90°， ∴3∠BAK＝90°， ∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°， ∴， ∴∠CEF＝45°， ∴∠CEF＝∠AFE＝45°， ∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°． （3）①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P， ∵∠EKH＝∠EPG＝30°， ∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°， ∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°， ∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°， ∴∠CEK＝∠PEN＝30°， ∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN， ∴秒， ②当KH∥EG时， ∴∠EKH＝∠KEG＝30°， ∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°， ∴∠NEK＝60°， ∴∠CEK＝120°， ∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG， ∴秒， ③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时， ∴∠CEK＝150°， ∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN， ∴秒， ∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒． ④当KE∥NG时， ∵∠GEN＝30°， ∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°． ∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG． ∴（秒）． ⑤当HE∥NG时， ∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°， ∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°． ∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG． ∴（秒）． 当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 9．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　75　 °； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 【答案】（1）75； （2）∠EAF＝∠AED+∠EDG，理由见解答； （3）142°． 【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D＝∠AHE＝45°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°； （2）依据AB∥CD，可得∠EAF＝∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG＝∠AED+∠EDG，即∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，进而得出∠EDK＝α﹣2°，依据∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，可得3α＝22°+2α﹣4°，求得∠EDK＝16°，即可得出∠EKD的度数． 【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠AHE＝45°， ∵∠AED是△AEH的外角， ∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°， 故答案为：75； （2）∠EAF＝∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHG＝∠AED+∠EDG， ∴∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2， 设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α， ∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI， 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°， ∴∠EDK＝α﹣2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG， 即3α＝22°+2α﹣4°， 解得α＝18°， ∴∠EDK＝16°， 在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 【答案】（1）90°； （2）68°； （3）﹣． 【分析】（1）过点E作EG∥AB，根据a∥b，可得EG∥CD，得∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，即可求∠BFD的度数； （3）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，即可用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角． 【解答】解：（1）过点E作EG∥AB， ∵a∥b， ∴EG∥CD， ∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED， ∵AD⊥BC， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°， ∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°； （3）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FQ∥CD， ∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ， ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β， ∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+， ∴∠BFD的补角＝﹣． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 11．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）观察与思考：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为　∠BPD＝∠B+∠D　 ，不必说明理由； （2）猜想与证明：如图2，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）拓展与应用：如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N，已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°．利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为　75　 度，∠A比∠F大　65　 度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠1，∠D＝∠2，再根据∠BPD＝∠1+∠2即可得解； （2）连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答； （3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EP∥CD， ∴∠B＝∠1，∠D＝∠2， ∴∠BPD＝∠B+∠D； （2）如图，连接QP并延长， 结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D． ∠BPD＝（∠BQP+∠B）+（∠DQP+∠D）＝∠BQD+∠B+∠D． （3）∵∠ANF＝105°， ∴∠ENF＝∠B+∠E+∠F＝180°﹣105°＝75°， ∵∠A＝∠AMB﹣∠B﹣∠E， ∠F＝180°﹣∠ANF﹣∠B﹣∠E， ∴∠A﹣∠F＝∠AMB+∠ANF﹣180°＝65°． 故答案为：∠BPD＝∠B+∠D；75，65． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 12．AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）如图1，求证：∠EPG＝∠BEP+∠PGD； （2）如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE＝110°，∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°．求∠BEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）40°； （3）∠EPG+2∠EHG＝180°． 【分析】（1）延长EP交CD于M，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠EPG＝∠PMG+∠PGD＝∠BEP+∠PGD； （2）连接EG，由已知条件可得∠PGE＝110°﹣∠BEP，结合（1）的结论可得∠EPG＝∠BEP+30°，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠PEG＝60°﹣∠BEP，再利用三角形的内角和定理可求解∠BEP的度数； （3）根据EF平分∠PEA，可设∠AEF＝∠PEF＝α，根据四边形内角和可得∠PGD＝180°﹣（360°﹣∠EPG﹣2α）＝∠EPG+2α﹣180°，依据∠EFG是△FGH的外角，可得∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，最后依据∠PGD＝2∠FGH，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系． 【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M， ∵AB∥CD， ∴∠BEP＝∠GMP， ∵∠EPG是△PGM的外角， ∴∠EPG＝∠PMG+∠PGD＝∠BEP+∠PGD； （2）如图1，连接EG， ∵∠BEP+∠PGE＝110°， ∴∠PGE＝110°﹣∠BEP， 由（1）知：∠EPG＝∠BEP+∠PGD， ∵∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°． ∴∠EFD＝60°，∠EPG＝∠BEP+30°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝120°， ∵EG平分∠PEF， ∴∠PEG＝∠PEF＝（120°﹣∠BEP）＝60°﹣∠BEP， ∵∠PEG+∠EPG+∠PGE＝180°， ∴60°﹣∠BEP+∠BEP+30°+110°﹣∠BEP＝180°， 解得∠BEP＝40°； （3）∵EF平分∠PEA， ∴设∠AEF＝∠PEF＝α， ∵AB∥CD， ∴∠GFE＝∠AEF＝α， 在四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠EPG﹣2α， ∴∠PGD＝180°﹣（360°﹣∠EPG﹣2α）＝∠EPG+2α﹣180°， ∵∠EFG是△FGH的外角， ∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG， 又∵GN平分∠PGD， ∴∠PGD＝2NGD＝2∠FGH， 即∠EPG+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG）， 整理可得，∠EPG+2∠EHG＝180°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 13．如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF． （1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE； （2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系． 【答案】（1）证明过程详见解答； （2）PF＜EF． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEC＝∠ECD，∠PDC＝∠DCF，然后根据外角的性质即可证得结论； （2）设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，设∠HPF＝∠HFP＝β，根据平行线的性质可推出∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，∠AEC＝∠ECD＝α，从而得出∠EPH＝2α+2β，根据已知条件∠HPQ+∠AEC＝90°，可得出2α+β＝90°，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠ECD， ∵PD∥CF， ∴∠PDC＝∠DCF， ∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC， ∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF； （2）∵CD平分∠ECF， ∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD， 设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α， 设∠HPF＝∠HFP＝β， ∵PD∥CF， ∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β， ∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β， ∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β， ∵PQ平分∠EPH， ∴∠HPQ＝＝α+β， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠ECD＝α， ∵∠HPQ+∠AEC＝90°， ∴（α+β）+α＝90°， ∴2α+β＝90°， ∴∠EPF+∠HFP＝90°， ∴∠EPF＝∠CPF＝90°， ∴PF＜EF． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是设参数，简明地表达角之间数量关系． 14．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　15　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过画图，即可求解； （2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3种情况，画图计算即可； （3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC，DE∥AC五种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC， 图形如下： 故答案为15； （2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β， ①如图，当0°＜α≤45°时， α+β＝90°，α+γ＝45°， 故β﹣γ＝45°； ②当45°＜α≤90°时， 同理可得：γ+β＝45°， ③当90°＜α＜180°时， 同理可得：γ﹣β＝45°； （3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3； ②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9； ③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21； ④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27； ⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30； 综上，t＝3或9或21或27或30． 【点评】解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． 15．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 【答案】（1）80°； （2）70°﹣2α； （3）52.5°或42°． 【分析】（1）过M作MN∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF，进而即可得解； （2）由题干易得∠MFN＝10°，∠DFN＝30°，再根据（1）中结论可得∠BEM＝α﹣20°，所以∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°，进而可求∠EGF和∠EGN的度数，进而利用三角形内角和即可得解； （3）由题干易得，然后分类讨论，当时或时，再设参建立方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，过M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF， ∵∠EMF＝α＝80°， ∴∠NME+∠NMF＝80°， ∴∠BEM+∠DFM＝80°； （2）∵，∠DFM＝20°， ∴∠MFN＝10°，∠DFN＝30°， ∵∠BEM+∠DFM＝α， ∴∠BEM＝α﹣20°， ∵， ∴∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°， ∴∠EGF＝∠BEM+∠DFG＝α﹣20°+30°＝α+10， ∴∠EGN＝180°﹣∠EGF＝170°﹣α， ∴∠ENF＝180°﹣∠MEN﹣∠EGN ＝180°﹣（3α﹣60°）﹣（170°﹣α） ＝70°﹣2α； （3）方法一：∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， ∴， （Ⅰ）如图3，当时， 设∠PFN＝x，则∠CFP＝2x＝∠DFM，∠CFN＝3x， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴∠BEM＝α﹣2x， ∴∠AEM＝180°﹣α+2x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠1＝180°﹣∠ENF﹣∠NFP＝， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝17.5°， ∴∠CFN＝3x＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， 设∠CFP＝x，则∠PFN＝2x，∠CFN＝3x， ∴∠DFM＝∠CFP＝x， ∵∠MFD+∠BEM＝α， ∴∠BEM＝α﹣x， ∴∠AEM＝180°﹣α+x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∵∠ENF+∠NFP+∠1＝180°， ∴， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝14°， ∴∠CFN＝3x＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 方法二：设∠CFN＝x， （Ⅰ）如图3，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠2＝180°﹣∠EMF﹣∠MEN＝， ∵∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝52.5°， 即∠CFN＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝42°， 即∠CFN＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、利用一元一次方程解决几何问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　45　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点E作EF∥MN，根据MN∥OB，可得EF∥OB，根据平行线的性质可得∠AOB＝45°； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA； ②当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，可得∠DCB＝60°+α，根据MN∥OB和角平分线定义，即可求出∠OFD与α之间的数量关系． 【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN， ∴∠DEF＝∠NDE＝45°， ∵∠CED＝90°， ∴∠FEC＝45°， ∵MN∥OB， ∴EF∥OB， ∴∠BCE＝∠FCE＝45°， ∵AO∥CE， ∴∠AOB＝∠ECB＝45°， 则α＝45°， 故答案为：45； （2）①∵DF∥OA， ∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°， ∵MN∥OB， ∴∠MDF＝∠DFC， ∵DF平分∠MDC， ∴∠CDF＝∠MDF＝60°， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠CDF＝∠DCE， ∴CE∥DF， ∵DF∥OA， ∴CE∥OA； ②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠DCB＝60°+α， ∵MN∥OB， ∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF， ∵DF平分∠MDC， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 17．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN． （1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）； （2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）2α； （2）∠NEF＝∠∠AMP． 【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论； （2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系； （3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论． 【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PR， ∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α， ∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α； （2）如图②，EF⊥PQ，理由如下： ∵PQ平分∠MPN． ∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α， ∵QE∥PN， ∴∠EQP＝∠NPQ＝2α， ∴∠EPQ＝∠EQP＝2α， ∵EF平分∠PEQ， ∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF， ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°， ∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°， ∴∠EPQ+∠PEF＝90°， ∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°， ∴EF⊥PQ； （3）如图③，∠NEF＝∠AMP，理由如下： 由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°， ∴∠QEF＝90°﹣2α， ∵∠PQN＝α， ∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α， ∵NE平分∠PNQ， ∴∠PNE＝∠QNE， ∵QE∥PN， ∴∠QEN＝∠PNE， ∴∠QNE＝∠QEN， ∵∠NQE＝3α， ∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α）， ∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE ＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α） ＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α ＝α ＝∠AMP． ∴∠NEF＝∠AMP． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 18．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数； （3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG＝ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3＝EDF， ∴ABE+∠β＝EDF， ∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBK＝EBK， ∠CDN＝∠EDN＝CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ＝∠EBK﹣CDE ＝（∠EBK﹣∠CDE） ＝80° ＝40°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 19．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G． （1）若∠AMN＝70°，则∠MNG＝　35°　 ； （2）求证：EM∥NG； （3）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG＝∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数． 【答案】（1）35°；（2）见解析；（3）45°． 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠CNM＝110°，由角平分线定义求出∠ENM的度数，即可得到结论； （2）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出∠MEN＝90°，再根据NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH＝180°，进而得到EM∥NG； （3）先设∠HEG＝x，则∠HGE＝∠MEG＝x，∠NEH＝90°﹣2x，根据EP平分∠FEH，可得∠FEH＝2（∠PEG+x），再根据∠FEH+∠HEN＝180°，可得方程2（∠PEG+x）+90°﹣2x＝180°，进而解得∠PEG． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠AMN+∠CNM＝180°， ∵∠AMN＝70°， ∴∠CNM＝110° ∵NE平分∠CNM， ∴， ∵NG⊥EN， ∴∠ENG＝90°， ∴∠MNG＝90°﹣∠ENM＝35°， 故答案为：35°； （2）∵AB∥CD， ∴∠AMN+∠CNM＝180°， ∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线， ∴， ∴，即∠MEN＝90°， 又∵NG⊥EN， ∴∠ENG＝90°， ∴∠MEN+∠ENH＝180°， ∴EM∥NG； （3）设∠HEG＝x，则∠HGE＝∠MEG＝x，∠NEH＝90°﹣2x， ∵EP平分∠FEH， ∴∠FEH＝2∠PEH＝2（∠PEG+x）， 又∵∠FEH+∠HEN＝180°， ∴2（∠PEG+x）+90°﹣2x＝180°， ∴∠PEG＝45°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/31 12:56:32；用户：人生嗨嗨；邮箱：15136487828；学号：44610872 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第二章 相交线与平行线 压轴题练习 2024-2025学年 北师大版 数学 七年级 1 1.综合与实践：【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B= ______ ，∠C=∠DAC 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180° ∴∠B+∠BAC+∠C= ______ ． 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． ∠EAB 180° 2 【方法运用】(2)如图2所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C的度数； 【拓展探究】(3)如图3所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数． ________ 3 【解析】解：(1)过点A作ED∥BC， ∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°． 故答案为：∠EAB，180°； (2)如图2，过点E作EF∥AB， ___ ∵AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴∠FEC=∠C， ∵AB∥EF， ∴∠B+∠BEF=180°， ∴∠BEF=180°-∠B， ∵∠BEC=80°， ∴∠FEC+∠BEF=80°， ∴∠C+180°-∠B=80°， ∴∠B-∠C=180°-80°=100°； (3)如图3，过点E作EM∥AB， 4 __ ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MEC=∠DCE， ∵CG平分∠DCE， ∴∠ECG=∠DCG， 设∠ECG=∠DCG=α， 则∠DCE=2α， ∴∠MEC=2α， ∵AB∥CD，FH∥AB， ∴CD∥FH， ∴∠HFC=∠DCG=α， ∵∠BFC=36°， ∴∠BFH=∠BFC+∠HFC=36°+α， ∵FH∥AB， ∴∠ABF=∠BFH=36°+α， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE=2∠ABF=2(36°+α)=72°+2α， 5 ∵EM∥AB， ∴∠ABE+∠BEM=180°， ∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-(72°+2α)=108°-2α， ∴∠BEC=∠BEM+∠MEC=108°-2α+2α=108°． 6 2.(1)探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH=∠AGP+∠CHP； (2)变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由； (3)(问题迁移)如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由； (4)(联想拓展)如图4所示，在(2)的条件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数． 7 _________ 【解析】解：(1)如图所示：过点P作PE∥AB， _____ ∴∠AGP=∠GPE， ∵AB∥CD， 8 ∴PE∥CD， ∴∠CHP=∠HPE， ∵∠GPH=∠GPE+∠HPE， ∴∠GPH=∠AGP+∠CHP； (2)∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°， 理由如下： 如图所示：过点P作PF∥AB， ____ ∴∠AGP+∠GPF=180° ∵AB∥CD， ∴PF∥CD， ∴∠FPH+∠CHP=180°， ∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP=360° ∵∠GPH=∠GPF+∠FPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°； (3)∠GPH=∠AGP-∠CHP，理由如下： 如图所示：过点P作PM∥AB， ____ 9 ∴PF∥CD， ∴∠FPH+∠CHP=180°， ∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP =360° ∵∠GPH=∠GPF+∠FPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°； (3)∠GPH=∠AGP-∠CHP， 理由如下： 如图所示：过点P作PM∥AB， ____∴∠AGP=∠MPG ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CHP=∠MPH， ∵∠GPH=∠MPG-∠MPH， ∴∠GPH=∠AGP-∠CHP； ____ 10 (4)如图所示：过点P作PN∥AB， 过点Q作OQ∥AB， ∴∠AGP=∠MPG， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CHP=∠MPH， ∵∠GPH=∠MPG-∠MPH， ∴∠GPH=∠AGP-∠CHP； ∵∠GPH=∠NPH-∠NPG， ∠GQH=∠OQH-∠OQD， ∴∠GPH=∠PHD-∠PGB， ∠GQH=∠QHD-∠QGB， ∵∠PGB的平分线和∠PHD 的平分线交于点Q， ∴∠QGB= ∠PGB， ∠QHD= ∠PHD， ∴∠GQH=∠QHD-∠QGB = ∠PHD- ∠PGB = (∠PHD-∠PGB) = ∠GPH， ∴∠GQH= α． 11 3.实践与探究 学习了平行线后，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：①-②-③-④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕PQ与直线AB的位置关系是 _____ ；如图④，∠1=∠2= ____ °，则AB与CD的位置关系为 _____ ，依据是 ____________________________________________________________________ ． (2)张华在(1)的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从PD开始绕点P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时针旋转至QB后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是1°/秒、3°/秒， 垂直 90 平行 内错角相等，两直线平行(或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行) 12 若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如图⑤的位置，用含t的式子表示∠DPN= ________； (3)在(2)的条件下，在灯P射线第一次到达PC之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？请直接写出结果． (20+t)° 【解析】 解：(1)如图， 13 __， ∵折叠， ∴直线AB折叠重合为两个角°， ∴∠AQP=90°，即AQ⊥PQ， ∴PQ直线AB垂直， 如图： ∵如图③所示：CD⊥EF， ∴∠CPQ=90°， ∴∠1=∠2=90°， ∴AB∥CD， 因此依据为： 内错角相等，两直线平行， 故答案为：垂直；90；平行； 内错角相等，两直线平行； 14 (2)∵灯P、灯Q转动的速度分别是1°/秒、3°/秒， 若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动， ∴灯P转动20秒后度数为20×1=20°， 又∵当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如图⑤的位置， ∴此时灯P再次转动了t•1=t°， ∴∠DPN=(20+t)°， 故答案为：(20+t)°； (3)设灯P转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0≤t≤90时，如图， 15 ∵AB∥CD， ∴∠DPN=∠PNA， ∵QH∥PN， ∴∠HQA=∠PNA， ∴3t=1×(20+t)，解得：t=10， ②当90＜t≤160时，如图， ____， ∵AB∥CD， ∴∠DPN+∠PNB=180°， ∴3t-180°+1×(20+t)=180°， 解得：t=85， 综上所述：当t为10秒或85秒时， 两灯的光束互相平行． 16 4.在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动． _________ (1)如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 ____________________ (不用证明)； (2)如图②，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F=90°．若 ∠AEF+∠FGC=90° 17 ∠1=2∠2，求∠1的度数； (3)在图①的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ=60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．求∠MFN的度数． 【解析】解：(1)∠AEF+∠FGC=90°，理由如下， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠GEC=180°，即∠AEF+∠FEG+∠FGE+∠FGC=180°， ∵△EFG是等腰直角三角形， ∴∠FEG+∠FGE=90°， ∴∠AEF+∠FGC=180°-(∠FEG+∠FGE)=180°-90°=90°， 故答案为：∠AEF+∠FGC=90°； 18 (2)如图所示， _____ ∵小明把三角尺60° 角的顶点G放在直线CD上， ∴∠FGE=60°， ∴∠1+∠4=180°-∠FGE =180°-60°=120°， ∵AB∥CD， ∴∠3=∠4， ∵∠2=∠3， ∴∠2=∠4， ∵∠1=2∠2， ∴∠1=2∠4， ∴∠1+∠4=2∠4+∠4=120°， 解得∠4=40°， ∴∠1=120°-40°=80°； (3)如图所示， ____ 19 根据(1)可知∠EFG=90°，即∠EFG=∠1+∠2+∠3=90°， 已知小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ=∠3+∠4+∠5=60°， 设∠3=x,则∠1+∠2=90°-x,∠4+∠5=60°-x, 由题意得∠1=∠2，∠4=∠5， ∴ ， ， ∵∠MFN=∠2+∠3+∠4， ∴ ． 20 5.如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°． (1)试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 _____________________ ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 _____________________________ ． (2)如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧． ①若∠EPF=60°，则∠EQF= ______ ． ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ∠EPF=∠AEP+∠PFC ∠AEP+∠EPF+∠PFC=360° 150° 21 ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？(直接写出结果) _____ 22 【解析】解：(1)如图1，过点P作PH∥AB， _____ 则∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP， 故答案为：∠EPF=∠AEP+∠PFC； 23 同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°， 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°； (2)①∠EPF=60°，则∠EQF=150°， 由(1)知∠PEA+∠PFC=∠P=60°， 而∠PFC+2β=180°，∠PEA+2α=180°， 故α+β=150°=∠EQF， 故答案为150°； ②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， 设：∠BEQ=∠QEP=α，∠QFD=∠PFQ=β， 则∠P=180°-2α+180°-2β=360°-2(α+β)， ∠Q=α+β， 24 即：∠EPF+2∠EQF=360°； ③同理可得： ∠Q1= (α+β)， ∠Q2= (α+β)， ∠Q2018=( )2018(α+β)， 故：∠EPF+22019•∠EQ2018F=360°． 25 6.【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． ________ (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，将纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G． 26 ①若∠AEF=40°，求∠A′GC的度数． ②若∠AEF=α，则∠A′GC= ___________ (用含α的式子表示)． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点C′作AB的平行线MN，直接写出∠A′GC和∠B′C′N的数量关系． 【解析】解：(1)①由题意得：∠A′EF=∠AEF=40°， ∴∠AEG=∠A′EF+∠AEF=40°+40°=80°， 180°-2α 27 ∵AB∥CD， ∴∠CGE=∠AEG=80°， ∴∠A′GC=180°-∠CGE =180°-80°=100°； ②由题意得：∠A′EF=∠AEF=α， ∴∠AEG=∠A′EF+∠AEF=α+α=2α， ∵AB∥CD， ∴∠CGE=∠AEG=2α， ∴∠A′GC=180°-∠CGE=180°-2α， 故答案为：180°-2α； (2)EF∥GH，理由如下： 28 由题意得： ， ， ∵AB∥CD， ∴∠CGE=∠AEG， ∴∠C′GH=∠A′EF， ∴EF∥GH． (3)∠A′GC-∠B′C′N=90°， 理由如下： ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴DC∥MN， ∴∠A′GC=∠A′C′N， ∵∠A′C′N-∠B′C′N=∠EC′B′=90°， ∴∠A′GC-∠B′C′N=90°． 29 7.当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α． (1)如图①，若α=90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若α=120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ(90°＜γ＜180°)，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=m(0°＜m＜90°)，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．( 30 可用含有m的代数式表示) _______ 【解析】解：(1)EF∥GH，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，α=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， 31 ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∵∠1+∠2+∠FEG=180°， ∠3+∠4+∠EGH=180°， ∴∠FEG+∠EGH=180°， ∴EF∥GH； (2)β=2α-180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α=180°， ∴∠2+∠3=180°-α， ∵∠1=∠2，∠1=∠MEB， ∴∠2=∠MEB， ∴∠MEG=2∠2， 同理可得，∠MGE=2∠3， 在△MEG中， ∠MEG+∠MGE+β=180°， ∴β=180°-(∠MEG+∠MGE) =180°-(2∠2+2∠3) =180°-2(∠2+∠3) =180°-2(180°-α) =2α-180°； (3)90°+m或150°． 理由如下：①当n=3时， 如图所示： 32 ___ ∵∠BEG=∠1=m, ∴∠BGE=∠CGH=60°-m, ∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2m, ∠EGH=180°-2∠BGE =180°-2(60°-m)， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°， 则∠GHK=120°， 则∠GHC=30°， 由△GCH内角和，得γ=90°+m. ②当n=2时， 如果在BC边反射后与EF平行， 则α=90°，与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 33 ___ 如图所示：得 ∠G=γ-60°， 由EF∥HK，且由(1)的结论可得， ∠G=γ-60°=90°， 则γ=150°．综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 34 8.如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． ________ (1)直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： _____________________ ． ∠AHE=∠FAH+∠KEH 35 (2)若∠BEF= ∠BAK，求∠AHE． (3)如图2，在(2)的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t,当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【解析】解：(1)∵AB∥CD， ∴∠KEH=∠AFH， ∵∠AHE是△AHF的外角， ∴∠AHE=∠AFH+∠FAH， ∴∠AHE=∠FAH+∠KEH． 36 ； (2)∵AB∥CD， ∴∠BAK=∠MKE， ∠ABE=∠BEC， ∵ ， ∴∠BAK=2∠BEF， ∵∠BEC=2∠BEF， ∴∠BAK=∠BEC， ∴∠BAK=∠ABE， ∴AK平分∠BAG， ∴∠BAK=∠GAK=∠ABE， ∵AG⊥BE， ∴∠AGB=90°， ∴3∠BAK=90°， ∴∠BAK=∠ABE=∠GAK=30°， ∴ ， ∴∠CEF=45°， ∴∠CEF=∠AFE=45°， ∴∠AHE=∠AFE+∠BAK=75°． 37 (3)①当KH∥NG时， 延长KE交GN边于P， ____ ∵∠EKH=∠EPG=30°， ∴∠PEG=90°-∠EPG=60°， ∵∠GEN=90°-ENG=30°， ∴∠PEN=∠PEG-∠GEN=30° ∴∠CEK=∠PEN=30°， ∴当△KHE绕E点旋转30°时， EK∥GN， ∴ 秒， ②当KH∥EG时， ____ ∴∠EKH=∠KEG=30°， ∴∠NEK=∠NEG+∠KEG=60°， ∴∠NEK=60°， 38 ∴∠CEK=120°， ∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG， ∴ 秒， ③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时， ______ ∴∠CEK=150°， ∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN， 39 ∴ 秒， ∴当△KEH的其中一边与 △ENG的某一边平行时 t的值为6秒或24秒或30秒． ④当KE∥NG时， ____ ∵∠GEN=30°， ∴∠CEK=90°-∠GEN=60°． ∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG． ∴ (秒)． ⑤当HE∥NG时， _____ ∵∠GEN=30°，∠KEH=45°， ∴∠CEK=∠CEH+∠HEK =90°-∠GEN+∠HEK=105°． ∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG． 40 ∴ (秒)． 当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 41 9.已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． (1)如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=45°，则∠AED= ____ °； (2)如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°求∠EKD的度数． 75 42 ______ 【解析】解：(1)如图，延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠D=∠AHE=45°， ∵∠AED是△AEH的外角， 43 ∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+45°=75°， 故答案为：75； (2)∠EAF=∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHG=∠AED+∠EDG， ∴∠EAF=∠AED+∠EDG； (3)∵∠EAI：∠BAI=1：2， 设∠EAI=α，则∠BAE=3α， ∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI， 44 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°， ∴∠EDK=α-2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE=2∠EDK=2α-4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG， 即3α=22°+2α-4°， 解得α=18°， ∴∠EDK=16°， 在△DKE中，∠EKD=180°-16°-22°=142°． 45 10.已知：直线a∥b,点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． ________ (1)在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数(提示：可过点E作EG∥AB)； (2)在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC=64°，∠ADC=72°时，求∠BFD的度数． 46 (3)如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．(直接写出结果即可) 【解析】解：(1)过点E作EG∥AB， ∵a∥b, ∴EG∥CD， ∴∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG， ∴∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED， ∵AD⊥BC， ∴∠ABE+∠CDE=∠BED=90°； 47 (2)如图，过点F作FH∥AB， ____ ∵a∥b, ∴FH∥CD， ∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH， ∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=∠BFH+∠DFH， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=64°，∠ADC=72°， 48 ∴∠ABF= ABC=32°，∠CDF= ADC=36°， ∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=68°； (3)如图，过点F作FH∥AB， __ ∵a∥b, ∴FQ∥CD， 49 ∴∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ， ∴∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°-∠ABF+∠CDF ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β， ∴∠ABF= ABC= ，∠CDF= ADC= ， ∴∠BFD=180°-∠ABF+∠CDF=180°- + ， ∴∠BFD的补角= - ． 50 11.我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)观察与思考：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为 _______________ ，不必说明理由； (2)猜想与证明：如图2，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，利用(1)中的结论(可以直接套用)求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)拓展与应用：如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N，已知∠AMB=140°，∠ANF=105°．利用(2)中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为 ____ 度，∠A比∠F大 ____ 度． ∠BPD=∠B+∠D 75 65 51 _________ 【解析】解：(1)过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EP∥CD， ∴∠B=∠1，∠D=∠2， ∴∠BPD=∠B+∠D； (2)如图，连接QP并延长， 52 结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D． ∠BPD=(∠BQP+∠B)+(∠DQP+∠D)=∠BQD+∠B+∠D． (3)∵∠ANF=105°， ∴∠ENF=∠B+∠E+∠F=180°-105°=75°， ∵∠A=∠AMB-∠B-∠E， ∠F=180°-∠ANF-∠B-∠E， ∴∠A-∠F=∠AMB+∠ANF-180°=65°． 故答案为：∠BPD=∠B+∠D；75，65． 53 12.AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． (1)如图1，求证：∠EPG=∠BEP+∠PGD； (2)如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°．求∠BEP的度数； (3)如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由． 54 ______ 【解析】解：(1)如图1，延长EP交CD于M， 55 ___ ∵AB∥CD， ∴∠BEP=∠GMP， ∵∠EPG是△PGM的外角， ∴∠EPG=∠PMG+∠PGD=∠BEP+∠PGD； (2)如图1，连接EG， 56 ___ ∵∠BEP+∠PGE=110°， ∴∠PGE=110°-∠BEP， 由(1)知：∠EPG=∠BEP+∠PGD， 57 ∵∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°． ∴∠EFD=60°，∠EPG=∠BEP+30°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD+∠BEF=180°， ∴∠BEF=120°， ∵EG平分∠PEF， ∴∠PEG= ∠PEF= (120°-∠BEP)=60°- ∠BEP， ∵∠PEG+∠EPG+∠PGE=180°， 58 ∴60°- ∠BEP+∠BEP+30°+110°-∠BEP=180°， 解得∠BEP=40°； (3)∵EF平分∠PEA， ∴设∠AEF=∠PEF=α，______ 59 ∵AB∥CD， ∴∠GFE=∠AEF=α， 在四边形PGFE中，∠PGF=360°-∠EPG-2α， ∴∠PGD=180°-(360°-∠EPG-2α)=∠EPG+2α-180°， ∵∠EFG是△FGH的外角， ∴∠FGH=∠EFG-∠EHG=α-∠EHG， 又∵GN平分∠PGD， ∴∠PGD=2NGD=2∠FGH， 即∠EPG+2α-180°=2(α-∠EHG)， 整理可得，∠EPG+2∠EHG=180°． 60 13.如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF． (1)求证：∠AEC+∠DCF=∠DPE； (2)如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF=∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC=90°，试判断PF与EF的大小关系． _____ 【解析】(1)证明：∵AB∥CD， 61 ∴∠AEC=∠ECD， ∵PD∥CF， ∴∠PDC=∠DCF， ∵∠DPE=∠ECD+∠PDC， ∴∠DPE=∠AEC+∠DCF； (2)∵CD平分∠ECF， ∴∠ECF=2∠ECD=∠2FCD， 设∠ECD=∠FCD=α，则∠ECF=2α， 设∠HPF=∠HFP=β， ∵PD∥CF， ∴∠EPD=∠ECF=2α，∠FPD=∠PFH=β， 62 ∴∠HPD=∠FPH+∠FPD=β+β=2β， ∴∠EPH=∠EPD+∠HPD=2α+2β， ∵PQ平分∠EPH， ∴∠HPQ= =α+β， ∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠ECD=α， ∵∠HPQ+∠AEC=90°， ∴(α+β)+α=90°， ∴2α+β=90°， 63 ∴∠EPF+∠HFP=90°， ∴∠EPF=∠CPF=90°， ∴PF＜EF． 64 14.如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°＜α＜180°)． (1)当α为 ____ 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； (3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值． 15 65 ____ 【解析】解：(1)当α=15°时，AD∥BC， 66 图形如下： ___ 故答案为15； (2)设：∠CAD=γ，∠BAE=β， ①如图，当0°＜α≤45°时， α+β=90°，α+γ=45°， 故β-γ=45°； ②当45°＜α≤90°时， 同理可得：γ+β=45°， ③当90°＜α＜180°时， 同理可得：γ-β=45°； (3)①当AD∥BC时，α=15°，t=3； ②当DE∥AB时，α=45°，t=9； ③当DE∥BC时，α=105°，t=21； ④当DE∥AC时，α=135°，t=27； ⑤当AE∥BC时，α=150°，t=30； 综上，t=3或9或21或27或30． 67 15.已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF=α． (1)如图1，若α=80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； (2)如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G， ， ，∠DFM=20°，求∠ENF的度数；(结果可用含α的式子表示) (3)如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF=110°，求∠CFN的度数． 68 ________ 【解析】解：(1)如图，过M作MN∥AB， ____ ∵AB∥CD， 69 ∴MN∥AB∥CD， ∴∠BEM=∠NME，∠DFM=∠NMF， ∵∠EMF=α=80°， ∴∠NME+∠NMF=80°， ∴∠BEM+∠DFM=80°； (2)∵ ，∠DFM=20°， ∴∠MFN=10°，∠DFN=30°， ∵∠BEM+∠DFM=α， ∴∠BEM=α-20°， 70 ∵ ， ∴∠MEN=3∠BEM=3α-60°， ∴∠EGF=∠BEM+∠DFG=α-20°+30°=α+10， ∴∠EGN=180°-∠EGF=170°-α， ∴∠ENF=180°-∠MEN-∠EGN =180°-(3α-60°)-(170°-α) =70°-2α； (3)方法一：∵2∠ENF+∠EMF=110°，∠EMF=α， 71 ∴ ， (Ⅰ)如图3，当 时， ___ 72 设∠PFN=x,则∠CFP=2x=∠DFM，∠CFN=3x, ∵∠DFM+∠BEM=∠EMF=α， ∴∠BEM=α-2x, ∴∠AEM=180°-α+2x, ∵EN平分∠AEM， ∴ ， ∴∠1=180°-∠ENF-∠NFP= ， 73 ∵∠1+∠2=180°， ∴ ， ∵∠2+∠MEN+∠EMF=180°， ∴ ， 解得x=17.5°， ∴∠CFN=3x=52.5°； (Ⅱ)如图4，当 时， 74 ___ 设∠CFP=x,则∠PFN=2x,∠CFN=3x, ∴∠DFM=∠CFP=x, ∵∠MFD+∠BEM=α， ∴∠BEM=α-x, ∴∠AEM=180°-α+x, 75 ∵EN平分∠AEM， ∴ ， ∵∠ENF+∠NFP+∠1=180°， ∴ ， ∴ 76 ， ∵∠2+∠MEN+∠EMF=180°， ∴ ， 解得x=14°， ∴∠CFN=3x=42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 方法二：设∠CFN=x, (Ⅰ)如图3，当 时， 77 ___ ∴ ， ∵∠DFM+∠BEM=∠EMF=α， 78 ∴ ， ∴ ， ∵EN平分∠AEM， ∴ ， ∴∠2=180°-∠EMF-∠MEN= ， 79 ∵∵∠1+∠2=180°， ∴ ， ∴ ， ∵2∠ENF+∠EMF=110°，∠EMF=α， 即 80 ， 解得x=52.5°， 即∠CFN=52.5°； (Ⅱ)如图4，当 时， ___ 81 ∴ ， ∵∠DFM+∠BEM=∠EMF=α， ∴ ， ∴ ， ∵EN平分∠AEM， ∴ ， 82 ∴ ， ∵∠1+∠2=180°， ∴ ， ∴ 83 ， ∵2∠ENF+∠EMF=110°，∠EMF=α， 即 ， 解得x=42°， 即∠CFN=42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 84 16.已知：∠AOB=α(0°＜α＜90°)，一块三角板CDE中，∠CED=90°，∠CDE=30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图，若CE∥OA，∠NDE=45°，则α= ____ °； (2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α=60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 45 85 __________ 【解析】解： (1)如图，过点E作EF∥MN， ∴∠DEF=∠NDE=45°， ∵∠CED=90°， ∴∠FEC=45°， ∵MN∥OB， ∴EF∥OB， ___ ∴∠BCE=∠FCE=45°， ∵AO∥CE， ∴∠AOB=∠ECB=45°， 则α=45°， 故答案为：45； (2)①∵DF∥OA， ∴∠DFC=∠AOB=α=60°， ∵MN∥OB， ∴∠MDF=∠DFC， ∵DF平分∠MDC， ∴∠CDF=∠MDF=60°， 86 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°， ∴∠CDF=∠DCE， ∴CE∥DF， ∵DF∥OA， ∴CE∥OA； ②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB=α， 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°， ∴∠DCB=60°+α， ∵MN∥OB， ∴∠MDC=∠DCB=60°+α， 且∠DFC=∠MDF， ∵DF平分∠MDC， ∴ ， ∴ ． 87 17.已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP=∠PQN=α，PQ平分∠MPN． (1)如图①，求∠MPQ的度数(用含α的式子表示)； (2)如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由； (3)如图③，在(2)的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由． __________ 88 【解析】解：(1)如图①，过点P作PR∥AB， ____ ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PR， ∴∠AMP=∠MPR=α，∠PQN=∠RPQ=α， ∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α； (2)如图②，EF⊥PQ，理由如下： 89 ____ ∵PQ平分∠MPN． ∴∠MPQ=∠NPQ=2α， ∵QE∥PN， ∴∠EQP=∠NPQ=2α， ∴∠EPQ=∠EQP=2α， ∵EF平分∠PEQ， ∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF， ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180° ∴2∠EPQ+2∠PEF=180°， ∴∠EPQ+∠PEF=90°， ∴∠PFE=180°-90°=90°， ∴EF⊥PQ； (3)如图③，∠NEF= ∠AMP， 理由如下： ___ 90 由(2)可知：∠EQP=2α， ∠EFQ=90°， ∴∠QEF=90°-2α， ∵∠PQN=α， ∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α ∵NE平分∠PNQ， ∴∠PNE=∠QNE， ∵QE∥PN， ∴∠QEN=∠PNE， ∴∠QNE=∠QEN， ∵∠NQE=3α， ∴∠QNE= (180°-∠NQE) = (180°-3α)， ∴∠NEF=180°-∠QEF-∠NQE-∠QNE =180°-(90°-2α)-3α- (180°-3α) =180°-90°+2α-3α-90°+ α = α = ∠AMP． ∴∠NEF= ∠AMP． 91 18.如图1，E点在BC上，∠A=∠D，∠ACB+∠BED=180°． ___________ (1)求证：AB∥CD； (2)如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． (3)在(1)的结论下，保持(2)中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 92 【解析】(1)证明：如图1，延长DE交AB于点， ____∵∠ACB+∠BED=180° ∠CED+∠BED=180°， ∴∠ACB=∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A=∠DFB， ∵∠A=∠D， ∴∠DFB=∠D， ∴AB∥CD； 93 (2)如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ___ ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF=180°， ∠MEB=∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG= ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2=∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β=∠3， ∴ ABE+∠β=∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3= EDF， 94 ∴ ABE+∠β= EDF， ∴∠β= (∠EDF-∠ABE)， ∴∠EDF-∠ABE=2∠β， 设∠DEB=∠α， ∵∠α=∠1+∠MEB =180°-∠EDF+∠ABE =180°-(∠EDF-∠ABE) =180°-2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α-60°=∠β， ∴∠α=180°-2(∠α-60°) 解得∠α=100° ∴∠DEB的度数为100°； (3)∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD， 设直线DF和直线BP相交于点G， _____ ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， 95 ∴∠EBM=∠MBK= EBK， ∠CDN=∠EDN= CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES=∠CDE， ∠BES=∠ABE=180°-∠EBK， ∠G=∠PBK， 由(2)可知：∠DEB=100°， ∴∠CDE+180°-∠EBK=100°， ∴∠EBK-∠CDE=80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN=∠G， ∴∠PBK=∠G=∠CDN= CDE， ∴∠PBM=∠MBK-∠PBK = ∠EBK- CDE = (∠EBK-∠CDE) = 80° =40°． 96 19.如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G． (1)若∠AMN=70°，则∠MNG= _____ ； (2)求证：EM∥NG； (3)连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数． 【解析】解：(1)∵AB∥CD， 35° 97 ∴∠AMN+∠CNM=180°， ∵∠AMN=70°， ∴∠CNM=110° ∵NE平分∠CNM， ∴ ， ∵NG⊥EN， ∴∠ENG=90°， ∴∠MNG=90°-∠ENM=35°， 故答案为：35°； (2)∵AB∥CD， ∴∠AMN+∠CNM=180°， ∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线， ∴ ， ∴ 即∠MEN=90°， 又∵NG⊥EN， ∴∠ENG=90°， 98 ∴∠MEN+∠ENH=180°， ∴EM∥NG； (3)设∠HEG=x,则∠HGE=∠MEG=x, ∠NEH=90°-2x, ∵EP平分∠FEH， ∴∠FEH=2∠PEH=2(∠PEG+x)， 又∵∠FEH+∠HEN=180°， ∴2(∠PEG+x)+90°-2x=180°， ∴∠PEG=45°． 99 $$