第5章 分式 单元检测卷2024-2025学年浙教版数学七年级下册

第5章 分式 单元检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在式子，，，，中，分式有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案． 【解答】解：分式有，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意π不是字母，是常数． 2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＝0 B．x≠5 C．x≠0 D．x＝5 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【解答】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴5﹣x≠0， ∴x≠5， 故选：B． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题的关键． 3．（3分）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来一半 D．无法确定 【分析】将x、y分别扩大2倍后再进行化简即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变， 故选：A． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【解答】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式为最简分式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 5．（3分）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【解答】解：∵（0.2x﹣1）×5＝x﹣5，（0.4x+3）×5＝2x＝15， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 【点评】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，注意本题是改变分式的值． 6．（3分）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】根据分式的值为零的条件得到2+x＝0且x﹣1≠0，从而可确定x的值． 【解答】解：根据题意得2+x＝0且x﹣1≠0， 解得x＝﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 7．（3分）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】先把分母2﹣a变形为﹣（a﹣2），即通分，再按分式的加减运算法则计算即可． 【解答】解：原式1． 故选：B． 【点评】此题考查的是分式的加减运算，化为同分母进行计算是解决此题关键． 8．（3分）已知关于x的方程的解为x＝﹣1，则A处可能为（　　） A．1﹣x B．x﹣1 C．2﹣x D．x﹣2 【分析】将x＝﹣1代入原方程中解得A的值，然后将x＝﹣1分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可． 【解答】解：已知关于x的方程的解为x＝﹣1， 则1＝0 那么A＝﹣2， 检验：A＝﹣2是该分式方程的解， 那么当x＝﹣1时，1﹣x＝1+1＝2，则A不符合题意， 当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，则B符合题意， 当x＝﹣1时，2﹣x＝2+1＝3，则C不符合题意， 当x＝﹣1时，x﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的解，理解其解的意义是解题的关键． 9．（3分）若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3 【分析】根据题意，先去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解除分式方程，再考虑分式方程无解的情况，即产生增根，据此求出m． 【解答】解：， 2x﹣4（x﹣3）＝﹣m， 2x﹣4x+12＝﹣m， ﹣2x＝﹣m﹣12， x， 因为x＝3是方程的增根， 所以， m＝﹣6， 所以当m＝﹣6时，原分式方程无解． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是解出分式方程． 10．（3分）一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t2，则t1与t2的关系是（　　） A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1 ＝t2 D．以上均有可能 【分析】设汽艇在静水中的速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，根据题意列出算式，然后再比较大小即可． 【解答】解：在静水中所用时间t2．在河水中所用时间 t1． 根据t1﹣t20可知：， ∴t1＞t2． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的减法，根据题意列出汽艇在静水中和河水中所用时间的代数式是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）分式、的最简公分母是 　6x2y2　 ． 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式、的分母分别是2xy2、3x2，故最简公分母是6x2y2． 故答案为：6x2y2． 【点评】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键． 12．（3分）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息： x的取值 2 0.5 分式的值 无意义 0 则ba的值是　　 ． 【分析】当x＝2时，分式无意义，求出b＝2，当x＝0.5时，分式值为0，求出a＝﹣1，代入ba计算即可． 【解答】解：由条件可知2﹣b＝0，则b＝2， 当x＝0.5时，分式值为0， ∴1+a＝0， ∴a＝﹣1， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．（3分）分式方程的解为 　　 ． 【分析】先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 【解答】解：原式＝x+3（x﹣2）＝0， x+3x﹣6＝0， ， 当时，x（x﹣2）≠0， ∴是原方程的解． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的运算． 14．（3分）若分式方程有正数解，则m的取值范围为　m＜1且m≠0　 ． 【分析】将分式方程化为整式方程，解得x＝1﹣m，再利用原方程的解为正数，得到1﹣m＞0且1﹣m≠±1，解不等式即可求出m的取值范围． 【解答】解：原分式方程去分母得，x（x﹣1）﹣（x2﹣1）＝m， 解得：x＝1﹣m， ∵分式方程有正数解， ∴x＞0且x≠±1， ∴1﹣m＞0且1﹣m≠±1， ∴m＜1且m≠0且m≠2， ∴m＜1且m≠0． 故答案为：m＜1且m≠0． 【点评】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 15．（3分）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　3　 ． 【分析】根据两车间工作效率间的关系，可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍， ∴乙车间每天加工1.5x件产品， 又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天， ∴3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16．（3分）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围是　m＜2且m≠﹣1　 ． 【分析】先根据题中新定义得方程为，然后解方程为，根据方程的解得且，进而求解即可． 【解答】解：由条件可得， 去分母，得﹣x＝m+2（x﹣1）， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得m＜2且m≠﹣1， 故答案为：m＜2且m≠﹣1． 【点评】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出方程，注意分式的分母不为0的条件是解答的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）m+1 （2） （3）解方程：2 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值； （2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值； （3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）去分母得：2x+9＝3（4x﹣7）+2（3x﹣9）， 去括号得：2x+9＝12x﹣21+6x﹣18， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，3（x﹣3）＝0，x＝3是增根， ∴原方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18．（8分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值． 【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：∵x+2y﹣1＝0， ∴x+2y＝1， ∴ ＝2， ∴的值为2． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 19．（8分）下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：． 解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+2＝﹣3第一步 解得x＝﹣2第二步 检验：当x＝﹣2时，x﹣2≠0第三步 ∴原分式方程的解为x＝﹣2第四步 （1）①上面的解题过程从第 　一　 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　常数项漏乘最简公分母　 ； ②请写出正确的解题过程． （2）解分式方程：． 【分析】（1）①观察解题过程即可得出答案；②根据解分式方程的步骤计算即可得出答案； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出答案，注意检验． 【解答】解：（1）①上面的解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是常数项漏乘最简公分母， 故答案为：一，常数项漏乘最简公分母； ②方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+2（x﹣2）＝﹣3， 解得， 检验：当时，x﹣2≠0， ∴原分式方程的解为； （2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1， 去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 移项得：x2+2x﹣x2＝﹣1+4﹣1， 合并同类项得：2x＝2， 系数化为1得：x＝1， 检验，当x＝1时，x2﹣1＝0， ∴原分式方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． 20．（8分）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【分析】（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x＝3，代入整式方程计算即可求出a的值． 【解答】解：（1）方程整理得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+5， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+a， 由分式方程无解，得到x＝3， 把x＝3代入整式方程得：a＝3． 【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验． 21．（8分）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x的解为x1＝2，x2； 方程x的解为x1＝3，x2； 方程x的解为x1＝4，x2； … （1）根据上面的规律，猜想方程x的解是　x1＝5，　 ； （2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x； （3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x.（结果保留a） 【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：，然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：，再方程两边同时减去3，方程变形为，再根据题意给出的规律，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题中的规律，猜想方程的解为： x1＝5，， 故答案为：x1＝5，； （2）由题意，得， ∴， ∴x+1＝3或， 解得：x1＝2，， 经检验：x1＝2，是原方程的解； （3）， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴2x﹣3＝a或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律． 22．（10分）阅读下列材料： 若，试求A、B的值．（其中A、B为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中M、N为常数）求M、N的值； （2）若对任意自然数n都成立，则a＝　　 ，b＝　　 ． （3）计算：　　 ． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【解答】解：（1）， 等式右边通分得： ， ∴， 解得：； （2）， 等式右边通分得： ， ∴， 解得：， 故答案为：，； （3）原式 ， 故答案为：． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（10分）为了满足市民的物质需求，某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m m﹣2 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于5200元，问至少购进甲种袋装食品多少袋？ 【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答； （2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答． 【解答】解 （1）依题意得：． 解得m＝10， 经检验 m＝10是原分式方程的解； （2）设购进甲种绿色袋装食品 x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，根据题意得， （20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）≥5200． 解得x≥240． 答：至少购进甲种袋装食品 240 袋． 【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 24．（12分）已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15， 10x＝﹣2， x， 检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x． 答：分式方程的解是x． （2）把a＝1代入分式方程 得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， （x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， （11﹣2b）x＝3b﹣10， ①当11﹣2b＝0时，即，方程无解； ②当11﹣2b≠0时，， 时，分式方程无解，即，b不存在； x＝5时，分式方程无解，即，b＝5． 综上所述，或b＝5时，分式方程 无解． （3）把a＝3b代入分式方程 中，得： 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：（10+b）x＝18b﹣15， ∴， ∵，且b为正整数，x为整数， ∴10+b必为195的因数，10+b≥11， ∵195＝3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， 但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解x为3、5、13、15、17， 由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去． 对应地，b只可以取3、29、55、185， 所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点评】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 分式 单元检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在式子，，，，中，分式有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＝0 B．x≠5 C．x≠0 D．x＝5 3．（3分）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来一半 D．无法确定 4．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 7．（3分）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 8．（3分）已知关于x的方程的解为x＝﹣1，则A处可能为（　　） A．1﹣x B．x﹣1 C．2﹣x D．x﹣2 9．（3分）若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3 10．（3分）一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t2，则t1与t2的关系是（　　） A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1 ＝t2 D．以上均有可能 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）分式、的最简公分母是 　 　 ． 12．（3分）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息： x的取值 2 0.5 分式的值 无意义 0 则ba的值是　 　 ． 13．（3分）分式方程的解为 　 　 ． 14．（3分）若分式方程有正数解，则m的取值范围为　 　 ． 15．（3分）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　 　 ． 16．（3分）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）m+1 （2） （3）解方程：2 18．（8分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值． 19．（8分）下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：． 解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+2＝﹣3第一步 解得x＝﹣2第二步 检验：当x＝﹣2时，x﹣2≠0第三步 ∴原分式方程的解为x＝﹣2第四步 （1）①上面的解题过程从第 　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　 ； ②请写出正确的解题过程． （2）解分式方程：． 20．（8分）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 21．（8分）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x的解为x1＝2，x2； 方程x的解为x1＝3，x2； 方程x的解为x1＝4，x2； … （1）根据上面的规律，猜想方程x的解是　 　 ； （2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x； （3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x.（结果保留a） 22．（10分）阅读下列材料： 若，试求A、B的值．（其中A、B为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中M、N为常数）求M、N的值； （2）若对任意自然数n都成立，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． （3）计算：　 　 ． 23．（10分）为了满足市民的物质需求，某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m m﹣2 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于5200元，问至少购进甲种袋装食品多少袋？ 24．（12分）已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$