第20讲 锐角三角函数（讲义）-备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第20讲 锐角三角函数 ( 课标要求 ) 1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值； 2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些简单的实际问题； 3.进一步体会数形结合和函数思想的运用. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 锐角三角函数 ☆☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键. 考点2 解直角三角形 ☆☆ 考点3 解直角三角形的应用 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．锐角三角函数的意义： 如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的正弦sinα＝ ； ∠α的余弦cosα＝ ； ∠α的正切tanα＝ ； 2．同角三角函数之间的关系： sin2A＋cos2A＝ ，tanA＝． 3．互余两角三角函数之间的关系： (1)sinα＝cos ，cosα＝sin ． (2)tanα·tan ＝1. (3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而 ，锐角的余弦值随着角度的增大而 ． (4)对于锐角A有0＜sinA＜1， ＜cosA＜ ，tanA＞0. 4．特殊的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系： (1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2． (2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边与角的关系：sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝． 6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图． (2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角． (4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图． (5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角． ( 深度讲练 ) ■考点一　锐角三角函数► ◇典例1：（2024•云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． ◆变式训练 1．（2024•凉州区一模）已知α为锐角．若，则α＝　　 °． 2．（2025•常州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanB等于（　　） 3．（2025•怀宁县模拟）已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（　　） A． B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ ■考点二 解直角三角形► ◇典例2：（2024•凉州区一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝． （1）求BC的长； （2）求∠ACB的正切值． ◆变式训练 1．（2024•临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 2．（2024•东营区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝，∠BAD＝α． （1）求AD的长； （2）求sinα的值． ■考点三 解直角三角形的应用► ◇典例3：（2025•淮北一模）小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B处测得树顶A的仰角α为30°，然后他向前走了3m到达C处，测得树顶A的仰角β为37°．已知BD＝CE＝1.6m，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度OA．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） ◆变式训练 1．（2024•武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 　　 m．（参考数据：tan63°≈2） 2．（2024•甘南州）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）． ( 真题演练 ) 1．（2025•汉台区二模）已知，则锐角A的度数是（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 2．（2025•崇明区一模）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．（2025•淮安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 5．（2024•江北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•和平区校级期末）的值是（　　） A． B． C．1 D． 7．（2025•淮南一模）△ABC中，若，∠A，∠B是锐角，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 8．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm 9．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　） A．（1.2+）米 B．（1.2+）米 C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米 10．（2025•肇州县模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，E在格点上，连接AE，BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则cos∠ABD的值是（　　） A． B．2 C． D． 11．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 13．（2025•长治一模）如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为5：12，则他在这次滑雪时下降的高度是　 　 米． 14．（2024•路桥区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，，则cosC的值为 　 　 ． 15．（2025•奉贤区一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P，OP＝10，时线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果，那么点P坐标为 　 　 ． 16．（2024•邵阳模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D．若，则AD的长是 ． 17．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 18．（2025•浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 19．（2025•阳西县一模）2024年10月30日4点27分，“神舟十九号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把蔡旭哲、宋令东、王浩泽三名航天员送到中国空间站．如图：在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°，10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45.54°．求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02，≈1.73． 20．（2025•广州模拟）【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了30°，60°，45°这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出tan15°的值． 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1延长CB到点D，使DB＝AB，则有∠D＝15°． 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝BD＝2BC＝； 在Rt△ACD中； ∴． 【实际应用】（1）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（The 9th Asian Winter Games Harbin 2025），于2025年2月7日至2月14日举行，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，广州融创热雪奇迹为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道AB，如图2所示，滑道的坡角∠B＝15°，水平宽度BC＝100m．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据）． 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道， 已知：Rt△ABC中（图3），∠C＝90°，∠B＝45°，AC＝1． 求出tan22.5°的值是多少？ 21．（2025•肇州县模拟）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东45°方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西75°的BD方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东15° 方向的点C处． （1）填空，∠CAB＝　 　 度，∠CBA＝　 　 度； （2）求台风移动的路径BC的长度； （3）若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据： ） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第20讲 锐角三角函数 ( 课标要求 ) 1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值； 2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些简单的实际问题； 3.进一步体会数形结合和函数思想的运用. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 锐角三角函数 ☆☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键. 考点2 解直角三角形 ☆☆ 考点3 解直角三角形的应用 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．锐角三角函数的意义： 如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的正弦sinα＝； ∠α的余弦cosα＝； ∠α的正切tanα＝ 2．同角三角函数之间的关系： sin2A＋cos2A＝ 1 ，tanA＝． 3．互余两角三角函数之间的关系： (1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)． (2)tanα·tan(90°－α)＝1. (3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小． (4)对于锐角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. 4．特殊的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系： (1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2． (2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边与角的关系：sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝． 6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图． (2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角． (4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图． (5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角． ( 深度讲练 ) ■考点一　锐角三角函数► ◇典例1：（2024•云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据正切的定义即可求得答案． 【解析】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查正切的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． ◆变式训练 1．（2024•凉州区一模）已知α为锐角．若，则α＝　60　 °． 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值计算． 【解析】解：∵sin30°＝， ∴α＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键． 2．（2025•常州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据正切的定义即可求得答案． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴tanB＝＝， 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2025•怀宁县模拟）已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（　　） A． B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ 【思路点拨】AB．根据锐角的余弦函数和正切函数的增减性判断即可； C．通过比较与1的大小判断即可； D．通过比较与1的大小判断即可． 【解析】解：∵0°＜0＜45° ∴sinθ随θ的增大而增大， 0＜cosθ＜， ∴A不正确，不符合题意； ∵tanθ随θ的增大而增大， ∴0＜tanθ＜1， ∴B不正确，不符合题意； ∵＝tanθ，0＜tanθ＜1， ∴0＜＜1， ∴sinθ＜cosθ， ∴C不正确，不符合题意； ∵＝cosθ， ∵＜cosθ＜1， ∴＜＜1， ∴sinθ＜tanθ， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性等，掌握锐角三角函数的增减性是本题的关键． ■考点二 解直角三角形► ◇典例2：（2024•凉州区一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝． （1）求BC的长； （2）求∠ACB的正切值． 【思路点拨】（1）设DE＝3x，DE⊥BC，所以CD＝5x，CE＝4x，由CD＝5可求出x＝1，从而可求出答案． （2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝6，再求出CF＝1即可求出∠ACB的正切值． 【解析】解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC， ∵sin∠BCD＝， ∴， ∴CD＝5x，CE＝4x， ∵CD＝5， ∴x＝1， ∴CE＝4， ∵∠B＝45°， ∴DE＝BE＝3x， ∴BC＝BE+CE＝7x＝7． （2）过点A作AF⊥BC于点F， ∴DE∥AF， ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴AF＝2DE，BF＝2BE， 由（1）可知：DE＝BE＝3， ∴AF＝6，BF＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝1， ∴tan∠ACB＝6． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出DE、CE的长度，本题属于中等题型． ◆变式训练 1．（2024•临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【思路点拨】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题． 【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinB＝， ∴AM＝＝4， ∴BM＝． 又∵AB＝AC， ∴BC＝2BM＝6． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形是解题的关键． 2．（2024•东营区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝，∠BAD＝α． （1）求AD的长； （2）求sinα的值． 【思路点拨】（1）根据tanB＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求出x，最后放在Rt△ACD中由勾股定理求AD； （2）要求sinα的值，想到把α放在直角三角形中，所以过点D作DE⊥AB，垂足为点E，然后放在直角三角形BDE中，利用tanB的值求出BE与DE，进而求得结果． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，AB＝5， ∴可设AC＝3x，BC＝4x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（3x）2+（4x）2＝52， 解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1， ∴AC＝3，BC＝4， ∵BD＝1， ∴CD＝3， ∴AD＝＝3； （2）过点D作DE⊥AB于点E， 在Rt△BED中，tanB＝， ∴可设DE＝3y，则BE＝4y， ∵BE2+DE2＝BD2， ∴（3y）2+（4y）2＝12， 解得，y＝﹣（舍），或y＝， ∴， ∴sinα＝＝＝． 【点睛】本题考查了是解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． ■考点三 解直角三角形的应用► ◇典例3：（2025•淮北一模）小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B处测得树顶A的仰角α为30°，然后他向前走了3m到达C处，测得树顶A的仰角β为37°．已知BD＝CE＝1.6m，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度OA．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 【思路点拨】设AF＝x m，在Rt△ADF中，求得，在Rt△AEF中，求得，根据DF﹣EF＝DE，列式计算即可求解． 【解析】解：延长DE交AO于点F，则DF⊥AO， BD＝CE＝OF＝1.6m，DE＝BC＝3． 设AF＝x m， ∴，， 由题意得DF﹣EF＝DE， ∴，即， 解得x＝7.68，即AF＝7.68． ∴AO＝AF+OF＝7.68+1.6＝9.28≈9.3（m）． 答：古树的高度OA约为9.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．构造直角三角形是关键． ◆变式训练 1．（2024•武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 　51　 m．（参考数据：tan63°≈2） 【思路点拨】过点C作CD∥BD，延长BA交CH于H，在Rt△BCH中和Rt△ACH中，解直角三角形求出CH，AH，即可求出答案． 【解析】解：过点C作CD∥BD，延长BA交CH于H， 由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°， ∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形BDCH是矩形， ∴BH＝CD＝102m， 在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH＝， ∴CH＝≈＝51（m）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m， ∴AB＝BH﹣AH＝51m． 答：黄鹤楼的高度约为51m． 故答案为：51． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用，把实际问题转换为直角三角形问题解决是解决问题的关键． 2．（2024•甘南州）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）． 【思路点拨】过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，先求AG，再计算CG＝AF，结合CD＝CF﹣DF计算即可． 【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F， ∴四边形AGCF是矩形， ∴AG＝CF，GC＝AF， ∵AB＝5m，BC＝4m，∠BAG＝16°， ∴AG＝ABcos∠GAB＝5×cos16°≈5×0.96＝4.8（m）， BG＝ABsin∠GAB＝5×sin16°≈5×0.28＝1.4（m）， ∴CF＝4.8（m），CG＝4﹣1.4＝2.6（m）， ∴AF＝2.6（m）， ∵∠ADF＝45°， ∴AF＝DF＝2.6（m） ∴CD＝CF﹣DF＝4.8﹣2.6＝2.2（m）． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2025•汉台区二模）已知，则锐角A的度数是（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值直接求解即可． 【解析】解：∵A为锐角，且sinA＝， ∴∠A＝30°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 2．（2025•崇明区一模）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【思路点拨】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答． 【解析】解：∵i＝tanα＝＝， ∴α＝30°， 故选：B． 【点睛】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡． 3．（2025•淮安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解． 【解析】解：根据勾股定理可得， 则cosB＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，牢固掌握相关知识是解题关键． 4．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【思路点拨】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 5．（2024•江北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据锐角三角函数的定义得出tanB＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解析】解：∵tanB＝＝， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB＝＝5x， ∴sinA＝＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 6．（2024秋•和平区校级期末）的值是（　　） A． B． C．1 D． 【思路点拨】把cos30°＝，sin45°＝，cos45°＝，sin60°＝代入原式，然后约分即可． 【解析】解：原式＝＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值：cos30°＝，sin45°＝，cos45°＝，sin60°＝． 7．（2025•淮南一模）△ABC中，若，∠A，∠B是锐角，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【思路点拨】根据非负数的性质求出，，然后求出∠A＝30°，∠B＝30°，即可判断△ABC的形状． 【解析】解：∵， ∴，， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴∠C＝120°， 故△ABC为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 8．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm 【思路点拨】过点B作BM⊥AC2于点M，根据含30°角的直角三角形的性质求出BM＝3cm，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出C1M＝C2M＝cm，根据线段的和差求解即可． 【解析】解：过点B作BM⊥AC2于点M， ∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm， ∴BM＝AB＝3cm， ∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2， ∴C1M＝C2M＝＝cm， ∴C1C2＝2cm， 故选：D． 【点睛】此题考查了解直角三角形，根据题意作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 9．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　） A．（1.2+）米 B．（1.2+）米 C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米 【思路点拨】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，如图． ∴BF＝CD＝1.2米，CF＝BD＝m米， ∵∠ACF＝α， ∴tanα＝＝， ∴AF＝m•tanα米， ∴AB＝BF+AF＝（1.2+mtanα）（米）， 即旗杆的高度为（1.2+mtanα）米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 10．（2025•肇州县模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，E在格点上，连接AE，BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则cos∠ABD的值是（　　） A． B．2 C． D． 【思路点拨】先利用勾股定理求出BC，再求出∠ABC的余弦值得结论． 【解析】解：在Rt△ABC中， BC＝＝． ∴cos∠ABD ＝cos∠ABC ＝ ＝ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理等知识点是解决本题的关键． 11．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值． 【解析】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2024•常州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ 　　 ． 【思路点拨】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答． 【解析】解：由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x． ∴tanA＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 13．（2025•长治一模）如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为5：12，则他在这次滑雪时下降的高度是　80　 米． 【思路点拨】根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解析】解：如图，构造直角三角形ABC， 设他下降的高度AC＝x米， ∵斜坡的坡度为5：12， ∴AC＝5x米，BC＝12x米， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（5x）2+（12x）2＝2082， 解得：x＝16（负值舍去）， ∴他下降的高度为16×5＝80米， 故答案为：80． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 14．（2024•路桥区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，，则cosC的值为 　　 ． 【思路点拨】过点B作AC边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解析】解：过点B作AC边的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinA＝， ∴BM＝， ∴AM＝， ∴CM＝AC﹣AM＝5﹣3＝2． 在Rt△BCM中， BC＝， ∴cosC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，过点B作AC边的垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． 15．（2025•奉贤区一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P，OP＝10，时线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果，那么点P坐标为 　（8，6）　 ． 【思路点拨】过点P作PA⊥x轴于点A，根据OP＝10，得AP＝×AP＝6，进而得OA＝8，由此可得点P的坐标． 【解析】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图所示： ∵点P在第一象限，OP＝10，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，， ∴在Rt△OAP中，sinα＝＝， ∴AP＝×AP＝＝6， 由勾股定理得：OA＝＝＝8， ∴点P的坐标为（8，6）． 故答案为：（8，6）． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，坐标与图形，理解坐标与图形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 16．（2024•邵阳模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D．若，则AD的长是 　6　 ． 【思路点拨】由，得到∠B＝60°，求出∠BCD＝30°，∠A＝30°，由含30度角的直角三角形的性质推出AD＝3BD＝6． 【解析】解：∵， ∴∠B＝60°， ∵CD⊥AB于D， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴BC＝2BD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BC， ∴AB＝4BD， ∴AD＝3BD＝3×＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出AD＝3BD． 17．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【思路点拨】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解析】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 18．（2025•浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 【思路点拨】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE； （2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值． 【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝， ∴＝， ∴AB＝10， ∴BC＝8， ∴AC＝＝＝6， 又∵D为AB中点， ∴AD＝BD＝CD＝AB＝5， ∴∠DCB＝∠B， ∴cos∠DCB＝，cos∠B＝， ∴＝， ∴CE＝； （2）作EF⊥AB交AB于F， 由（1）知CE＝， 则BE＝8﹣＝，DE＝＝， 设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x， 在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝（）2﹣（5﹣x）2， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝（）2﹣x2， ∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2， 解得x＝， ∴EF2＝（）2﹣（）2＝， EF＝， ∴sin∠BDE＝＝． 【点睛】本题主要考查解直角三角形和斜边上的中线，关键是直角三角形中，正弦、余弦的应用． 19．（2025•阳西县一模）2024年10月30日4点27分，“神舟十九号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把蔡旭哲、宋令东、王浩泽三名航天员送到中国空间站．如图：在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°，10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45.54°．求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02，≈1.73． 【思路点拨】由含30°角的直角三角形的性质得OA＝4km，再由勾股定理求出OC的长，然后由锐角三角函数定义求出OB的长，即可解决问题． 【解析】解：∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴OA＝AC＝×8＝4（km）， ∴OC＝＝＝4（km）， ∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45.54°，tan∠BCO＝， ∴OB＝OC•tan45.54°≈4×1.02≈7.06（km）， ∴AB＝OB﹣OA≈7.06﹣4＝3.1（km）， ∴飞船从A处到B处的平均速度为3.1÷10≈0.3（km/s）， 答：飞船从A处到B处的平均速度约为0.3km/s． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键． 20．（2025•广州模拟）【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了30°，60°，45°这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出tan15°的值． 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1延长CB到点D，使DB＝AB，则有∠D＝15°． 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝BD＝2BC＝； 在Rt△ACD中； ∴． 【实际应用】（1）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（The 9th Asian Winter Games Harbin 2025），于2025年2月7日至2月14日举行，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，广州融创热雪奇迹为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道AB，如图2所示，滑道的坡角∠B＝15°，水平宽度BC＝100m．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据）． 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道， 已知：Rt△ABC中（图3），∠C＝90°，∠B＝45°，AC＝1． 求出tan22.5°的值是多少？ 【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，根据，BC＝100列式解答即可； （2）在图3中，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，得出∠D＝22.5°，进而根据正切的定义解答即可． 【解析】解：（1）如图1，在Rt△ABC中， ∵，BC＝100m， ∴（m）， 答：滑道的铅直高度AC约是27米； （2）如图所示，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD， ∵BD＝AB， ∴∠D＝∠DAB， ∵∠ABC＝∠D+∠DAB＝45°， ∴∠D＝22.5°， 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵∠ABC＝45°，AC＝1， ∴BC＝AC＝1， ∴AB＝， ∴， 在Rt△ADC中，， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握各个锐角三角形函数的定义并灵活运用． 21．（2025•肇州县模拟）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东45°方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西75°的BD方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东15° 方向的点C处． （1）填空，∠CAB＝　30　 度，∠CBA＝　30　 度； （2）求台风移动的路径BC的长度； （3）若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据： ） 【思路点拨】（1）根据方向角的定义即可得到∠CAB＝30度，∠CBA＝30度； （2）过C作CH⊥AB于H，由（1）知，∠CAB＝∠CBA＝30°，求得AC＝BC，根据等腰三角形的性质得到AH＝BH＝（千米），根据三角函数的定义得到BC＝＝＝240（千米）； （3）过A作AE⊥BD于E，求得∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到AE＝AB＝120≈207.84（千米），于是得到结论． 【解析】解：（1）根据题意得∠CAB＝45°﹣15°＝30度，∠CBA＝75°﹣45°＝30度； 故答案为：30，30； （2）过C作CH⊥AB于H， 由（1）知，∠CAB＝∠CBA＝30°， ∴AC＝BC， ∴AH＝BH＝（千米）， ∴BC＝＝＝240（千米）， 答：台风移动的路径BC的长度为240千米； （3）这次台风不会影响东方市， 理由：过A作AE⊥BD于E， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴AE＝AB＝120≈207.84（千米）， ∵207.84＞200， ∴这次台风不会影响东方市． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$